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\documentclass{lecture}
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\begin{document}
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\section{Grundlagen}
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\subsection{Abbildungen}
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Die Gesamtheit aller Abbildungen einer Menge $M$ in eine Menge $N$ ist wieder eine Menge und wird mit $Abb(M, N)$ bezeichnet.
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\begin{definition}[]
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Seien $M$, $N$, $K$ Mengen
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und $f: M \to N$, $g: N \to K$. Die Abb $g \circ f: M \to K, m \mapsto g(f(m))$
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heißt die Komposition von f und g. Die Komposition kann man auch als
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Mengenabbildung auffassen:
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\[
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\circ: Abb(M, N) \times Abb(N, K) \to Abb(M, K)
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\]
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\[
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(f, g) \mapsto g \circ f
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.\]
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\end{definition}
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\begin{lemma}[]
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Seien $I$ und $M$ Mengen und es sei: $(M_{i})_{i \in I}$ die
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Familie von (immergleichen) Mengen $M_{i} = M$ indiziert
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über $i \in I$. Dann existiert eine natürliche Bijektion
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\[
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\Phi: Abb(I, M) \to^{\thicksim} \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I} (= M^I)
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.\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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rechts: Tupel $(m_{i})_{i \in I}, m_{i} \in M_{i} = M$
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links: Abbildung $f: I \to M$.
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Eine solche Abbildung ist dadurch gegeben, dass man jedem $i \in I$
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ein $m_{i} = f(i) \in M$ zuordnet. Wir definieren $\Phi$ durch die
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Zuordnung:
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\[
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\Phi: f \in Abb(I, M) \mapsto (f(i))_{i \in I} \in \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I}
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.\]
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Da die Abb. $f$ durch ihre Werte $f(i) \in M, i \in I$, gegeben ist,
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ist $\Phi$ injektiv.
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Ist umgekehrt $(m_{i}) \in \prod M_{i}$ gegeben, so ist die Abbildung
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$f: I \to M, i \mapsto m_{i} \in M$ ein Urbild unter $\Phi$. Daher
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ist $\Phi$ surjektiv.
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\end{proof}
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\section{Gruppen, Ringe, Körper}
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\subsection{Gruppen}
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\begin{definition}[Verknüpfung]
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Eine (binäre) Verknüpfung auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung:
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\[
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*: M \times M \to M
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.\]
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\end{definition}
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\begin{definition}[Gruppe]
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Eine Gruppe $(G, *, e)$ ist eine Menge $G$ mit einer Verknüfung $*$ und
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einem (ausgezeichneten) Element $e \in G$, so dass:
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\begin{enumerate}
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\item $g*(h*k) = (g*h*)*k$ $\forall g,h,k \in G$ (Assoziativität)
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\item $e * g = g$ $\forall g \in G$ ((Links)neutrales Element)
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\item $\forall g \in G$: $\exists h \in G$: $h * g = e$ (Linksinverses)
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\end{enumerate}
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Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch wenn zusätzlich gilt:
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\begin{enumerate}
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\item $g * h = h * g$ $\forall g, h \in G$
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{bsp}[]
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\begin{enumerate}
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\item $(\Z, +, 0)$ ist abelsche Gruppe
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\item $(\Q, +, 0)$, $(\R, +, 0)$, $(\C, +, 0)$ sind abelsche Gruppen.
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\item $(\Q \setminus{\{0\}}, \cdot, 1)$ ist eine abelsche Gruppe
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\item $(\R_{>0}, \cdot, 1)$ ist abelsche Gruppe
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\end{enumerate}
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\end{bsp}
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\begin{bem}[]
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Menge der Restklassen:
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\[
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\{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\} = \Z / n\Z
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.\]
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$(\Z / n\Z, +, \overline{0})$ ist eine abelsche Gruppe.
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Wie ist die Summe von Restklassen definiert?
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Seien $A, B \in \Z / n\Z$. Vorschrift für ,,+''.
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\begin{enumerate}
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\item Wähle ,,Vertreter'' $a,b \in \Z$ von $A,B$, d.h. $a \in A$,
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$b \in B$.
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\item bilde $a+b$ in $\Z$
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\item $A+B =^{def} \overline{a+b}$, d.h. die Restklasse zu der
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$a+b$ gehört.
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\end{enumerate}
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Damit diese Definition widerspruchsfrei ist (Sprich: ,,+''
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ist \textit{wohldefiniert}) muss man nachweisen, dass das Ergebnis nicht
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von der Auswahl im ersten Schritt abhängt.
