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ws2019/ana/lectures/analysis3.tex

@@ -0,0 +1,140 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+\section{Grundlagen}
+
+\subsection{Vollständige Induktion}
+
+\begin{bsp}
+    Betrachte die Summe der ersten $n$ natürlichen Zahlen. Es gilt:
+    \[
+    \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
+    .\] 
+
+    \begin{proof}
+        Induktionsanfang für $n=1$:
+        \[
+        \sum_{k=1}^{1} k = 1 = \frac{1(1+2)}{2} = 1
+        .\] 
+        Induktionsschritt
+        \[
+        \sum_{k=1}^{n+1} k = \sum_{k=1}^{n} k + n + 1 = \frac{n(n+1)}{2} + n + 1
+        = \frac{n(n+1)+2n+2}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}
+        .\] 
+    \end{proof}
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}
+    Seien $m, n \in \N, m \le n$\\
+    $a_{m}, a_{m+1}, \ldots,  a_n \in \R$. Dann
+    $a_m + a_{m+1} + \ldots + a_n = \sum_{k=m}^{n} a_{k}$.
+    Falls $m>n$, dann $\sum_{k=m}^{n} a_{k} := 0$
+
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    Definiere rekursiv für $x \in \R$:
+    $x^0 := 1$ und $x^{n+1} := x \cdot x^n, n \in \N_0$
+    Betrachte 
+    \[
+    \sum_{k=0}^n x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots + x^n, x \in \R
+    .\] 
+    Dann heißt
+    \[
+    \sum_{k=0}^n x^{k} = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x}
+    \] geometrische Summenformel.
+
+    \begin{proof}
+        Induktionsanfang für $n = 1$:
+        \[
+        1+x = \frac{(1+x)(1-x)}{1-x} = \frac{1-x^2}{1-x}
+        .\] 
+
+        Induktionsschritt: $n \to n + 1$
+
+        \begin{align*}
+            \sum_{n=0}^{n+1} x^k &= \sum_{k=0}^{n} x^k + x^{n+1}\\
+            &= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + x^{n+1}
+            &= \frac{1-x^{n+1}}{1-x} + \frac{(1-x)(x^{n+1})}{1-x}
+            &= \frac{1 - x^{n+2}}{1-x}
+        .\end{align*}
+    \end{proof}
+
+    \begin{proof}[Alternativbeweis mit Teleskop-Summe]
+        \begin{align*}
+            1-x^{n+1} &= 1 - x + x - x^2 + x^2 - \ldots - x^n + x^n - x^n+1 \\
+            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=1}^{n+1} x^{k} \\
+            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=0}^{n} x^{k+1} \\
+            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - x \\
+        .\end{align*}
+    \end{proof}
+
+\end{bsp}
+
+Als Anwendung der geometrischen Summenformel ergeben sich nützliche Formeln, z.B.
+$ \forall a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
+
+\begin{align*}
+    a^n - b^n = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k
+\end{align*}
+
+\begin{proof}
+    Für $a=0$ und  $a = b$ stimmt die Formel offenbar.\\
+    Betrachte geometrische Reihe mit $x := \frac{b}{a} \neq 1$
+    \[
+    1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n = 1 - x^n = (1 - x) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
+    = (1 - \frac{b}{a}) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b}{a}\right)^k
+    \] 
+    \[
+    a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} b^k a^{-k} a^{n-1} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k 
+    \] 
+\end{proof}
+
+\subsection{Elemente der Kombinatorik}
+
+Für $n \in \N$ ist die Fakultät $n!$ rekursiv definiert durch:
+\[
+    1! := 1 \text{ und } \forall n \in \N: (n + 1)! = n!(n+1)
+.\] Per Definition $0! := 1$
+
+\begin{satz}[Permutationen]
+    Die Anzahl aller Anordnungen (oder Permutationen) von $n \in \N$ Elementen ist $n!$. 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Induktionsanfang:
+
+    $n=1$: Eine Anordnung 1 \\
+    $n=2$: Zwei Anordnungen 12, 21
+
+    Induktionsschritt $n \to n+1$: Anzahl von Anordnungen der Elemente ${1, \ldots, n+1}$,
+    die das Element $(n+1)$ auf Platz 1 hat bei beliebiger Anordnung der
+    anderen Elemente nach Induktionsannahme ist $n!$. Für jedes der $n+1$
+    Plätze ergeben sich wieder $n!$ Anordnungen, d.h. insgesamt:
+    $n!(n+1) = (n+1)!$
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Binomialkoeffizient]
+    Für $n, k \in \N$ definieren wir:\\
+    \begin{align*}
+        n \ge  k \ge  1:& \binom{n}{k} := \frac{n(n-1) \ldots (n -k + 1)}{k!} \\
+        k = 0:& \binom{n}{0} := 1
+    \end{align*}
+    $\binom{n}{k}$ ist die Anzahl der k-Elementigen Teilmengen einer n-Elementigen Menge, z.B.: Lotto $\binom{49}{6} = 13.983.816$.
+    \begin{align*}
+        \binom{n}{k} &= \frac{n(n-1) \ldots (n - k +1)}{k!}\\
+                     &= \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}\\
+                     &= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{n-k}\\
+    .\end{align*}
+    Es folgt $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$,
+    $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n, \forall n \in \N.$
+\end{definition}
+
+\begin{figure}[ht]
+    \centering
+    \incfig{figur1}
+    \caption{figur1}
+    \label{fig:figur1}
+\end{figure}
+
+\end{document}

ws2019/ana/lectures/analysis4.tex

@@ -0,0 +1,176 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+\section{Grundlagen}
+
+\subsection{Organisatorisches}
+
+\begin{enumerate}
+    \item Freitag 1.11. Feiertag
+    \item Abgabe Donnerstag davor
+\end{enumerate}
+
+\begin{lemma}[]
+    Für $n, k \in \N$ mit $0 < k < n$ gilt:
+    \[
+        \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}
+    .\] 
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    \begin{align*}
+        \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} &=
+        \frac{(n-1)(n-2)\ldots(n-1-(k-1)+1)}{(k-1)!}
+        + \frac{(n-1)(n-2)\ldots(n-1-k+1)}{(k-1)!k}\\
+        &= \frac{(n-1)\ldots(n-k+1)(k+n-k}{k!} \\
+        &= \frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!} = \binom{n}{k}
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[]
+    Mit Hilfe der Rekursionsformel
+    \[
+    \binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}
+    .\] bzw
+    \[
+    \binom{n+1}{k+1} = \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1}
+    .\] berechnet man die Binomialkoeffizienten explizit, auch bekannt als
+    ,,Pascalsches Dreieck''.
+\end{bem}
+
+\begin{figure}[ht]
+    \centering
+    \incfig{pascal2}
+    \caption{Pascalsches Dreieck}
+    \label{fig:pascal2}
+\end{figure}
+
+\begin{satz}[Binomische Formel]
+    Für $a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
+    \[
+        (a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^{k}
+    .\] 
+    bzw.
+    \[
+        (a+b)^{n} = \binom{n}{0} a^{n} + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \ldots +
+        \binom{n}{n-1}a b^{n-1} + \binom{n}{n} b^{n}
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis durch Induktion]
+    Induktionsanfang $n=1$:
+    \[
+    a+b = \binom{1}{0}a + \binom{1}{1}b = 1a + 1b
+    .\] 
+    Annahme: Die Formel gilt für ein $n \ge 1$
+
+    Induktionsschritt: $n \to n+1$
+    \begin{align*}
+        (a+b)^{n+1} &= (a+b)(a+b)^{n}\\
+        &= (a+b) \left(\binom{n}{0}a^n + \binom{n}{1}a^{n-1}b + \ldots +
+\binom{n}{n-1}a b^{n-1} + \binom{n}{n}b^{n}\right) \\
+        &= \binom{n}{0}a^{n+1}+\binom{n}{1}a^{n}b + \ldots +
+        \binom{n}{n-1} a^{2} b^{n-1} + \binom{n}{n} a b^{n} \\
+        &+ \binom{n}{0} a^{n}b + \binom{n}{1} a^{n-1}b^{2} + \ldots +
+        \binom{n}{n-1}a b^{n}+\binom{n}{n}b^{n+1} \\
+        &= \binom{n+1}{0}a^{n+1}+\binom{n+1}{1}a^{n}b+\ldots+
+        \binom{n+1}{n}ab^{n} + \binom{n+1}{n+1}b^{n+1}
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\subsection{Grundlegendes über Zahlenmengen}
+\[
+    \N = \{1, 2, 3, \ldots\} \text{ natürliche Zahlen}
+.\] auf $\N$ sind die arithmetischen Operationen ,,$+$'' (Addition) und ,,$\cdot$''
+(Multiplikation) definiert. Für diese gelten u.a. die Regeln:
+\begin{align*}
+    n + m = m + n &\text{ bzw. } n \cdot m = m \cdot n \text{ Kommutativität} \\
+    (n + m) + k = n + (m + k) &\text{ bzw. } (n \cdot m) \cdot k = n \cdot (m \cdot k) \text{ Assoziativität}\\
+    (n + m) \cdot k &= n \cdot k + m \cdot k \text{ Distributivität}
+\end{align*}
+
+Subtraktion und Division sind nicht für alle Paare der natürlichen Zahlen definiert
+($1 - 2 \not\in \N, \frac{1}{2} \not\in \N$), d.h. die natürlichen Zahlen
+sind bezüglich der Subtraktion und Division ,,unvollständig''. Dies bedeutet,
+dass für $n, m \in \N$ z.B.: die Gleichung
+\[
+n + x = m
+\] nicht immer lösbar ist.
+
+Deshalb werden die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert.
+\[
+    \Z = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\} \text{ ganze Zahlen}
+.\] In $\Z$ hat die Gleichung $n+x = m$ die (eindeutige) Lösung:
+$x = m - n \in \Z$.
+
+$\Z$ ist vollständig bezüglich der Subtraktion aber unvollständig bezüglich
+der Division, d.h. für beliebige $b, y \in \Z$, $b \neq 0$, die ,,lineare''
+Gleichung $b \cdot x = y$ nicht immer durch ein $x \in \Z$ lösbar ist.
+
+Diese Beschränkung wird durch die Einführung der rationalen Zahlen behoben:
+\[
+\Q = \left\{\frac{r}{s}  \mid r \in \Z, s \in \N\right\}
+.\] Die Menge $\Q$ ist vollständig bezüglich der vier elementaren
+arithmetischen Operationen (bis auf die unzulässige Division durch Null).
+
+\[
+a = \frac{r}{s}, b = \frac{u}{v} \in \Q = \begin{cases}
+    a+b = \frac{r}{s} + \frac{u}{v} &:= \frac{r\cdot v + u\cdot s}{s\cdot v} \\
+    a-b &:= \frac{r\cdot v - u \cdot s}{s \cdot v} \\
+    a \cdot b &:= \frac{r \cdot u}{s \cdot v} \\
+    \frac{a}{b} &:= \frac{r \cdot v}{s \cdot u} \\
+\end{cases}
+.\] $\Q$ bildet mit der Operation ,,+'' und ,,-'' einen ,,Körper'' bildet.
+
+\subsection{Was ist ein Körper?}
+
+Sei $K$ eine Menge mit Operationen ,,$+$'' und ,,$\cdot$''.
+
+Operation ,,$+$'' erfüllt die Axiome der Addition
+\begin{enumerate}
+    \item Kommutativität $\forall a,b \in K: a + b = b + a$
+    \item Assoziativität $\forall a, b, c \in K: (a+b)+c = a+(b+c)$
+    \item Neutrales Element $\exists 0 \in K: \forall a \in K: a + 0 = a$
+    \item Additives Inverses $\forall a \in K: \exists -a \in K: a + (-a) = 0$
+\end{enumerate}
+
+Operation ,,$\cdot$'' erfüllt Axiome der Multiplikation
+\begin{enumerate}
+    \item Kommutativität $\forall a,b \in K: a \cdot b = b \cdot a$
+    \item Assoziativität $\forall a, b, c \in K: (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$
+    \item Neutrales Element $\exists 1 \in K \setminus\{0\} =: K^{*}: \forall a \in K: a \cdot 1 = a$
+    \item Additives Inverses $\forall a \in K: \exists a^{-1} \in K: a \cdot a^{-1} = 1$
+\end{enumerate}
+
+Zusätzlich gilt ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' erfüllen die Distributivität (D):
+\[
+    \forall a,b,c \in K: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
+.\] 
+
+\begin{definition}[Körper]
+    Eine Menge $K$ mit Operationen ,,$ +$'' und ,,$\cdot$ '' (K, $+$, $\cdot$)
+    die Axiome A1-A4, M1-M4 und D erfüllt, heißt Körper.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}[]
+    ($\Q$, $+$, $\cdot$) ist ein Körper \\
+    ($\Z$, $+$, $\cdot$ ) ist kein Körper \\
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Angeordneter Körper]
+    Sei $(K, +, \cdot)$ ein Körper. Es $\exists p \subset  K$ eine Teilmenge,
+    die Axiome erfüllt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $\forall \in K$ gilt genau eine der folgenden Aussagen:
+            \begin{enumerate}
+                \item $a \in P$
+                \item $a = 0$
+                \item $-a \in P$
+            \end{enumerate}
+        \item Aus $a > 0$ und auch $b > 0$ folgt: $a+b > 0 $ und
+            $a\cdot b$ > 0
+    \end{enumerate}
+    Dann heißt $(K, +, \cdot, >)$ angeordneter Körper.
+\end{definition}
+
+\end{document}

