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\documentclass{lecture}
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\begin{document}
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\section{Grundlagen}
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\subsection{Abbildungen}
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Die Gesamtheit aller Abbildungen einer Menge $M$ in eine Menge $N$ ist wieder eine Menge und wird mit $Abb(M, N)$ bezeichnet.
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\begin{definition}[]
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Seien $M$, $N$, $K$ Mengen
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und $f: M \to N$, $g: N \to K$. Die Abb $g \circ f: M \to K, m \mapsto g(f(m))$
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heißt die Komposition von f und g. Die Komposition kann man auch als
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Mengenabbildung auffassen:
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\[
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\circ: Abb(M, N) \times Abb(N, K) \to Abb(M, K)
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\]
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\[
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(f, g) \mapsto g \circ f
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.\]
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\end{definition}
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\begin{lemma}[]
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Seien $I$ und $M$ Mengen und es sei: $(M_{i})_{i \in I}$ die
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Familie von (immergleichen) Mengen $M_{i} = M$ indiziert
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über $i \in I$. Dann existiert eine natürliche Bijektion
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\[
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\Phi: Abb(I, M) \to^{\thicksim} \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I} (= M^I)
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.\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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rechts: Tupel $(m_{i})_{i \in I}, m_{i} \in M_{i} = M$
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links: Abbildung $f: I \to M$.
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Eine solche Abbildung ist dadurch gegeben, dass man jedem $i \in I$
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ein $m_{i} = f(i) \in M$ zuordnet. Wir definieren $\Phi$ durch die
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Zuordnung:
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\[
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\Phi: f \in Abb(I, M) \mapsto (f(i))_{i \in I} \in \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I}
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.\]
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Da die Abb. $f$ durch ihre Werte $f(i) \in M, i \in I$, gegeben ist,
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ist $\Phi$ injektiv.
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Ist umgekehrt $(m_{i}) \in \prod M_{i}$ gegeben, so ist die Abbildung
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$f: I \to M, i \mapsto m_{i} \in M$ ein Urbild unter $\Phi$. Daher
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ist $\Phi$ surjektiv.
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\end{proof}
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\section{Gruppen, Ringe, Körper}
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\subsection{Gruppen}
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\begin{definition}[Verknüpfung]
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Eine (binäre) Verknüpfung auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung:
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\[
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*: M \times M \to M
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.\]
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\end{definition}
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\begin{definition}[Gruppe]
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Eine Gruppe $(G, *, e)$ ist eine Menge $G$ mit einer Verknüfung $*$ und
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einem (ausgezeichneten) Element $e \in G$, so dass:
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\begin{enumerate}
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\item $g*(h*k) = (g*h*)*k$ $\forall g,h,k \in G$ (Assoziativität)
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\item $e * g = g$ $\forall g \in G$ ((Links)neutrales Element)
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\item $\forall g \in G$: $\exists h \in G$: $h * g = e$ (Linksinverses)
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\end{enumerate}
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Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch wenn zusätzlich gilt:
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\begin{enumerate}
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\item $g * h = h * g$ $\forall g, h \in G$
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{bsp}[]
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\begin{enumerate}
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\item $(\Z, +, 0)$ ist abelsche Gruppe
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\item $(\Q, +, 0)$, $(\R, +, 0)$, $(\C, +, 0)$ sind abelsche Gruppen.
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||||
\item $(\Q \setminus{\{0\}}, \cdot, 1)$ ist eine abelsche Gruppe
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\item $(\R_{>0}, \cdot, 1)$ ist abelsche Gruppe
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\end{enumerate}
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\end{bsp}
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\begin{bem}[]
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Menge der Restklassen:
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\[
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\{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\} = \Z / n\Z
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.\]
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$(\Z / n\Z, +, \overline{0})$ ist eine abelsche Gruppe.
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Wie ist die Summe von Restklassen definiert?
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Seien $A, B \in \Z / n\Z$. Vorschrift für ,,+''.
