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default 2d plot/.style={%
grid=both,
minor tick num=4,
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
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% PARAGRAPH no indent but skip
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\newtheorem{satz}{Satz}[section]
\newtheorem{lemma}[satz]{Lemma}
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\newtheorem{definition}[satz]{Definition}

%\theoremstyle{definition}
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%\newmdtheoremenv{definition}[satz]{Definition}

\newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel}
\newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
\newtheorem{aufgabe}{Aufgabe}

% enable aufgaben counting
\regtotcounter{aufgabe}

% temporary calculation counter
\newcounter{var}

\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
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% HEADERS

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\newcommand{\incfig}[1]{%
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% code listings, define style
\lstdefinestyle{mystyle}{
commentstyle=\color{gray},
keywordstyle=\color{blue},
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% activate my colour style
\lstset{style=mystyle}

% better stackrel
\let\oldstackrel\stackrel
\renewcommand{\stackrel}[2]{%
\oldstackrel{\mathclap{#1}}{#2}
}%

% integral d sign
\makeatletter \renewcommand\d[2][]{\ensuremath{%
\,\mathrm{d}^{#1}#2\@ifnextchar^{}{\@ifnextchar\d{}{\,}}}}
\makeatother

% contradiction
\newcommand{\contr}{\text{\Large\lightning}}

% disjoint unions: provides cupdot and bigcupdot
\makeatletter
\def\moverlay{\mathpalette\mov@rlay}
\def\mov@rlay#1#2{\leavevmode\vtop{%
\baselineskip\z@skip \lineskiplimit-\maxdimen
\ialign{\hfil$\m@th#1##$\hfil\cr#2\crcr}}}
\newcommand{\charfusion}[3][\mathord]{
#1{\ifx#1\mathop\vphantom{#2}\fi
\mathpalette\mov@rlay{#2\cr#3}
}
\ifx#1\mathop\expandafter\displaylimits\fi}
\makeatother

\newcommand{\cupdot}{\charfusion[\mathbin]{\cup}{\cdot}}
\newcommand{\bigcupdot}{\charfusion[\mathop]{\bigcup}{\cdot}}

\ExplSyntaxOn

% S-tackrelcompatible ALIGN environment
% some might also call it the S-uper ALIGN environment
% uses regular expressions to calculate the widest stackrel
% to put additional padding on both sides of relation symbols
\NewEnviron{salign}
{
\begin{align}
\lec_insert_padding:V \BODY
\end{align}
}
% starred version that does no equation numbering
\NewEnviron{salign*}
{
\begin{align*}
\lec_insert_padding:V \BODY
\end{align*}
}

% some helper variables
\tl_new:N \l__lec_text_tl
\seq_new:N \l_lec_stackrels_seq
\int_new:N \l_stackrel_count_int
\int_new:N \l_idx_int
\box_new:N \l_tmp_box
\dim_new:N \l_tmp_dim_a
\dim_new:N \l_tmp_dim_b
\dim_new:N \l_tmp_dim_needed

% function to insert padding according to widest stackrel
\cs_new_protected:Nn \lec_insert_padding:n
{
\tl_set:Nn \l__lec_text_tl { #1 }
% get all stackrels in this align environment
\regex_extract_all:nnN { \c{stackrel}{(.*?)}{(.*?)} } { #1 } \l_lec_stackrels_seq
% get number of stackrels
\int_set:Nn \l_stackrel_count_int { \seq_count:N \l_lec_stackrels_seq }
\int_set:Nn \l_idx_int { 1 }
\dim_set:Nn \l_tmp_dim_needed { 0pt }
% iterate over stackrels
\int_while_do:nn { \l_idx_int <= \l_stackrel_count_int }
{
% calculate width of text
\hbox_set:Nn \l_tmp_box {$\seq_item:Nn \l_lec_stackrels_seq { \l_idx_int + 1 }$}
\dim_set:Nn \l_tmp_dim_a {\box_wd:N \l_tmp_box}
% calculate width of relation symbol
\hbox_set:Nn \l_tmp_box {$\seq_item:Nn \l_lec_stackrels_seq { \l_idx_int + 2 }$}
\dim_set:Nn \l_tmp_dim_b {\box_wd:N \l_tmp_box}
% check if 0.5*(a-b) > minimum padding, if yes updated minimum padding
\dim_compare:nNnTF
{ 1pt * \dim_ratio:nn { \l_tmp_dim_a - \l_tmp_dim_b } { 2pt } } > { \l_tmp_dim_needed }
{ \dim_set:Nn \l_tmp_dim_needed { 1pt * \dim_ratio:nn { \l_tmp_dim_a - \l_tmp_dim_b } { 2pt } } }
{ }
\quad
% increment list index by three, as every stackrel produces three list entries
\int_incr:N \l_idx_int
\int_incr:N \l_idx_int
\int_incr:N \l_idx_int
}
% replace all relations with align characters (&) and add the needed padding
\regex_replace_all:nnN
{ (<&|&<|\c{iff}&|&\c{iff}|\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&) }
{ \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} \1 \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} }
\l__lec_text_tl
\l__lec_text_tl
}
\cs_generate_variant:Nn \lec_insert_padding:n { V }
\ExplSyntaxOff

BIN
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\documentclass{../../lecture}
\documentclass{arbeit}

\author{Christian Merten}
\title{Auflösung unbeschränkter Komplexe}
\usepackage{tikz-cd}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{hyperref}

\newcommand{\com}[1]{#1^{\bullet}}
\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
@@ -17,192 +18,470 @@

\section{Einleitung}

\section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren}

\begin{satz}
% TODO: inhalt einfuegen
Existenz von derivierten Funktoren
\label{satz:existence-derived-functors}
\end{satz}

\section{Grundlagen}

Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
Komplexkategorie mit Komplexhomomorphismen bis auf Homotopie als Abbildungen.
\subsection{Triangulierte Kategorien}