ws2019/ana/lectures/analysis5.tex

@@ -0,0 +1,268 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+    
+\section{Grundlagen}
+\begin{definition}[Positivität]
+    Sei $\left( K, +, \cdot, > \right)$ ein angeordneter Körper.
+    $a \in K $ heißt positiv falls $a > 0$.
+    $a \in  K$ heißt negativ falls $a < 0$.
+
+    \[
+        K^{+} := \{a \in K  \mid a > 0\}
+    .\] 
+    \[
+        K^{-} := \{a \in K  \mid a < 0\} 
+    .\] 
+
+    Ordnungsrelation für $a, b \in K$
+    \begin{align*}
+        a < b \iff b - a \in K^{+} \\
+        b > a:\iff a < b \\
+        a \le b: \iff a < b \wedge a = b \\
+        b \ge a: \iff a \le b \\
+    .\end{align*}
+
+    Für je zwei $a \in K, b \in K$ gilt genau eine der Relationen
+    $a<b, a = b, a >b$.
+\end{definition}
+
+Es gelten Regeln:
+\begin{itemize}
+    \item $a < b, b < c \implies a < c$ Transitivität
+    \item $a < b \implies a + c < b +c, c \in K$
+    \item $a < b \implies a \cdot c < b \cdot c, c \in K^{+}$
+    \item $a \ge b, b \ge a \iff a = b$
+    \item $a < b, a > 0, b > 0 \iff \frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
+\end{itemize}
+
+\begin{bsp}[Positivität auf $\Q$]
+    \[
+    \Q^{+} := \left\{a \in Q  \mid  a = \frac{r}{s} , r, s \in \N\right\} 
+    .\] 
+\end{bsp}
+
+\begin{definition}[Absolutbetrag]
+    Sei $(K, +, \cdot, >$ ein angeordneter Körper
+    Dann
+    \[
+    |a| := \begin{cases}
+        a & \text{für } a > 0 \\
+        0 & \text{für } a = 0 \\
+        -a & \text{für } a < 0 \\
+    \end{cases}
+    .\] 
+
+    Abbildung $|\cdot|$: $K \to K$ mit Eigenschaften:
+    \begin{itemize}
+        \item $|a| = 0 \iff a = 0$ (Definiertheit) 
+        \item $|ab| = |a| |b|$ (Multiplikativität)
+        \item $|a+b| \le |a| + |b|$ (Dreiecksungleichung)
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{proof}[Beweis der Dreiecksungleichung]
+    Beobachtung: $\pm a \le |a| \implies a + b \le |a| + |b|
+    \implies -(a+b) \le  |a| + |b|$
+\end{proof}
+
+Es folgt aus den Eigenschaften:
+\begin{itemize}
+    \item $|a-b| = 0 \implies a = b$
+    \item $|-a| = |a|$
+    \item $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}, b \neq 0$
+    \item $| |a| - |b| | \le  |a - b|   $
+        (folgt aus: $|a| = |a-b+b| \le |a-b| + |b|$ und
+        $|b| = |b - a + a| \le |b-a| + |a|$)
+\end{itemize}
+
+\begin{satz}[Dezimalbruchdarstellung]
+    Jede rationale Zahl $a$ besitzt eine endliche
+    oder periodische Dezimalbruchdarstellung der Form:
+    \[
+        a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s): \iff
+        a = \pm \left(a_0 + \sum_{k=1}^{s} ds \cdot 10^{-k}\right)
+    .\] bzw. 
+    \[
+        a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s \overline{d_{s+1} \ldots d_{s+t}})
+    .\] 
+    $a_0 \in N_0, d_1\ldots d_s \in \{0, 1, \ldots ,9\}$ Ziffern
+
+    Umgekehrt stellt jede Dezimalbruchzerlegung dieser Art eine rationale
+    Zahl dar.\\
+    Hier: bei periodischen Dezimalbrüchen ist die Periode $\overline{9}$
+    nicht zugelassen:
+    \[
+        a_0,d_1\ldots d_{k-1} d_k \overline{9}
+        := a_0 + 0,d_1\ldots d_k (d_k+1), d_k < 9
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Siehe Lehrbuch
+\end{proof}
+
+\section{Die Reellen Zahlen}
+
+\subsection{Von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen}
+
+\begin{lemma}[Irrationalität der Quadratwurzel]
+    Die quadratische Gleichung $x^2 = 2$ besitzt keine rationale
+    Lösung.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}[Beweis durch Widerspruch]
+    Angenommen: Es existiert eine rationale Lösung
+    \[
+    x := \sqrt{2} = \frac{r}{s}
+    .\] mit Zahlen $r \in \Z$ und $s \in \N$.
+
+    O.B.d.A. (Ohne Beschränkung der Allgemeinheit) nehmen wir
+    an, dass $r$ und $s$ teilerfremd sind.
+
+    Dann gilt: $r \neq 0$ und $r^2 = 2s^2$ und $\frac{1}{2}r^2 = s^2$.
+    Also muss $r^2$ und auch $r$ gerade sein, denn $(2n+1)^2 = 4n^2+ 4n +1$
+    ungerade (Kontraposition).
+    Damit sind auch $\frac{1}{2}r^2$ gerade und $s^2$ gerade.
+
+    Aber wegen Teilerfremdheit können $r^2$ und $s^2$ nicht beide
+    durch zwei teilbar sein. $\implies$ Widerspruch zur Annahme
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+Allgemeiner: ,,quadratische'' Gleichung
+\[
+a+bx +c x^2 = 0
+.\] ist nicht für beliebig gewählte $a, b, c \in \Q$ durch
+ein $x \in \Q$ lösbar.
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Beweisarten]
+    Direkter Beweeis:
+    \[
+    E \implies E_1 \implies E_2 \implies \ldots \implies E_k \implies V
+    .\] Indirekter Beweis: Zeigen $E$ und $\neg V$ immer
+    falsch. Da $E$ immer wahr ist, muss $\neg V$ falsch sein.
+    Da $\neg V$ falsch ist, dann ist $V$ wahr.
+\end{bem}
+
+\textbf{Ziel}: Konstruiere rationale Zahlen, welche die
+Gleichung $x^2 = 2$ mit zunehmender Genauigkeit erfüllen,
+z.B. rekursiv durch Einschließung mit Hilfe von Dezimalbrüchen.
+
+Wir nutzen die Eigenschaft: $a, b > 0$ und $a^2 < b^2 \implies a < b$, folgt
+aus:
+\[
+    b^2 - a^2 = (b-a)(b+a), (b+a > 0)
+.\]
+
+Start: $a_1 := 1,4$, $b_1 := 1,5$ mit
+$a_1 < b_1, a_1^2 = 1,96 < 2 < 2,25 = b_1^2$
+
+2 Fälle:
+
+Fall a) Es liege für ein $n \in \N$ eine Einschließung vor:
+\[
+    a_n = 1,d_1d_2, \ldots d_{n-1}d_n < b_n = 1,d_1d_2\ldots d_{n-1}(d_{n+1})
+.\] 
+\[
+    a_n^2 < 2 < b_n^2
+.\] $d_k \in \{0,1, \ldots, 9\}, k=1 \ldots n-1, dn \le 8 $
+
+Die nächste Einschließung ist
+\[
+    a_{n+1} := 1,d_1\ldots d_n, d_{n+1},   d_{n+1} \in \{0,1,\ldots_,9\} 
+.\] $a_{n+1}$ möglichst groß aber $a_{n+1}^2 < 2$.
+
+und
+\[
+b_{n+1} := \begin{cases}
+    1,d_1, \ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le 8 \\
+    1,d_1, \ldots (d_n + 1) 0 & für d_{n+1} = 9 \\
+\end{cases}
+.\] Nach Konstruktion:
+\[
+    a_n <  a_{n+1} < b_{n+1} < b_n
+.\] 
+\[
+a_{n+1}^2 < 2 < b_{n+1}^2
+.\] 
+
+Fall b) Für ein $n \in \N$ liegt eine Einschließung vor
+\[
+    a_1 = 1, d_1\ldots d_{n-1} d_{n} < b_{n} = 1, d_1 d_2 \ldots d_{n-1} (d_n + 1) 0 \ldots 0
+.\] 
+\[
+    a_n^2 < 2 < b_n^2 \text{ mit } d_k \in \{0, 1, \ldots ,9\}, k=1, n = 1
+.\] 
+\[
+d_n \le 8, d_{n+1} = \ldots = d_n = 9
+.\] 
+
+Die nächste Einschließung
+\[
+    a_{n+1} := 1,d_1 \ldots d_{n}, d_{n+1}, d_{n+1} \in {0, 1, \ldots, 9}
+.\] $a_{n+1}$ möglichst groß, aber $a_{n+1}^2 < 2$.
+
+\[
+b_{n+1} = \begin{cases}
+    1,d_1\ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le  8 \\
+    1,d_1\ldots d_{m-1}(d_m + 1) 0 \ldots 0 & \text{für } d_{n+1} = 9
+\end{cases}
+.\] Der Fall b) kann nur endlich oft hintereinander auftreten, dann wäre
+$a_n = b_n$ ab einem gewissen n und folglich $a_n ^2 = 2$
+
+Nach Konstruktion:
+\[
+a_n < a_{n+1} < b_{n+1} < b_n
+.\] 
+\[
+a_{n+1}^2 < 2 < b_{n+1}^2
+.\] Wir erhalten 2 Folgen $(a_n)_{n \in \N}$ und $(b_n)_{n \in N}$ mit
+den Eigenschaften
+\[
+1,4 = a_1 \le \ldots \le a_n \le a_{n+1} < b_{n+1} \le b_n \le \ldots b_1 = 1,5
+.\] Konkret: $a_1 = 1,4$, $a_2 = 1,41$, $a_3 = 1,414$
+$b_1 = 1,5$, $b_2 = 1,42$, $b_3 = 1,415$
+
+Abstand $b_n - a_n \le 10^{-n}$, $n \in \N$ wird immer kleiner
+$\implies$ wir sollen die Zahl $\sqrt{2}$ eventuell erfassen!
+
+\begin{definition}[Zahlenfolge]
+    Eine Menge $(a_n)_{n \in \N}$ nummerierter rationaler Zahlen wird
+    ,,Folge'' genannt.
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    $a_n = 1 + \frac{1}{n}$
+
+    $a_1 = 2$, $a_2 = \frac{3}{2}$, $a_3 = \frac{5}{4}$
+\end{bsp}
+
+Offenbar, $1 + \frac{1}{n} \to 1, n \to \infty$
+bzw.
+\[
+    \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n}) = 1
+.\] d.h. Folge konvergiert gegen 1
+
+\begin{definition}[Konvergenz]
+    Eine Folge $(a_n)_{n \in \N}$ heißt konvergent, gegen einen ,,Limes''
+    a, wenn gilt:
+    \[
+    |a_n - a| \to 0, n \to \infty
+    .\] Falls $|a_n|$, $n \to \infty$ heißt $(a_n)_{n \in \N}$
+    strikt divergent.
+
+    Präziser (Cauchy)
+
+    Eine Folge $(a_n)_{n \in N}$ ist ,,konvergent'' gegen einen
+    Grenzwert a, wenn:
+    \[
+        \forall \epsilon > 0: \exists n := n(\epsilon) = n_{\epsilon}
+    .\] sodass
+    \[
+        |a_n - a| < \epsilon \text{ für } n \ge n_{\epsilon}
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\end{document}