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\begin{enumerate}
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\item Wähle ,,Vertreter'' $a,b \in \Z$ von $A,B$, d.h. $a \in A$,
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$b \in B$.
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\item bilde $a+b$ in $\Z$
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\item $A+B =^{def} \overline{a+b}$, d.h. die Restklasse zu der
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$a+b$ gehört.
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\end{enumerate}
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Damit diese Definition widerspruchsfrei ist (Sprich: ,,+''
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ist \textit{wohldefiniert}) muss man nachweisen, dass das Ergebnis nicht
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von der Auswahl im ersten Schritt abhängt.
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\end{bem}
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\begin{bsp}[]
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Die symmetrische Gruppe $O_{n}$
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\[
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O_{n} := \text{die Menge aller bijektiven Abb.}\\
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\pi: \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, n\}
|
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.\]
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(sogennante Permutationen)
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$* = \circ$ Komposition von Abbildungen\\
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$e = id_{\{1, \ldots, n\}}$\\
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Wir schreiben Permutationen in der Form:
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\[
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||||
\pi =
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & \ldots & n \\
|
||||
\pi(1) & \pi(2) & \pi(3) & \ldots & \pi(n)
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
.\]
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||||
Elementare Kombinationen: $n$ Möglichkeiten für $\pi(1)$, $(n-1)$
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Möglichkeiten, für $\pi(2)\ldots$, 1 Möglichkeit für $\pi(n)$.
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\[
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||||
\#O_{n} = n! \text{ (Fakultät)}
|
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.\]
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||||
Verifikation der Gruppenaxiome
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\begin{enumerate}
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\item $g*(h*k) = g \circ (h \circ k) = (g \circ h) \circ k = (g * h) * k$
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\item $e * g = id * g = g$
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\item Sei g eine Permutation und $h = g^{-1}$ die Umkehrabbildung.
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Dann gilt $h*g = g^{-1} \circ g = id = e$.
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\end{enumerate}
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Für $n \ge 3$ ist $\sigma_{n}$ nicht kommutativ.
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\[
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||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
|
||||
2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\circ
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
|
||||
1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
|
||||
2 & 3 & 1 & 4 & \ldots
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
.\]
|
||||
\[
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
|
||||
1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\circ
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
|
||||
2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
|
||||
3 & 1 & 2 & 4 & \ldots
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
.\]
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\end{bsp}
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\begin{satz}[]
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Sei $G = (G, *, e)$ eine Gruppe. Dann gilt für alle $g, h, k \in G$.
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\begin{enumerate}
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\item $g * h = g * k \implies h = k$ (Linkskürzung)
|
||||
\item $g * h = k * h \implies g = k$ (Rechtskürzung)
|
||||
\item $g * e = g$ (das (links)neutrale Element ist auch rechtsneutral)
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||||
\item aus $g*h=g$ oder $h*g=g$ für ein einziges $g\in G$, so folgt $h=e$
|
||||
\item $\forall g \in G$: existiert ein eindeutig bestimmtes Element
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||||
$g^{-1} \in G$ mit $g^{-1} * g = e = g * g^{-1}$.
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||||
\item Aus $h * g = e$ oder $g*h=e$ folgt $h=g^{-1}$.
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||||
\item $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$ $\forall g \in G$
|
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis 1]
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Sei $g * h = g * k$.
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Nach (G3) $\exists s \in G$, sodass $s * g = e$.
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Daher gilt $s*(g*h) = (s*g)*h = e*h = k$.\\
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Analog: $s*(g*k) = (s*g)*k = e*k = k$
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Daraus folgt: $h = k$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 3]
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Nach (G3) existiert $h\in G$ und $h*g=e$.