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\end{bem}
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\begin{bsp}[]
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Die symmetrische Gruppe $O_{n}$
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\[
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O_{n} := \text{die Menge aller bijektiven Abb.}\\
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\pi: \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, n\}
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.\]
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(sogennante Permutationen)
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$* = \circ$ Komposition von Abbildungen\\
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$e = id_{\{1, \ldots, n\}}$\\
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Wir schreiben Permutationen in der Form:
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\[
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\pi =
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\begin{pmatrix}
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1 & 2 & 3 & \ldots & n \\
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\pi(1) & \pi(2) & \pi(3) & \ldots & \pi(n)
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\end{pmatrix}
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.\]
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Elementare Kombinationen: $n$ Möglichkeiten für $\pi(1)$, $(n-1)$
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Möglichkeiten, für $\pi(2)\ldots$, 1 Möglichkeit für $\pi(n)$.
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\[
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\#O_{n} = n! \text{ (Fakultät)}
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.\]
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Verifikation der Gruppenaxiome
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\begin{enumerate}
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\item $g*(h*k) = g \circ (h \circ k) = (g \circ h) \circ k = (g * h) * k$
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\item $e * g = id * g = g$
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\item Sei g eine Permutation und $h = g^{-1}$ die Umkehrabbildung.
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Dann gilt $h*g = g^{-1} \circ g = id = e$.
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\end{enumerate}
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Für $n \ge 3$ ist $\sigma_{n}$ nicht kommutativ.
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\[
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\begin{pmatrix}
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1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
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||||
2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
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\end{pmatrix}
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\circ
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\begin{pmatrix}
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||||
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
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||||
1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
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||||
\end{pmatrix}
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||||
=
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\begin{pmatrix}
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||||
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
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||||
2 & 3 & 1 & 4 & \ldots
|
||||
\end{pmatrix}
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.\]
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||||
\[
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||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
|
||||
1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
\circ
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
|
||||
2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
|
||||
\end{pmatrix}
|
||||
=
|
||||
\begin{pmatrix}
|
||||
1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
|
||||
3 & 1 & 2 & 4 & \ldots
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||||
\end{pmatrix}
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.\]
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\end{bsp}
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\begin{satz}[]
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Sei $G = (G, *, e)$ eine Gruppe. Dann gilt für alle $g, h, k \in G$.
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\begin{enumerate}
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\item $g * h = g * k \implies h = k$ (Linkskürzung)
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\item $g * h = k * h \implies g = k$ (Rechtskürzung)
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\item $g * e = g$ (das (links)neutrale Element ist auch rechtsneutral)
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\item aus $g*h=g$ oder $h*g=g$ für ein einziges $g\in G$, so folgt $h=e$
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\item $\forall g \in G$: existiert ein eindeutig bestimmtes Element
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$g^{-1} \in G$ mit $g^{-1} * g = e = g * g^{-1}$.
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\item Aus $h * g = e$ oder $g*h=e$ folgt $h=g^{-1}$.
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\item $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$ $\forall g \in G$
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\end{enumerate}
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\end{satz}
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\begin{proof}[Beweis 1]
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Sei $g * h = g * k$.
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Nach (G3) $\exists s \in G$, sodass $s * g = e$.
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Daher gilt $s*(g*h) = (s*g)*h = e*h = k$.\\
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Analog: $s*(g*k) = (s*g)*k = e*k = k$
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Daraus folgt: $h = k$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 3]
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Nach (G3) existiert $h\in G$ und $h*g=e$.
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Es folgt $h*(g*e)=(h*g)*e=e*e=e=h*g$\\
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Nach (1) folgt $g*e=g$
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 5, Existenz]
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Sei $h\in G$ mit $h*g = e$ (ex. nach G3)
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$h*(g*h) = (h*g)*h = e * h = h = h * e$\\
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Durch Linkskürzung erhalten wir $g * h = e$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 2]
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Sei $g*k=h*k$. Sei $s \in G$ so dass $k*s=e$ (existenz nach 5).
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$\implies (g*k)*s = g*(k*s) = g*e = g$, analog\\
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$\implies (h*k) * s = h*(k*s) = h*e = h$\\
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Daraus folgt $g = h$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 4]
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$g * h = g = g * e \implies h = e$, analog\\
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$h*g = g = e*g \implies h=e$
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 5 Eindeutigkeit und 6]
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Seien $h, h' \in G$ mit $h*g=e=h'*g$ Nach Rechtskürzung folgt
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$h = h'$. Daher ist $g^{-1} eindeutig$. Sei $h \in G$ mit
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$g * h = e$. Wegen $g^{-1}*g = e$ folgt mit Linkskürzung, dass $h = g^{-1}$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 7]
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aus $g * g^{-1} = e$ folgt $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$
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\end{proof}
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\begin{bem}[]
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$g, h \in G$, so gilt $(g * h)^{-1} = h^{-1} * g^{-1}$\\
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Grund: $(h^{-1} * g^{-1}) * (g *h) = h^{-1} * (g*g^{-1}) * h = h^{-1}* e * h = h * h^{-1} = e.$
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\end{bem}
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\end{document}
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