ws2019/ana/lectures/linear4.tex

@@ -0,0 +1,233 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+\section{Grundlagen}
+
+\subsection{Abbildungen}
+
+Die Gesamtheit aller Abbildungen einer Menge $M$ in eine Menge $N$ ist wieder eine Menge und wird mit $Abb(M, N)$ bezeichnet.
+
+\begin{definition}[]
+    Seien $M$, $N$, $K$ Mengen
+    und $f: M \to N$, $g: N \to K$. Die Abb $g \circ f: M \to K, m \mapsto g(f(m))$
+    heißt die Komposition von f und g. Die Komposition kann man auch als
+    Mengenabbildung auffassen:
+    \[
+        \circ: Abb(M, N) \times Abb(N, K) \to Abb(M, K)
+    \] 
+    \[
+        (f, g) \mapsto g \circ f
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}[]
+    Seien $I$ und $M$ Mengen und es sei: $(M_{i})_{i \in  I}$ die
+    Familie von (immergleichen) Mengen $M_{i} = M$ indiziert
+    über $i \in I$. Dann existiert eine natürliche Bijektion
+    \[
+        \Phi: Abb(I, M) \to^{\thicksim} \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I} (= M^I)
+    .\] 
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    rechts: Tupel $(m_{i})_{i \in I}, m_{i} \in M_{i} = M$
+    links: Abbildung $f: I \to M$.
+    Eine solche Abbildung ist dadurch gegeben, dass man jedem $i \in  I$
+    ein $m_{i} = f(i) \in M$ zuordnet. Wir definieren $\Phi$ durch die
+    Zuordnung:
+    \[
+    \Phi: f \in Abb(I, M) \mapsto (f(i))_{i \in I} \in \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I}
+    .\] 
+    Da die Abb. $f$ durch ihre Werte $f(i) \in M, i \in I$, gegeben ist,
+    ist $\Phi$ injektiv.
+
+    Ist umgekehrt $(m_{i}) \in \prod M_{i}$ gegeben, so ist die Abbildung
+    $f: I \to M, i \mapsto m_{i} \in M$ ein Urbild unter $\Phi$. Daher
+    ist $\Phi$ surjektiv.
+\end{proof}
+
+\section{Gruppen, Ringe, Körper}
+
+\subsection{Gruppen}
+
+\begin{definition}[Verknüpfung]
+    Eine (binäre) Verknüpfung auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung:
+    \[
+    *: M \times M \to M
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Gruppe]
+    Eine Gruppe $(G, *, e)$ ist eine Menge $G$ mit einer Verknüfung $*$ und
+    einem (ausgezeichneten) Element $e \in G$, so dass:
+    \begin{enumerate}
+        \item $g*(h*k) = (g*h*)*k$ $\forall g,h,k \in G$ (Assoziativität)
+        \item $e * g = g$ $\forall g \in G$ ((Links)neutrales Element)
+        \item $\forall g \in G$: $\exists h \in G$: $h * g = e$ (Linksinverses)
+    \end{enumerate}
+    Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch wenn zusätzlich gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $g * h = h * g$ $\forall g, h \in G$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}[]
+    \begin{enumerate}
+        \item $(\Z, +, 0)$ ist abelsche Gruppe
+        \item $(\Q, +, 0)$, $(\R, +, 0)$, $(\C, +, 0)$ sind abelsche Gruppen.
+        \item $(\Q \setminus{\{0\}}, \cdot, 1)$ ist eine abelsche Gruppe
+        \item $(\R_{>0}, \cdot, 1)$ ist abelsche Gruppe
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}[]
+    Menge der Restklassen:
+    \[
+    \{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\} = \Z / n\Z 
+    .\] 
+    $(\Z / n\Z, +, \overline{0})$ ist eine abelsche Gruppe.
+    Wie ist die Summe von Restklassen definiert?
+
+    Seien $A, B \in \Z / n\Z$. Vorschrift für ,,+''.
+    \begin{enumerate}
+        \item Wähle ,,Vertreter'' $a,b \in \Z$ von $A,B$, d.h. $a \in A$,
+            $b \in B$.
+        \item bilde $a+b$ in $\Z$
+        \item $A+B =^{def} \overline{a+b}$, d.h. die Restklasse zu der
+            $a+b$ gehört.
+    \end{enumerate}
+    Damit diese Definition widerspruchsfrei ist (Sprich: ,,+''
+    ist \textit{wohldefiniert}) muss man nachweisen, dass das Ergebnis nicht
+    von der Auswahl im ersten Schritt abhängt.
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}[]
+    Die symmetrische Gruppe $O_{n}$
+    \[
+        O_{n} := \text{die Menge aller bijektiven Abb.}\\
+    \pi: \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, n\} 
+    .\] 
+    (sogennante Permutationen)
+
+    $* = \circ$ Komposition von Abbildungen\\
+    $e = id_{\{1, \ldots, n\}}$\\
+    Wir schreiben Permutationen in der Form:
+    \[
+        \pi =
+        \begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & \ldots & n \\
+            \pi(1) & \pi(2) & \pi(3) & \ldots & \pi(n)
+        \end{pmatrix} 
+    .\] 
+    Elementare Kombinationen: $n$ Möglichkeiten für $\pi(1)$, $(n-1)$
+    Möglichkeiten, für $\pi(2)\ldots$, 1 Möglichkeit für $\pi(n)$.
+    \[
+        \#O_{n} = n! \text{ (Fakultät)}
+    .\] 
+    Verifikation der Gruppenaxiome
+    \begin{enumerate}
+        \item $g*(h*k) = g \circ (h \circ k) = (g \circ h) \circ k = (g * h) * k$
+        \item $e * g = id * g = g$
+        \item Sei g eine Permutation und $h = g^{-1}$ die Umkehrabbildung.
+            Dann gilt $h*g = g^{-1} \circ g = id = e$.
+    \end{enumerate}
+    Für $n \ge 3$ ist $\sigma_{n}$ nicht kommutativ.
+    \[
+        \begin{pmatrix} 
+            1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
+            2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
+        \end{pmatrix} 
+        \circ
+        \begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
+            1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
+        \end{pmatrix} 
+        =
+        \begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
+            2 & 3 & 1 & 4 & \ldots
+        \end{pmatrix} 
+    .\] 
+    \[
+    \begin{pmatrix} 
+        1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
+        1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
+    \end{pmatrix} 
+    \circ
+    \begin{pmatrix}
+        1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
+        2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
+    \end{pmatrix} 
+    =
+    \begin{pmatrix}
+        1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
+        3 & 1 & 2 & 4 & \ldots
+    \end{pmatrix} 
+    .\] 
+
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[]
+    Sei $G = (G, *, e)$ eine Gruppe. Dann gilt für alle $g, h, k \in G$.
+    \begin{enumerate}
+        \item $g * h = g * k \implies h = k$ (Linkskürzung)
+        \item $g * h = k * h \implies g = k$ (Rechtskürzung)
+        \item $g * e = g$ (das (links)neutrale Element ist auch rechtsneutral)
+        \item aus $g*h=g$ oder $h*g=g$ für ein einziges $g\in G$, so folgt $h=e$
+        \item $\forall g \in G$: existiert ein eindeutig bestimmtes Element
+            $g^{-1} \in G$ mit $g^{-1} * g = e = g * g^{-1}$.
+        \item Aus $h * g = e$ oder $g*h=e$ folgt $h=g^{-1}$.
+        \item $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$ $\forall g \in G$
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis 1]
+    Sei $g * h = g * k$.
+    
+    Nach (G3) $\exists s \in G$, sodass $s * g = e$.
+    Daher gilt $s*(g*h) = (s*g)*h = e*h = k$.\\
+    Analog: $s*(g*k) = (s*g)*k = e*k = k$
+    Daraus folgt: $h = k$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 3]
+    Nach (G3) existiert $h\in G$ und $h*g=e$.
+
+    Es folgt $h*(g*e)=(h*g)*e=e*e=e=h*g$\\
+    Nach (1) folgt $g*e=g$
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 5, Existenz]
+    Sei $h\in G$ mit $h*g = e$ (ex. nach G3) 
+
+    $h*(g*h) = (h*g)*h = e * h = h = h * e$\\
+    Durch Linkskürzung erhalten wir $g * h = e$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 2]
+    Sei $g*k=h*k$. Sei $s \in G$ so dass $k*s=e$ (existenz nach 5).
+
+    $\implies (g*k)*s = g*(k*s) = g*e = g$, analog\\
+    $\implies (h*k) * s = h*(k*s) = h*e = h$\\
+    Daraus folgt $g = h$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 4]
+    $g * h = g = g * e \implies h = e$, analog\\
+    $h*g = g = e*g \implies h=e$
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 5 Eindeutigkeit und 6]
+    Seien $h, h' \in G$ mit $h*g=e=h'*g$ Nach Rechtskürzung folgt
+    $h = h'$. Daher ist $g^{-1} eindeutig$. Sei $h \in G$ mit
+    $g * h = e$. Wegen $g^{-1}*g = e$ folgt mit Linkskürzung, dass $h = g^{-1}$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 7]
+    aus $g * g^{-1} = e$ folgt $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[]
+    $g, h \in  G$, so gilt $(g * h)^{-1} = h^{-1} * g^{-1}$\\
+    Grund: $(h^{-1} * g^{-1}) * (g *h) = h^{-1} * (g*g^{-1}) * h = h^{-1}* e * h = h * h^{-1} = e.$
+\end{bem}
+\end{document}

