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ws2019/ana/lectures/analysis19.tex

@@ -0,0 +1,294 @@
+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\begin{satz}[Reihenentwicklung Sinus / Cosinus]
+    Für alle $x \in \R$ gilt (absolut konvergente
+    Potenzreihendarstellung)
+    \[
+        \cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \ldots
+    .\] und
+    \[
+        \sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - \ldots
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Die absolute Konvergenz folgt als Teilreihe der Exponentialreihe (als Majorante)
+
+    Es gilt für $m \in \N_0$
+    \[
+    i^{n} = \begin{cases}
+        1 & n = 4m \\
+        i & n = 4m+1 \\
+        -1 & n = 4m+2 \\
+        -i & n = 4m+3
+    \end{cases}
+    .\] Es folgt
+    \begin{align*}
+        e^{ix} &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} i^{n} \frac{x^{n}}{n!} \\
+               &= \underbrace{\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!}}_{\cos(x)} + i \underbrace{\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}}_{\sin(x)}
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[Restgliedabschätzung Sinus / Cosinus]
+    Für $n \in \N_0$ gilt
+    \[
+        \cos(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!} + R_{2n+2}(x)
+    .\] und
+    \[
+        \sin(x)= \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + R_{2n+3}(x)
+    .\] 
+    mit
+    \[
+        |R_{2n+2}(x)| \le \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!} \text{ für } |x| \le 2n+3
+    .\] bzw.
+    \[
+        |R_{2n+3}(x)| \le \frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!} \text{ für } |x| \le 2n+4
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Es gilt
+    \begin{align*}
+        R_{2n+2}(x) &= \sum_{k=n+1}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2k}}{(2k)!} \\
+                    &= (-1)^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}
+                    \left( \sum_{k=n+1}^{\infty} (-1)^{k-(n+1)}
+                    \frac{x^{2(k - (n+1))}}{(2k)! \frac{1}{(2n+2)!}}\right) \\
+                    &= (-1)^{n+1} \frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}
+                    \left( \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}
+                    \frac{x^{2k}(2n+2)!}{(2k+2n+2)!} \right) 
+    .\end{align*}
+    Für $k \in \N$ setze
+    \begin{align*}
+        a_k :&= \frac{x^{2k}(2n+2)!}{(2k+2n+2)!}
+        = \frac{x^{2k}}{(2n+3)(2n+4) \ldots (2k + 2n + 2)} \\
+        a_{k-1} &= \frac{x^{2k-2}(2n+2)!}{(2k+2n)!}
+        \intertext{damit}
+        a_k &= a_{k-1} \cdot \frac{x^{2}}{(2k+2n+1)(2k+2n+2)}
+    .\end{align*}
+    Es gilt für $|x| \le 2n+3, k\ge 1$
+    \[
+        \frac{x^{2}}{(2k+2n+1)(2k+2n+2)} \le \frac{(2n+3)^{2}}{(2n+3)(2n+4)} < 1
+    .\] $\implies$
+    \[
+        a_k \le \frac{(2n+3)^{k}}{(2n+4)^{k}} a_0 \quad a_0 = \frac{1}{(2n+2)!}
+    .\] $\stackrel{\text{Leibniz}}{\implies}$
+    \[
+        \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} a_k
+    .\] konvergent mit
+    \[
+        0 < \underbrace{\underbrace{1 - a_1}_{> 0} + \underbrace{a_2 - a_3}_{> 0}
+        + \underbrace{a_4 - \ldots}_{> 0}}_{< 1} < 1
+    .\] $\implies$
+    \[
+        |R_{2n+2}(x)| \le \frac{|x|^{2n+2}}{(2n+2)!} \text{ für } |x| \le 2n+3
+    .\] Genauso für $R_{2n+3}(x)$ (Sinus).
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sinus und Cosinus Funktionen haben das folgende Verhalten
+    \[
+        \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1
+    .\]
+    \[
+        \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)-1}{x} = 0
+    .\] 
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    \begin{align*}
+        \left| \frac{\sin(x)}{x} - 1 \right|
+        &= \left| \underbrace{1 - \frac{x^{2}}{3!} + \frac{x^{4}}{5!}}_{\frac{\sin(x)}{x}} - \ldots - 1\right| \\
+        &= \left| x \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}\frac{x^{2k-1}}{(2k+1)!} \right|  \\
+        &\stackrel{|x| < 1}{\le |x|} \cdot \left| \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)!} \right|
+        \le |x| \cdot e
+    .\end{align*} $\implies$
+    \[
+        \underbrace{\left| \frac{\sin(x)}{x} -1 \right|}_{\to 0}
+        \le \underbrace{|x| \cdot e}_{\to 0}
+    .\] 
+    genauso für $\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x}$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Die Zahl $\pi$}
+Ziel: Analytische Definition von $\pi \in \R$.