\begin{definition}
Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Dann sei
$\com{M} \otimes_A \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert durch
\begin{definition}[Triangulierte Kategorie]
Eine triangulierte Kategorie ist eine additive Kategorie $\mathcal{C}$ mit
\begin{enumerate}[(a)]
\item einem Kategorienautomorphismus $T\colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}$, dem Verschiebefunktor, und
\item einer Klasse von Sextupeln $(A, B, C, u, v, w)$, den ausgezeichneten Dreiecken von $\mathcal{C}$, wobei
$A, B, C \in \mathcal{T}$ und $u\colon A \to B$, $v\colon B \to C$, $w\colon C \to T(A)$.
\end{enumerate}
Ein Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken
$(A, B, C, u, v, w) \to (A', B', C', u', v', w')$ ist ein kommutatives Diagramm
\[
(\com{M} \otimes_A \com{N})^{n} = \bigoplus_{i \in \Z} M^{i} \otimes_A N^{n-i}
\] mit Differentialen
\begin{tikzcd}
A \arrow{r}{u} \arrow{d} & B \arrow{r}{v} \arrow{d} & C \arrow{r}{w} \arrow{d} & T(A) \arrow{d} \\
A' \arrow{r}{u'} & B' \arrow{r}{v'} & C' \arrow{r}{w'} & T(A) \\
\end{tikzcd}
.\]
Weiter unterliegen diese Daten den folgenden Axiomen:
\begin{enumerate}[(TR1), leftmargin=14mm]
\item Jedes zu einem ausgezeichneten Dreieck
isomorphe Sextupel $(A, B, C, u, v, w)$ wie oben, ist ein ausgezeichnetes Dreieck. Jeder
Morphismus $u\colon A \to B$ kann in ein ausgezeichnetes Dreieck $(A, B, C, u, v, w)$ eingebettet werden
und das Sextupel $(A, A, 0, \text{id}_A, 0, 0)$ ist ein ausgezeichnetes Dreieck für alle $A \in \mathcal{C}$.
\item $(A, B, C, u, v, w)$ ist ein ausgezeichnetes Dreieck genau dann wenn $(B, C, T(A), v, w, -T(u))$ ein
ausgezeichnetes Dreieck ist.
\item Für zwei ausgezeichnete Dreiecke $(A, B, C, u, v, w)$ und $(A', B', C', u', v', w')$, und
Morphismen $f\colon X \to X'$, $g\colon Y \to Y'$, die mit $u$ und $u'$ kommutieren, existiert
ein nicht notwendig eindeutiger Morphismus $h\colon Z \to Z'$, so dass $(f, g, h)$ ein Morphismus
von ausgezeichneten Dreiecken ist.
\end{enumerate}
\label{TR2}
\end{definition}

\begin{bem}
Streng genommen ist die hier definierte Triangulierte Kategorie nur eine Pretriangulierte Kategorie. Für
eine vollständig triangulierte Kategorie fehlt noch das Oktaheder Axiom, das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen.
\end{bem}

\begin{definition}[Triangulierter Funktor]
Ein additiver (kovarianter) Funktor $F\colon \mathcal{T} \to \mathcal{S}$ zwischen triangulierten Kategorien
heißt trianguliert, wenn er ausgezeichnete Dreiecke in ausgezeichnete Dreiecke überführt und mit dem
Verschiebefunktor kommutiert.
\end{definition}

\begin{definition}[Kohomologischer Funktor]
Ein additiver (kovarianter) Funktor $H\colon \mathcal{T} \to \mathcal{A}$ von einer triangulierten Kategorie
in eine abelsche Kategorie heißt (kovarianter) kohomologischer Funktor, wenn für jedes
ausgezeichnete Dreieck $(X, Y, Z, u, v, w)$ von $\mathcal{T}$ die lange Folge
\[
d^{n}(m \otimes n) = d_{\com{M} }(m) \otimes n + (-1)^{i} m \otimes d_{\com{N} }(n)
\] für $m \in M^{i}, n \in N^{n-i}$.
\begin{tikzcd}
\cdots \arrow{r} & H(T^{i}(X)) \arrow{r} & H(T^{i}Y) \arrow{r} & H(T^{i}Z) \arrow{r} & H(T^{i+1}X) \arrow{r}
& \cdots
\end{tikzcd}
\] exakt ist. Wenn $H$ ein kohomologischer Funktor ist, dann schreiben wir auch $H^{i}(X)$ für $H(T^{i}(X))$
für $i \in \Z$.
\end{definition}

\begin{definition}
Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann sei
$\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{B}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ definiert durch
\begin{lemma}
Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie und $A \in \mathcal{T}$.
Dann sind $\text{Mor}_{\mathcal{T}}(A, -)$ und $\text{Mor}_{\mathcal{T}}(-, A)$ kohomologische Funktoren.
\label{hom-cohom-func}
\end{lemma}

\subsection{Homotopiekategorie}

Das kanonische Beispiel für eine triangulierte Kategorie ist die Homotopiekategorie einer additiven Kategorie.

\begin{definition}[Homotopiekategorie]
Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann bezeichne $\mathcal{K}om(\mathcal{C})$ die
Kategorie der Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{C}$ mit Komplexhomomorphismen als Morphismen.
Bezeichne mit $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ weiter die Homotopiekategorie mit den selben Objekten wie
$\mathcal{K}om(\mathcal{C})$ und mit Komplexhomomorphismen modulo Homotopie als Morphismen.
\end{definition}

\begin{definition}[Abbildungskegel]
Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe und $f\colon \com{A} \to \com{B}$ ein
Komplexhomomorphismus. Dann sei der Abbildungskegel $\com{C}_f$ definiert durch
\[
\text{Hom}^{n}(\com{A}, \com{B}) = \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(A^{i}, B^{i+n})
\] mit Differentialen
C_f^{n} = A^{n+1} \oplus B^{n}
\] mit Differential
\[
d^{n}(f) = d_{\com{B} } \circ f - (-1)^{n} f \circ d_{\com{A}}
\] für $f \in \text{Hom}^{n}(\com{A}, \com{B})$.
d_{\com{C}_f} = \begin{pmatrix}
d_{\com{A}[1]} & 0 \\
f[1] & d_{\com{B} }
\end{pmatrix}
.\]
\end{definition}

\begin{satz}[Adjunktion der Hom- und Tensorproduktkomplexe]
Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Dann existiert
ein natürlicher Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
\[
\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P})
= \com{\text{Hom}}(\com{M},\com{\text{Hom}} (\com{N} , \com{P} ))
.\]
\label{satz:adjunction-hom-tor-comp}
\begin{satz}[Homotopiekategorie ist trianguliert]
Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann ist die Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{C})$
mit den folgenden Daten trianguliert:
\begin{enumerate}[(a)]
\item Der Verschiebefunktor $T\colon \mathcal{K}(\mathcal{C}) \to \mathcal{K}(\mathcal{C})$
ist gegeben durch
\[
T(\com{A})^{i} = A^{i+1} \text{ und }d_{T(\com{A} )} = - d_{\com{A}}
.\]
\item Ein Sextupel wie in \ref{TR2}
$(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$
ist ein ausgezeichnetes Dreieck
genau dann wenn
es im Sinne von ausgezeichneten Dreiecken isomorph ist zu einem Sextupel der Form
$(\com{X}, \com{Y}, \com{C_{u}}, f, i, p)$, wobei $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ ein Morphismus
in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ ist und $i\colon \com{B} \to \com{C_{f}}$,
$p\colon \com{C}_{f} \to \com{C}$ die kanonischen Morphismen sind.
\end{enumerate}
\end{satz}

\begin{proof}
\end{proof}
Sei nun $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie.

\begin{lemma}
Der Funktor $H\colon \mathcal{K} \to \mathcal{A}b$ der einen Komplex $\com{A}$
auf seine nullte Kohomologiegruppe abbildet, ist ein kohomologischer Funktor.
\end{lemma}

