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\documentclass{lecture}
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\begin{document}
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\section{Gruppen, Ringe, Körper}
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\subsection{Ringe}
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\begin{definition}[Ring]
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Ein Ring $R = (R, +, \cdot, O_{R})$ ist eine Menge $R$ und zwei
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Verknüpfungen $+, \cdot: R \times R \to R$ und einem
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Element $O_{R} \in R$ so dass:
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\begin{enumerate}
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\item $(R, +, O_{R})$ ist eine abelsche Gruppe
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\item $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ $\forall a,b,c \in R$
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\item $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$, $(a + b) \cdot c = ac + bc$
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\end{enumerate}
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Ein unitärer Ring (,,Ring mit 1'') ist ein Tupel
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$(R, +, \cdot, 0_{R}, 1_{R})$, so dass $(R, +, \cdot, 0_{R})$ ein
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Ring ist und $1_R \in R$, so dass gilt:
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\begin{enumerate}
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\item $1_{R} \cdot a = a = a \cdot 1_{R}$
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\end{enumerate}
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Ein Ring heißt kommutativ, wenn
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\begin{enumerate}
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\item $a \cdot b = b \cdot a$ $\forall a, b \in R$
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\end{enumerate}
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\end{definition}
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\begin{bem}[Notation]
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Das inverse Element von $a \in R$ bezüglich $+$ bezeichnet man mit
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$-a$. Ein Inverses bezüglich $\cdot$ existiert i.A. nicht.
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Die Eins in einem unitären Ring ist eindeutig bestimmt.
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\end{bem}
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\begin{bsp}
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$(\Z, +, \cdot, 0, 1)$ ist ein kommutativer Ring mit 1
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[$\Z / n\Z$]
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ist ein kommutativer Ring mit 1. Multiplikationsvorschrift ist die
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folgende: Für $A, B \in \Z / n\Z$
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\begin{enumerate}
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\item Wähle Vertreter $a, b \in \Z$ von $A$ und $B$.
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\item bilde $a \cdot b$ in $\Z$
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\item $A \cdot B :=$ Restklasse von $a \cdot b$
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\end{enumerate}
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Nachzuweisen: Unabhängigkeit der Definition von der Auswahl der Vertreter
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im ersten Schritt.
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\end{bsp}
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\begin{bsp}[Die Menge der geraden ganzen Zahlen]
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ist ein kommutativer Ring ohne 1.
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\end{bsp}
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\begin{lemma}
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$R = (R, +, \cdot, 0_{R})$ Ring. Dann gilt
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\begin{enumerate}
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\item $0_{R} \cdot a = 0_R = a \cdot 0_R$
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\item $a \cdot (-b) = - ab = (-a) \cdot b$
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\end{enumerate}
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Ist R unitär, so gilt:
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\begin{enumerate}
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\item $-b = (-1_{R}) \cdot b$
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\end{enumerate}
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\end{lemma}
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\begin{proof}[Beweis 1]
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\[
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0_{R} \cdot a + 0_{R} = 0_{R} = 0_{R} a = (0_R + 0_R)a = 0_R a + 0_R a
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.\]
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Mit kürzen folgt: $0_R = 0_R a$
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Analog für $a \cdot 0_R = 0_R$
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 2]
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\[
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0_R = a 0_R = a \left((-b) + b\right) = a(-b) + a b
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\] also $a(-b) = -ab$.
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\end{proof}
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\begin{proof}[Beweis 3]
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Ist R unitär, so setzt man in 2 $a = 1_{R}$ ein und erhält 3.
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\end{proof}
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\begin{bsp}
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$R = \{0\} $ mit den einzig möglichen Verknüpfungen $+$ und $\cdot$
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heißt der \textit{Nullring}.
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Nullring ist ein kommutativer Ring mit 1 ($0_R = 0 = 1_R$).
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Dies ist der einzige Ring mit $1_R = 0_R$.
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Begründung: Gelte $0_R = 1_R$, so folgt für jedes $r \in R$:
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\[
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r = r \cdot 1_R = r \cdot 0_R = 0_R
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.\] Egal welches Element herausgenommen wird, es ist immer $0_R$, d.h.
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$R$ muss ein Nullring sein.
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\end{bsp}
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\begin{lemma}
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Sei $R = (R, +, \cdot, 0_R, 1_R)$ ein unitärer Ring und
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$R^{\times } \subset R$ die Menge der Elemente die ein Links- und
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ein Rechtsinverses bezüglich $\cdot$ haben, das heißt
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\[
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R^{\times } = \{r \in R \mid \exists s, t \in R : s r = 1_R = r t\}
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.\]
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Dann ist $(R^{x}, \cdot, 1_R)$ eine Gruppe.
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Man nennt $R^{x}$ die Einheitengruppe von $R$.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Seien $r, \overline{r} \in R^{\times }$ und $s, \overline{s}, t, \overline{t}$
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mit
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\[
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s r = 1 = r t
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.\] und
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\[
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\overline{s} \overline{r} = 1 = \overline{r} \overline{t}
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.\] Dann
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\[
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(s' s)(r r') = s'(s r) r' = s'1r' = s'r' = 1
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.\]
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\[
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(r r') (t' t) = r (r' t') t = r 1 t = r t = 1
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.\] $\implies r \cdot r' \in R^{\times }$
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Wir überprüfen die Gruppenaxiome: G1 folgt aus R2
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$1 \in R$ ist neutral $\to$ G2
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Bleibt zu zeigen: $\forall r \in R^{\times }: \exists r' \in R: r r' = 1$
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Nach Definition: $\exists s \in R: s r = 1$. Zu zeigen: $s \in R^{\times }$.