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Es folgt $h*(g*e)=(h*g)*e=e*e=e=h*g$\\
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Nach (1) folgt $g*e=g$
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 5, Existenz]
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Sei $h\in G$ mit $h*g = e$ (ex. nach G3)
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$h*(g*h) = (h*g)*h = e * h = h = h * e$\\
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Durch Linkskürzung erhalten wir $g * h = e$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 2]
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Sei $g*k=h*k$. Sei $s \in G$ so dass $k*s=e$ (existenz nach 5).
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$\implies (g*k)*s = g*(k*s) = g*e = g$, analog\\
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$\implies (h*k) * s = h*(k*s) = h*e = h$\\
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Daraus folgt $g = h$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 4]
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$g * h = g = g * e \implies h = e$, analog\\
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$h*g = g = e*g \implies h=e$
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 5 Eindeutigkeit und 6]
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Seien $h, h' \in G$ mit $h*g=e=h'*g$ Nach Rechtskürzung folgt
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$h = h'$. Daher ist $g^{-1} eindeutig$. Sei $h \in G$ mit
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$g * h = e$. Wegen $g^{-1}*g = e$ folgt mit Linkskürzung, dass $h = g^{-1}$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 7]
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||||
aus $g * g^{-1} = e$ folgt $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$
|
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\end{proof}
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\begin{bem}[]
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||||
$g, h \in G$, so gilt $(g * h)^{-1} = h^{-1} * g^{-1}$\\
|
||||
Grund: $(h^{-1} * g^{-1}) * (g *h) = h^{-1} * (g*g^{-1}) * h = h^{-1}* e * h = h * h^{-1} = e.$
|
||||
\end{bem}
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\end{document}
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Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,259 @@
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\documentclass{lecture}
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\begin{document}
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\section{Gruppen, Ringe, Körper}
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\subsection{Ringe}
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\begin{definition}[Ring]
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||||
Ein Ring $R = (R, +, \cdot, O_{R})$ ist eine Menge $R$ und zwei
|
||||
Verknüpfungen $+, \cdot: R \times R \to R$ und einem
|
||||
Element $O_{R} \in R$ so dass:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $(R, +, O_{R})$ ist eine abelsche Gruppe
|
||||
\item $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ $\forall a,b,c \in R$
|
||||
\item $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$, $(a + b) \cdot c = ac + bc$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Ein unitärer Ring (,,Ring mit 1'') ist ein Tupel
|
||||
$(R, +, \cdot, 0_{R}, 1_{R})$, so dass $(R, +, \cdot, 0_{R})$ ein
|
||||
Ring ist und $1_R \in R$, so dass gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $1_{R} \cdot a = a = a \cdot 1_{R}$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
|
||||
Ein Ring heißt kommutativ, wenn
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $a \cdot b = b \cdot a$ $\forall a, b \in R$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bem}[Notation]
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||||
Das inverse Element von $a \in R$ bezüglich $+$ bezeichnet man mit
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$-a$. Ein Inverses bezüglich $\cdot$ existiert i.A. nicht.
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||||
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||||
Die Eins in einem unitären Ring ist eindeutig bestimmt.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
$(\Z, +, \cdot, 0, 1)$ ist ein kommutativer Ring mit 1
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[$\Z / n\Z$]
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||||
ist ein kommutativer Ring mit 1. Multiplikationsvorschrift ist die
|
||||
folgende: Für $A, B \in \Z / n\Z$
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item Wähle Vertreter $a, b \in \Z$ von $A$ und $B$.
|
||||
\item bilde $a \cdot b$ in $\Z$
|
||||
\item $A \cdot B :=$ Restklasse von $a \cdot b$
|
||||
\end{enumerate}
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||||
Nachzuweisen: Unabhängigkeit der Definition von der Auswahl der Vertreter
|
||||
im ersten Schritt.
