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sose2020/la/uebungen/la2.tex

@@ -78,8 +78,7 @@
     \[
         \varphi(21 + 7) = \varphi(28) = (\overline{0}, \overline{0})
     .\]
-    Also wird die Python an diesem Tag sowohl gebadet, als auch gefüttert, und danach
-    alle 28 Tage wieder.
+    Also wird die Python an diesem Tag sowohl gebadet, als auch gefüttert.
     \end{proof}
 \end{aufgabe}
 
@@ -155,6 +154,7 @@
                 $1 \pm \sqrt{-3} \;\widehat{=} -(1 \pm \sqrt{-3})$, folgt die Behauptung.
             \end{proof}
 
+            \newpage
             Beh.: $2$ ist kein Primelement in $\Z[\sqrt{-3} ]$.
             \begin{proof}
                 Es gilt $2 \mid 4 = (1 + \sqrt{-3})(1 - \sqrt{-3})$. Aber
@@ -163,8 +163,14 @@
                 Also ist $2$ kein Primelement.
             \end{proof}
         \item Beh.: $\text{GGT}(4, 2+2\sqrt{-3}) = \emptyset$.
+
+            Notation: $T := $ gemeinsame Teiler von $4$ und $2 + 2\sqrt{-3} $.
             \begin{proof}
-                Zunächst ist $\delta (4) = \delta (2 + 2 \sqrt{-3}) = 16$. Sei $b \in \Z[\sqrt{-3}]$
+                Es ist
+                \[
+                    \text{GGT}(4, 2 + 2\sqrt{-3} ) \subseteq T
+                .\] 
+                Weiter ist $\delta (4) = \delta (2 + 2 \sqrt{-3}) = 16$. Sei $b \in \Z[\sqrt{-3}]$
                 Teiler von $a \in \Z[\sqrt{-3}]$ mit $\delta(a) = 16$. Dann ex.
                 $c \in \Z[\sqrt{-3}]$ s.d. $a = bc$. Dann gilt
                 $\delta(a) = \delta (bc) = \delta (b) \cdot \delta (c) = 16$. Wegen
@@ -177,10 +183,10 @@
                     \delta^{-1}(4) &= \{\pm 2, \pm (1 \pm \sqrt{-3}) \} \\
                     \delta ^{-1}(16) &= \{\pm 4, \pm (2 \pm 2\sqrt{-3}) \} 
                 .\end{align*}
-                Damit folgt, dass alle möglichen gemeinsamen Teiler
-                gegeben sind durch:
+                Damit folgt, dass für die gemeinsamen Teiler
+                gilt:
                 \[
-                    T = \{\pm 1, \pm 2, \pm (1 \pm \sqrt{-3}), \pm 4, \pm (2 \pm 2\sqrt{-3})\} 
+                    T \subseteq \{\pm 1, \pm 2, \pm (1 \pm \sqrt{-3}), \pm 4, \pm (2 \pm 2\sqrt{-3})\} 
                 .\] 
                 Es gilt weiter $4 \nmid (2 \pm 2\sqrt{-3})$, da $\forall a, b \in \Z$ gilt:
                 \[
@@ -194,12 +200,29 @@
                     = \underbrace{2a \mp 6b}_{=4} + \sqrt{-3} (\underbrace{2b \pm 2a}_{= 0})
                     \implies 2a = \mp 2b \implies \mp \underbrace{8b}_{\in \Z} = 4 \quad \contr
                 .\] Analog folgt wieder $\pm (2 \pm 2 \sqrt{-3}) \nmid \pm 4$.
-                Damit folgt $\pm 4$, $\pm (2 \pm 2 \sqrt{-3}) \not\in \text{GGT}(4, 2 + 2 \sqrt{-3})$.
+                Damit folgt $\pm 4$, $\pm (2 \pm 2 \sqrt{-3})$ sind
+                keine gemeinsamen Teiler von $2$ und $2 + 2 \sqrt{-3}$, d.h.
+                $\pm 4$, $\pm (2 \pm 2 \sqrt{-3}) \not\in \text{GGT}(4, 2 + 2 \sqrt{-3})$.
+
+                Es folgt also
+                \[
+                    T \subseteq \{ \pm 1, \pm 2, \pm (1 \pm \sqrt{-3})\}
+                .\]
+                Wegen $4 = 2 \cdot 2 = (1 + \sqrt{-3}) (1 - \sqrt{-3})$ und
+                $2 + 2 \sqrt{-3} = 2 \cdot (1 + \sqrt{-3})$, sind $2$
+                und $1 + \sqrt{-3} $ gemeinsame Teiler:
+                \[
+                    \{ 2, 1 + \sqrt{-3}\} \subseteq T \subseteq \{ \pm 1, \pm 2, \pm (1 \pm \sqrt{-3})\} 
+                .\] 
 
-                Da $\pm 2, \pm (1 \pm \sqrt{-3}) \not\in \Z[\sqrt{-3}]^{\times }$, folgt
-                $\pm 2 \nmid \pm 1, \pm (1 \pm \sqrt{-3}) \nmid \pm 1$. Wegen
-                $\pm 2$ und $\pm (1 \pm \sqrt{-3})$ irreduzibel, folgt
-                $\pm 2 \nmid \pm (1 \pm \sqrt{-3})$ und $\pm (1 \pm \sqrt{-3}) \nmid \pm 2$.
+                Da $2, 1 + \sqrt{-3} \not\in \Z[\sqrt{-3}]^{\times }$, folgt
+                $2 \nmid \pm 1, (1 + \sqrt{-3}) \nmid \pm 1$. Also folgt
+                $\pm 1 \not\in \text{GGT}(4, 2+2\sqrt{-3}$.
+                
+                Wegen
+                $2$ und $1 + \sqrt{-3}$ ungleich, keine Einheiten und irreduzibel, folgt
+                $2 \nmid \pm (1 \pm \sqrt{-3})$ und $(1 + \sqrt{-3}) \nmid \pm 2$. Also
+                ist $\pm 2, \pm (1 \pm \sqrt{-3}) \not\in \text{GGT}(4, 2 + 2\sqrt{-3})$.
 
                 Damit folgt die Behauptung.
             \end{proof}
@@ -214,6 +237,7 @@
     \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
+\newpage
 \begin{aufgabe}
     Sei $R$ ein Ring.
     Beh.: $R$ ist noethersch $\iff$ Jedes Ideal in $R$ ist endlich erzeugt.