+
+\begin{satz}[und Definition]
+    Die Funktion $\cos\colon [0,2] \to \R$ hat genau eine Nullstelle
+    im Intervall $[0,2]$, welche mit  $\frac{\pi}{2}$ bezeichnet
+    wird ($\pi := 2 \frac{\pi}{2}$ ).
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    in 4 Schritten.
+
+    Schritt 1 / Lemma 1: $\cos(2) \le -\frac{1}{3}$. \\
+    Restgliedabschätzung liefert ($|x| \le 5$ ).
+    \[
+        \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + R_4(x) \text{ mit } |R_4(x)| \le \frac{|x|^{4}}{24}
+    .\] $\implies$
+    \[
+        \cos(2) = 1 - 2 + \underbrace{R_4(2)}_{\le \frac{16}{24} = \frac{2}{3}} \le -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}
+    .\] 
+
+    Schritt 2 / Lemma 2: $\sin(x) > 0$ $\forall x \in \; ]0, 2[$\\
+    Es gilt
+    \begin{align*}
+        \sin(x) = x + R_3(x) = x (1 + \frac{R_3(x)}{x})
+        \left| \frac{R_3(x)}{x} \right| \le \frac{|x|^2}{6}
+        \stackrel{0 < x \le 2}{\le} \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
+        \intertext{$\implies$}
+        1 + \frac{R_3(x)}{x} \ge \frac{1}{3}
+    .\end{align*}
+
+    Schritt 3 / Lemma 3: $\cos: [0,2] \to \R$ ist streng monoton fallend.\\
+    Sei $0 \le y < x \le 2$. Dann gilt
+    \begin{align*}
+        \cos(x) - \cos(y) \stackrel{\text{Additionstheorem}}{=}
+        - 2 \underbrace{\sin\left( \frac{x+y}{2} \right)}_{> 0}
+        \underbrace{\sin\left( \frac{x-y}{2} \right)}_{> 0} < 0
+    .\end{align*}
+
+    Schritt 4 (Beweis der Definition von $\pi$ )
+    $\cos(0) = 1$ (nach Definition).
+    \[
+        \cos(2) \le - \frac{1}{3} \stackrel{\text{Zwischenwertsatz}}{\implies}
+        \exists x_0 \in [0,2] \text{ mit } \cos(x_0) = 0
+    .\] Nach Lemma 3 ist $x_0$ eindeutig.
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}[Spezielle Werte von $\exp$]
+    Es gilt: $e^{i \frac{\pi}{2}} = i$,
+    $e^{i \pi} = -1$, $e^{i \frac{3\pi}{2}} = -i$, $e^{2\pi i} = 1$ 
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    Übung.
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}[Eigenschaften Sinus / Cosinus]
+    $\forall x \in \R$ gilt:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\cos(x + 2\pi) = \cos(x) \quad \sin(x+2\pi) = \sin(x)$  \\
+            $2 \pi$: Periodizität
+        \item $\cos(x + \pi) = - \cos(x) \quad \sin(x+ \pi) = - \sin(x)$
+        \item $\cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) \quad \sin(x) = \cos(\frac{\pi}{2} - x)$
+        \item Nullstellen von $\sin / \cos$.\\
+            $\{x \in \R | \sin x = 0\} = \{x = k\pi | k \in \Z\} $ \\
+            $\{x \in \R | \cos x = 0\} = \{x = \left(k+\frac{1}{2}\right)\pi | k \in \Z\} $ \\
+    \end{enumerate}
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    folgt aus den Additionstheoremen, der Definition von $\frac{\pi}{2}$,
+    den speziellen Werten von $\exp$ und folgender Tabelle
+    \begin{tabular}{l|l|l|l|l|l}
+        x & 0 & $\frac{\pi}{2}$ & $\pi$ & $\frac{3}{2} \pi$ & $2 \pi$ \\ \hline
+        $\cos x$ & 1 & 0 & $-1$ & 0 & 1 \\ \hline
+        $\sin x$ & 0 & 1 & 0 & $-1$ & 0 \\
+    \end{tabular}.