|
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\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}[Die Menge der geraden ganzen Zahlen]
|
||||
ist ein kommutativer Ring ohne 1.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
$R = (R, +, \cdot, 0_{R})$ Ring. Dann gilt
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $0_{R} \cdot a = 0_R = a \cdot 0_R$
|
||||
\item $a \cdot (-b) = - ab = (-a) \cdot b$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
Ist R unitär, so gilt:
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $-b = (-1_{R}) \cdot b$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis 1]
|
||||
\[
|
||||
0_{R} \cdot a + 0_{R} = 0_{R} = 0_{R} a = (0_R + 0_R)a = 0_R a + 0_R a
|
||||
.\]
|
||||
Mit kürzen folgt: $0_R = 0_R a$
|
||||
Analog für $a \cdot 0_R = 0_R$
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis 2]
|
||||
\[
|
||||
0_R = a 0_R = a \left((-b) + b\right) = a(-b) + a b
|
||||
\] also $a(-b) = -ab$.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[Beweis 3]
|
||||
Ist R unitär, so setzt man in 2 $a = 1_{R}$ ein und erhält 3.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
$R = \{0\} $ mit den einzig möglichen Verknüpfungen $+$ und $\cdot$
|
||||
heißt der \textit{Nullring}.
|
||||
Nullring ist ein kommutativer Ring mit 1 ($0_R = 0 = 1_R$).
|
||||
Dies ist der einzige Ring mit $1_R = 0_R$.
|
||||
|
||||
Begründung: Gelte $0_R = 1_R$, so folgt für jedes $r \in R$:
|
||||
\[
|
||||
r = r \cdot 1_R = r \cdot 0_R = 0_R
|
||||
.\] Egal welches Element herausgenommen wird, es ist immer $0_R$, d.h.
|
||||
$R$ muss ein Nullring sein.
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Sei $R = (R, +, \cdot, 0_R, 1_R)$ ein unitärer Ring und
|
||||
$R^{\times } \subset R$ die Menge der Elemente die ein Links- und
|
||||
ein Rechtsinverses bezüglich $\cdot$ haben, das heißt
|
||||
\[
|
||||
R^{\times } = \{r \in R \mid \exists s, t \in R : s r = 1_R = r t\}
|
||||
.\]
|
||||
Dann ist $(R^{x}, \cdot, 1_R)$ eine Gruppe.
|
||||
Man nennt $R^{x}$ die Einheitengruppe von $R$.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Seien $r, \overline{r} \in R^{\times }$ und $s, \overline{s}, t, \overline{t}$
|
||||
mit
|
||||
\[
|
||||
s r = 1 = r t
|
||||
.\] und
|
||||
\[
|
||||
\overline{s} \overline{r} = 1 = \overline{r} \overline{t}
|
||||
.\] Dann
|
||||
\[
|
||||
(s' s)(r r') = s'(s r) r' = s'1r' = s'r' = 1
|
||||
.\]
|
||||
\[
|
||||
(r r') (t' t) = r (r' t') t = r 1 t = r t = 1
|
||||
.\] $\implies r \cdot r' \in R^{\times }$
|
||||
|
||||
Wir überprüfen die Gruppenaxiome: G1 folgt aus R2
|
||||
|
||||
$1 \in R$ ist neutral $\to$ G2
|
||||
|
||||
Bleibt zu zeigen: $\forall r \in R^{\times }: \exists r' \in R: r r' = 1$
|
||||
Nach Definition: $\exists s \in R: s r = 1$. Zu zeigen: $s \in R^{\times }$.
|
||||
Offenbar hat das Rechtsinverse $r$. Aber $r$ ist auch linksinvers zu $s$:
|
||||
|
||||
Wähle $t \in R$ mit $r t = 1$. Dann gilt $s = s (r t) = (s r) t = t$
|
||||
$\implies$ rs = rt = 1.
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{bem}
|
||||
$0_R \in R^{\times } \implies \exists r \in R: 0_R r = 1_R \implies 0_R = 1_R \implies$ $R$ ist der Nullring.
