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\documentclass{lecture}
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\begin{document}
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\section{Grundlagen}
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\subsection{Organisatorisches}
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\begin{enumerate}
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\item Freitag 1.11. Feiertag
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\item Abgabe Donnerstag davor
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\end{enumerate}
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\begin{lemma}[]
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Für $n, k \in \N$ mit $0 < k < n$ gilt:
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\[
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\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}
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.\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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\begin{align*}
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\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} &=
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\frac{(n-1)(n-2)\ldots(n-1-(k-1)+1)}{(k-1)!}
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+ \frac{(n-1)(n-2)\ldots(n-1-k+1)}{(k-1)!k}\\
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&= \frac{(n-1)\ldots(n-k+1)(k+n-k}{k!} \\
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&= \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!} = \binom{n}{k}
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\begin{bem}[]
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Mit Hilfe der Rekursionsformel
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\[
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\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
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.\] bzw
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\[
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\binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}
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.\] berechnet man die Binomialkoeffizienten explizit, auch bekannt als
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,,Pascalsches Dreieck''.
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\end{bem}
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\begin{figure}[ht]
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\centering
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\incfig{pascal2}
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\caption{Pascalsches Dreieck}
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\label{fig:pascal2}
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\end{figure}
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\begin{satz}[Binomische Formel]
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Für $a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
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\[
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(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k}
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.\]
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bzw.
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\[
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(a+b)^{n} = \binom{n}{0} a^{n} + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \ldots +
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||||
\binom{n}{n-1}a b^{n-1} + \binom{n}{n} b^{n}
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.\]
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis durch Induktion]
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Induktionsanfang $n=1$:
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\[
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a+b = \binom{1}{0}a + \binom{1}{1}b = 1a + 1b
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.\]
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Annahme: Die Formel gilt für ein $n \ge 1$
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Induktionsschritt: $n \to n+1$
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\begin{align*}
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(a+b)^{n+1} &= (a+b)(a+b)^{n}\\
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&= (a+b) \left(\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \ldots +
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\binom{n}{n-1}a b^{n-1} + \binom{n}{n}b^{n}\right) \\
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||||
&= \binom{n}{0}a^{n+1}+\binom{n}{1}a^{n}b + \ldots +
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||||
\binom{n}{n-1} a^{2} b^{n-1} + \binom{n}{n} a b^{n} \\
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||||
&+ \binom{n}{0} a^{n}b + \binom{n}{1} a^{n-1}b^{2} + \ldots +
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||||
\binom{n}{n-1}a b^{n}+\binom{n}{n}b^{n+1} \\
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||||
&= \binom{n+1}{0}a^{n+1}+\binom{n+1}{1}a^{n}b+\ldots+
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||||
\binom{n+1}{n}ab^{n} + \binom{n+1}{n+1}b^{n+1}
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.\end{align*}
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\end{proof}
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\subsection{Grundlegendes über Zahlenmengen}
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\[
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\N = \{1, 2, 3, \ldots\} \text{ natürliche Zahlen}
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.\] auf $\N$ sind die arithmetischen Operationen ,,$+$'' (Addition) und ,,$\cdot$''
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(Multiplikation) definiert. Für diese gelten u.a. die Regeln:
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\begin{align*}
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n + m = m + n &\text{ bzw. } n \cdot m = m \cdot n \text{ Kommutativität} \\
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(n + m) + k = n + (m + k) &\text{ bzw. } (n \cdot m) \cdot k = n \cdot (m \cdot k) \text{ Assoziativität}\\
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(n + m) \cdot k &= n \cdot k + m \cdot k \text{ Distributivität}
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\end{align*}
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Subtraktion und Division sind nicht für alle Paare der natürlichen Zahlen definiert
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($1 - 2 \not\in \N, \frac{1}{2} \not\in \N$), d.h. die natürlichen Zahlen
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sind bezüglich der Subtraktion und Division ,,unvollständig''. Dies bedeutet,
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dass für $n, m \in \N$ z.B.: die Gleichung
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\[
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n + x = m
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\] nicht immer lösbar ist.