Daraus erhalten wir insbesondere folgendes Kriterium, ob ein Komplexhomomorphismus ein Quasiisomorphismus ist:

\begin{lemma}[]
Es gilt
\[
H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{B}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{A}, \com{B}[i])
.\]
\label{hom-compl-cohomgroups}
Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ und $f\colon \com{A} \to \com{B} $ ein Komplexhomomorphismus.
Dann ist $f$ ein Quasiisomorphismus genau dann wenn $\com{C}_f$ exakt ist.
\label{mapping-cone-exact-for-qis}
\end{lemma}

\begin{proof}

Es ist $(\com{A}, \com{B}, \com{C}_f, f, i, p)$ ein ausgezeichnetes Dreieck in $\mathcal{K}$ mit
$i\colon \com{B} \to \com{C}_f$ und $p\colon \com{C}_f \to \com{A}[1]$ die natürlichen Abbildungen. Also
erhalten wir für $i \in \Z$ eine exakte Folge
\[
\begin{tikzcd}
H^{i-1}(\com{C}_f) \arrow{r}
& H^{i}(\com{A}) \arrow{r}{H^{i}(f)}
& H^{i}(\com{B}) \arrow{r}
& H^{i}(\com{C}_f) \arrow{r}
& H^{i+1}(\com{A}) \arrow{r}{H^{i+1}(f)}
& H^{i+1}(\com{B})
\end{tikzcd}
.\] Die Exaktheit liefert nun die Äquivalenz.
\end{proof}

% TODO: Bedingung (I) an Indexmengen

Folgendes Kriterium für die Exaktheit von Komplexen ist hilfreich:
\subsection{Lokalisierung von Kategorien}

\begin{lemma}[]
Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $\mathcal{G}$ eine Klasse von Objekten
von $\mathcal{A}$, sodass jedes Objekt von $\mathcal{A}$ eine Einbettung
in ein Objekt aus $\mathcal{G}$ besitzt. Angenommen
$\com{\text{Hom}}(\com{A}, E) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist exakt für alle
$E \in \mathcal{K}$. Dann ist $\com{A} $ exakt.
\label{lemma:0.10}
\begin{definition}[Multiplikatives System]
Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie. Eine Klasse $\mathcal{S}$ von Morphismen von $\mathcal{C}$ heißt
multiplikatives System, wenn es die folgenden Axiome erfüllt:
\begin{enumerate}[(FR1), leftmargin=14mm]
\item Wenn $f, g \in \mathcal{S}$, sodass $fg$ existiert, ist $fg \in \mathcal{S}$. Für
alle $X \in \mathcal{C}$ ist $\text{id}_{X}\in \mathcal{S}$.
\item Jedes Diagramm in $\mathcal{C}$
\[
\begin{tikzcd}
& Z \arrow{d}{s} \\
X \arrow{r}{u} & Y \\
\end{tikzcd}
\] mit $s \in \mathcal{S}$ kann zu einem kommutativen Diagramm
\[
\begin{tikzcd}
W \arrow{r}{v} \arrow{d}{t} & Z \arrow{d}{s} \\
X \arrow{r}{u} & Y
\end{tikzcd}
\] mit $t \in \mathcal{S}$ ergänzt werden. Analog gilt die selbe Aussage mit allen Pfeilen umgedreht.
\item Für $f, g \colon X \to Y$ Morphismen in $\mathcal{C}$, sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Es existiert ein $s\colon Y \to Y'$ in $\mathcal{S}$, sodass $sf = sg$.
\item Es existiert ein $t\colon X \to X'$ in $\mathcal{S}$, sodass $sf = sg$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\label{def:mult-system}
\end{definition}

\begin{definition}[Lokalisierung]
Seien $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $\mathcal{S}$ eine Klasse von Morphismen in $\mathcal{C}$. Dann
ist die Lokalisierung von $\mathcal{C}$ in Bezug auf $\mathcal{S}$ eine Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
zusammen mit einem Funktor $Q\colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}_{\mathcal{S}}$, sodass
\begin{enumerate}[(a)]
\item $Q(s)$ ein Isomorphismus ist für alle $s \in \mathcal{S}$ und
\item jeder Funktor $F\colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$, sodass $F(s)$ ein Isomorphismus ist
für alle $s \in \mathcal{S}$, eindeutig über $Q$ faktorisiert.
\end{enumerate}
\label{def:localisation}
\end{definition}

\begin{definition}
Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives System in $\mathcal{C}$. Dann definiere
die Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ durch
\begin{enumerate}[(a)]
\item $ob(\mathcal{C}) = ob(\mathcal{C}_{\mathcal{S}})$.
\item Für $X, Y \in \mathcal{C}$ setze
$\text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y) = \{ (f, Z, s) \mid f \colon Z \to Y,
s \colon Z \to X \text{ mit } s \in \mathcal{S}\} / \sim $ wobei
$(f, Z, s) \sim (f', Z', s')$ genau dann wenn ein kommutatives Diagramm
\[
\begin{tikzcd}
& Z \arrow{dl}{s} \arrow{dr}{f} & \\
X & W \arrow{l}{t} \arrow{u}{g} \arrow{d}{h} & Y \\
& \arrow{ul}{s'} Z' \arrow{ur}{f'} &
\end{tikzcd}
\] mit $t \in \mathcal{S}$ in $\mathcal{C}$ existiert.
\item Für $(f, U, s) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$,
$(g, V, t) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(Y, Z)$ sei
die Komposition definiert durch die äußeren Morphismen des kommutativen Diagramms
\[
\begin{tikzcd}
& & \arrow[dashed]{dl}{r} W \arrow[dashed]{dr}{h} & & \\
& \arrow{dl}{s} U \arrow{dr}{f} & & \arrow{dl}{t} V \arrow{dr}{g} & \\
X & & Y & & Z
\end{tikzcd}
.\] Die gestrichelten Morphismen existieren wegen \hyperref[def:mult-system]{FR2}.
\item Für $X \in \mathcal{C}$ ist die Identität $X \to X$ in $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
gegeben durch das Tripel $(\text{id}_X, X, \text{id}_X)$.
\end{enumerate}
\label{constr:localisation}
\end{definition}

\begin{satz}
Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives System, dann ist
die in \ref{constr:localisation} konstruierte Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
wohldefiniert und eine Lokalisierung von $\mathcal{C}$ bezüglich $\mathcal{S}$. Der kanonische
Funktor $Q\colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ ist dann gegeben durch
$Q(X) = X$ für $X \in \mathcal{C}$ und $Q(f) = (f, X, \text{id}_{X})$ für $f\colon X \to Y$ in $\mathcal{C}$.