+\end{proof}
+
+\begin{korrolar}[$e^{z} = 1$]
+    Es gilt $\{z \in \mathbb{C} | e^{z} = 1\} = \{i 2 \pi k | k \in \Z\} $
+\end{korrolar}
+
+\begin{proof}
+    ohne Beweis.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}[Tangens, Cotangens]
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Die Tangensfunktion
+            \begin{align*}
+                &\tan: \R \setminus \{x = (k + \frac{1}{2}) \pi | k \in \Z\} 
+                \to \R
+            \intertext{ist definiert durch}
+                &\tan x := \frac{\sin x}{\cos x}
+            .\end{align*}
+        \item Die Cotangensfunktion
+            \begin{align*}
+                &\cot: \R \setminus \{x = k \pi | k \in \Z\} \to \R
+            \intertext{ist definiert durch}
+                &\cot x := \frac{\cos(x)}{\sin(x)}
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{figure}[htpb]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}%
+            [grid=both,
+             minor tick num=4,
+             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+             axis lines=middle,
+             enlargelimits={abs=0.2},
+             ymax=5,
+             ymin=-5
+            ]
+            \addplot[domain=-3:3,samples=50,smooth,red] {tan(deg(x))};
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{$\tan(x)$}
+\end{figure}
+
+\begin{figure}[htpb]
+    \centering
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}%
+            [grid=both,
+             minor tick num=4,
+             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+             axis lines=middle,
+             enlargelimits={abs=0.2},
+             ymax=5,
+             ymin=-5
+            ]
+            \addplot[domain=-3:3,samples=50,smooth,red] {cot(deg(x))};
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+    \caption{$\cot(x)$}
+\end{figure}
+
+\begin{definition}[Arcusfunktionen (Umkehrfunktionen der Trigonometrischen
+    Funktionen)]
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\cos\colon  [0, \pi] \to  [-1, 1]$ ist streng monoton fallend
+            und bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt
+            Arcus-Cosinus.
+            \[
+                \arccos: [-1,1] \to  [0, \pi]
+            .\] 
+        \item $\sin\colon  \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \to [-1, 1]$
+            ist streng monoton wachsend und bijektiv. Die Umkehrfunktion
+            heißt Arcus-Sinus.
+            \[
+                \arcsin: [-1,1] \to \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] 
+            .\] 
+        \item $\tan\colon  \; ] - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} [ \to  \R$ ist streng
+            monoton wachsend und bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt
+            Arcus-Tangens.
+            \[
+                \arctan: \R \to  ] - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} [
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Polarkoordinaten]
+    Jedes $z \in \mathbb{C}$ lässt sich schreiben als
+    $z = r\cdot e^{i \varphi}$, $\varphi \in \R$ und
+    $r = |z| \in [0, \infty[$.
+
+    Für $z \neq 0$ ist $\varphi$ bis auf ein ganzzahliges Vielfaches von
+    $2\pi$ eindeutig bestimmt.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Rannacher.
+\end{proof}
+
+\end{document}

ws2019/ana/uebungen/ana9.tex

@@ -0,0 +1,318 @@
+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\title{Übungsblatt 9 Analysis 1}
+\author{Leon Burgard, Christian Merten, Mittwoch Übungsgruppe}
+
+\begin{document}
+
+% punkte tabelle
+\begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|@{}m{0cm}@{}}
+    \hline
+    Aufgabe & \centering A1 & \centering A2 & \centering A3 & \centering A4
+            & \centering A5 & \centering A6 & \centering A7 & \centering A8
+            & \centering $\sum$ & \\[5mm] \hline
+            Punkte & & & & & & & & & & \\[5mm] \hline
+\end{tabular}
+
+\begin{aufgabe}[Vollständige Induktion]
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Beh.:
+            \[
+                \sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{1}{6} n (n+1) (2n+1)
+            .\] 
+            \begin{proof}
+                durch vollständige Induktion
+
+                I.A.: $n=1 $
+                \[
+                \sum_{k=1}^{1} k^2 = 1 = \frac{1}{6} \cdot 2 \cdot 3
+                .\] 
+                I.S.: $n \to n+1$. Es existiere ein festes aber beliebiges
+                $n \in \N$ mit $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$.