ws2019/ana/lectures/linear5.tex

@@ -0,0 +1,259 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+\section{Gruppen, Ringe, Körper}
+
+\subsection{Ringe}
+
+\begin{definition}[Ring]
+    Ein Ring $R = (R, +, \cdot, O_{R})$ ist eine Menge $R$ und zwei
+    Verknüpfungen $+, \cdot: R \times R \to  R$ und einem
+    Element $O_{R} \in R$ so dass:
+    \begin{enumerate}
+        \item $(R, +, O_{R})$ ist eine abelsche Gruppe
+        \item $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ $\forall a,b,c \in R$
+        \item $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$, $(a + b) \cdot c = ac + bc$
+    \end{enumerate}
+
+    Ein unitärer Ring (,,Ring mit 1'') ist ein Tupel
+    $(R, +, \cdot, 0_{R}, 1_{R})$, so dass $(R, +, \cdot, 0_{R})$ ein
+    Ring ist und $1_R \in R$, so dass gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $1_{R} \cdot a = a = a \cdot 1_{R}$
+    \end{enumerate}
+
+    Ein Ring heißt kommutativ, wenn
+    \begin{enumerate}
+        \item $a \cdot b = b \cdot a$ $\forall a, b \in R$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[Notation]
+    Das inverse Element von $a \in R$ bezüglich $+$ bezeichnet man mit
+    $-a$. Ein Inverses bezüglich $\cdot$ existiert i.A. nicht.
+
+    Die Eins in einem unitären Ring ist eindeutig bestimmt.
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    $(\Z, +, \cdot, 0, 1)$ ist ein kommutativer Ring mit 1
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[$\Z / n\Z$]
+    ist ein kommutativer Ring mit 1. Multiplikationsvorschrift ist die
+    folgende: Für $A, B \in \Z / n\Z$
+    \begin{enumerate}
+        \item Wähle Vertreter $a, b \in \Z$ von $A$ und $B$.
+        \item bilde $a \cdot b$ in $\Z$
+        \item $A \cdot B :=$ Restklasse von $a \cdot b$
+    \end{enumerate}
+    Nachzuweisen: Unabhängigkeit der Definition von der Auswahl der Vertreter
+    im ersten Schritt.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Die Menge der geraden ganzen Zahlen]
+    ist ein kommutativer Ring ohne 1.
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}
+    $R = (R, +, \cdot, 0_{R})$ Ring. Dann gilt
+    \begin{enumerate}
+        \item $0_{R} \cdot a = 0_R = a \cdot 0_R$
+        \item $a \cdot (-b) = - ab = (-a) \cdot b$
+    \end{enumerate}
+    Ist R unitär, so gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $-b = (-1_{R}) \cdot b$
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}[Beweis 1]
+    \[
+        0_{R} \cdot a + 0_{R} = 0_{R} = 0_{R} a = (0_R + 0_R)a = 0_R a + 0_R a
+    .\] 
+    Mit kürzen folgt: $0_R = 0_R a$
+    Analog für $a \cdot 0_R = 0_R$
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 2]
+    \[
+        0_R = a 0_R = a \left((-b) + b\right) = a(-b) + a b
+    \] also $a(-b) = -ab$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 3]
+    Ist R unitär, so setzt man in 2 $a = 1_{R}$ ein und erhält 3.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    $R = \{0\} $ mit den einzig möglichen Verknüpfungen $+$ und $\cdot$
+    heißt der \textit{Nullring}.
+    Nullring ist ein kommutativer Ring mit 1 ($0_R = 0 = 1_R$).
+    Dies ist der einzige Ring mit $1_R = 0_R$.
+
+    Begründung: Gelte $0_R = 1_R$, so folgt für jedes $r \in R$:
+    \[
+        r = r \cdot 1_R = r \cdot 0_R = 0_R
+    .\] Egal welches Element herausgenommen wird, es ist immer $0_R$, d.h.
+    $R$ muss ein Nullring sein.
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $R = (R, +, \cdot, 0_R, 1_R)$ ein unitärer Ring und
+    $R^{\times } \subset R$ die Menge der Elemente die ein Links- und
+    ein Rechtsinverses bezüglich $\cdot$ haben, das heißt
+    \[
+    R^{\times } = \{r \in R  \mid \exists s, t \in R : s r = 1_R = r t\}
+    .\] 
+    Dann ist $(R^{x}, \cdot, 1_R)$ eine Gruppe.
+    Man nennt $R^{x}$ die Einheitengruppe von $R$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Seien $r, \overline{r} \in R^{\times }$ und $s, \overline{s}, t, \overline{t}$
+    mit
+    \[
+    s r = 1 = r t
+   .\] und
+   \[
+   \overline{s} \overline{r} = 1 = \overline{r} \overline{t}
+   .\] Dann
+   \[
+       (s' s)(r r') = s'(s r) r' = s'1r' = s'r' = 1
+   .\] 
+   \[
+        (r r') (t' t) = r (r' t') t = r 1 t = r t = 1 
+   .\] $\implies r \cdot r' \in R^{\times }$
+
+   Wir überprüfen die Gruppenaxiome: G1 folgt aus R2
+
+   $1 \in R$ ist neutral $\to$ G2
+
+   Bleibt zu zeigen: $\forall r \in R^{\times }: \exists r' \in R: r r' = 1$
+   Nach Definition: $\exists s \in R: s r = 1$. Zu zeigen: $s \in R^{\times }$.
+   Offenbar hat das Rechtsinverse $r$. Aber $r$ ist auch linksinvers zu $s$:
+
+   Wähle $t \in  R$ mit $r t = 1$. Dann gilt $s = s (r t) = (s r) t = t$
+   $\implies$ rs = rt = 1.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    $0_R \in R^{\times } \implies \exists r \in R: 0_R r = 1_R \implies 0_R = 1_R \implies$ $R$ ist der Nullring.
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Körper]
+    Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring mit 1: $(K, +, 0_K, 1_K)$
+    mit $K^{\times } = K \ \{0_K\}$
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $\Q, \R, \C$ sind Körper
+        \item $\Z$ ist kein Körper ($\Z^{\times } = \{+1, -1\} $)
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}[]
+    In einem Körper $K$ gilt, dass
+    \[
+    a b = 0_K \implies a = 0 \wedge b = 0
+    .\] 
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Angenommen $a \neq 0_K$: Dann existiert $a^{-1} \in K$ mit
+    $a^{-1} a = 1_K$. Es folgt
+    \[
+    b = 1_K b = a^{-1} a b = a^{-1} 0_K = 0_K
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Ist $p$ eine Primzahl, so ist $\Z / p\Z$ ein Körper.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}[]
+    $\Z / p \Z$ ist kommutativer Ring mit 1 (siehe oben).
+
+    Zu zeigen: $\forall A \in \Z / p\Z, A \neq \overline{0}$ ist
+    die $\overline{1}$ im Bild der Abbildung:
+    \[
+    A\cdot : \Z / p \Z \to  \Z / p \Z, B \mapsto A \cdot B
+    .\] 
+    Wir zeigen sogar, dass $A \cdot$ surjektiv ist.
+    Da $\Z / p \Z$ endlich ist, genügt es z.z., dass $A \cdot$ injektiv ist.
+
+    Angenommen es gäbe Restklassen $B, C \in  \Z / p \Z$ mit
+    \[
+        A \cdot B = A \cdot C
+    .\] Seien $a, b, c \in \Z$ Vertreter.
+    Wegen $A \neq \overline{0}$ gilt $a$ nicht durch $p$ teilbar.
+    Wegen $AB = AC$ gilt $ab =- ac$ mod $p \implies p$ teilt $a (b -c)$.
+
+    Weil $p$ eine Primzahl ist und $p$ teilt nicht $a$ folgt
+    $p / (b -c)$, also $b =- c$ mod $p \implies B = C$ 
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Ist $n \in N$ keine Primzahl, so ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
+\end{bem}
+
+\begin{proof}
+    Für $n=1$ ist $\Z / n\Z$ der Nullring (kein Körper).
+    
+    Nun sei $n > 1$ keine Primzahl
+    $\implies \exists a, b \in \N, 1 < a, b < n$ mit $a b = n$ Für die
+    Restklassen bedeutet dies: $\overline{a} \neq \overline{0}$,
+    $\overline{b} \neq  \overline{0}$ aber
+    $\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b} = \overline{n} = \overline{0}$. Wir erhalten Widerspruch zu Lemma 1.15. Also
+    ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Charakteristik]
+    Sei $K$ Köper. Die kleinste natürliche Zahl $n$ mit n mal
+    $1_K + \ldots + 1_K = 0_K$ (in $K$) heißt die
+    Charakteristik von K.
+
+    Notation: char(K).
+    Gibt es eine solche Zahl $n$ nicht, dann setzt man char(K) = 0.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item char(K) $=0$ oder char(K) $\ge 2$ (wegen $0_K \neq 1_K$).
+        \item \Q, \R, \C haben Charakteristik Null.
+        \item \Z / p \Z hat die Charakteristik p.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{satz}
+    char(K) ist entweder 0 oder Primzahl.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei char(K) $\neq 0$, also char(K) $= n \ge 2$.
+
+    Wäre $n$ keine Primzahl, so existieren $a, b \in \N, 1 < a ,b < n$
+    mit $ab = n$. Dann gilt:
+    \[
+        (1_K + \ldots + 1_K) \cdot (1_K + \ldots + 1_K)
+        = (1_K + \ldots + 1_K) = 0
+    .\] Aus dem Satz vom Nullprodukt folgt $(1_K + \ldots + 1_K)$ = $0_K$
+    oder $(1_K + \ldots + 1_K) = 0_K$
+
+    Das Widerspricht der Minimalität von n.
+\end{proof}
+
+\subsection{Homomorphismen}
+
+\begin{definition}
+    Seien $(G, *_G, e_G)$ und $(H, *_H, e_H)$ Gruppen.
+    Eine Abbildung $f: G \to H$ heißt Gruppenhomomorphismus wenn für alle
+    $g, g' \in G$ gilt:
+    \[
+        f(g *_G g') = f(g) *_H f(g')
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\end{document}