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\begin{definition}[Körper]
|
||||
Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring mit 1: $(K, +, 0_K, 1_K)$
|
||||
mit $K^{\times } = K \ \{0_K\}$
|
||||
\end{definition}
|
||||
|
||||
\begin{bsp}
|
||||
\begin{enumerate}
|
||||
\item $\Q, \R, \C$ sind Körper
|
||||
\item $\Z$ ist kein Körper ($\Z^{\times } = \{+1, -1\} $)
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bsp}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}[]
|
||||
In einem Körper $K$ gilt, dass
|
||||
\[
|
||||
a b = 0_K \implies a = 0 \wedge b = 0
|
||||
.\]
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}
|
||||
Angenommen $a \neq 0_K$: Dann existiert $a^{-1} \in K$ mit
|
||||
$a^{-1} a = 1_K$. Es folgt
|
||||
\[
|
||||
b = 1_K b = a^{-1} a b = a^{-1} 0_K = 0_K
|
||||
.\]
|
||||
\end{proof}
|
||||
|
||||
\begin{lemma}
|
||||
Ist $p$ eine Primzahl, so ist $\Z / p\Z$ ein Körper.
|
||||
\end{lemma}
|
||||
|
||||
\begin{proof}[]
|
||||
$\Z / p \Z$ ist kommutativer Ring mit 1 (siehe oben).
|
||||
|
||||
Zu zeigen: $\forall A \in \Z / p\Z, A \neq \overline{0}$ ist
|
||||
die $\overline{1}$ im Bild der Abbildung:
|
||||
\[
|
||||
A\cdot : \Z / p \Z \to \Z / p \Z, B \mapsto A \cdot B
|
||||
.\]
|
||||
Wir zeigen sogar, dass $A \cdot$ surjektiv ist.
|
||||
Da $\Z / p \Z$ endlich ist, genügt es z.z., dass $A \cdot$ injektiv ist.
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Angenommen es gäbe Restklassen $B, C \in \Z / p \Z$ mit
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\[
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A \cdot B = A \cdot C
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.\] Seien $a, b, c \in \Z$ Vertreter.
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Wegen $A \neq \overline{0}$ gilt $a$ nicht durch $p$ teilbar.
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Wegen $AB = AC$ gilt $ab =- ac$ mod $p \implies p$ teilt $a (b -c)$.
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Weil $p$ eine Primzahl ist und $p$ teilt nicht $a$ folgt
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$p / (b -c)$, also $b =- c$ mod $p \implies B = C$
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\end{proof}
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\begin{bem}
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Ist $n \in N$ keine Primzahl, so ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
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\end{bem}
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\begin{proof}
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Für $n=1$ ist $\Z / n\Z$ der Nullring (kein Körper).
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Nun sei $n > 1$ keine Primzahl
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$\implies \exists a, b \in \N, 1 < a, b < n$ mit $a b = n$ Für die
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Restklassen bedeutet dies: $\overline{a} \neq \overline{0}$,
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$\overline{b} \neq \overline{0}$ aber
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$\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b} = \overline{n} = \overline{0}$. Wir erhalten Widerspruch zu Lemma 1.15. Also
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ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
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\end{proof}
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\begin{definition}[Charakteristik]
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Sei $K$ Köper. Die kleinste natürliche Zahl $n$ mit n mal
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$1_K + \ldots + 1_K = 0_K$ (in $K$) heißt die
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Charakteristik von K.
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Notation: char(K).
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Gibt es eine solche Zahl $n$ nicht, dann setzt man char(K) = 0.
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\end{definition}
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\begin{bem}
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\begin{enumerate}
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\item char(K) $=0$ oder char(K) $\ge 2$ (wegen $0_K \neq 1_K$).
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\item \Q, \R, \C haben Charakteristik Null.
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\item \Z / p \Z hat die Charakteristik p.
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\end{enumerate}
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\end{bem}
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\begin{satz}
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char(K) ist entweder 0 oder Primzahl.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei char(K) $\neq 0$, also char(K) $= n \ge 2$.