\label{satz:existence-localisation}
\end{satz}

\begin{bem}
Die Lokalisierung $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ einer Kategorie $\mathcal{C}$
kann auch dual, dass heißt durch Umdrehen aller Pfeile,
konstruiert werden. Wenn im Folgenden der Kontext klar ist, dann schreiben wir auch einfach
$X$ für $Q(X)$ für ein Objekt $X \in \mathcal{C}$. Ebenso schreiben wir für $X, Y \in \mathcal{C}$ auch
$s^{-1}f$ bzw. in der dualen Konstruktion $fs^{-1}$ für die Äquivalenzklasse des Tripels
$(f, Z, s) \in \text{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$. In dieser Notation ist
dann $Q(f) = \text{id}^{-1}f$ bzw. $Q(f) f\text{id}^{-1}$ für $f\colon X \to Y$ in $\mathcal{C}$.
\end{bem}

\begin{definition}[Mit Triangulation kompatibles multiplikatives System]
Sei $\mathcal{C}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$
und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives System
von Morphismen. Wir nennen $\mathcal{S}$ kompatibel mit der Triangulation, wenn die folgenden
Axiome erfüllt sind:
\begin{enumerate}[(FR1), leftmargin=14mm]
\item $s \in \mathcal{S} \iff T(s) \in \mathcal{S}$.
\item \hyperref[TR2]{TR3} unter der zusätzlichen Annahme, dass $f, g \in \mathcal{S}$
und der zusätzlichen Forderung, dass $h \in \mathcal{S}$ ist.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{satz}
Sei $\mathcal{C}$ eine triangulierte Kategorie und $\mathcal{S}$ ein
mit der Triangulation kompatibles
multiplikatives System. Dann hat $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ eine eindeutige
triangulierte Struktur, sodass $Q$ ein triangulierter Funktor ist und
die universelle Eigenschaft b) aus \ref{def:localisation} für triangulierte Funktoren in triangulierte
Kategorien erfüllt.
\label{satz:existence-triangulated-localisation}
\end{satz}

\subsection{Derivierte Kategorie}

Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
Homotopiekategorie.

\begin{lemma}[$\mathcal{Q}is$ ist multiplikativ]
Die Klasse $\mathcal{Q}is$ der Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}$
ist ein mit der Triangulation von $\mathcal{K}$ kompatibles multiplikatives System.
\label{lemma:qis-mult}
\end{lemma}

\begin{proof}
Keine Ahnung.
% TODO : einfuegen
\end{proof}
Nach \ref{satz:existence-localisation}, \ref{satz:existence-triangulated-localisation} und \ref{lemma:qis-mult} angewendet
auf $\mathcal{K}$ und $\mathcal{Q}is$, existiert die triangulierte Kategorie $\mathcal{K}_{\mathcal{Q}is}$.

Wir benötigen im Folgenden mehrmals eine bestimmte Bedingung an inverse Systeme in
$\mathcal{A}b$. Wir sagen ein inverses System $(M_n)_{n \ge \N}$ genügt Bedingung
(R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $M_1 = 0$
\item Für $n > 1$ ist die Abbildung $M_n \to M_{n-1}$ surjektiv.
\end{enumerate}
\begin{definition}[Derivierte Kategorie]
Wir bezeichnen die triangulierte Lokalisierung $\mathcal{K}_{\mathcal{Q}is}$
als die derivierte Kategorie $\mathcal{D} = \mathcal{D}(\mathcal{A})$ von $\mathcal{A}$.
\end{definition}

\begin{bem}[]
Im Folgenden bezeichne $Q = Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$
den kanonischen Lokalisierungsfunktor.
\end{bem}

Um zu verstehen, wann zwei Morphismen in $\mathcal{K}$ den selben Morphismus in $\mathcal{D}$ induzieren, hilft
das folgende Lemma:

\begin{lemma}
Sei $I$ eine Indexmenge, die Bedingung (I) genügt und seien
$(A_i)_{i \in I}$, $(B_{i})_{i \in I}$, $(C_i)_{i \in I}$ und $(D_i)_{i \in I}$
inverse Systeme in $\mathcal{A}b$, die (R) erfüllen und seien
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
(A_i)_{i \in I} \arrow{r}{f_i} & (B_i)_{i \in I} \arrow{r}{g_i} &
(C_i)_{i \in I} \arrow{r}{h_i} & (D_i)_{i \in I}
\end{tikzcd}
\label{eq:0.11-inv-systems}
\end{equation}
Morphismen von inversen Systemen mit $g_i \circ f_i = 0 = h_i \circ g_i$
für $i \in I$ und sei
Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ und $f\colon \com{A} \to \com{B}$. Dann ist
$f = 0$ in $\mathcal{D}$ genau dann wenn ein Quasiisomorphismus $s\colon \com{B} \to \com{C} $ existiert, sodass
$sf = 0$ in $\mathcal{K}$.

\label{derived-cat-morphism-null}
\end{lemma}

\begin{proof}
Es ist $f\text{id}^{-1} = 0$ genau dann wenn ein kommutatives Diagram existiert:
\[
\begin{tikzcd}
A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C \arrow{r}{h} & D
& \com{B} \arrow[dashed]{d} & \\
\com{A} \arrow{ur}{f} \arrow{dr}{0} & \com{C} & \com{B} \arrow[dashed]{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \arrow{dl}{\text{id}} \\
& \com{B} \arrow[dashed]{u} &
\end{tikzcd}
\] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $i \in I$ mit $i > I_{\text{min}}$
seien $A_i'$, $B_i'$, $C_i'$ und $D_i'$ die jeweiligen Kerne
der Übergangsabbildungen $A_i \to A_{i-1}$, $B_i \to B_{i-1}$, $C_i \to C_{i-1}$
und $D_i \to D_{i-1}$.
\] mit $s$ Quasiisomorphismus.
\end{proof}

Sei weiter $j \in I$, s.d. für alle $i > j$ die Folge
Die derivierte Kategorie erlaubt es Ableitungen von Funktoren allgemeiner zu formulieren. Wir führen hier
nur die Situation der Rechtsableitung kovarianter Funktoren aus.
Seien dafür $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$ abelsche Kategorien und
$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ein triangulierter Funktor.

Falls $F$ exakt ist werden Quasiisomorphismen auf Quasiisomorphismen geschickt und $F$ induziert daher
einen Funktor von $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$.
Im Allgemeinen ist das nicht der Fall. Dennoch möchten wir einen Funktor von $\mathcal{D}(\mathcal{A})$
nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ konstruieren, der $F$ so nahe wie möglich kommt.

\begin{definition}[Abgeleiteter Funktor]
Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien. Der rechts abgeleitete Funktor von $F$ ist
ein triangulierter Funktor
\[
\begin{tikzcd}
A_i' \arrow{r} & B_i' \arrow{r} & C_i' \arrow{r} & D_i'
\end{tikzcd}
\] exakt ist.
\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})
\] zusammen mit einer natürlichen Transformation
\[
\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}
\] von Funktoren von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
der folgenden universellen Eigenschaft: Für jeden triangulierten Funktor
\[
G\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})
\]
und jede natürliche Transformation
\[
\zeta\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to G \circ Q_{\mathcal{A}}
\] existiert eine eindeutige natürliche Transformation
\[
\eta\colon \text{R}F \to G
\] von Funktoren von $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ nach $\mathcal{D}(\mathcal{B})$, sodass
\[
\xi = (\eta \circ Q_{\mathcal{A}}) \circ \xi
.\]
\end{definition}

