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\documentclass{lecture}
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\begin{document}
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\section{Grundlagen}
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\begin{definition}[Positivität]
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Sei $\left( K, +, \cdot, > \right)$ ein angeordneter Körper.
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$a \in K $ heißt positiv falls $a > 0$.
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$a \in K$ heißt negativ falls $a < 0$.
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\[
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K^{+} := \{a \in K \mid a > 0\}
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.\]
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\[
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K^{-} := \{a \in K \mid a < 0\}
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.\]
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Ordnungsrelation für $a, b \in K$
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\begin{align*}
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a < b \iff b - a \in K^{+} \\
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b > a:\iff a < b \\
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a \le b: \iff a < b \wedge a = b \\
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b \ge a: \iff a \le b \\
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.\end{align*}
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Für je zwei $a \in K, b \in K$ gilt genau eine der Relationen
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$a<b, a = b, a >b$.
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\end{definition}
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Es gelten Regeln:
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\begin{itemize}
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\item $a < b, b < c \implies a < c$ Transitivität
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\item $a < b \implies a + c < b +c, c \in K$
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\item $a < b \implies a \cdot c < b \cdot c, c \in K^{+}$
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\item $a \ge b, b \ge a \iff a = b$
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\item $a < b, a > 0, b > 0 \iff \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
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\end{itemize}
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\begin{bsp}[Positivität auf $\Q$]
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\[
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\Q^{+} := \left\{a \in Q \mid a = \frac{r}{s} , r, s \in \N\right\}
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.\]
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\end{bsp}
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\begin{definition}[Absolutbetrag]
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Sei $(K, +, \cdot, >$ ein angeordneter Körper
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Dann
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\[
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|a| := \begin{cases}
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a & \text{für } a > 0 \\
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0 & \text{für } a = 0 \\
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-a & \text{für } a < 0 \\
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\end{cases}
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.\]
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Abbildung $|\cdot|$: $K \to K$ mit Eigenschaften:
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\begin{itemize}
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\item $|a| = 0 \iff a = 0$ (Definiertheit)
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\item $|ab| = |a| |b|$ (Multiplikativität)
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\item $|a+b| \le |a| + |b|$ (Dreiecksungleichung)
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\end{itemize}
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\end{definition}
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\begin{proof}[Beweis der Dreiecksungleichung]
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Beobachtung: $\pm a \le |a| \implies a + b \le |a| + |b|
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\implies -(a+b) \le |a| + |b|$
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\end{proof}
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Es folgt aus den Eigenschaften:
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\begin{itemize}
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\item $|a-b| = 0 \implies a = b$
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\item $|-a| = |a|$
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\item $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}, b \neq 0$
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\item $| |a| - |b| | \le |a - b| $
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(folgt aus: $|a| = |a-b+b| \le |a-b| + |b|$ und
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$|b| = |b - a + a| \le |b-a| + |a|$)
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\end{itemize}
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\begin{satz}[Dezimalbruchdarstellung]
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Jede rationale Zahl $a$ besitzt eine endliche
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oder periodische Dezimalbruchdarstellung der Form:
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\[
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a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s): \iff
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a = \pm \left(a_0 + \sum_{k=1}^{s} ds \cdot 10^{-k}\right)
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.\] bzw.
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\[
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a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s \overline{d_{s+1} \ldots d_{s+t}})
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.\]
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$a_0 \in N_0, d_1\ldots d_s \in \{0, 1, \ldots ,9\}$ Ziffern
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Umgekehrt stellt jede Dezimalbruchzerlegung dieser Art eine rationale
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Zahl dar.\\
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Hier: bei periodischen Dezimalbrüchen ist die Periode $\overline{9}$
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nicht zugelassen:
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\[
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a_0,d_1\ldots d_{k-1} d_k \overline{9}
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:= a_0 + 0,d_1\ldots d_k (d_k+1), d_k < 9
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.\]
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Siehe Lehrbuch
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\end{proof}
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\section{Die Reellen Zahlen}
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\subsection{Von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen}
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\begin{lemma}[Irrationalität der Quadratwurzel]
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Die quadratische Gleichung $x^2 = 2$ besitzt keine rationale
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Lösung.
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\end{lemma}
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\begin{proof}[Beweis durch Widerspruch]
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Angenommen: Es existiert eine rationale Lösung
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\[
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x := \sqrt{2} = \frac{r}{s}
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.\] mit Zahlen $r \in \Z$ und $s \in \N$.
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O.B.d.A. (Ohne Beschränkung der Allgemeinheit) nehmen wir
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an, dass $r$ und $s$ teilerfremd sind.
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Dann gilt: $r \neq 0$ und $r^2 = 2s^2$ und $\frac{1}{2}r^2 = s^2$.
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Also muss $r^2$ und auch $r$ gerade sein, denn $(2n+1)^2 = 4n^2+ 4n +1$
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ungerade (Kontraposition).
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Damit sind auch $\frac{1}{2}r^2$ gerade und $s^2$ gerade.
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Aber wegen Teilerfremdheit können $r^2$ und $s^2$ nicht beide
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durch zwei teilbar sein. $\implies$ Widerspruch zur Annahme
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\end{proof}
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\begin{bem}
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Allgemeiner: ,,quadratische'' Gleichung
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\[
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a+bx +c x^2 = 0
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.\] ist nicht für beliebig gewählte $a, b, c \in \Q$ durch
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ein $x \in \Q$ lösbar.