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Wäre $n$ keine Primzahl, so existieren $a, b \in \N, 1 < a ,b < n$
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mit $ab = n$. Dann gilt:
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\[
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(1_K + \ldots + 1_K) \cdot (1_K + \ldots + 1_K)
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= (1_K + \ldots + 1_K) = 0
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||||
.\] Aus dem Satz vom Nullprodukt folgt $(1_K + \ldots + 1_K)$ = $0_K$
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oder $(1_K + \ldots + 1_K) = 0_K$
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Das Widerspricht der Minimalität von n.
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\end{proof}
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\subsection{Homomorphismen}
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\begin{definition}
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Seien $(G, *_G, e_G)$ und $(H, *_H, e_H)$ Gruppen.
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Eine Abbildung $f: G \to H$ heißt Gruppenhomomorphismus wenn für alle
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$g, g' \in G$ gilt:
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\[
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||||
f(g *_G g') = f(g) *_H f(g')
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.\]
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||||
\end{definition}
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\end{document}
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||||
Binary file not shown.
@@ -0,0 +1,215 @@
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||||
\documentclass{lecture}
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\begin{document}
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\begin{aufgabe}
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\end{aufgabe}
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Sei $G = (G, \cdot, e)$ eine Gruppe. Auf der Potenzmenge $P(G)$ betrachten
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wir die Abbildung
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\[
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(A,B) \to A * B = \{a \cdot b \mid (a, b) \in A \times B\}
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.\]
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Verknüpfung $*$ ist assoziativ:
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\begin{proof}
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\begin{align*}
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(A * B) * C &= \{a \cdot b \mid (a, b) \in A \times B\} * C \\
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&= \{(a \cdot b) \cdot c \mid ((a, b), c) \in (A \times B) \times C\} \\
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||||
&= \{a \cdot (b \cdot c) \mid (a, (b, c)) \in A \times (B \times C)\} \\
|
||||
&= A * \{b \cdot c \mid (b, c) \in B \times C\} \\
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&= A * (B * C)
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.\end{align*}
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\end{proof}
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Existenz (links- und rechts-) neutrales Element $E$.
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\begin{proof}
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Sei $E$ := $\{e\}$ mit $e \in G$ neutrales Element der Gruppe $G$. Dann
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sei $A \in P(G)$ beliebig:
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\begin{align*}
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E * A &= \{e \cdot a | (e, a) \in E \times A\} \\
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||||
&= \{ a | (e, a) \in \{e\} \times A\} \\
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||||
&= A
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||||
.\end{align*}
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||||
Da $e$ neutrales Element von $G$ auch rechtsneutral, folgt analog, dass
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$E$ auch rechtsneutral ist.
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\end{proof}
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Eindeutigkeit
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\begin{proof}
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Seien $E$ und $\overline{E}$ neutrale Elemente, so folgt:
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\begin{align*}
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\overline{E} = \overline{E} * E = E
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.\end{align*}
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\end{proof}
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Wann gibt es inverse Elemente?
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Zu ein-elementigen Mengen $A := \{a\} \in P(G), a \in G$ existieren inverse
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Elemente $A^{-1} := \{a^{-1}\} \in P(G), a^{-1} \in G$.
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\begin{align*}
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A * A^{-1} &= \{a * a^{-1} \mid (a, a^{-1}) \in \{(a, a^{-1})\} \} \\
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&= \{e\} \\
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&= E
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||||
.\end{align*}
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||||
Für leere Mengen oder Mengen mit mehr als einem Element existieren keine
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inversen Elemente.
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\begin{proof}
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Leere Mengen mit $*$ verknüpft sind immer leer und ergeben, damit niemals
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$E$.