ws2019/la/lectures/linear4.tex

@@ -0,0 +1,233 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+\section{Grundlagen}
+
+\subsection{Abbildungen}
+
+Die Gesamtheit aller Abbildungen einer Menge $M$ in eine Menge $N$ ist wieder eine Menge und wird mit $Abb(M, N)$ bezeichnet.
+
+\begin{definition}[]
+    Seien $M$, $N$, $K$ Mengen
+    und $f: M \to N$, $g: N \to K$. Die Abb $g \circ f: M \to K, m \mapsto g(f(m))$
+    heißt die Komposition von f und g. Die Komposition kann man auch als
+    Mengenabbildung auffassen:
+    \[
+        \circ: Abb(M, N) \times Abb(N, K) \to Abb(M, K)
+    \] 
+    \[
+        (f, g) \mapsto g \circ f
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{lemma}[]
+    Seien $I$ und $M$ Mengen und es sei: $(M_{i})_{i \in  I}$ die
+    Familie von (immergleichen) Mengen $M_{i} = M$ indiziert
+    über $i \in I$. Dann existiert eine natürliche Bijektion
+    \[
+        \Phi: Abb(I, M) \to^{\thicksim} \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I} (= M^I)
+    .\] 
+\end{lemma}
+\begin{proof}
+    rechts: Tupel $(m_{i})_{i \in I}, m_{i} \in M_{i} = M$
+    links: Abbildung $f: I \to M$.
+    Eine solche Abbildung ist dadurch gegeben, dass man jedem $i \in  I$
+    ein $m_{i} = f(i) \in M$ zuordnet. Wir definieren $\Phi$ durch die
+    Zuordnung:
+    \[
+    \Phi: f \in Abb(I, M) \mapsto (f(i))_{i \in I} \in \prod_{}^{} (M_{i})_{i \in I}
+    .\] 
+    Da die Abb. $f$ durch ihre Werte $f(i) \in M, i \in I$, gegeben ist,
+    ist $\Phi$ injektiv.
+
+    Ist umgekehrt $(m_{i}) \in \prod M_{i}$ gegeben, so ist die Abbildung
+    $f: I \to M, i \mapsto m_{i} \in M$ ein Urbild unter $\Phi$. Daher
+    ist $\Phi$ surjektiv.
+\end{proof}
+
+\section{Gruppen, Ringe, Körper}
+
+\subsection{Gruppen}
+
+\begin{definition}[Verknüpfung]
+    Eine (binäre) Verknüpfung auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung:
+    \[
+    *: M \times M \to M
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{definition}[Gruppe]
+    Eine Gruppe $(G, *, e)$ ist eine Menge $G$ mit einer Verknüfung $*$ und
+    einem (ausgezeichneten) Element $e \in G$, so dass:
+    \begin{enumerate}
+        \item $g*(h*k) = (g*h*)*k$ $\forall g,h,k \in G$ (Assoziativität)
+        \item $e * g = g$ $\forall g \in G$ ((Links)neutrales Element)
+        \item $\forall g \in G$: $\exists h \in G$: $h * g = e$ (Linksinverses)
+    \end{enumerate}
+    Eine Gruppe heißt kommutativ oder abelsch wenn zusätzlich gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $g * h = h * g$ $\forall g, h \in G$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}[]
+    \begin{enumerate}
+        \item $(\Z, +, 0)$ ist abelsche Gruppe
+        \item $(\Q, +, 0)$, $(\R, +, 0)$, $(\C, +, 0)$ sind abelsche Gruppen.
+        \item $(\Q \setminus{\{0\}}, \cdot, 1)$ ist eine abelsche Gruppe
+        \item $(\R_{>0}, \cdot, 1)$ ist abelsche Gruppe
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{bem}[]
+    Menge der Restklassen:
+    \[
+    \{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{n-1}\} = \Z / n\Z 
+    .\] 
+    $(\Z / n\Z, +, \overline{0})$ ist eine abelsche Gruppe.
+    Wie ist die Summe von Restklassen definiert?
+
+    Seien $A, B \in \Z / n\Z$. Vorschrift für ,,+''.
+    \begin{enumerate}
+        \item Wähle ,,Vertreter'' $a,b \in \Z$ von $A,B$, d.h. $a \in A$,
+            $b \in B$.
+        \item bilde $a+b$ in $\Z$
+        \item $A+B =^{def} \overline{a+b}$, d.h. die Restklasse zu der
+            $a+b$ gehört.
+    \end{enumerate}
+    Damit diese Definition widerspruchsfrei ist (Sprich: ,,+''
+    ist \textit{wohldefiniert}) muss man nachweisen, dass das Ergebnis nicht
+    von der Auswahl im ersten Schritt abhängt.
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}[]
+    Die symmetrische Gruppe $O_{n}$
+    \[
+        O_{n} := \text{die Menge aller bijektiven Abb.}\\
+    \pi: \{1, \ldots, n\} \to \{1, \ldots, n\} 
+    .\] 
+    (sogennante Permutationen)
+
+    $* = \circ$ Komposition von Abbildungen\\
+    $e = id_{\{1, \ldots, n\}}$\\
+    Wir schreiben Permutationen in der Form:
+    \[
+        \pi =
+        \begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & \ldots & n \\
+            \pi(1) & \pi(2) & \pi(3) & \ldots & \pi(n)
+        \end{pmatrix} 
+    .\] 
+    Elementare Kombinationen: $n$ Möglichkeiten für $\pi(1)$, $(n-1)$
+    Möglichkeiten, für $\pi(2)\ldots$, 1 Möglichkeit für $\pi(n)$.
+    \[
+        \#O_{n} = n! \text{ (Fakultät)}
+    .\] 
+    Verifikation der Gruppenaxiome
+    \begin{enumerate}
+        \item $g*(h*k) = g \circ (h \circ k) = (g \circ h) \circ k = (g * h) * k$
+        \item $e * g = id * g = g$
+        \item Sei g eine Permutation und $h = g^{-1}$ die Umkehrabbildung.
+            Dann gilt $h*g = g^{-1} \circ g = id = e$.
+    \end{enumerate}
+    Für $n \ge 3$ ist $\sigma_{n}$ nicht kommutativ.
+    \[
+        \begin{pmatrix} 
+            1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
+            2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
+        \end{pmatrix} 
+        \circ
+        \begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
+            1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
+        \end{pmatrix} 
+        =
+        \begin{pmatrix}
+            1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
+            2 & 3 & 1 & 4 & \ldots
+        \end{pmatrix} 
+    .\] 
+    \[
+    \begin{pmatrix} 
+        1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
+        1 & 3 & 2 & 4 & \ldots
+    \end{pmatrix} 
+    \circ
+    \begin{pmatrix}
+        1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
+        2 & 1 & 3 & 4 & \ldots
+    \end{pmatrix} 
+    =
+    \begin{pmatrix}
+        1 & 2 & 3 & 4 & \ldots \\
+        3 & 1 & 2 & 4 & \ldots
+    \end{pmatrix} 
+    .\] 
+
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[]
+    Sei $G = (G, *, e)$ eine Gruppe. Dann gilt für alle $g, h, k \in G$.
+    \begin{enumerate}
+        \item $g * h = g * k \implies h = k$ (Linkskürzung)
+        \item $g * h = k * h \implies g = k$ (Rechtskürzung)
+        \item $g * e = g$ (das (links)neutrale Element ist auch rechtsneutral)
+        \item aus $g*h=g$ oder $h*g=g$ für ein einziges $g\in G$, so folgt $h=e$
+        \item $\forall g \in G$: existiert ein eindeutig bestimmtes Element
+            $g^{-1} \in G$ mit $g^{-1} * g = e = g * g^{-1}$.
+        \item Aus $h * g = e$ oder $g*h=e$ folgt $h=g^{-1}$.
+        \item $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$ $\forall g \in G$
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}[Beweis 1]
+    Sei $g * h = g * k$.
+    
+    Nach (G3) $\exists s \in G$, sodass $s * g = e$.
+    Daher gilt $s*(g*h) = (s*g)*h = e*h = k$.\\
+    Analog: $s*(g*k) = (s*g)*k = e*k = k$
+    Daraus folgt: $h = k$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 3]
+    Nach (G3) existiert $h\in G$ und $h*g=e$.
+
+    Es folgt $h*(g*e)=(h*g)*e=e*e=e=h*g$\\
+    Nach (1) folgt $g*e=g$
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 5, Existenz]
+    Sei $h\in G$ mit $h*g = e$ (ex. nach G3) 
+
+    $h*(g*h) = (h*g)*h = e * h = h = h * e$\\
+    Durch Linkskürzung erhalten wir $g * h = e$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 2]
+    Sei $g*k=h*k$. Sei $s \in G$ so dass $k*s=e$ (existenz nach 5).
+
+    $\implies (g*k)*s = g*(k*s) = g*e = g$, analog\\
+    $\implies (h*k) * s = h*(k*s) = h*e = h$\\
+    Daraus folgt $g = h$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 4]
+    $g * h = g = g * e \implies h = e$, analog\\
+    $h*g = g = e*g \implies h=e$
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 5 Eindeutigkeit und 6]
+    Seien $h, h' \in G$ mit $h*g=e=h'*g$ Nach Rechtskürzung folgt
+    $h = h'$. Daher ist $g^{-1} eindeutig$. Sei $h \in G$ mit
+    $g * h = e$. Wegen $g^{-1}*g = e$ folgt mit Linkskürzung, dass $h = g^{-1}$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 7]
+    aus $g * g^{-1} = e$ folgt $\left(g^{-1}\right)^{-1} = g$
+\end{proof}
+
+\begin{bem}[]
+    $g, h \in  G$, so gilt $(g * h)^{-1} = h^{-1} * g^{-1}$\\
+    Grund: $(h^{-1} * g^{-1}) * (g *h) = h^{-1} * (g*g^{-1}) * h = h^{-1}* e * h = h * h^{-1} = e.$
+\end{bem}
+\end{document}

