rework num2

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@@ -48,19 +48,45 @@
                  \intertext{Es ist $2ph + 1 \le 2p + 1$ für $h \le 1$. Also folgt mit $c = 2p + 1$}
                 f(h) &= \mathcal{O}(h^2)
             .\end{align*}
+            Es ist außerdem
+            \[
+                \frac{h^2(2ph+1)}{h^{3}} = \frac{2ph^{3} + h^2}{h^{3}} = 2p + \frac{1}{h}
+                \xrightarrow{h \searrow 0} \infty
+            ,\] also ist $f(h) \neq \mathcal{O}(h^{3})$.
         \item Es gilt für $0 < h \le \frac{1}{e}\colon |\ln(h)| \ge 1$. Also folgt
             \[
                 |f(h)| = \left|-\frac{h^2}{\ln(h)}\right|
                 \le h^2 \implies f(h) = \mathcal{O}(h^2)
-            .\] 
+            .\] Es ist außerdem mit de l'Hospital
-        \item Es gilt
             \begin{align*}
-                \lim_{h \to 0} |f(h)| &= \lim_{h \to 0} \left| \frac{\sin(x + h) - 2 \sin(x) + \sin(x-h)}{h^2} + \sin(x) \right| \\
+                \lim_{h \to 0} \left| \frac{h^2}{\ln(h)h^{3}} \right|
-                &\stackrel{\text{de l'Hospital}}{=}
+                = \lim_{h \to 0} \left| \frac{\frac{1}{h}}{\ln(h)} \right| \qquad
-                \qquad \lim_{h \to 0} \left| \frac{\cos(x+h) - \cos(x - h)}{2h}\right| = \infty
+                \stackrel{\text{de l'Hospital}}{=}
+                \qquad\lim_{h \to 0} \left| \frac{\frac{1}{h^2}}{\frac{1}{h}} \right| = \infty
+            ,\end{align*} also ist $f(h) \neq \mathcal{O}(h^{3})$.
+        \item Es folgt mit Additionstheoremen
+            \begin{align*}
+                f(h) = \frac{\sin(x+h) - 2\sin(x) + \sin(x-h)}{h^2 + \sin(x)}
+                = \frac{2 \sin(x) (\cos(h) - 1)}{h^2} + \sin(x)
+            .\end{align*}
+            Damit folgt $f(h) = \mathcal{O}(h^2)$, denn mit de l'Hospital ist
+            \begin{align*}
+                \lim_{h \to 0} \left| \frac{f(h)}{h^2} \right|
+                &= \lim_{h \to 0} \left| \frac{2 \sin(x) (\cos h - 1) + h^2 \sin(x)}{h^4} \right| \\
+                &= \lim_{h \to 0} \left| \frac{- 2 \sin(x) \sin(h) + 2h \sin(x)}{4h^{3}} \right| \\
+                &= \lim_{h \to 0} \left| \frac{-2 \sin(x) \cos(h) + 2 \sin(x)}{12h^{2}} \right| \\
+                &= \lim_{h \to 0} \left| \frac{2 \sin(x) \sin(h)}{24h} \right| \\
+                &= \lim_{h \to 0} \left| \frac{2 \sin(x) \cos(h)}{24} \right| \\
+                &= \left|\frac{\sin(x)}{12} \right| < \infty
+            \intertext{Es gilt außerdem $f(h) \neq \mathcal{O}(h^{3})$, denn wiederum mit de l'Hospital ist}
+                \lim_{h \to 0} \left| \frac{f(h)}{h^{3}} \right|
+                &= \lim_{h \to 0} \left| \frac{2 \sin(x) (\cos h - 1) + h^2 \sin(x)}{h^5} \right| \\
+                &= \lim_{h \to 0} \left| \frac{- 2 \sin(x) \sin(h) + 2h \sin(x)}{5h^{4}} \right| \\
+                &= \lim_{h \to 0} \left| \frac{-2 \sin(x) \cos(h) + 2 \sin(x)}{20h^{3}} \right| \\
+                &= \lim_{h \to 0} \left| \frac{2 \sin(x) \sin(h)}{60h^2} \right| \\
+                &= \lim_{h \to 0} \left| \frac{2 \sin(x) \cos(h)}{120h} \right| \\
+                &= \infty
             .\end{align*}
-            Sei nun $m \in \N$ beliebig. Dann gilt stets $h^{m} \xrightarrow{h \to 0} 0$. Also
-            existiert kein $m \in \N$ mit $f(h) = \mathcal{O}(h^{m})$.
     \end{itemize}
     \begin{figure}[h!]
         \begin{tikzpicture}
@@ -93,13 +119,23 @@
     .\end{align*}
     Aus der Lösungsformel folgt zudem $F(p) \in \R^{2} \iff |p| \ge 1 $
 
-    Das alternativ parametrisierte Problem führt auf die Lösungsformel
+    Das alternativ parametrisierte Problem führt auf die Lösungen
+    $x_1 = t$ und $x_2 = \frac{1}{t}$, denn
     \begin{align*}
-        x_{1 / 2} &= \pm \sqrt{\frac{(t^2 + 1)^2}{4t^2} - 1} + \frac{t^2 + 1}{2t}
+        t^2 - \frac{t^2 + 1}{t} t + 1 &= t^2 - t^2 - 1 + 1 = 0 \\
+        \frac{1}{t^2} - \frac{t^2 + 1}{t} \frac{1}{t} + 1 &= \frac{1}{t^2} - 1 - \frac{1}{t^2} + 1 = 0
     .\end{align*}
-    Hier wird analog der Verstärkungsfaktor berechnet. Im ersten Fall wird das Problem
+    Damit folgt
-    schlecht konditioniert, wenn $|p| < 1$ wird, allerdings hat dann die Gleichung keine
+    \begin{align*}
-    reellen Lösungen mehr.
+        \frac{\partial F_{1}}{\partial t} &= 1 \\
+        \frac{\partial F_2}{\partial t} &= - \frac{1}{t^2}
+        \intertext{Damit folgt}
+        k_{11} &= 1 \frac{t}{t} = 1 \\
+        k_{21} &= -\frac{1}{t^2} \frac{t}{\frac{1}{t}} = - \frac{t^2}{t^2} = - 1
+    .\end{align*}
+    Im ersten Fall wird das Problem schlecht konditioniert, wenn $|p| < 1$ wird,
+    allerdings hat dann die Gleichung keine
+    reellen Lösungen mehr. Im zweiten Fall, ist das Problem immer gut konditioniert.
 \end{aufgabe}
 
 \begin{aufgabe}