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Falls $\#A > 1$: Angenommen $\overline{A}$ erfülle die Eigenschaft, so
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folgt:
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\begin{align*}
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A * \overline{A} &= \{ a \cdot \overline{a} \mid (a, \overline{a}) \in A \times \overline{A}\} \\
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||||
&= \{ e = a \cdot \overline{a} \mid (a, \overline{a}) \in A \times \overline{A} \}
|
||||
.\end{align*}
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||||
Das heißt es existieren mehrere inverse Elemente zu dem selben $a \in G$,
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was ein Widerspruch zur Eindeutigkeit der inversen Elemente ist.
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\end{proof}
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Es existiert keine Menge $G$, sodass die $P(G)$ nur aus ein-elementigen Mengen
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besteht, da in jeder $P(G)$ die leere Menge liegt, die kein Inverses hat.
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\begin{aufgabe}
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Es seien $A$, $B$ und $C$ Mengen und $f: A \to B$, $g: B \to C$
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Abbildungen zwischen ihnen.
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\end{aufgabe}
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\textbf{a)}
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\begin{proof}
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Zu zeigen: $g \circ f$ injektiv $\implies$ $f$ injektiv
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Angenommen: $f$ nicht injektiv. Dann existieren
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$a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2$, s.d.
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$f(a_1) = f(a_2)$.
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||||
$\implies g(a_1) = g(a_2)$. Widerspruch zu $g \circ f$ injektiv.
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\end{proof}
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\textbf{b)}
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\begin{proof}
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Zu zeigen: $g \circ f$ surjektiv $\implies$ $g$ surjektiv
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Angenommen: $g$ nicht surjektiv. Dann existiert ein $c \in C$ mit
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$g^{-1}(c) = \emptyset$. Damit $(g \circ f)^{-1}(c) = \emptyset$.
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||||
Widerspruch zu $g \circ f$ surjektiv.
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\end{proof}
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\textbf{c)}
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\begin{proof}
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||||
Zu zeigen: Sind $f$ und $g$ bijektiv, so ist auch $g \circ f$ bijektiv
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||||
Sei $c \in C$ beliebig, so gilt wegen $g$ bijektiv:
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||||
$g^{-1}(\{c\}) = \{b\}, b \in B$. Wegen $f$ bijektiv gilt, dann dass
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$f^{-1}(\{b\}) = f^{-1}(g^{-1}(c)) = \{a\}, a \in A$. Damit ist
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$f \circ g$ bijektiv.
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||||
Zu zeigen: Es gilt $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$
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($f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f)$ muss die Identitätsabbildung $id$
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ergeben, damit
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||||
$(g \circ f)^{-1}$ Umkehrabbildung von $(g \circ f)^{-1}$ ergibt.
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||||
\[
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||||
(f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f)
|
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= (f^{-1} \circ id \circ f^{-1})
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= id
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.\]
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||||
\end{proof}
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||||
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||||
\begin{aufgabe}
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\end{aufgabe}
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||||
\textbf{a)} $F_n$ ist weder injektiv noch surjektiv.
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Nicht injektiv: $0 \in \N_0$ und $1 \in \N_0$ bilden beide auf $a$ ab.
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Nicht surjektiv: Für $a = 0$ sind alle $f(n) = 0$ und damit ist $f^{-1}(1) = \emptyset$.
