diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis10.pdf b/ws2019/ana/lectures/analysis10.pdf index 8b4c9c2..bf3d935 100644 Binary files a/ws2019/ana/lectures/analysis10.pdf and b/ws2019/ana/lectures/analysis10.pdf differ diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis10.tex b/ws2019/ana/lectures/analysis10.tex index 67bb720..55b629a 100644 --- a/ws2019/ana/lectures/analysis10.tex +++ b/ws2019/ana/lectures/analysis10.tex @@ -6,10 +6,16 @@ \begin{document} -Sorry für die Verspätung.. - -Rechenregeln für komplexe Zahlen -(siehe Übungsblatt) +\begin{bem}Rechenregeln für komplexe Zahlen + \begin{enumerate} + \item $\overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$, $\overline{z_1z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$, $\overline{\overline{z}} = z$ + \item $\text{Re}(z) = \frac{1}{2}(z + \overline{z})$, $\text{Im}(z) = \frac{i}{2}(z-\overline{z})$ + \item $|z| \ge 0$ und $|z| = 0 \iff z = 0$ + \item $|\overline{z}| = |z|$ + \item $|z_1 z_2| = |z_1| |z_2|$ + \item $|z_1+z_2| \le |z_1| + |z_2|$, $|z_1-z_2| \ge | |z_1| - |z_2| |$ + \end{enumerate} +\end{bem} Reelle Zahlen: $z \in \R \iff \text{Im}(z) = 0 \iff z = \overline{z}$ diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis11.pdf b/ws2019/ana/lectures/analysis11.pdf new file mode 100644 index 0000000..b26688d Binary files /dev/null and b/ws2019/ana/lectures/analysis11.pdf differ diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis11.tex b/ws2019/ana/lectures/analysis11.tex index a8fa241..464c4c7 100644 --- a/ws2019/ana/lectures/analysis11.tex +++ b/ws2019/ana/lectures/analysis11.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\documentclass{lecture} +\documentclass{../../../lecture} \begin{document} @@ -36,6 +36,126 @@ Zahlen, weile streng monoton wächst, d.h. $n_1 < n_2 < \ldots.$ bzw. $n_k < n_{ \item In Def. kann auch $\le \epsilon$ und statt $\epsilon$ kann man $\frac{1}{N}$ für beliebig große $N \in \N$ schreiben. \end{enumerate} \end{bem} -Bald ist mein Akku leer :/ + +\begin{satz} + Eine Folge $(a_n)_{n\in\N} \in \R$ ist genau dann konvergent, wenn sie Cauchy-Folge ist, d.h. + $\forall \epsilon > 0 \quad \exists n_\epsilon \in \N$, s.d. $\forall n, m \ge n_\epsilon$ gilt: + $|a_n - a_m| < \epsilon$. +\end{satz} + +\begin{satz}[Eindeutigkeit des Limes] + Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge in $\R$ und $a, a' \in \R$ mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ und + $\lim_{n \to \infty} a_n = a'$, dann gilt $a = a'$. +\end{satz} + +\begin{proof} Angenommen $a \neq a'$. Definiere $\epsilon := \frac{|a - a'|}{2} > 0$. + + Dann $\exists n_1,n 2 \in \N$ mit $|a_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_1$ + und $|a_n - a'| < \epsilon \quad \forall n \ge n_2$. + + Dann $\forall n \ge \text{max}\{n_1, n_2\}$ gilt: + \begin{align*} + |a - a'| = |a - a_n + a_n -a'| \le |a-a_n| + |a_n - a'| < \epsilon + \epsilon = | a - a'| + .\end{align*} + $\implies |a - a'| < |a - a'|$. Widerspruch $\implies a = a'$ +\end{proof} + +\begin{satz} + Konvergente Folgen sind beschränkt. +\end{satz} + +\begin{proof} + Sei $(a_n)_{n\in\N}$ mit $a_n \to a, n \to \infty, a \in \R$. + + Wähle $\epsilon = 1$. Dann $\exists n_\epsilon \in \N$ mit $|a_n - a| < 1 \quad \forall n \ge n_\epsilon$. + + Dann gilt $\forall n \ge n_\epsilon$: + \begin{align*} + |a_n| = |a_n - a + a | \le |a_n - a| + |a| \le 1 + |a| + .