Dann ist die natürliche Abbildung
\begin{bem}[]
\begin{enumerate}[(1)]
\item Falls $\text{R}F$ existiert, ist dieser bis auf eindeutige natürliche Transformationen eindeutig.
\item Wir schreiben $R^{i}F$ für $H^{i}(\text{R}F)$ und wenn $F$ induziert ist von einem
links-exakten Funktor $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ und $\mathcal{A}$ genügend Injektive hat, sind
das genau die klassischen abgeleiteten Funktoren von $F$.
\end{enumerate}
\end{bem}

\begin{satz}
Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und
$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein triangulierter Funktor. Angenommen es
existiert eine triangulierte Unterkategorie $\mathcal{L} \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$, s.d.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Jeder Komplex in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ besitzt einen Quasiisomorphismus in einen
Komplex aus $\mathcal{L}$.
\item $F|_{\mathcal{L}}$ ist exakt.
\end{enumerate}
Dann existiert der Funktor $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ und
eine natürliche Transformation $\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, sodass
für alle $\com{I} \in \mathcal{L}$ die Abbildung
\[
\text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_j / \text{im } f_j
\] ein Isomorphismus.
\label{0.11}
\end{lemma}
\xi(\com{I})\colon Q_{\mathcal{B}}(F(\com{I}) \to \text{R}F(Q_{\mathcal{A}}(\com{I}))
\] ein Isomorphismus in $\mathcal{D}(A)$ ist.
\label{satz:existence-derived-functors}
\end{satz}

\begin{bem}
Die Voraussetzungen von \ref{satz:existence-derived-functors} sind im Allgemeinen schwer zu erfüllen. Ziel
dieser Arbeit ist es herauszuarbeiten, dass im Falle von $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ für einen kommutativen
Ring $A$, die Bedingungen für die im Folgenden definierten Funktoren $\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)$,
$\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ und $\com{M} \otimes_A -$ erfüllt sind.
\end{bem}

\begin{definition}
Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe in einer beliebigen abelschen Kategorie $\mathcal{A}$.
Dann sei $\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{B}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ definiert durch
\[
\text{Hom}^{n}(\com{A}, \com{B}) = \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(A^{i}, B^{i+n})
\] mit Differentialen
\[
d^{n}(f) = d_{\com{B} } \circ f - (-1)^{n} f \circ d_{\com{A}}
\] für $f \in \text{Hom}^{n}(\com{A}, \com{B})$.
\end{definition}

\begin{definition}
Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Dann sei
$\com{M} \otimes_A \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert durch
\[
(\com{M} \otimes_A \com{N})^{n} = \bigoplus_{i \in \Z} M^{i} \otimes_A N^{n-i}
\] mit Differentialen
\[
d^{n}(m \otimes n) = d_{\com{M} }(m) \otimes n + (-1)^{i} m \otimes d_{\com{N} }(n)
\] für $m \in M^{i}, n \in N^{n-i}$.
\end{definition}

\begin{lemma}[]
Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann gilt für $n \in \Z$:
\[
H^{n}(\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{B}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{A}, \com{B}[n])
.\]\label{hom-compl-cohomgroups}
\end{lemma}
\begin{proof}
Durch Umbenennung können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $I = \N$. Sei
$j \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das kommutative Diagramm:
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
A \arrow{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow{r}
& \text{ker } g \arrow{r} \arrow{d}
& B \arrow{r}{g} \arrow{d}
& C \arrow{r}{h} \arrow{d}
& D \arrow{d} \\
A_j \arrow{r}{f_j} & \text{im } f_j \arrow{r}
& \text{ker } g_j \arrow{r}
& B_j \arrow{r}{g_j}
& C_j \arrow{r}{h_j}
& D_j \\
A_{j+1} \arrow{r}{f_{j+1}} \arrow{u}{p_{A}} & \text{im } f_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
& \text{ker } g_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
& B_{j+1} \arrow{r}{g_{j+1}} \arrow{u}{p_B}
& C_{j+1} \arrow{r}{h_{j+1}} \arrow{u}{p_C}
& D_{j+1} \arrow{u}{p_D} \\
\text{ker } p_{A_{j+1}} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow{u} & &
& \text{ker } p_{B_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
& \text{ker } p_{C_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
& \text{ker } p_{D_{j+1}} \arrow{u} \\
\end{tikzcd}
\label{eq:0.11-diag}
\end{equation}
Injektivität: Sei $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_j \in \text{im }f_j$.
Dann existiert ein $a_j \in A_j$, sodass $f_j(a_j) = b_j$. Da $p_A$ surjektiv,
existiert ein $x \in A_{j+1}$, sodass $p_A(x) = a_j$. Sei
$y = f_{j+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ,
ist $p_{B}(y) = b_j$. Da $(b_i)_{i \in \N}$ ein kompatibles
System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{j+1}) = b_j$. Also ist
$b_{j+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{j+1} \in \text{ker } g_{j+1}$,
existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$,
sodass $f_{j+1}(\tilde{x}) = b_{j+1} - y$. Nun
setze $a_{j+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist
$f_{j+1}(a_{j+1}) = b_{j+1}$ und $p_{A}(a_{j+1}) = a_j$, denn
$\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible
Familie $(a_{i})_{i\ge j}$ mit $f(a_i) = (b_i)_{i \ge j}$. Für $i < j$ setze
$a_i \coloneqq p_{A_{i+1}}(a_{i+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag}
liefert dann ein kompatibles System $(a_i)_{i \in \N}$ mit
$f(a_{i}) = (b_{i})_{i \in \N}$
Sei $(f^i)_{i \in \Z} \in \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(A^{i}, B^{i+n})$. Dann ist:
\[
(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n} \iff (-1)^{n} d_{\com{B}}^{i+n} f^i = f^{i+1} d_{\com{A} }^{i}
\text{ für } i \in \Z
.\] Wegen $d_{\com{B}[n]} = (-1)^{n}d_{\com{B}}$, induziert $(f^i)_{i \in \Z}$ also genau dann
einen Komplexhomomorphismus $\com{A} \to \com{B}[n]$, wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n}$.

