diff --git a/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.pdf b/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.pdf deleted file mode 100644 index df30ade..0000000 Binary files a/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.pdf and /dev/null differ diff --git a/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.tex b/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.tex deleted file mode 100644 index d789961..0000000 --- a/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.tex +++ /dev/null @@ -1,275 +0,0 @@ -\documentclass[uebung]{../../../lecture} - -\title{Wtheo 0: Übungsblatt 1} -\author{Josua Kugler, Christian Merten} - -\newcommand{\IP}{\mathbb{P}} - -\usepackage[]{mathrsfs} -\begin{document} - -\punkte - -\begin{aufgabe} - \begin{enumerate}[(a)] - \item Seien $\mathcal{A}_i, i \in I$ $\sigma$-Algebren über $\Omega$. - Beh.: $\bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$ $\sigma$-Algebra über $\Omega$. - \begin{proof} - \begin{enumerate}[(i)] - \item $\Omega \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$, denn - $\forall i \in I\colon \Omega \in \mathcal{A}_i$, da $\mathcal{A}_i$ $\sigma$-Algebra. - \item Sei $A \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$. Dann ist für $i \in I$: - $A \in \mathcal{A}_i$. Da $\mathcal{A}_i$ $\sigma$-Algebra, - ist $A^{c} \in \mathcal{A}_i$. Damit folgt - $A^{c} \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$. - \item Sei $A_j \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$ $\forall j \in \N$. Da - für alle $i \in I$, $\mathcal{A}_i$ $\sigma$-Algebra, ist - $\bigcap_{j \in \N} A_j \in \mathcal{A}_i$. Also auch - $\bigcap_{j \in \N} A_j \in \bigcap_{i \in I} \mathcal{A}_i$. - \end{enumerate} - \end{proof} - \item Beh.: Die Aussage ist falsch. - \begin{proof} - Es sei $\Omega \coloneqq \{ 0, 1, 2\} $, - $\mathcal{A}_1 \coloneqq \sigma(\{0\}) = \{ \Omega, \emptyset, \{0\} , \{1, 2\} \} $ und \\ - $\mathcal{A}_2 \coloneqq \sigma(\{2\} ) = \{\Omega, \emptyset, \{2\}, \{0, 1\} \} $. - Dann sind $\mathcal{A}_1$ und $\mathcal{A}_2$ nach VL $\sigma$-Algebren über $\Omega$, aber - $\mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2 = \{\Omega, \emptyset, \{0\} , \{2\} , \{1,2\} , \{0,1\} \} $ - nicht, da $\{0\} \cup \{2\} = \{0, 2\} \not\in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$. - \end{proof} - \item Sei $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra über $\Omega$ und $f\colon \mathcal{X} \to \Omega$ Abbildung. - Beh.: $f^{-1}(\mathcal{A}) \coloneqq \{ f^{-1}(A) \colon A \in \mathcal{A}\} $ ist $\sigma$-Algebra. - \begin{proof} - \begin{enumerate}[(i)] - \item $\mathcal{X} \in f^{-1}(\mathcal{A})$, denn $f^{-1}(\Omega) = \mathcal{X}$. - \item Sei $B \in f^{-1}(\mathcal{A})$. Dann ex. ein $A \in \mathcal{A}$, s.d. - $f^{-1}(A) = B$. Da $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra ist $A^{c} \in \mathcal{A}$. - Damit folgt - \[ - B^{c} = f^{-1}(A)^{c} = f^{-1}(A^{c}) \in f^{-1}(\mathcal{A}) - .\] - \item Seien $B_i \in f^{-1}(\mathcal{A})$ $\forall i \in \N$. Dann ex. $\forall i \in \N$ - ein $A_i \in \mathcal{A}$, s.d. $f^{-1}(A_i) = B_i$. Da - $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra ist $\bigcup_{i \in \N} A_i \in \mathcal{A}$. - Damit folgt - \[ - \bigcup_{i \in \N} B_i = \bigcup_{i \in \N} f^{-1}(A_i) - = f^{-1} \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \right) \in f^{-1}(\mathcal{A}) - .\] - \end{enumerate} - \end{proof} - \item Sei $T \subseteq \Omega$ mit $T \neq \emptyset$ und sei $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra über - $\Omega$. Beh.: $A|_T \coloneqq \{ A \cap T \colon A \in \mathcal{A}\} $ $\sigma$-Algebra. - \begin{proof} - Betrachte die kanonische Inklusion $\iota \colon T \xhookrightarrow{} \Omega$. Dann - gilt - \begin{align*} - \iota^{-1}(\mathcal{A}) &= \{ \iota^{-1}(A) \colon A \in \mathcal{A}\} \\ - &= \{ \{ x \in T \colon \iota(x) \in A \} \colon A \in \mathcal{A}\} \\ - &= \{ \{ x \in T \colon x \in A \} \colon A \in \mathcal{A}\} \\ - &= \{ A \cap T \colon A \in \mathcal{A}\} - .