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\end{bem}
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\begin{bem}[Beweisarten]
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Direkter Beweeis:
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\[
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E \implies E_1 \implies E_2 \implies \ldots \implies E_k \implies V
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.\] Indirekter Beweis: Zeigen $E$ und $\neg V$ immer
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falsch. Da $E$ immer wahr ist, muss $\neg V$ falsch sein.
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Da $\neg V$ falsch ist, dann ist $V$ wahr.
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\end{bem}
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\textbf{Ziel}: Konstruiere rationale Zahlen, welche die
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Gleichung $x^2 = 2$ mit zunehmender Genauigkeit erfüllen,
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z.B. rekursiv durch Einschließung mit Hilfe von Dezimalbrüchen.
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Wir nutzen die Eigenschaft: $a, b > 0$ und $a^2 < b^2 \implies a < b$, folgt
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aus:
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\[
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b^2 - a^2 = (b-a)(b+a), (b+a > 0)
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.\]
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Start: $a_1 := 1,4$, $b_1 := 1,5$ mit
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$a_1 < b_1, a_1^2 = 1,96 < 2 < 2,25 = b_1^2$
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2 Fälle:
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Fall a) Es liege für ein $n \in \N$ eine Einschließung vor:
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\[
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a_n = 1,d_1d_2, \ldots d_{n-1}d_n < b_n = 1,d_1d_2\ldots d_{n-1}(d_{n+1})
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.\]
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\[
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a_n^2 < 2 < b_n^2
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.\] $d_k \in \{0,1, \ldots, 9\}, k=1 \ldots n-1, dn \le 8 $
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Die nächste Einschließung ist
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\[
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a_{n+1} := 1,d_1\ldots d_n, d_{n+1}, d_{n+1} \in \{0,1,\ldots_,9\}
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||||
.\] $a_{n+1}$ möglichst groß aber $a_{n+1}^2 < 2$.
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und
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\[
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b_{n+1} := \begin{cases}
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1,d_1, \ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le 8 \\
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||||
1,d_1, \ldots (d_n + 1) 0 & für d_{n+1} = 9 \\
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\end{cases}
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.\] Nach Konstruktion:
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\[
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a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n
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.\]
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\[
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a_{n+1}^2 < 2 < b_{n+1}^2
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.\]
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Fall b) Für ein $n \in \N$ liegt eine Einschließung vor
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\[
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a_1 = 1, d_1\ldots d_{n-1} d_{n} < b_{n} = 1, d_1 d_2 \ldots d_{n-1} (d_n + 1) 0 \ldots 0
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.\]
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\[
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a_n^2 < 2 < b_n^2 \text{ mit } d_k \in \{0, 1, \ldots ,9\}, k=1, n = 1
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.\]
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\[
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||||
d_n \le 8, d_{n+1} = \ldots = d_n = 9
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.\]
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Die nächste Einschließung
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\[
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a_{n+1} := 1,d_1 \ldots d_{n}, d_{n+1}, d_{n+1} \in {0, 1, \ldots, 9}
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||||
.\] $a_{n+1}$ möglichst groß, aber $a_{n+1}^2 < 2$.
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\[
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||||
b_{n+1} = \begin{cases}
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1,d_1\ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le 8 \\
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||||
1,d_1\ldots d_{m-1}(d_m + 1) 0 \ldots 0 & \text{für } d_{n+1} = 9
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\end{cases}
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.\] Der Fall b) kann nur endlich oft hintereinander auftreten, dann wäre
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$a_n = b_n$ ab einem gewissen n und folglich $a_n ^2 = 2$
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Nach Konstruktion:
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\[
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a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n
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.\]
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\[
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a_{n+1}^2 < 2 < b_{n+1}^2
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.\] Wir erhalten 2 Folgen $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in N}$ mit
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den Eigenschaften
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\[
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1,4 = a_1 \le \ldots \le a_n \le a_{n+1} < b_{n+1} \le b_n \le \ldots b_1 = 1,5
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.\] Konkret: $a_1 = 1,4$, $a_2 = 1,41$, $a_3 = 1,414$
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$b_1 = 1,5$, $b_2 = 1,42$, $b_3 = 1,415$
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Abstand $b_n - a_n \le 10^{-n}$, $n \in \N$ wird immer kleiner
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$\implies$ wir sollen die Zahl $\sqrt{2}$ eventuell erfassen!
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\begin{definition}[Zahlenfolge]
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Eine Menge $(a_n)_{n \in \N}$ nummerierter rationaler Zahlen wird
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,,Folge'' genannt.
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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$a_n = 1 + \frac{1}{n}$
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$a_1 = 2$, $a_2 = \frac{3}{2}$, $a_3 = \frac{5}{4}$
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\end{bsp}
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Offenbar, $1 + \frac{1}{n} \to 1, n \to \infty$
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bzw.
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\[
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\lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n}) = 1
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.\] d.h. Folge konvergiert gegen 1
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\begin{definition}[Konvergenz]
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Eine Folge $(a_n)_{n \in \N}$ heißt konvergent, gegen einen ,,Limes''
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a, wenn gilt:
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\[
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|a_n - a| \to 0, n \to \infty
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.\] Falls $|a_n|$, $n \to \infty$ heißt $(a_n)_{n \in \N}$
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strikt divergent.
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Präziser (Cauchy)
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Eine Folge $(a_n)_{n \in N}$ ist ,,konvergent'' gegen einen
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Grenzwert a, wenn:
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\[
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\forall \epsilon > 0: \exists n := n(\epsilon) = n_{\epsilon}
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.\] sodass
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\[
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|a_n - a| < \epsilon \text{ für } n \ge n_{\epsilon}
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.\]
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\end{definition}
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\end{document}
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