Weiter ist $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im } d^{n-1}$ genau dann wenn eine Familie
$(k^{i})_{i \in \Z}\in \prod_{i \in \Z}^{} \text{Hom}(A^{i}, B^{i+n-1})$ existiert, sodass
%\[
% f^{i} = d_{\com{B}}^{i+n-1} k^{i} - (-1)^{n-1} k^{i+1} d_{\com{A} }^{i}
% = d_{\com{B}}^{i+n-1} k^{i} + (-1)^{n} k^{i+1} d_{\com{A} }^{i}
%.\]
\[
(-1)^{n}f^{i} = (-1)^{n} d_{\com{B}}^{i+n-1} k^{i} + k^{i+1} d_{\com{A} }^{i}
.\] Erneut wegen $d_{\com{B} [n]} = (-1)^{n} d_{\com{B} }$, ist also für $(f_i)_{i \in \Z} \in \text{ker } d^{n}$
der induzierte Komplexhomomorphismus $f\colon \com{A} \to \com{B} $ genau dann nullhomotop,
wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \text{im }d^{n-1}$.
\end{proof}

Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_j$. Weil $p_B$ surjektiv, existiert dann ein
$y \in B_{j+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{j+1}(y)$.
Aufgrund der Kommutativität von
\eqref{eq:0.11-diag} ist dann
$p_C(z) = p_C(g_{j+1}(y)) = g_j(p_B(y)) = g_j(b) = 0$, also
folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{j+1} \circ g_{j+1} = 0$ folgt
$h_{j+1}(z) = h_{j+1}(g_{j+1}(z)) = 0$. Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun
ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{j+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist
$y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{j+1}$ und $p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b$.
Setze $b_{j+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_j \coloneqq b$.
Dann konstruiere induktiv eine kompatible
Familie $(b_i)_{i \ge j}$ mit $b_i \in \text{ker } g_{i}$. Für $i < j$ setze wie
oben $b_i \coloneqq p_{B_{i+1}}(b_{i+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von
\eqref{eq:0.11-diag} ein kompatibles System $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$ mit
$b_j = b$.
\begin{lemma}[Tensorprodukt ist trianguliert]
Sei $\com{M} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$.
Dann ist $- \otimes_A \com{M}$ (und $\com{M} \otimes_A -$) ein triangulierter Funktor von $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$
nach $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$.
\label{satz:tor-is-triangulated}
\end{lemma}

\begin{satz}[Adjunktion der Hom- und Tensorproduktkomplexe]
Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Dann existiert
ein natürlicher Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
\[
\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P})
= \com{\text{Hom}}(\com{M},\com{\text{Hom}} (\com{N} , \com{P} ))
.\]
\label{satz:adjunction-hom-tor-comp}
\end{satz}

\begin{proof}
\end{proof}

% TODO: Bedingung (I) an Indexmengen

% TODO: verstehe ich nicht aber habe alternative
%\begin{lemma}[]
% Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $\mathcal{G}$ eine Klasse von Objekten
% von $\mathcal{A}$, sodass jedes Objekt von $\mathcal{A}$ eine Einbettung
% in ein Objekt aus $\mathcal{G}$ besitzt. Angenommen
% $\com{\text{Hom}}(\com{A}, E) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist exakt für alle
% $E \in \mathcal{G}$. Dann ist $\com{A} $ exakt.
% \label{lemma:0.10}
%\end{lemma}

\newpage

\section{K-injektive und K-projektive Auflösungen}

In diesem Abschnitt möchten wir, in der Notation von \ref{satz:existence-derived-functors}, jeweils eine
Unterkategorie $\mathcal{L}$ finden, die die Bedingungen von \ref{satz:existence-derived-functors}
für die Funktoren $\com{\text{Hom}}(\com{A}, -) $ bzw. $\com{\text{Hom}}(- , \com{A})$ erfüllt. Dazu definieren
wir folgende Klasse von Komplexen:

\begin{definition}[K-injektiv bzw. K-projektiv]
Ein Komplex $\com{X} \in \K$ heißt K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn für alle $\com{S} \in \K$, der Komplex
$\com{\mathrm{Hom}}(\com{S}, \com{X})$ (bzw. $\com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{S})$) exakt ist.
@@ -281,7 +560,7 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
.\]
\item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv
und $\com{S} $ exakt. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$
\ref{hom-cohom-func} ist dann
ist dann mit \ref{hom-cohom-func}
\[
\underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0}
\to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} )
@@ -289,7 +568,7 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
\underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0}
\] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt
$\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, also $\com{Z} $ K-projektiv. Der allgemeine Fall folgt nun
mit \ref{TR2}.
mit \hyperref[TR2]{TR2}.
\end{enumerate}
\end{proof}

@@ -306,7 +585,7 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} )
\] ein Isomorphismus.
\end{enumerate}
\label{satz:mork=mord-fuer-kproj}
\label{satz:mork=mord-for-kproj}
\end{satz}

\begin{proof}
@@ -380,7 +659,7 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
\com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y}
\end{tikzcd}
.\] Da $s$ Quasiisomorphismus, ist $s$ Isomorphismus in $\mathcal{D}$, also existiert ein
$g\colon \com{P} \to \com{X} $ in $\mathcal{D}$, sodass das Diagramm kommutiert. \ref{satz:mork=mord-fuer-kproj}
$g\colon \com{P} \to \com{X} $ in $\mathcal{D}$, sodass das Diagramm kommutiert. \ref{satz:mork=mord-for-kproj}
(iii) liefert das gewünschte Diagramm in $\mathcal{K}$.

(ii)$\implies$(iii): Betrachte
@@ -391,7 +670,7 @@ $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1}
\end{tikzcd}
.\] Da $s$ Quasiisomorphismus existiert mit (ii) ein $f\colon \com{P} \to \com{S}$, s.d. $sf = \text{id}_{\com{P} }$.

(iii)$\implies$(ii): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-fuer-kprof} genügt es zu zeigen, dass für
(iii)$\implies$(ii): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-for-kproj} genügt es zu zeigen, dass für
$\com{S} \in \mathcal{K}$
$\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist.
Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $ mit $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$. Dann
@@ -443,8 +722,14 @@ Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog:

\subsection{Spezielle inverse und direkte Systeme}

Um für einen Komplex $\com{A} $ eine K-injektive bzw. K-projektive Auflösung zu erhalten, konstruieren wir bestimmte
inverse bzw. direkte Systeme deren Limites die gewünschten Auflösungen liefern. Dazu benötigen wir folgenden Begriff:
In der Notation von
\ref{satz:existence-derived-functors}
möchten wir die Klasse der K-injektiven bzw. K-projektiven Komplexe als $\mathcal{L}$
für die Funktoren
$\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)$ bzw. $\com{\text{Hom}}(-, \com{M})$ für $\com{M} \in \mathcal{K}$ verwenden.

Nun stellt sich die Aufgabe für jeden Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ eine K-injektive bzw. eine K-projektive
Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen bzw. direkten Systemen.

\begin{definition}[Spezielles inverses System]
Sei $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
@@ -507,6 +792,124 @@ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die fol
$\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$.
\end{proof}

Unser Ziel ist nun zu zeigen, dass die Klasse der exakten Komplexe abgeschlossen ist bezüglich spezieller
inverser Limites. Da der inverse Limes im Allgemeinen nicht exakt ist, benötigen wir ein technisches Hilfswerkzeug.

Wir benötigen im Folgenden mehrmals eine bestimmte Bedingung an inverse Systeme in
$\mathcal{A}b$.

\begin{definition}
Wir sagen eine totalgeordnete Indexmenge $(I, \le)$ genüge der Bedingung (S), wenn eine ordnungserhaltende
Bijektion $\iota\colon I \to \N$ existiert. Für $i \in I$ bezeichne, falls dieser existiert, mit $i+1$ bzw. $i-1$, den
von $\iota$ induzierten Vorgänger bzw. Nachfolger von $i$.