\end{align*} - Damit folgt die Behauptung mit (c). - \end{proof} - \end{enumerate} -\end{aufgabe} - -\begin{aufgabe} - Sei $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ Wahrscheinlichkeitsraum und $A, B, A_n \in \mathcal{A}$ für - $n \in \N$. - \begin{enumerate}[(a)] - \item Beh.: $A \subseteq B \implies \mathbb{P}(A) \le \mathbb{P}(B)$. - \begin{proof} - Sei $A \subseteq B$. Dann ist - \begin{salign*} - \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A \cupdot B \setminus A) - &\stackrel{\sigma \text{-Additivität}}{=} \mathbb{P}(A) + - \underbrace{\mathbb{P}(B \setminus A)}_{\ge 0} \ge \mathbb{P}(A) - .\end{salign*} - \end{proof} - \item Beh.: $| \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B)| \le \mathbb{P}(A \triangle B)$. - \begin{proof} - Es ist zunächst - \begin{salign*} - \mathbb{P}(A \triangle B) &= \mathbb{P}(A \setminus B \cupdot B \setminus A) \\ - &\stackrel{\sigma \text{-Additivität}}{=} \mathbb{P}(A \setminus B) + \mathbb{P}(B \setminus A) \\ - &= \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \\ - \intertext{ - Sei o.E. $\mathbb{P}(A) \ge \mathbb{P}(B)$ (sonst analog durch Hinzufügen von - $\mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A)$). Dann folgt} - \mathbb{P}(A \triangle B) &= \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B) \\ - &= |\mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B)| + \underbrace{2 \mathbb{P}(B \setminus A)}_{\ge 0} \\ - &\ge | \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(B)| - .\end{salign*} - \end{proof} - \item Beh.: $\mathbb{P}(\bigcup_{k \in \N} A_k) \le \sum_{k=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_k)$. - \begin{proof} - Betrachte $B_n \coloneqq A_n \setminus \left(\bigcup_{k=1}^{n-1}A_k\right)$. Dann - ist $\forall n \in \N: B_n \subseteq A_n$ also mit (a) $\mathbb{P}(B_n) \le \mathbb{P}(A_n)$. - Damit folgt - \begin{salign*} - \mathbb{P}\left( \bigcup_{n \in \N} A_n \right) - = \mathbb{P}\left( \bigcupdot_{n \in \N} B_n \right) - &\stackrel{\sigma \text{Additivität}}{=} - \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(B_n) \le \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(A_n) - .\end{salign*} - \end{proof} - \item Beh.: $A_n \subseteq A_{n+1} \forall n \in \N \implies \mathbb{P}(\bigcup_{n \in \N} A_n) - = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n)$. - \begin{proof} - Sei $A_n \subseteq A_{n+1}$ $\forall n \in \N$. Betrachte - $B_n \coloneqq A_n \setminus \left( \bigcup_{k=1}^{n-1} A_k \right) $. Da $A_n$ monoton - wachsend, ist für $n \ge 2\colon B_n = A_n \setminus A_{n-1}$. Damit folgt - \begin{salign*} - \mathbb{P}(\bigcup_{n \in \N} A_n) &= \mathbb{P}\left( \bigcupdot_{n \in \N} B_n \right)\\ - &\stackrel{\sigma \text{Additivität}}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(B_n) \\ - &= \mathbb{P}(B_1) + \sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(A_n \cap A_{n-1}) \right) \\ - &\stackrel{A_n \subseteq A_{n+1}}{=} - \mathbb{P}(B_1) + \sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(A_{n-1}) \right) \\ - &\stackrel{\text{Teleskopsumme}}{=} \mathbb{P}(B_1) - \mathbb{P}(A_1) + \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) \\ - &\stackrel{B_1 = A_1}{=} \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) - .