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||||
\textbf{b)} $f_n^{2} = f_{n-1}f_{n+1}+(-1)^{n} \cdot a^2$ $\forall n \in \N$
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\begin{proof}[Beweis durch vollständige Induktion]
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Induktionsanfang: Für $n=1$ und für $n=2$:
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\begin{align*}
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&f(1)^2 = a^2 = a \cdot 2 a - a^2 = f(0)f(2) + (-1)^1 \cdot a^2 \\
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||||
&f(2)^2 = 4a^2 = a \cdot 3 a + a^2 = f(1)f(3) + (-1)^2 \cdot a^2 \\
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||||
.\end{align*}
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||||
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||||
Induktionsvorraussetzung: Es existiere ein festes aber beliebiges
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||||
$n \in \N$ mit
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\[
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||||
f(n)^2 = f(n-1) f(n+1)+(-1)^{n} \cdot a^2
|
||||
.\]
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||||
Induktionsschritt $n \to n+2$:
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||||
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||||
Zu zeigen:
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||||
\[
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||||
f(n+2)^2 = f(n+1) f(n+3) + (-1)^{n+2} \cdot a^2
|
||||
.\]
|
||||
\begin{align*}
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||||
f(n+2)^2 &= \left( f(n+1) + f(n) \right)^2\\
|
||||
&= f(n+1)^2 + 2f(n+1)f(n) + f(n)^2 \\
|
||||
&= f(n+1)^2 + 2f(n+1)f(n) + f(n-1)f(n+1) + (-1)^{n}\cdot a^2\\
|
||||
&= f(n+1) \left[ f(n+1) + 2f(n)+f(n-1)\right] + (-1)^{n+2} \cdot a^2 \\
|
||||
&= f(n+1) f(n+3) + (-1)^{n+2} \cdot a^2
|
||||
.\end{align*}
|
||||
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||||
Von den zwei Induktionsanfängen ausgehend, ergibt sich die Behauptung
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für alle $n \in N$.
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\end{proof}
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\begin{aufgabe}
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Sei $f: X \to Y$ Abbildung. Wir definieren die Relation
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\[
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R = \{(x_1, x_2) \in X \times X \mid f(x_1) = f(x_2)\}
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.\]
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||||
\end{aufgabe}
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\textbf{a)} $R$ ist Äquivalenzrelation auf $X$.
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\begin{enumerate}
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\item Reflexivität: Sei $a \in X$. Dann ist $a \thicksim a$,
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da $f(a) = f(a)$.
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||||
\item Symmetrie: Seien $a, b \in X$ und $a \thicksim b$.\\
|
||||
$\implies f(a) = f(b) \implies f(b) = f(a) \implies b \thicksim a$
|
||||
\item Transitivität: Seien $a, b, c \in X$ und $a \thicksim b$ und
|
||||
$b \thicksim c$.\\
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||||
$\implies f(a) = f(b) \land f(b) = f(c) \implies f(a) = f(c) \implies a \thicksim c$
|
||||
\end{enumerate}
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||||
\textbf{b)}
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||||
Die Abbildung $\overline{f}: X / R \to im(f)$ wird definiert als
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\[
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\overline{f} := A \mapsto f(a), a \in A
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.\]
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Zu zeigen: $\overline{f}$ ist bijektiv.
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Injektivität: Seien $A,B \in X / R$. Entweder $A = B$, daraus folgt, dass
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$\overline{f}(A) = \overline{f}(B)$. oder
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$A \neq B \implies A \cap B = \emptyset$, daraus folgt, dass
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||||
$\overline{f}(A) \neq \overline{f}(B)$.
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Surjektivität: Sei $y$ in $im(f)$, so existiert ein $x \in X$ mit $f(x) = y$.
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Dieses x liegt in einer Äquivalenzklasse aus $X/R$.
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Damit $\overline{f}^{-1}(y) \neq \emptyset$.
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Aus Injektivität und Surjektivität folgt, dass $\overline{f}$ bijektiv ist.
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||||
Eindeutigkeit: Die Abbildung $\overline{f}$ ist eindeutig bestimmt, durch
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den Zusammenhang
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\[
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||||
\overline{f} \circ p = f
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||||
.\] Da $p$ einem $x$ immer eindeutig genau eine Äquivalenzklasse zuordnet,
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||||
nämlich, die jenige Teilmenge $A \in X / R$, deren Elemente alle auf das
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selbe $f(x)$ abbilden, muss $\overline{f}$ stets genau der Äquivalenzklasse
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$[x]$ ihr gemeinsames Bild $f(x)$ zuordnen, damit die Gleichheit $\overline{f}
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||||
\circ p = f$ erfüllt ist.
|
||||
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||||
\end{document}
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