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sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex

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 \documentclass{../../lecture}
 
+\author{Christian Merten}
+\title{Auflösung unbeschränkter Komplexe}
+\usepackage{tikz-cd}
+\usepackage{amssymb}
+
+\newcommand{\com}[1]{#1^{\bullet}}
+\newcommand{\K}{\mathcal{K}}
+
 \begin{document}
 
+\maketitle
+
+\section{Einleitung}
+
+\section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren}
+
+\section{K-injektive und K-projektive Auflösungen}
+
+Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
+Komplexkategorie mit Komplexhomomorphismen bis auf Homotopie als Abbildungen.
+
+\begin{definition}[K-injektiv bzw. K-projektiv]
+    Ein Komplex $\com{X} \in \K$ heißt K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn für alle $\com{S} \in \K$, der Komplex
+    $\com{\mathrm{Hom}}(\com{S}, \com{X})$ (bzw. $\com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{S})$) exakt ist.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    Mit \ref{hom-compl-cohomgroups} ist $\com{X} $ genau dann K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn
+    $\forall \com{S} \in K$ exakt: $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S}[i] , \com{X}) = 0$
+    (bzw. $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[i]) = 0)$  $\forall i \in \Z$. Da Verschieben Exaktheit erhält
+    folgt also
+    \[
+    \com{X}  \text{ K-projektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )  = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt}
+    \]
+    \[
+    \com{X}  \text{ K-injektiv} \iff \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{X} )  = 0 \quad \forall \com{S} \text{ exakt}
+    .\]
+\end{bem}
+
+\subsection{Elementare Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven Komplexen} 
+
+\begin{bem}
+    Ein exakter K-projektiver oder K-injektiver Komplex $\com{X}$ ist zusammenziehbar, d.h. ist nullhomotop.
+    \begin{proof}
+        Betrachte $\mathrm{id}_{\com{X}} \in \mathrm{Hom}^{0}(\com{X}, \com{X}) = \mathrm{Mor}_{\K}(\com{X} , \com{X}) = \mathrm{H}^0 \com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{X}) = 0$. Also ist $\mathrm{id}_{\com{X} } = 0$ und damit
+        $\com{X} = 0$ in $\K$.
+    \end{proof}
+\end{bem}
+
+\begin{satz}
+    Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-injektiv (bzw. K-projektiv) genau
+    dann wenn $A^{0}$ injektiv (bzw. projektiv) in $\mathcal{A}$ ist.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ,,$\implies$'': Sei $\com{X} $ K-projektiv und $\com{S} = 0 \to M \to  N \to  P \to 0$ kurze exakte Folge in $\mathcal{A}$. Sei
+    $f\colon X^{0} \to P$. Das induziert einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{S}$
+\[\begin{tikzcd}
+    0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & X^0 \arrow{d}{f} \arrow[dashed]{dl}{k} \arrow{r}
+    & 0 \arrow{d} \arrow[dashed]{dl}\\
+    M \arrow{r} & N \arrow{r}{v} & P \arrow{r} & 0
+\end{tikzcd}\]
+Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, d.h. es existiert $k \colon X^{0} \to N$, s.d. $f = vk$. Also ist
+$\text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.
+
+,,$\impliedby$'': Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$
+Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
+\[
+diag
+.\] 
+Da $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[]
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\com{X} \in \mathcal{K}$ ist K-projektiv (bzw. K-injektiv) genau dann wenn $\com{X}[1]$ dies ist.
+        \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-projektiv (bzw. K-injektiv) sind,
+            dann auch der dritte.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+    
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Das folgt, daraus dass für $\com{X}, \com{S} \in \mathcal{K}$ gilt: $\com{S} $ exakt $\iff \com{S} [-1]$
+            exakt und
+            \[
+            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{S}[-1]) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})
+            .\] 
+        \item Sei $(\com{X}, \com{Y}, \com{Z}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck mit $\com{X}, \com{Y} $ K-projektiv
+            und $\com{S} $ exakt. Nach Anwenden von $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(-, \com{S})$
+            \ref{hom-cohom-func} ist dann
+            \[
+                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}[1], \com{S})}_{= 0}