\end{salign*} - \end{proof} - \end{enumerate} -\end{aufgabe} - -\begin{aufgabe} - Sei $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. - \begin{enumerate}[(a)] - \item Der Induktionsanfang ist offensichtlich wahr, $\IP(A_1) = (-1)^0 \cdot \IP(A_1)$. Gelte die Behauptung also für ein $n\in \N$. Dann folgern wir - \begin{align*} - \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n+1} A_j\right) =& \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n} A_j\right) + \IP(A_{n+1}) - \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n} A_j \cap A_{n+1}\right)\\ - =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right) + \IP(A_{n+1})\\ - &- \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n} (A_j \cap A_{n+1})\right)\\ - =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right) + \IP(A_{n+1})\\ - &- \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1,\dots, k_j\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP((A_{k_1} \cap A_{n+1}) \cap \dots \cap (A_{k_j} \cap A_{n+1}))\right)\\ - =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right) + \IP(A_{n+1})\\ - &- \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_j\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j} \cap A_{n+1})\right)\\ - =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\substack{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n+1\}\\\forall i\colon k_i \neq n+1}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right) + \IP(A_{n+1})\\ - &+ \sum_{j = 2}^{n+1} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\substack{\{k_1, \dots, k_j\} \subset \{1,\dots, n+1\}\\\exists i\colon k_i = n+1}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right)\\ - =& \sum_{j = 1}^{n} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\substack{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n+1\}\\\forall i\colon k_i \neq n+1}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right)\\ - &+ \sum_{j = 1}^{n+1} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\substack{\{k_1, \dots, k_j\} \subset \{1,\dots, n+1\}\\\exists i\colon k_i = n+1}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right)\\ - \end{align*} - Für $j = n+1$ gilt $\{k_1,\dots, k_j\} = \{1,\dots, n+1\}$. Daher können wir die beiden Summen im letzten Schritt einfach zusammenfassen und erhalten - \[ - \IP\left(\bigcup_{j=1}^{n+1} A_j\right) = \sum_{j = 1}^{n+1} \left((-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \dots, k_n\} \subset \{1,\dots, n\}} \IP(A_{k_1} \cap \dots \cap A_{k_j})\right), - \] - was zu zeigen war. -% \item Sei $n \in \N$ und $A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{A}$. -% Beh.: -% \[ -% \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n} A_n \right) -% = \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \cdot \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\} } -% \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j}) \right) -% .\] -% \begin{proof} -% Per Induktion über $n$. Sei $n=1$: Dann ist $\mathbb{P}(\bigcup_{j=1}^{1} A_j) = \mathbb{P}(A_1)$. -% Sei nun $n \in \N$ und Behauptung gezeigt für $k \le n$. Dann gilt -% \begin{salign*} -% \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n+1} A_j \right) -% =& \mathbb{P}\left(\bigcup_{j=1}^{n} A_j \cup A_{n+1}\right) \\ -% \stackrel{(*)}{=}& \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n} A_j \right) -% + \mathbb{P}(A_{n+1}) - \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n} A_j \cap A_{n+1} \right) \\ -% \stackrel{\text{I.V.}}{=}& -% \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\}} -% \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j})\right) -% + \mathbb{P}(A_{n+1}) \\ -% &- \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\} } -% \mathbb{P}(A_{k_1} \cap A_{n+1} \cap \ldots \cap A_{k_j} \cap A_{n+1}) \right) \\ -% =& \sum_{j=1}^{n+1} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\}\subseteq \{1, \ldots, n\} } -% \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j})\right) -% .\end{salign*} -% \end{proof} - \item Beh.: Die Wahrscheinlichkeit für $n \to \infty$ ist $1 - \frac{1}{e}$. - \begin{proof} - Setze $\Omega \coloneqq \{ (g_1, \ldots, g_n) \mid g_1, \ldots, g_n \in \{1, \ldots, n\}, - g_i \neq g_j \text{ für } i \neq j\} $. Dabei bezeichnet ein Ergebnis - $(g_1, \ldots, g_n) \in \Omega$: ,,Roter Marsmensch $i$ tanzt mit grünem Marsmensch $g_i$ - für $i \in \{1, \ldots, n\} $''. Die ursprüngliche Paarung - sei dabei $(1, 2, \ldots, n) \in \Omega$. - Es folgt direkt $\# \Omega = n!