+
+                \begin{align*}
+                    \frac{1}{6}(n+1)(n+2)(2(n+1)+1)
+                    &= \frac{1}{6} (n^2 + 3n + 2)(2n +3) \\
+                    &= \frac{1}{6} (2n^{3} + 3n^2 + n + 6n^2 + 12n + 6) \\
+                    &= \frac{1}{6} (2n^{3} + 3n^2 +n) + n^2 + 2n + 1 \\
+                    &= \frac{1}{6}n(2n^{3} + 3n + 1) + (n+1)^{2} \\
+                    &= \frac{1}{6}n (n (2n+3) +1) + (n+1)^2 \\
+                    &= \frac{1}{6}n (n+1)(2n+1) + (n+1)^2 \\
+                    &\stackrel{\text{I.V.}}{=} \sum_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2 \\
+                    &= \sum_{k=1}^{n+1} k^2
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+        \item Beh.:
+            \[
+                \sum_{k=1}^{n} (3k+2)^2 = \frac{1}{2} n \left( 6n^2 + 21n + 23 \right)
+            .\] 
+            \begin{proof}
+            \begin{align*}
+                \sum_{k=1}^{n} (3k+2)^2 &= \sum_{k=1}^{n} (9k^2 + 12 k + 4) \\
+                    &= 9 \sum_{k=1}^{n} k^2
+                    + 12 \sum_{k=1}^{n} k
+                    + \sum_{k=1}^{n} 4 \\
+                    &\stackrel{\text{(a) und kl. Gauß}}{=}
+                        \frac{3}{2} n(n+1)(2n+1) + 6n (n+1) + 4n \\
+                    &= \frac{1}{2} n \left( 3(n+1)(2n+1) + 12n + 12 + 8 \right)  \\
+                    &= \frac{1}{2} n \left( 6n^2 + 21n + 23 \right) 
+            .\end{align*}
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Beh.: $a_n := \sqrt[n]{n F^{n}}$. $\lim_{n \to \infty} a_n = F$ 
+            \begin{proof} $\lim_{n \to \infty} a_n
+                    = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \cdot F = F$
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $b_n := \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{\rho -1}{\rho}\right)^{k}$, $\rho \in [2,100]. \lim_{n \to \infty} b_n = \rho$
+            \begin{proof}
+                Mit $q := \frac{\rho - 1}{\rho}$ folgt $0 < q < 1$ $\forall \rho > 1 $. \\
+                $\implies$
+                \begin{align*}
+                    \lim_{n \to \infty} b_n \stackrel{\text{geometrische Reihe}}{=} \frac{1}{1- q} = \frac{1}{1 - \frac{\rho - 1}{\rho}} = \frac{1}{\frac{\rho - (\rho - 1)}{\rho}} = \rho
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $c_n := \sum_{k=0}^{n} \frac{s^{k}}{k!}$. $\lim_{n \to \infty} c_n = e^{S}$
+             \begin{proof}
+                 Mit $e^{x} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}$ folgt direkt
+                 $\lim_{n \to \infty} c_n = e^{S}$
+             \end{proof}
+        \item Beh.: $d_n := \frac{3 - Fn^{5}}{\frac{n^{5}}{E} + n}
+            \cdot \frac{R - GSTn}{\frac{U}{n} + Gn}$. $\lim_{n \to \infty} d_n = FEST$
+            \begin{proof}
+                \begin{align*}
+                    d_n &= \frac{3 - Fn^{5}}{\frac{n^{5}}{E} + n}
+                        \cdot \frac{R - GSTn}{\frac{U}{n} + Gn}
+                        = \frac{\frac{3}{n^{5}} - F}{\frac{1}{E} + \frac{1}{n^{4}}} \cdot \frac{\frac{R}{n} - GST}{\frac{U}{n^2} + G}
+                    \intertext{$\implies$}
+                    \lim_{n \to \infty} d_n &= \frac{F}{\frac{1}{E}} \cdot  \frac{GST}{G} = FEST
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item
+            \begin{enumerate}[(1)]
+                \item $\sum_{k=0}^{\infty} k$ konvergiert nicht,
+                    da $k$ keine Nullfolge. Die Folge der Partialsummen ist: $s_n = \sum_{k=0}^{n} k \stackrel{\text{kl. Gauß}}{=} \frac{n(n+1)}{2}$.