ws2019/la/lectures/linear5.tex

@@ -0,0 +1,259 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+\section{Gruppen, Ringe, Körper}
+
+\subsection{Ringe}
+
+\begin{definition}[Ring]
+    Ein Ring $R = (R, +, \cdot, O_{R})$ ist eine Menge $R$ und zwei
+    Verknüpfungen $+, \cdot: R \times R \to  R$ und einem
+    Element $O_{R} \in R$ so dass:
+    \begin{enumerate}
+        \item $(R, +, O_{R})$ ist eine abelsche Gruppe
+        \item $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ $\forall a,b,c \in R$
+        \item $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$, $(a + b) \cdot c = ac + bc$
+    \end{enumerate}
+
+    Ein unitärer Ring (,,Ring mit 1'') ist ein Tupel
+    $(R, +, \cdot, 0_{R}, 1_{R})$, so dass $(R, +, \cdot, 0_{R})$ ein
+    Ring ist und $1_R \in R$, so dass gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $1_{R} \cdot a = a = a \cdot 1_{R}$
+    \end{enumerate}
+
+    Ein Ring heißt kommutativ, wenn
+    \begin{enumerate}
+        \item $a \cdot b = b \cdot a$ $\forall a, b \in R$
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[Notation]
+    Das inverse Element von $a \in R$ bezüglich $+$ bezeichnet man mit
+    $-a$. Ein Inverses bezüglich $\cdot$ existiert i.A. nicht.
+
+    Die Eins in einem unitären Ring ist eindeutig bestimmt.
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    $(\Z, +, \cdot, 0, 1)$ ist ein kommutativer Ring mit 1
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[$\Z / n\Z$]
+    ist ein kommutativer Ring mit 1. Multiplikationsvorschrift ist die
+    folgende: Für $A, B \in \Z / n\Z$
+    \begin{enumerate}
+        \item Wähle Vertreter $a, b \in \Z$ von $A$ und $B$.
+        \item bilde $a \cdot b$ in $\Z$
+        \item $A \cdot B :=$ Restklasse von $a \cdot b$
+    \end{enumerate}
+    Nachzuweisen: Unabhängigkeit der Definition von der Auswahl der Vertreter
+    im ersten Schritt.
+\end{bsp}
+
+\begin{bsp}[Die Menge der geraden ganzen Zahlen]
+    ist ein kommutativer Ring ohne 1.
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}
+    $R = (R, +, \cdot, 0_{R})$ Ring. Dann gilt
+    \begin{enumerate}
+        \item $0_{R} \cdot a = 0_R = a \cdot 0_R$
+        \item $a \cdot (-b) = - ab = (-a) \cdot b$
+    \end{enumerate}
+    Ist R unitär, so gilt:
+    \begin{enumerate}
+        \item $-b = (-1_{R}) \cdot b$
+    \end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}[Beweis 1]
+    \[
+        0_{R} \cdot a + 0_{R} = 0_{R} = 0_{R} a = (0_R + 0_R)a = 0_R a + 0_R a
+    .\] 
+    Mit kürzen folgt: $0_R = 0_R a$
+    Analog für $a \cdot 0_R = 0_R$
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 2]
+    \[
+        0_R = a 0_R = a \left((-b) + b\right) = a(-b) + a b
+    \] also $a(-b) = -ab$.
+\end{proof}
+
+\begin{proof}[Beweis 3]
+    Ist R unitär, so setzt man in 2 $a = 1_{R}$ ein und erhält 3.
+\end{proof}
+
+\begin{bsp}
+    $R = \{0\} $ mit den einzig möglichen Verknüpfungen $+$ und $\cdot$
+    heißt der \textit{Nullring}.
+    Nullring ist ein kommutativer Ring mit 1 ($0_R = 0 = 1_R$).
+    Dies ist der einzige Ring mit $1_R = 0_R$.
+
+    Begründung: Gelte $0_R = 1_R$, so folgt für jedes $r \in R$:
+    \[
+        r = r \cdot 1_R = r \cdot 0_R = 0_R
+    .\] Egal welches Element herausgenommen wird, es ist immer $0_R$, d.h.
+    $R$ muss ein Nullring sein.
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $R = (R, +, \cdot, 0_R, 1_R)$ ein unitärer Ring und
+    $R^{\times } \subset R$ die Menge der Elemente die ein Links- und
+    ein Rechtsinverses bezüglich $\cdot$ haben, das heißt
+    \[
+    R^{\times } = \{r \in R  \mid \exists s, t \in R : s r = 1_R = r t\}
+    .\] 
+    Dann ist $(R^{x}, \cdot, 1_R)$ eine Gruppe.
+    Man nennt $R^{x}$ die Einheitengruppe von $R$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Seien $r, \overline{r} \in R^{\times }$ und $s, \overline{s}, t, \overline{t}$
+    mit
+    \[
+    s r = 1 = r t
+   .\] und
+   \[
+   \overline{s} \overline{r} = 1 = \overline{r} \overline{t}
+   .\] Dann
+   \[
+       (s' s)(r r') = s'(s r) r' = s'1r' = s'r' = 1
+   .\] 
+   \[
+        (r r') (t' t) = r (r' t') t = r 1 t = r t = 1 
+   .\] $\implies r \cdot r' \in R^{\times }$
+
+   Wir überprüfen die Gruppenaxiome: G1 folgt aus R2
+
+   $1 \in R$ ist neutral $\to$ G2
+
+   Bleibt zu zeigen: $\forall r \in R^{\times }: \exists r' \in R: r r' = 1$
+   Nach Definition: $\exists s \in R: s r = 1$. Zu zeigen: $s \in R^{\times }$.
+   Offenbar hat das Rechtsinverse $r$. Aber $r$ ist auch linksinvers zu $s$:
+
+   Wähle $t \in  R$ mit $r t = 1$. Dann gilt $s = s (r t) = (s r) t = t$
+   $\implies$ rs = rt = 1.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    $0_R \in R^{\times } \implies \exists r \in R: 0_R r = 1_R \implies 0_R = 1_R \implies$ $R$ ist der Nullring.
+\end{bem}
+
+\begin{definition}[Körper]
+    Ein Körper $K$ ist ein kommutativer Ring mit 1: $(K, +, 0_K, 1_K)$
+    mit $K^{\times } = K \ \{0_K\}$
+\end{definition}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item $\Q, \R, \C$ sind Körper
+        \item $\Z$ ist kein Körper ($\Z^{\times } = \{+1, -1\} $)
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{lemma}[]
+    In einem Körper $K$ gilt, dass
+    \[
+    a b = 0_K \implies a = 0 \wedge b = 0
+    .\] 
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Angenommen $a \neq 0_K$: Dann existiert $a^{-1} \in K$ mit
+    $a^{-1} a = 1_K$. Es folgt
+    \[
+    b = 1_K b = a^{-1} a b = a^{-1} 0_K = 0_K
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Ist $p$ eine Primzahl, so ist $\Z / p\Z$ ein Körper.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}[]
+    $\Z / p \Z$ ist kommutativer Ring mit 1 (siehe oben).
+
+    Zu zeigen: $\forall A \in \Z / p\Z, A \neq \overline{0}$ ist
+    die $\overline{1}$ im Bild der Abbildung:
+    \[
+    A\cdot : \Z / p \Z \to  \Z / p \Z, B \mapsto A \cdot B
+    .\] 
+    Wir zeigen sogar, dass $A \cdot$ surjektiv ist.
+    Da $\Z / p \Z$ endlich ist, genügt es z.z., dass $A \cdot$ injektiv ist.
+
+    Angenommen es gäbe Restklassen $B, C \in  \Z / p \Z$ mit
+    \[
+        A \cdot B = A \cdot C
+    .\] Seien $a, b, c \in \Z$ Vertreter.
+    Wegen $A \neq \overline{0}$ gilt $a$ nicht durch $p$ teilbar.
+    Wegen $AB = AC$ gilt $ab =- ac$ mod $p \implies p$ teilt $a (b -c)$.
+
+    Weil $p$ eine Primzahl ist und $p$ teilt nicht $a$ folgt
+    $p / (b -c)$, also $b =- c$ mod $p \implies B = C$ 
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Ist $n \in N$ keine Primzahl, so ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
+\end{bem}
+
+\begin{proof}
+    Für $n=1$ ist $\Z / n\Z$ der Nullring (kein Körper).
+    
+    Nun sei $n > 1$ keine Primzahl
+    $\implies \exists a, b \in \N, 1 < a, b < n$ mit $a b = n$ Für die
+    Restklassen bedeutet dies: $\overline{a} \neq \overline{0}$,
+    $\overline{b} \neq  \overline{0}$ aber
+    $\overline{a} \cdot \overline{b} = \overline{a \cdot b} = \overline{n} = \overline{0}$. Wir erhalten Widerspruch zu Lemma 1.15. Also
+    ist $\Z / n \Z$ kein Körper.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Charakteristik]
+    Sei $K$ Köper. Die kleinste natürliche Zahl $n$ mit n mal
+    $1_K + \ldots + 1_K = 0_K$ (in $K$) heißt die
+    Charakteristik von K.
+
+    Notation: char(K).
+    Gibt es eine solche Zahl $n$ nicht, dann setzt man char(K) = 0.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+
+    \begin{enumerate}
+        \item char(K) $=0$ oder char(K) $\ge 2$ (wegen $0_K \neq 1_K$).
+        \item \Q, \R, \C haben Charakteristik Null.
+        \item \Z / p \Z hat die Charakteristik p.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{satz}
+    char(K) ist entweder 0 oder Primzahl.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei char(K) $\neq 0$, also char(K) $= n \ge 2$.
+
+    Wäre $n$ keine Primzahl, so existieren $a, b \in \N, 1 < a ,b < n$
+    mit $ab = n$. Dann gilt:
+    \[
+        (1_K + \ldots + 1_K) \cdot (1_K + \ldots + 1_K)
+        = (1_K + \ldots + 1_K) = 0
+    .\] Aus dem Satz vom Nullprodukt folgt $(1_K + \ldots + 1_K)$ = $0_K$
+    oder $(1_K + \ldots + 1_K) = 0_K$
+
+    Das Widerspricht der Minimalität von n.
+\end{proof}
+
+\subsection{Homomorphismen}
+
+\begin{definition}
+    Seien $(G, *_G, e_G)$ und $(H, *_H, e_H)$ Gruppen.
+    Eine Abbildung $f: G \to H$ heißt Gruppenhomomorphismus wenn für alle
+    $g, g' \in G$ gilt:
+    \[
+        f(g *_G g') = f(g) *_H f(g')
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\end{document}