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Deshalb werden die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert.
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\[
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\Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} \text{ ganze Zahlen}
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.\] In $\Z$ hat die Gleichung $n+x = m$ die (eindeutige) Lösung:
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$x = m - n \in \Z$.
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$\Z$ ist vollständig bezüglich der Subtraktion aber unvollständig bezüglich
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der Division, d.h. für beliebige $b, y \in \Z$, $b \neq 0$, die ,,lineare''
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Gleichung $b \cdot x = y$ nicht immer durch ein $x \in \Z$ lösbar ist.
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Diese Beschränkung wird durch die Einführung der rationalen Zahlen behoben:
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\[
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\Q = \left\{\frac{r}{s} \mid r \in \Z, s \in \N\right\}
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.\] Die Menge $\Q$ ist vollständig bezüglich der vier elementaren
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arithmetischen Operationen (bis auf die unzulässige Division durch Null).
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\[
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a = \frac{r}{s}, b = \frac{u}{v} \in \Q = \begin{cases}
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a+b = \frac{r}{s} + \frac{u}{v} &:= \frac{r\cdot v + u\cdot s}{s\cdot v} \\
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a-b &:= \frac{r\cdot v - u \cdot s}{s \cdot v} \\
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a \cdot b &:= \frac{r \cdot u}{s \cdot v} \\
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\frac{a}{b} &:= \frac{r \cdot v}{s \cdot u} \\
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\end{cases}
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.\] $\Q$ bildet mit der Operation ,,+'' und ,,-'' einen ,,Körper'' bildet.
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\subsection{Was ist ein Körper?}
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Sei $K$ eine Menge mit Operationen ,,$+$'' und ,,$\cdot$''.
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Operation ,,$+$'' erfüllt die Axiome der Addition
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\begin{enumerate}
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\item Kommutativität $\forall a,b \in K: a + b = b + a$
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\item Assoziativität $\forall a, b, c \in K: (a+b)+c = a+(b+c)$
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\item Neutrales Element $\exists 0 \in K: \forall a \in K: a + 0 = a$
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\item Additives Inverses $\forall a \in K: \exists -a \in K: a + (-a) = 0$
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\end{enumerate}
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Operation ,,$\cdot$'' erfüllt Axiome der Multiplikation
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\begin{enumerate}
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\item Kommutativität $\forall a,b \in K: a \cdot b = b \cdot a$
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\item Assoziativität $\forall a, b, c \in K: (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$
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\item Neutrales Element $\exists 1 \in K \setminus\{0\} =: K^{*}: \forall a \in K: a \cdot 1 = a$
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\item Additives Inverses $\forall a \in K: \exists a^{-1} \in K: a \cdot a^{-1} = 1$
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\end{enumerate}
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Zusätzlich gilt ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' erfüllen die Distributivität (D):
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\[
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\forall a,b,c \in K: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
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.\]
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\begin{definition}[Körper]
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Eine Menge $K$ mit Operationen ,,$ +$'' und ,,$\cdot$ '' (K, $+$, $\cdot$)
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die Axiome A1-A4, M1-M4 und D erfüllt, heißt Körper.
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\end{definition}
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\begin{bsp}[]
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($\Q$, $+$, $\cdot$) ist ein Körper \\
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($\Z$, $+$, $\cdot$ ) ist kein Körper \\
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\end{bsp}
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\begin{definition}[Angeordneter Körper]
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Sei $(K, +, \cdot)$ ein Körper. Es $\exists p \subset K$ eine Teilmenge,
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die Axiome erfüllt:
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\begin{enumerate}
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\item $\forall \in K$ gilt genau eine der folgenden Aussagen:
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\begin{enumerate}
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\item $a \in P$
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\item $a = 0$
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\item $-a \in P$
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\end{enumerate}
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\item Aus $a > 0$ und auch $b > 0$ folgt: $a+b > 0 $ und
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$a\cdot b$ > 0
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\end{enumerate}
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Dann heißt $(K, +, \cdot, >)$ angeordneter Körper.
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\end{definition}
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\end{document}
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