Weiter sagen wir ein inverses System $(M_i)_{i \in I}$ in $\mathcal{A}b$ genüge der Bedingung
(R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $I$ genügt Bedingung (S).
\item $M_1 = 0$.
\item Für $i > I_{\text{min}}$ ist die Abbildung $M_i \to M_{i-1}$ surjektiv.
\end{enumerate}
\end{definition}

\begin{lemma}
Sei $I$ eine Indexmenge, die Bedingung (S) genügt und seien
$(A_i)_{i \in I}$, $(B_{i})_{i \in I}$, $(C_i)_{i \in I}$ und $(D_i)_{i \in I}$
inverse Systeme in $\mathcal{A}b$, die (R) erfüllen und seien
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
(A_i)_{i \in I} \arrow{r}{f_i} & (B_i)_{i \in I} \arrow{r}{g_i} &
(C_i)_{i \in I} \arrow{r}{h_i} & (D_i)_{i \in I}
\end{tikzcd}
\label{eq:0.11-inv-systems}
\end{equation}
Morphismen von inversen Systemen mit $g_i \circ f_i = 0 = h_i \circ g_i$
für $i \in I$ und sei
\[
\begin{tikzcd}
A \arrow{r}{f} & B \arrow{r}{g} & C \arrow{r}{h} & D
\end{tikzcd}
\] der Limes von \eqref{eq:0.11-inv-systems}. Für $i \in I$ mit $i > I_{\text{min}}$
seien $A_i'$, $B_i'$, $C_i'$ und $D_i'$ die jeweiligen Kerne
der Übergangsabbildungen $A_i \to A_{i-1}$, $B_i \to B_{i-1}$, $C_i \to C_{i-1}$
und $D_i \to D_{i-1}$.

Sei weiter $j \in I$, s.d. für alle $i > j$ die Folge
\[
\begin{tikzcd}
A_i' \arrow{r} & B_i' \arrow{r} & C_i' \arrow{r} & D_i'
\end{tikzcd}
\] exakt ist.

Dann ist die natürliche Abbildung
\[
\text{ker } g / \text{im } f \longrightarrow \text{ker } g_j / \text{im } f_j
\] ein Isomorphismus.
\label{0.11}
\end{lemma}

\begin{proof}
Durch Umbenennung können wir ohne Einschränkung annehmen, dass $I = \N$. Sei
$j \in \N$ mit der beschriebenen Eigenschaft. Dann betrachte das kommutative Diagramm:
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
A \arrow{r}{f} \arrow{d} & \text{im } f \arrow{r}
& \text{ker } g \arrow{r} \arrow{d}
& B \arrow{r}{g} \arrow{d}
& C \arrow{r}{h} \arrow{d}
& D \arrow{d} \\
A_j \arrow{r}{f_j} & \text{im } f_j \arrow{r}
& \text{ker } g_j \arrow{r}
& B_j \arrow{r}{g_j}
& C_j \arrow{r}{h_j}
& D_j \\
A_{j+1} \arrow{r}{f_{j+1}} \arrow{u}{p_{A}} & \text{im } f_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
& \text{ker } g_{j+1} \arrow{r} \arrow{u}
& B_{j+1} \arrow{r}{g_{j+1}} \arrow{u}{p_B}
& C_{j+1} \arrow{r}{h_{j+1}} \arrow{u}{p_C}
& D_{j+1} \arrow{u}{p_D} \\
\text{ker } p_{A_{j+1}} \arrow[from=4-1, to=4-4] \arrow{u} & &
& \text{ker } p_{B_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
& \text{ker } p_{C_{j+1}} \arrow{r} \arrow{u}
& \text{ker } p_{D_{j+1}} \arrow{u} \\
\end{tikzcd}
\label{eq:0.11-diag}
\end{equation}
Injektivität: Sei $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$, sodass $b_j \in \text{im }f_j$.
Dann existiert ein $a_j \in A_j$, sodass $f_j(a_j) = b_j$. Da $p_A$ surjektiv,
existiert ein $x \in A_{j+1}$, sodass $p_A(x) = a_j$. Sei
$y = f_{j+1}(x)$. Weil \eqref{eq:0.11-diag} kommutativ,
ist $p_{B}(y) = b_j$. Da $(b_i)_{i \in \N}$ ein kompatibles
System ist, gilt zudem $p_{B}(b_{j+1}) = b_j$. Also ist
$b_{j+1} - y \in \text{ker } p_{B}$. Weil $y, b_{j+1} \in \text{ker } g_{j+1}$,
existiert aufgrund der Exaktheit der unteren Zeile ein $\tilde{x} \in \text{ker } p_A$,
sodass $f_{j+1}(\tilde{x}) = b_{j+1} - y$. Nun
setze $a_{j+1} \coloneqq \tilde{x} + x$. Dann ist
$f_{j+1}(a_{j+1}) = b_{j+1}$ und $p_{A}(a_{j+1}) = a_j$, denn
$\tilde{x} \in \text{ker } p_{A}$. Konstruiere so induktiv eine kompatible
Familie $(a_{i})_{i\ge j}$ mit $f(a_i) = (b_i)_{i \ge j}$. Für $i < j$ setze
$a_i \coloneqq p_{A_{i+1}}(a_{i+1})$. Die Kommutativität von \eqref{eq:0.11-diag}
liefert dann ein kompatibles System $(a_i)_{i \in \N}$ mit
$f(a_{i}) = (b_{i})_{i \in \N}$

Surjektivität: Sei $b \in \text{ker } g_j$. Weil $p_B$ surjektiv, existiert dann ein
$y \in B_{j+1}$, sodass $p_B(y) = b$. Sei $z = g_{j+1}(y)$.
Aufgrund der Kommutativität von
\eqref{eq:0.11-diag} ist dann
$p_C(z) = p_C(g_{j+1}(y)) = g_j(p_B(y)) = g_j(b) = 0$, also
folgt $z \in \text{ker } p_C$. Da $h_{j+1} \circ g_{j+1} = 0$ folgt
$h_{j+1}(z) = h_{j+1}(g_{j+1}(z)) = 0$. Da die untere Zeile exakt ist, existiert nun
ein $\tilde{y} \in \text{ker } p_B$, s.d. $g_{j+1}(\tilde{y}) = z$. Also ist
$y - \tilde{y} \in \text{ker } g_{j+1}$ und $p_B(y - \tilde{y}) = p_B(y) = b$.
Setze $b_{j+1} \coloneqq y - \tilde{y}$ und $b_j \coloneqq b$.
Dann konstruiere induktiv eine kompatible
Familie $(b_i)_{i \ge j}$ mit $b_i \in \text{ker } g_{i}$. Für $i < j$ setze wie
oben $b_i \coloneqq p_{B_{i+1}}(b_{i+1})$. Erneut liefert die Kommutativität von
\eqref{eq:0.11-diag} ein kompatibles System $(b_i)_{i \in \N} \in \text{ker } g$ mit
$b_j = b$.
\end{proof}


\begin{lemma}
Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.