$. - Definiere weiter - \begin{align*} - \mathbb{P}\colon 2^{\Omega} &\to [0,1] \\ - A &\mapsto \frac{\#A}{n!} - .\end{align*} - Wegen $\mathbb{P}(\Omega) = \frac{n!}{n!} = 1$ und $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$ - ist $(\Omega, 2^{\Omega}, \mathbb{P})$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. - - Damit ist für $i \in \{1, \ldots, n\} $: - \begin{align*} - A_i &= \text{,,Roter Marmensch }i\text{ tanzt mit der ursprünglichen Begleitung zusammen''} \\ - &= \{ (g_1, \ldots, g_n) \in \Omega \mid g_i = i\} - .\end{align*} - Sei $A_n =$ ,,Mindestens ein ursprüngliches von insgesamt $n$ Paaren tanzt gemeinsam ''. - Damit folgt - \begin{salign*} - \mathbb{P}(A_n) &= \mathbb{P}\left( \bigcup_{i=1}^{n} A_i \right) \\ - &\stackrel{\text{(a)}}{=} \sum_{j=1}^{n} \left((-1)^{j-1} - \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\} } \mathbb{P}(A_k \cap \ldots \cap A_{k_j}) \right) \\ - &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{j-1} \binom{n}{j} \frac{(n-j)!}{n!} \\ - &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{j-1} \frac{n!}{(n-j)! j!} \frac{(n-j)!}{n!} \\ - &= \sum_{j=1}^{n} \frac{(-1)^{j-1}}{j!} \\ - \intertext{Für $n \to \infty$ folgt} - \mathbb{P}(A_{\infty}) &= \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^{j-1}}{j!} \\ - &= - \left( \sum_{j=1}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{j!} \right) \\ - &= - \left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{j!} - 1 \right) \\ - &= - \left( \frac{1}{e} - 1 \right) \\ - &= 1 - \frac{1}{e} - .\end{salign*} - \end{proof} - \end{enumerate} -\end{aufgabe} - -\begin{aufgabe} - Sei $(\R, \mathscr{B}, \mathbb{P})$ Wahrscheinlichkeitsraum und - $\mathbb{F}\colon \R \to [0,1]$, $\mathbb{F}(x) \coloneqq \mathbb{P} ((-\infty, x])$ für $x \in \R$. - \begin{enumerate}[(a)] - \item Beh.: $\mathbb{F}$ monoton wachsend. - \begin{proof} - Seien $x_1, x_2 \in \R$ mit $x_1 \le x_2$. Dann ist - $(-\infty, x_1] \subseteq (-\infty, x_2]$. Mit 2(a) folgt damit - $\mathbb{F}(x_1) = \mathbb{P}((-\infty, x_1]) \le \mathbb{P}((-\infty, x_2]) = \mathbb{F}(x_2)$. - \end{proof} - \item Beh.: $\lim_{x \to \infty} \mathbb{F}(x) = \R$. - \begin{proof} - Sei $(x_n)_{n \in \N}$ Folge mit $x_n \xrightarrow{n \to \infty} \infty$. Dann ist - $A_n \coloneqq \bigcup_{j=1}^{n} (-\infty, x_n]$ monoton wachsende Folge - mit $A_n \uparrow \R$. Damit folgt da $\mathbb{P}$ Wahrscheinlichkeitsmaß - \[ - \lim_{n \to \infty} \mathbb{F}(x_n) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) - \; \stackrel{\text{2(d)}}{=} \;\mathbb{P}(\R) = 1 - .\] - \end{proof} - Beh.: $\lim_{x \to -\infty} \mathbb{F}(x) = 0$. - \begin{proof} - Analog, betrachte nun $A_n \coloneqq \bigcap_{j=1}^{n} (-\infty, x_n] \downarrow \emptyset$. - \end{proof} - \item Beh.: $\mathbb{F}$ rechtsseitig stetig. - \begin{proof} - Sei $(x_n)_{n \in \N}$ in $\R$ mit $x_n \downarrow x$. Dann betrachte - $A_n \coloneqq (-\infty, x_n]$. Es gilt sofort $A_n \downarrow - \bigcap_{k \in \N} (-\infty, x_k] = (-\infty, x]$. Damit folgt - \[ - \lim_{n \to \infty} \mathbb{F}(x_n) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(A_n) - \stackrel{\text{2(d)}}{=} \mathbb{P}((-\infty, x]) = \mathbb{F}(x) - .\] - \end{proof} - \item Beh.: $\mathbb{F}$ hat höchstens abzählbar viele Sprungstellen. - \begin{proof} - Sei $a \in \R$ beliebig. Dann betrachte - \begin{salign*} - \lim_{x \searrow a} \mathbb{F}(x) - \lim_{x \nearrow a} \mathbb{F}(x) - &\stackrel{\text{(c) und Hinweis}}{=} \mathbb{P}((-\infty, a]) - - \mathbb{P}((-\infty, a)) \\ - &= \mathbb{P}((-\infty, a]) - \mathbb{P}((-\infty, a] \cap (-\infty, a)) \\ - &= \mathbb{P}((-\infty, a] \setminus (-\infty, a)) \\ - &= \mathbb{P}( \{ a\} ) - .\end{salign*} - Die Sprungstellen von $F$ sind also gerade die Atome von $\mathbb{P}$. Da $\mathbb{P}$ - nach VL nur höchstens abzählbar viele Atome auf $\R$ hat, folgt die Behauptung. - \end{proof} - \end{enumerate} -\end{aufgabe} - -\end{document}