ws2019/la/uebungen/la2.tex

@@ -0,0 +1,215 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{aufgabe}
+\end{aufgabe}
+
+Sei $G = (G, \cdot, e)$ eine Gruppe. Auf der Potenzmenge $P(G)$ betrachten
+wir die Abbildung
+\[
+    (A,B) \to A * B = \{a \cdot b  \mid (a, b) \in A \times B\} 
+.\] 
+
+Verknüpfung $*$ ist assoziativ:
+\begin{proof}
+\begin{align*}
+    (A * B) * C &= \{a \cdot b  \mid (a, b) \in A \times B\} * C \\
+    &= \{(a \cdot b) \cdot c  \mid ((a, b), c) \in (A \times B) \times C\} \\
+    &= \{a \cdot (b \cdot c)  \mid (a, (b, c)) \in A \times (B \times C)\} \\
+    &= A * \{b \cdot c  \mid (b, c) \in B \times C\} \\
+    &= A * (B * C)
+.\end{align*}
+
+\end{proof}
+
+Existenz (links- und rechts-) neutrales Element $E$.
+
+\begin{proof}
+    Sei $E$ := $\{e\}$ mit $e \in G$ neutrales Element der Gruppe $G$. Dann
+    sei $A \in P(G)$ beliebig:
+    \begin{align*}
+        E * A &= \{e \cdot a | (e, a) \in E \times A\} \\
+              &= \{ a | (e, a) \in \{e\} \times A\} \\
+              &= A
+    .\end{align*}
+    Da $e$ neutrales Element von $G$ auch rechtsneutral, folgt analog, dass
+    $E$ auch rechtsneutral ist.
+\end{proof}
+
+Eindeutigkeit
+
+\begin{proof}
+    Seien $E$ und $\overline{E}$ neutrale Elemente, so folgt:
+    \begin{align*}
+        \overline{E} = \overline{E} * E = E
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+Wann gibt es inverse Elemente?
+
+Zu ein-elementigen Mengen $A := \{a\} \in P(G), a \in G$ existieren inverse
+Elemente $A^{-1} := \{a^{-1}\} \in P(G), a^{-1} \in G$.
+\begin{align*}
+    A * A^{-1} &= \{a * a^{-1} \mid (a, a^{-1}) \in \{(a, a^{-1})\} \} \\
+               &= \{e\} \\
+               &= E
+.\end{align*}
+
+Für leere Mengen oder Mengen mit mehr als einem Element existieren keine
+inversen Elemente.
+
+\begin{proof}
+    Leere Mengen mit $*$ verknüpft sind immer leer und ergeben, damit niemals
+    $E$.
+
+    Falls $\#A > 1$: Angenommen $\overline{A}$ erfülle die Eigenschaft, so
+    folgt:
+    \begin{align*}
+        A * \overline{A} &= \{ a \cdot \overline{a}  \mid (a, \overline{a}) \in  A \times \overline{A}\} \\
+        &= \{ e = a \cdot \overline{a}  \mid (a, \overline{a}) \in A \times \overline{A} \} 
+    .\end{align*}
+    Das heißt es existieren mehrere inverse Elemente zu dem selben $a \in G$,
+    was ein Widerspruch zur Eindeutigkeit der inversen Elemente ist.
+\end{proof}
+
+Es existiert keine Menge $G$, sodass die $P(G)$ nur aus ein-elementigen Mengen
+besteht, da in jeder $P(G)$ die leere Menge liegt, die kein Inverses hat.
+
+\begin{aufgabe}
+    Es seien $A$, $B$ und $C$ Mengen und $f: A \to B$, $g: B \to  C$
+    Abbildungen zwischen ihnen.
+\end{aufgabe}
+
+\textbf{a)}
+\begin{proof}
+    Zu zeigen: $g \circ f$ injektiv $\implies$ $f$ injektiv
+
+    Angenommen: $f$ nicht injektiv. Dann existieren
+    $a_1, a_2 \in A, a_1 \neq a_2$, s.d.
+    $f(a_1) = f(a_2)$.
+
+    $\implies g(a_1) = g(a_2)$. Widerspruch zu $g \circ f$ injektiv.
+\end{proof}
+
+\textbf{b)}
+\begin{proof}
+    Zu zeigen: $g \circ f$ surjektiv $\implies$ $g$ surjektiv 
+    
+    Angenommen: $g$ nicht surjektiv. Dann existiert ein $c \in C$ mit
+    $g^{-1}(c) = \emptyset$. Damit $(g \circ f)^{-1}(c) = \emptyset$.
+    Widerspruch zu $g \circ f$ surjektiv.
+\end{proof}
+
+\textbf{c)}
+\begin{proof}
+    Zu zeigen: Sind $f$ und $g$ bijektiv, so ist auch $g \circ f$ bijektiv 
+
+    Sei $c \in C$ beliebig, so gilt wegen $g$ bijektiv:
+    $g^{-1}(\{c\}) = \{b\}, b \in B$. Wegen $f$ bijektiv gilt, dann dass
+    $f^{-1}(\{b\}) = f^{-1}(g^{-1}(c)) = \{a\}, a \in A$. Damit ist
+    $f \circ g$ bijektiv.
+
+    Zu zeigen: Es gilt $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$
+
+    ($f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f)$ muss die Identitätsabbildung $id$
+    ergeben, damit
+    $(g \circ f)^{-1}$ Umkehrabbildung von $(g \circ f)^{-1}$ ergibt.
+    \[
+        (f^{-1} \circ g^{-1}) \circ (g \circ f)
+        = (f^{-1} \circ id \circ f^{-1})
+        = id
+    .\] 
+\end{proof}
+
+\begin{aufgabe}
+\end{aufgabe}
+
+\textbf{a)} $F_n$ ist weder injektiv noch surjektiv.
+
+Nicht injektiv: $0 \in \N_0$ und $1 \in \N_0$ bilden beide auf $a$ ab.
+
+Nicht surjektiv: Für $a = 0$ sind alle $f(n) = 0$ und damit ist $f^{-1}(1) = \emptyset$.
+
+\textbf{b)} $f_n^{2} = f_{n-1}f_{n+1}+(-1)^{n} \cdot a^2$ $\forall n \in \N$
+
+\begin{proof}[Beweis durch vollständige Induktion]
+    Induktionsanfang: Für $n=1$ und für $n=2$:
+    \begin{align*}
+        &f(1)^2 = a^2 = a \cdot 2 a - a^2 = f(0)f(2) + (-1)^1 \cdot a^2 \\
+        &f(2)^2 = 4a^2 = a \cdot 3 a + a^2 = f(1)f(3) + (-1)^2 \cdot a^2 \\
+    .\end{align*}
+
+    Induktionsvorraussetzung: Es existiere ein festes aber beliebiges
+    $n \in \N$ mit
+    \[
+        f(n)^2 = f(n-1) f(n+1)+(-1)^{n} \cdot a^2 
+    .\] 
+    Induktionsschritt $n \to n+2$:
+
+    Zu zeigen:
+    \[
+        f(n+2)^2 = f(n+1) f(n+3) + (-1)^{n+2} \cdot a^2 
+    .\]
+    \begin{align*}
+        f(n+2)^2 &= \left( f(n+1) + f(n) \right)^2\\
+                 &= f(n+1)^2 + 2f(n+1)f(n) + f(n)^2 \\
+                 &= f(n+1)^2 + 2f(n+1)f(n) + f(n-1)f(n+1) + (-1)^{n}\cdot a^2\\
+                 &= f(n+1) \left[ f(n+1) + 2f(n)+f(n-1)\right] + (-1)^{n+2} \cdot a^2 \\
+                 &= f(n+1) f(n+3) + (-1)^{n+2} \cdot a^2
+    .\end{align*}
+
+    Von den zwei Induktionsanfängen ausgehend, ergibt sich die Behauptung
+    für alle $n \in N$.
+\end{proof}
+
+\begin{aufgabe}
+    Sei $f: X \to Y$ Abbildung. Wir definieren die Relation
+    \[
+        R = \{(x_1, x_2) \in X \times X  \mid f(x_1) = f(x_2)\} 
+    .\] 
+\end{aufgabe}
+
+\textbf{a)} $R$ ist Äquivalenzrelation auf $X$.
+
+\begin{enumerate}
+    \item Reflexivität: Sei $a \in X$. Dann ist $a \thicksim a$,
+        da $f(a) = f(a)$.
+    \item Symmetrie: Seien $a, b \in X$ und $a \thicksim b$.\\
+        $\implies f(a) = f(b) \implies f(b) = f(a) \implies b \thicksim a$
+    \item Transitivität: Seien $a, b, c \in X$ und $a \thicksim b$ und
+        $b \thicksim c$.\\
+        $\implies f(a) = f(b) \land f(b) = f(c) \implies f(a) = f(c) \implies a \thicksim c$
+\end{enumerate}
+
+\textbf{b)}
+
+Die Abbildung $\overline{f}: X / R \to im(f)$ wird definiert als
+\[
+    \overline{f} := A \mapsto f(a), a \in A
+.\] 
+
+Zu zeigen: $\overline{f}$ ist bijektiv.
+
+Injektivität: Seien $A,B \in X / R$. Entweder $A = B$, daraus folgt, dass
+$\overline{f}(A) = \overline{f}(B)$. oder
+$A \neq B \implies A \cap B = \emptyset$, daraus folgt, dass
+$\overline{f}(A) \neq \overline{f}(B)$.
+
+Surjektivität: Sei $y$ in $im(f)$, so existiert ein $x \in X$ mit $f(x) = y$.
+Dieses x liegt in einer Äquivalenzklasse aus $X/R$.
+Damit $\overline{f}^{-1}(y) \neq \emptyset$.
+
+Aus Injektivität und Surjektivität folgt, dass $\overline{f}$ bijektiv ist.
+
+Eindeutigkeit: Die Abbildung $\overline{f}$ ist eindeutig bestimmt, durch
+den Zusammenhang
+\[
+    \overline{f} \circ p = f
+.\] Da $p$ einem $x$ immer eindeutig genau eine Äquivalenzklasse zuordnet,
+nämlich, die jenige Teilmenge $A \in X / R$, deren Elemente alle auf das
+selbe $f(x)$ abbilden, muss $\overline{f}$ stets genau der Äquivalenzklasse
+$[x]$ ihr gemeinsames Bild $f(x)$ zuordnen, damit die Gleichheit $\overline{f}
+\circ p = f$ erfüllt ist.
+
+\end{document}