@@ -515,7 +918,7 @@ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die fol

\begin{proof}
Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$
erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung P aus \ref{0.11}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt
erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung (R) aus \ref{0.11}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt
\[
(S_n^{i-1})_{n \in \N} \to (S_n^{i})_{n \in \N} \to (S_n^{i+1})_{n \in \N} \to (S_n^{i+2})_{n \in \N}
\] die Bedingungen von \ref{0.11}, da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$
@@ -629,13 +1032,13 @@ Ebenfalls analog gilt:

\begin{satz}
Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
unter speziellen inversen Colimites. Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
unter speziellen inversen Limites. Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
$F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kontravarianter Funktor, der direkte Colimites in
inverse Limites überführt und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.

Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites.

\label{satz:complete-inv-system-functor}
\label{satz:complete-dir-system-functor}
\end{satz}

\begin{korollar}[]
@@ -722,8 +1125,11 @@ folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.
Sei nun $n \ge 1$ und seien $\com{P}_{-1}, \ldots, \com{P}_{n-1}$ und $f_{-1}, \ldots, f_{n-1}$ konstruiert mit $\com{P}_i \in \mathcal{K}^{-}$. Dann
setze $\com{P} = \com{P}_{n-1}$, $\com{B} = \tau_{\le n} \com{A} $. Es sei
$a_{n-1}\colon \tau_{\le n-1}\com{A} \to \tau_{\le n} \com{A} $ der natürliche Komplexhomomorphismus
und $f = a_{n-1}f_{n-1}$.

und $f = a_{n-1}f_{n-1}\colon \com{P} \to \com{B}$. Es gilt dann
\begin{equation}
f d_P = d_B f
\label{eq:f-comp-hom}
\end{equation}
Da $\com{B} = \tau_{\le n}\com{A}$ und $\com{P} $ nach oben beschränkt sind und
$C_f^{i} = P^{i+1} \oplus B^{i}$, existiert mit (1) ein Quasiisomorphismus
$g\colon \com{Q} \to \com{C}_f[-1] $ mit $\com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und
@@ -732,15 +1138,16 @@ folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.
gegeben durch $g'_i\colon Q^{i} \to P^{i} $ und $g''_i\colon Q^{i} \to B^{i-1}$.

Betrachte für $i \in \Z$ das folgende kommutative Diagramm:
\[
\begin{equation}
\begin{tikzcd}
\cdots \arrow{r} & Q^{i} \arrow{r}{d_{Q}} \arrow{d}{(g', g'')}
& Q^{i+1} \arrow{r} \arrow{d}{(g', g'')} & \cdots\\
\cdots \arrow{r} & P^{i} \oplus B^{i-1} \arrow{r}{d_{C_f[-1]}} &
P^{i+1} \oplus B^{i} \arrow{r} & \cdots
\tag{$*$} \label{eq:1}
\label{eq:1}
\end{tikzcd}
\] In Matrixnotation ist
\end{equation}
In Matrixnotation ist
\begin{align*}
d_{C_f} &= \begin{pmatrix} d_{P}[1] & 0 \\ f[1] & d_{B} \end{pmatrix}
\intertext{Also folgt}
@@ -775,7 +1182,7 @@ folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.
\begin{pmatrix}
d_B g'' & f d_P
\end{pmatrix} \\
&\stackrel{\eqref{}}{=}
&\stackrel{\eqref{eq:f-comp-hom}}{=}
\begin{pmatrix}
d_B g'' & d_B f
\end{pmatrix} \\
@@ -1070,6 +1477,28 @@ Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch eine weitere Klasse von Kom
die Behauptung aus den Definitionen.
\end{proof}

Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexen:

\begin{lemma}
Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Angenommen für jeden K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ ist
$\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{I})$ exakt. Dann ist $\com{A}$ exakt.
\label{lemma:0.10}
\end{lemma}

\begin{proof}
Sei $\com{B} \in \mathcal{K}$ beliebig. Dann existiert nach \ref{satz:existence-k-inj-resolution} ein
K-injektiver Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ und ein Quasiisomorphismus $\com{B} \to \com{I}$. Dann
gilt $\com{B} \stackrel{\sim }{=} \com{I} $ in $\mathcal{D}$ und wir erhalten
\[
\text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{A}, \com{B}) \stackrel{\sim }{=}
\text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{A} , \com{I} ) \stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{A} , \com{I} ) = 0
.\]
Mit Yoneda folgt nun, dass $\com{A} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$. Da per Definition
$H^{i}(-)\colon \mathcal{K} \to \mathcal{A}b$ über den kanonischen Funktor $Q\colon \mathcal{K} \to \mathcal{D}$
faktorisiert, folgt $H^{i}(\com{A}) = 0$ für $i \in \Z$, also $\com{A}$ exakt.
\end{proof}

\begin{satz}[]
Sei $\com{M} \in \mathcal{K} $. Dann sind äquivalent:
\begin{enumerate}[(i)]
@@ -1178,10 +1607,10 @@ Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch eine weitere Klasse von Kom
H^{i}(\com{M} \otimes_A \com{N}) = \com{M} \otimes_A H^{i}(\com{N})
= \com{M} \otimes_A H^{i}(\com{P})
= H^{i}(\com{M} \otimes_A \com{P})
\label{eq:cohom-groups}
\label{eq:cohom-groups-1}
.\end{equation}
Wegen \ref{satz:k-proj-is-k-flat} ist $\com{P} $ K-flach, also folgt mit der Exaktheit von $\com{M} $, dass
$\com{M} \otimes_A \com{P} $ exakt ist. Damit folgt die Behauptung aus \eqref{eq:cohom-groups}.
$\com{M} \otimes_A \com{P} $ exakt ist. Damit folgt die Behauptung aus \eqref{eq:cohom-groups-1}.
\end{proof}

\begin{satz}[]
@@ -1200,7 +1629,7 @@ Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch eine weitere Klasse von Kom
H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})) = \com{\text{Hom}}(H^{i}(\com{M}), \com{I})
= \com{\text{Hom}}(H^{i}(\com{P}), \com{I})
= H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{P} , \com{I} ))
\label{eq:cohom-groups}
\label{eq:cohom-groups-2}
.\end{equation}
Da $\com{P} $ K-projektiv und $\com{I} $ exakt, folgt die Exaktheit der rechten Seite und damit die Behauptung.
\end{proof}
@@ -1210,6 +1639,7 @@ Umdrehen der Pfeile liefert
\begin{satz}[]
Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$ K-projektiv und exakt. Dann ist $\com{\text{Hom}}(\com{P} , \com{M} )$ exakt für alle
$\com{M} \in \mathcal{K}$.
\label{satz:hom-exact-for-k-proj}
\end{satz}

\subsection{Abgeleitete $\com{\text{Hom}}$ Funktoren}
@@ -1295,7 +1725,7 @@ Jetzt können wir alles zusammentragen und erhalten:
\text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
&= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
&= \com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P} ) \\
&\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor}}{=}
&\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
&= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
&= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P}))


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