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Offenbar hat das Rechtsinverse $r$. Aber $r$ ist auch linksinvers zu $s$:
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Wähle $t \in R$ mit $r t = 1$. Dann gilt $s = s (r t) = (s r) t = t$
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$\implies$ rs = rt = 1.
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\end{proof}
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\begin{bem}
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$0_R \in R^{\times } \implies \exists r \in R: 0_R r = 1_R \implies 0_R = 1_R \implies$ $R$ ist der Nullring.
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\end{bem}
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\begin{definition}[Körper]
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Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring mit 1: $(K, +, 0_K, 1_K)$
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mit $K^{\times } = K \ \{0_K\}$
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\end{definition}
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\begin{bsp}
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\begin{enumerate}
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\item $\Q, \R, \C$ sind Körper
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\item $\Z$ ist kein Körper ($\Z^{\times } = \{+1, -1\} $)
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\end{enumerate}
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\end{bsp}
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\begin{lemma}[]
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In einem Körper $K$ gilt, dass
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\[
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a b = 0_K \implies a = 0 \wedge b = 0
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.\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Angenommen $a \neq 0_K$: Dann existiert $a^{-1} \in K$ mit
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$a^{-1} a = 1_K$. Es folgt
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\[
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b = 1_K b = a^{-1} a b = a^{-1} 0_K = 0_K
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.\]
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\end{proof}
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\begin{lemma}
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Ist $p$ eine Primzahl, so ist $\Z / p\Z$ ein Körper.
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\end{lemma}
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\begin{proof}[]
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$\Z / p \Z$ ist kommutativer Ring mit 1 (siehe oben).
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Zu zeigen: $\forall A \in \Z / p\Z, A \neq \overline{0}$ ist
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die $\overline{1}$ im Bild der Abbildung:
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\[
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A\cdot : \Z / p \Z \to \Z / p \Z, B \mapsto A \cdot B
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.\]
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Wir zeigen sogar, dass $A \cdot$ surjektiv ist.
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Da $\Z / p \Z$ endlich ist, genügt es z.z., dass $A \cdot$ injektiv ist.
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Angenommen es gäbe Restklassen $B, C \in \Z / p \Z$ mit
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\[
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A \cdot B = A \cdot C
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.\] Seien $a, b, c \in \Z$ Vertreter.
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Wegen $A \neq \overline{0}$ gilt $a$ nicht durch $p$ teilbar.
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Wegen $AB = AC$ gilt $ab =- ac$ mod $p \implies p$ teilt $a (b -c)$.
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Weil $p$ eine Primzahl ist und $p$ teilt nicht $a$ folgt
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$p / (b -c)$, also $b =- c$ mod $p \implies B = C$
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\end{proof}
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\begin{bem}
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Ist $n \in N$ keine Primzahl, so ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
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\end{bem}
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\begin{proof}
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Für $n=1$ ist $\Z / n\Z$ der Nullring (kein Körper).
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Nun sei $n > 1$ keine Primzahl
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$\implies \exists a, b \in \N, 1 < a, b < n$ mit $a b = n$ Für die
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Restklassen bedeutet dies: $\overline{a} \neq \overline{0}$,
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$\overline{b} \neq \overline{0}$ aber
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$\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b} = \overline{n} = \overline{0}$. Wir erhalten Widerspruch zu Lemma 1.15. Also
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ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
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\end{proof}
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\begin{definition}[Charakteristik]
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Sei $K$ Köper. Die kleinste natürliche Zahl $n$ mit n mal
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$1_K + \ldots + 1_K = 0_K$ (in $K$) heißt die
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Charakteristik von K.
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Notation: char(K).
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Gibt es eine solche Zahl $n$ nicht, dann setzt man char(K) = 0.
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\end{definition}
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\begin{bem}
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\begin{enumerate}
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\item char(K) $=0$ oder char(K) $\ge 2$ (wegen $0_K \neq 1_K$).
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\item \Q, \R, \C haben Charakteristik Null.
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\item \Z / p \Z hat die Charakteristik p.
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\end{enumerate}
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\end{bem}
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\begin{satz}
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char(K) ist entweder 0 oder Primzahl.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Sei char(K) $\neq 0$, also char(K) $= n \ge 2$.
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Wäre $n$ keine Primzahl, so existieren $a, b \in \N, 1 < a ,b < n$
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mit $ab = n$. Dann gilt:
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\[
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(1_K + \ldots + 1_K) \cdot (1_K + \ldots + 1_K)
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= (1_K + \ldots + 1_K) = 0
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.\] Aus dem Satz vom Nullprodukt folgt $(1_K + \ldots + 1_K)$ = $0_K$
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oder $(1_K + \ldots + 1_K) = 0_K$
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Das Widerspricht der Minimalität von n.
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\end{proof}
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\subsection{Homomorphismen}
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\begin{definition}
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Seien $(G, *_G, e_G)$ und $(H, *_H, e_H)$ Gruppen.
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Eine Abbildung $f: G \to H$ heißt Gruppenhomomorphismus wenn für alle
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$g, g' \in G$ gilt:
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\[
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f(g *_G g') = f(g) *_H f(g')
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.\]
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\end{definition}
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\end{document}
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