ws2019/theo/uebungen/theo.tex

@@ -0,0 +1,197 @@
+\documentclass{lecture}
+
+\usepackage{siunitx}
+
+\begin{document}
+\begin{aufgabe}[Differentialgleichungen]
+    Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen
+\end{aufgabe}
+\textbf{a)} $y'(x) = y^2(x)\cosh(x)$
+
+Durch Umformung erhalten wir folgende Form einer homogenen DGL 1. Ordnung:
+\[
+    \frac{y'(x)}{y^{2}(x)} = \cosh(x)
+.\] Durch Integration erhalten wir folgenden Ausdruck
+\[
+    \int_{}^{} \frac{dy}{dx \cdot y^2}dx = \int_{}^{} \sinh(x)dx 
+    \implies
+    -\frac{1}{y} = \sinh(x) + C 
+.\] und damit:
+\[
+    y = - \frac{1}{\sinh(x) + C}
+.\] Durch Einsetzen der Anfangsbedingung $y(0) = 4$ erhalten wir:
+\[
+    y = -\frac{1}{\sinh(x) - \frac{1}{4}}
+.\] 
+\textbf{b)} $y'(x) = \sin(x)\cos(x) - y(x)\sin(x)$
+
+Hier liegt eine inhomogene DGL erster Ordnung vor, das heißt wir setzen
+nach Umformung den inhomogenen Teil Null.
+\[
+    y'(x) + y(x)\sin(x) = 0
+.\] Durch Trennung der Variablen erhalten wir folgende Lösung der
+homogenen Gleichung:
+\[
+    y = ae^{\cos(x)}
+.\] Durch Variation der Konstanten $a$ durch eine Funktion $A(x)$ und
+einsetzen in die DLG erhalten wir
+\begin{align*}
+    A'(x) e^{\cos(x)} - A(x) \sin(x) e^{\cos(x)}
+    &= \sin(x)\cos(x)-A(x) \sin(x) e^{\cos(x)}\\
+    A'(x) &= \sin(x) \cos(x) e^{-\cos(x)}
+.\end{align*}
+Durch Integration erhalten wir folgenden Term für $A(x)$.
+\begin{align*}
+    A(x) &= \cos(x) e^{-\cos(x)} - \int_{}^{} -\sin(x) e^{-\cos(x)}dx \\
+         &= \cos(x) e^{-\cos(x)} + e^{-\cos(x)} + C\\
+         &= e^{-\cos(x)} \left( \cos(x) + 1 \right) + C
+.\end{align*} und damit die allgemeine Lösung der DGL
+\begin{align*}
+    y(x) &= \left(e^{-\cos(x)}\left( \cos(x) + 1 \right) + C\right) e^{\cos(x)}\\
+     &= \cos(x) + 1 + C e^{\cos(x)}
+.\end{align*} Mit der Anfangsbedingung $y(0)=0$ ergibt sich
+$C = \frac{-2}{e}$, und damit:
+\[
+ y(x) =\cos(x)+1-2e^{\cos(x)-1}
+.\] 
+\newpage
+
+\begin{aufgabe}[Start einer Rakete]
+\end{aufgabe}
+
+\textbf{a)} Mit welcher Geschwindigkeit wird der Treibstoff aus der Sicht
+eines auf der Erde ruhenden Beobachters ausgestoßen?
+
+Die Rakete bewegt sich mit der Geschwindigkeit $v_{R}$ nach oben, von dort
+wird der Tropfen mit der Geschwindigkeit $v_{T}$ ausgestoßen.
+\[
+    v_{T} = v_{R} - v_{0}
+.\] 
+
+Welche Kraft erfährt die Rakete somit aus der Sicht des ruhenden Beobachters?
+
+Für den Impuls eines Treibstoffteilchens der Masse $\Delta m_{T}$ gilt:
+\[
+    p_{T} = \Delta m_{T} \cdot v_{T} = \Delta m_{T} \cdot \left( v_{R} - v_{0} \right) 
+.\] Für die Impulsänderung $\Delta p_{R}$ in der Zeiteinheit $\Delta t$ gilt:
+\[
+    \frac{\Delta p_{R}}{\Delta t} = \frac{\Delta m_{T} \cdot \left( v_{R} - v_{0} \right) }{\Delta t}
+.\] Nun führen wir den Grenzübergang für $\Delta t \to 0$ durch:
+\begin{align*}
+    \lim_{\Delta t \to 0} \left( \frac{\Delta p_{R}}{\Delta t} \right)
+    &= \lim_{\Delta t \to 0} \left(\frac{\Delta m_{T} \cdot \left( v_{R} - v_{0} \right) }{\Delta t}\right) \\
+.\end{align*}
+Daraus erhalten wir:
+\[
+    \dot{p} = \dot{m} (v_{R} - v_{0})
+.\] 
+Die Kraft, die auf die Rakete wirkt, setzt sich zusammen aus der Kraft $F_{A}$,
+die die Rakete antreibt und der Gewichtskraft $F_{G} = - m g$.
+
+Aus dem zweiten Newton'schen Axiom:
+\[
+    \dot{p} = F
+\] folgt:
+\[
+    F = \dot{m} \left( v_{R} - v_{0} \right) - m g
+.\]
+\textbf{b)} Aus der Kraft $F$ folgt mit $v_{R} = v$
+\[
+    \dot{m}v + m\dot{v} = \dot{m} \left( v - v_{0} \right) - m g
+\] durch Umformung
+\begin{align*}
+    \frac{\dot{m}v}{m} + \dot{v}
+    &= \frac{\dot{m}}{m} \left( v - v_{0} \right) - g\\
+    &= \frac{\dot{m}}{m} v - \frac{\dot{m}}{m} v_{0} - g
+.\end{align*}
+Daraus ergibt sich:
+\[
+    \frac{\dot{m}}{m} v_{0} = -g -\dot{v}
+.\] 
+
+\textbf{c)} Durch Integration des obenstehenden Ausdrucks ergibt sich:
+\begin{align*}
+    \ln(m) v_{0} &= -gt - v + m_{0}\\
+    \implies v(t) &= -gt - \ln(m) v_{0} + C
+.\end{align*}
+Mit der Anfangsbedingung $v(0) = 0$ und der Anfangsmasse $m_{0}$ folgt:
+\[
+    v(0) = 0 = -v_{0} \cdot \ln(m_{0}) + C \implies C = v_{0} \ln(m_{0})
+.\] Damit:
+\[
+    v(t) = -gt +v_{0} \ln\left(  \frac{m_{0}}{m}\right)
+.\]
+
+\textbf{d)} Sei die Treibstoffausstoßrate $\mu$ gegeben als
+$\mu = \frac{m}{t}$, so folgt:
+\[
+    m(t) = m_{0} - \mu t
+.\] Für eine Treibstoffmasse $m_{T} < m_{0}$ ergibt sich ein Zeitpunkt
+$t_{e}$ zu dem der gesamte Treibstoff aufgebraucht ist:
+\[
+    m(t_{e}) = m_{0} - m_{T} \implies t_{e} = \frac{m_{T}}{\mu}
+.\] Mit der Rate $\mu$ ergibt sich für $v(t)$:
+\[
+    v(t) = -gt + v_{0} \ln\left( \frac{m_{0}}{m_{0} - \mu t} \right)
+.\] Zum Zeitpunkt $t_e$
+\[
+    v(t_{e}) = -gt_{e} + v_{0} \ln\left( \frac{m_{0}}{m_{0} - m_{T}} \right) 
+.\] Für die Höhe muss die Geschwindigkeit $v(t)$ einmal integriert werden,
+mit $h_0 = 0$:
+\begin{align*}
+    s(t) &= \int_{}^{} v(t) dt = \int_{}^{} \left( -gt + v_{0} \ln\left( \frac{m_{0}}{m_{0} - \mu t} \right)  \right) dt + h_0\\
+         &= -\frac{1}{2}gt^2 - v_{0} \int_{}^{} \ln\left(1-\frac{\mu}{m_{0}} t\right) \\
+         &= -\frac{1}{2}gt^2 + v_{0} \frac{m_{0}}{\mu}
+         \left[ \left( 1 - \frac{\mu}{m_{0}} t \right)
+         \ln\left(1 - \frac{\mu}{m_{0}} t\right)
+         - \left( 1 - \frac{\mu}{m_{0}}t \right) \right] \\
+         &= -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 \frac{m_0}{\mu} \left( 1 - \frac{\mu}{m_0}t \right) \left[ \ln\left( 1 - \frac{\mu}{m_0}t \right) -1 \right] \\
+         &= -\frac{1}{2}gt^2 + \left(v_0 \frac{m_0}{\mu} - v_0 t\right)
+         \left[ \ln\left( 1 - \frac{\mu}{m_0}t \right) \right]
+.\end{align*}
+
+Für $s(t_{e})$ und $t_{e} = \frac{m_{T}}{\mu}$ ergibt sich:
+\begin{align*}
+    s(t_{e}) &= -\frac{1}{2}g \left( \frac{m_{T}}{\mu} \right) ^2 + v_{0}\left( \frac{m_0}{\mu} - \frac{m_{T}}{\mu} \right)
+    \left[\ln\left( 1-\frac{\mu}{m_0} \frac{m_{T}}{\mu} \right) \right] \\
+    &= -\frac{1}{2}g \left( \frac{m_{T}}{\mu} \right) ^2 + v_{0}\left( \frac{m_0 - m_{T}}{\mu} \right)
+    \left[\ln\left( 1-\frac{m_{T}}{m_0} \right) \right] \\
+.\end{align*}
+
+\textbf{e)} Die Geschwindigkeit, wenn der ganze Treibstoff aufgebraucht ist, ergibt sich durch
+\[
+    v(t_{e}) = -gt_{e} + v_{0} \ln\left( \frac{m_{0}}{m_{0} - m_{T}} \right) 
+.\] Wenn $m_{0} = m_{T}$ geht der obenstehnde Ausdruck gegen $\infty$.
+
+Eine Rakete die nur aus Treibstoff besteht, ist logischerweise nicht
+physikalisch sinnvoll. Das Ergebnis, dass ein Objekt mit der Masse Null
+unendliche Geschwindigkeiten erreicht, ist dahingegen denkbar.
+
+\textbf{f)} Zum Zeitpunkt $t_e$ hat die Rakete die Geschwindigkeit
+\[
+    v(t_{e}) = v_{E}
+.\] Danach ist die Geschwindigkeit der Rakete durch
+\[
+    v(t) = v_{E} - gt
+\] beschrieben. Für die Steighöhe ergibt sich daraus
+\[
+    s(t) = v_{E}t - \frac{1}{2}gt^2 + h_{0}
+.\] Aus $v(t) = 0$ folgt $\hat{t} = \frac{v_{E}}{g}$ und damit
+\begin{align*}
+    h(\hat{t}) &= \frac{v_{E}^2}{g} - \frac{1}{2} g\frac{v_{E}^2}{g^2} + h_0 \\
+    &= \frac{1}{2} \frac{v_E^2}{g} + h_{0}
+.\end{align*}
+
+\textbf{g)} Wasserrakete mit $v_{0} = \SI{25}{ms^{-1}}$ und $m_T = \frac{4}{5} m_0$ und $\mu = 2m_{T} \SI{}{s^{-1}}$
+\begin{align*}
+    v\left(\frac{1}{2}\SI{}{s}\right) &= -g \frac{1}{2}\SI{}{s} + \SI{25}{ms^{-1}} \ln\left( \frac{m_0}{m_0-\frac{4}{5}m_0} \right) \\
+      &= -\SI{9.81}{ms^{-2}} \SI{0,5}{s} + \SI{25}{ms^{-1}} \ln(5) \\
+      &= \SI{45.14}{ms^{-1}} \\
+    s(\SI{0.5}{s}) &= -\frac{1}{2} g \left( \frac{m_{T}}{2m_{T}\SI{}{s^{-1}}} \right)^2
+    + \SI{25}{ms^{-1}} \left( \frac{m_{0} - m_{T}}{2 m_T \SI{}{s^{-1}}} \right) 
+        \ln\left( \frac{1}{5} \right) \\
+       &= -\frac{1}{2}g \left( \frac{1}{2} \SI{}{s} \right)^2
+       + \SI{25}{ms^{-1}} \left( \frac{1}{8} \SI{}{s} \right)
+       \ln\left( \frac{1}{5} \right) 
+.\end{align*}
+\end{document}