\end{align*} + \[ + \implies |a_n| \le \left(\max_{k = 1,\ldots, n_\epsilon} |a_k|\right) + |a| + 1 \quad \forall n \in \N + .\] +\end{proof} + +\begin{satz}[Konvergenz und Nullfolgen] + Eine Nullfolge ist eine Folge, die gegen Null konvergiert. Sei $(a_n)_{n\in\N}$ Folge mit + $\lim_{n \to \infty} a_n = a$. + + Dann sind äquivalent: + \begin{enumerate} + \item $a_n \to a, n \to \infty$ + \item $(a_n - a) \to 0$ + \item $|a_n - a| \to 0$ + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{proof} + durch Behauptung. +\end{proof} + +\begin{satz}[Konvergenz von Teilfolgen] + Teilfolgen einer gegen $a \in \R$ konvergierenden Folge konvergieren ebenfalls gegen $a \in \R$. +\end{satz} + +\begin{proof} + trivial. +\end{proof} + +\begin{satz}[Einschließungskriterium (Sandwich)] + Seien $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$, $(c_n)_{n\in\N}$ Folgen \\ + mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$, $\lim_{n \to \infty} b_n = b$ und $\lim_{n \to \infty} c_n = c$. + + \begin{enumerate} + \item Falls $a_n \le c_n \quad \forall n \in \N \implies a \le c$. + \item Falls $a = c$ und $a_n \le b_n \le c_n \quad \forall n \in \N \implies b = a \implies \lim_{n \to \infty} b_n = a$ + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{proof} + Sei $\epsilon > 0$. + \begin{enumerate} + \item $\exists n_\epsilon \in \N$ mit $|a_n - a| < \frac{\epsilon}{2}$ und + $|c_n - c| < \frac{\epsilon}{2} \quad \forall n \ge n_\epsilon$. + + Dann: $a - c \le a - (a_n - c_n) - c \le |a-a_n| + |c_n - c| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \quad \forall n \ge n_\epsilon$ \\ + $\implies \forall \epsilon > 0$ gilt $a - c < \epsilon \implies a - c \le 0$ + \item $\exists n_\epsilon \in \N$ mit $|a_n - a| < \epsilon$ und $|c_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_\epsilon$ + + Dann gilt $\forall n \ge n_\epsilon$ und wegen $|a_n| \le |b_n| \le |c_n|$: + \[ + - \epsilon < - |a_n - a| \le a_n - a \le b_n - a \le c_n - a \le |c_n - a| < \epsilon + .\] $\implies -\epsilon < b_n - a < \epsilon \implies |b_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_\epsilon$ \\ + $\implies \lim_{n \to \infty} b_n = a$ + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{satz}[Rechenregeln für konvergente Folgen] + Seien $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$ mit $\lim_{n \to \infty} a_n = a$ und $\lim_{n \to \infty} b_n = b$. + Dann gilt: + \begin{enumerate} + \item $\lim_{n \to \infty} |a_n| = |a|$ + \item $\lim_{n \to \infty} (\lambda a_n + \mu b_n) = \lambda a + \mu b \quad \forall \lambda, \mu \in \R$ + \item $\lim_{n \to \infty} a_n b_n = a b$ + \item Falls $b \neq 0$, gilt $b_n \neq 0$ für fast alle $n \in \N$ und + $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$. + \item Falls $a_n \ge 0 \quad \forall n \in \N \implies a \ge 0$ und $(a_n)^{\frac{1}{k}} \to a^{\frac{1}{k}}, n \to \infty$. + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{proof} + durch Zurückblättern. +\end{proof} + +\begin{satz}[monoton + beschränkt $\implies$ konvergent] + Eine monoton wachsende (fallende) nach oben (unten) beschränkte Folge konvergiert + gegen ihr Supremum: + \[ + \sup_{n \in \N} a_n := \sup \{a_n | n \in \N\} = \min \{c \in \R | a_n \le c\} + .\] bzw. ihr Infimum: + \[ + \inf_{n \in \N} a_n := \inf \{a_n \mid n \in \N\} = \max \{c \in \R \mid a_n \ge c\} + .\] +\end{satz} \end{document}