+                \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S} )
+                \to
+                \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Y}, \com{S} )}_{= 0}
+            \] exakt und die äußeren Terme $0$ nach Voraussetzung und (i). Also folgt
+            $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{Z}, \com{S}) = 0$, also $\com{Z} $ K-projektiv. Der allgemeine Fall folgt nun
+            mit \ref{TR2}.
+    \end{enumerate}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\com{P} $ K-projektiv
+        \item Für $\com{X} \to \com{Y} $ Quasiisomorphismus in $\mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
+            \[
+            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) 
+            \] ein Isomorphismus.
+        \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
+            \[
+                \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) 
+            \] ein Isomorphismus.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    (i)$\implies$(ii): Sei $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ ein Quasiisomorphismus. Dann ist
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \com{X} \arrow{r}{f} & \com{Y} \arrow{r} & \com{C_f} \arrow{r} & \com{X}[1]
+    \end{tikzcd}
+    \] ein ausgezeichnetes Dreieck und $\com{C_f}$ ist nach \ref{mapping-cone-exact-for-qis} exakt. Anwenden von
+    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , -) $ liefert mit \ref{hom-cohom-func} eine exakte Folge:
+    \[
+        \begin{tikzcd}
+            \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{C_f}[-1]) \arrow{r}}_{= 0} &
+            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{X} ) \arrow{r} &
+            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{Y} ) \arrow{r} &
+            \underbrace{\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P}, \com{C_f} ) }_{= 0}
+        \end{tikzcd}
+    .\] Die äußeren Terme sind 0, da $\com{P} $ K-projektiv, also folgt der behauptete Isomorphismus.
+
+    (ii)$\implies$(iii): Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $\text{id}^{-1}f = 0$. Nach
+    \ref{derived-cat-morphism-null} existiert ein $t\colon \com{S} \to \com{T} $ Quasiisomorphismus, s.d. $tf= 0$.
+    Nach (ii) ist $t_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{T} ) $
+    injektiv, also folgt $f = 0$. Surjektivität: Sei $a \in \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $. Dann
+    ist $a$ ein Diagramm in $\mathcal{K}$
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        & \com{M} & \\
+        \com{P} \arrow{ur}{f} & & \arrow{ul}{s} \com{S} 
+    \end{tikzcd}
+    \] mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (ii) ist $s_{*}\colon \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{M} ) $ surjektiv, also existiert ein $g\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $sg = f$. Also
+    kommutiert
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        & \com{S} \arrow{d}{s} & \\
+        \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{M} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
+        & \com{M} \arrow{u}{\text{id}} & \\
+    \end{tikzcd}
+    .\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$.
+
+    (iii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Dann ist $\com{S} \to 0$ ein Quasiisomorphismus, also
+    $\com{S} \stackrel{\sim }{=} 0$ in $\mathcal{D}$, also
+    \[
+        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X} , \com{S} )
+        \stackrel{\text{(ii)}}{=} \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{S} )
+        = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{X} , \com{0} ) = 0
+    .\]
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\com{X} $ K-projektiv.
+        \item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$
+            \[
+            \begin{tikzcd}
+                & \com{M} \arrow{d}{s}  \\
+                \com{X} \arrow{r}{f} & \com{N}\\
+            \end{tikzcd}
+            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{M} $, s.d.
+            $sg= f$ in $\mathcal{K}$.
+        \item Für alle Quasiisomorphismen $u\colon \com{S} \to \com{X} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
+            $v\colon \com{A} \to \com{S} $, s.d. $uv = \text{id}_{\com{X} }$ in $\mathcal{K}$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\newpage
 
+\section{Adjunktion von abgeleitetem Hom und Tensorprodukt}
 
 \end{document}