+                \item $\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+1)} = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{k^2+k} < \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ $\forall k \in \N$
+                    ist konvergent, da $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$
+                    konvergente Majorante. Die Folge der Partialsummen ist
+                    $s_n := \sum_{m=1}^{n} \frac{1}{m(m+1)}$.
+            \end{enumerate}
+        \item
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item
+                    \begin{align*}
+                    \sum_{k=2}^{\infty} \frac{4\cdot 2^{k+1}}{3^{k}}
+                    = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{4 \cdot 2 \cdot 2^{k}}{3^{k}} 
+                    = 8 \sum_{k=2}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{k}
+                    = 8 \left( \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{2}{3} \right)^{k}
+                    - \sum_{k=0}^{1} \left( \frac{2}{3} \right)^{k}\right)
+                    &= 8 \left( 3 - \frac{5}{3} \right) = \frac{32}{3}
+                    .\end{align*}
+                \item
+                    \begin{align*}
+                        \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{1}{\sqrt{3^{k+1}} - \sqrt{3^{k}} } = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{1}{\sqrt{3^{k}}(\sqrt{3} - 1)}
+                                                                                              &\qquad \;= \frac{1}{\sqrt{3} - 1} \sum_{k=0}^{\infty} \left(-\frac{1}{\sqrt{3} }\right)^{k} \\
+                                                                                              &\stackrel{\text{Geometr. Reihe}}{=} \frac{1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{\sqrt{3} }} \\
+                                                                                              &\qquad \;= \frac{1}{\sqrt{3}  - \frac{1}{\sqrt{3} }} \\
+                                                                                              &\qquad \;= \frac{\sqrt{3} }{2}
+                    .\end{align*}
+            \end{enumerate}
+        \item
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item $\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{1}{k}$
+                    ist nicht absolut konvergent,
+                    da $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}$ divergiert.
+                \item $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}}{k!} = e^2 - 1$
+                    konvergiert absolut.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Sei $h\colon \R \to  \R$ eine beschränkte und
+            $u\colon \R \to  \R$ definiert durch $u(x) := x \cdot h(x)$.
+
+            Beh.: $u$ im Punkt $x_0 = 0$ stetig.
+            \begin{proof}
+                Da $h$ beschränkt $\implies$ $\exists C \in \R$, s.d.
+                $|h(x)| \le C$ $\forall x \in \R$. Also gilt
+                $|u(x)| \le x \cdot C$ $\forall x \in \R$.
+
+                Damit folgt
+                \begin{align*}
+                    0 \le \lim_{x \nearrow 0} |u(x)|
+                    \le \lim_{x \nearrow 0} x \cdot C = 0
+                \intertext{und} 
+                    0 \le \lim_{x \searrow 0} |u(x)|
+                    \le \lim_{x \searrow 0} x \cdot C = 0
+                \intertext{$\implies$}
+                \lim_{x \nearrow 0} u(x) = 0 = \lim_{x \searrow 0} u(x)
+                .\end{align*}
+                $\implies f$ stetig in $x_0$.
+            \end{proof}
+        \item Beh.:
+            \[
+                f(x) := \begin{cases}
+                    1 & x \in \Q \\
+                    -1 & x \in \R \setminus \Q
+                \end{cases}
+            .\] ist unstetig auf ganz $\R$ aber $|f(x)|$ ist stetig auf $\R$.
+            \begin{proof}
+                $f(x)$ ist unstetig analog zur Dirichlet Funktion und
+                $|f(x)| = 1$ ist offensichtlich stetig.
+            \end{proof}
+        \item Beh.: Es gibt keine Funktion die im Punkt $x_0 = 0$ stetig
+            und in allen anderen Punkten unstetig ist.
+            \begin{proof}
+                Sei $f\colon \R \to \R$ stetig in $x_0 = 0$ und $\epsilon > 0$ 
+                beliebig. Dann $\exists \delta > 0$, s.d.
+                $\forall x \in \R\colon |x| < \delta $ 
+                $|f(x) - f(0)| < \frac{\epsilon}{2}$. Wähle
+                $a := \frac{\delta }{2}$.
+
+                Zz.: $f$ ist stetig in $a$.
+
+                Wähle $\delta' := \frac{\delta}{2}$. Sei $x' \in \R$
+                mit $|x' - a| < \frac{\delta }{2}$. Dann
+                gilt $|f(0) - f(x')| < \frac{\epsilon}{2}$. Mit
+                $|f(0) - f(a)| < \frac{\epsilon}{2}$ folgt
+                \begin{align*}
+                    |f(a) - f(x')| &= |f(a) - f(0) + f(0) - f(x')| \\
+                                   &\le |f(a) - f(0)| + |f(0) - f(x')| \\
+                                   &< \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon
+                .\end{align*} $\implies f$ stetig in $a$.
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item
+            Sei $(a_n)_{n \in \N}$ Folge in $\R^{+}$.
+
+            Beh (i) .:
+            \[
+                \frac{a_{n+1}}{a_n} \xrightarrow{n \to \infty} a \implies 
+                \sqrt[n]{a_n} \xrightarrow{n \to \infty} a
+            .\] 
+            \begin{proof}
+                Sei $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = a$. Damit gilt
+                \[
+                \liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = a = \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}
+                .\] Mit Blatt 7 folgt damit:
+                \[
+                a = \liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}
+                \le \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}
+                \le \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} 
+                \le \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = a
+            .\] Also $\liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = a = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} $ \\
+            $\implies \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = a$.
+            \end{proof}
+
+            Beh (ii) .:
+            \[
+                \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \xrightarrow{n \to \infty}
+                \infty \implies \sqrt[n]{a_n} \xrightarrow{n \to  \infty} \infty
+            .\] 
+            \begin{proof}
+                Sei $\frac{a_{n+1}}{a_n} \xrightarrow{n \to \infty} \infty$.
+                Dann existiert eine streng monoton wachsende, nach oben
+                unbeschränkte Teilfolge
+                $(a_{n_k})_{k \in\N}$ von $(a_n)_{n\in\N}$.
+
+                Sei nun $q > 1$ beliebig. Dann $\exists k_0 \in \N$, s.d.
+                $\forall k > k_0\colon \frac{a_{n_k}}{a_{n_{k-1}}} > q$. Damit
+                folgt:
+                \begin{align*}
+                    &a_{n_k} > q \cdot a_{n_{k-1}} > q^{2} \cdot a_{n_{k - 2}}
+                    > \ldots > q^{k - k_0} a_{n_{k_0}} \\
+                    \implies& \sqrt[k]{a_{n_k}} > q^{1 - \frac{k_0}{k}} \sqrt[k]{a_{n_{k_0}}} 
+                .\end{align*} Für $k \to \infty$ folgt
+                \[
+                    \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_{n_k}} > q
+                .\] Da $q > 1$ beliebig groß folgt damit
+                \[
+                    \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \infty
+                .\]
+            \end{proof}
+        \item
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item $a_n := \sqrt[n]{n!}$. Mit
+                    $\frac{(n+1)!}{n!} = n+1 \xrightarrow{n \to \infty} \infty$
+                    folgt mit (a ii) $a_n \xrightarrow{n \to \infty} \infty$.
+                \item $b_n := \sqrt[n]{\frac{n^{n}}{n!}}$ 
+                    \[
+                        \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^{n}}
+                        = \frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}
+                        = \left( \frac{n+1}{n} \right) ^{n}
+                        = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}
+                        \xrightarrow{n \to \infty} e
+                    .\] 
+                    Mit (a i) folgt direkt $\lim_{n \to \infty} b_n = e$.
+                \item $c_n := \frac{n^{n}}{n!} =
+                    \sqrt[n]{\left( \frac{n^{n}}{n!} \right)^{n}}$.
+                    \begin{align*}
+                        \left( \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \right)^{n+1}
+                        \cdot \left( \frac{n!}{n^{n}} \right)^{n}
+                        &= \frac{(n+1)^{(n+1)(n+1)}}{((n+1)!)^{n+1}}
+                        \cdot \frac{(n!)^{n}}{n^{n^2}} \\
+                        &= \frac{(n+1)^{n^2 + 2n + 1}}{(n+1)!(n+1)^{n}}
+                        \cdot \frac{1}{n^{n^2}} \\
+                        &= \frac{(n+1)^{n^2 + n + 1}}{(n+1)! \cdot n^{n^2}} \\
+                        &> \frac{(n+1)^{n^2 + n + 1}}{(n+1)^{n} \cdot (n+1)^{n^2}} \\
+                        &= \frac{(n+1)^{n^2 + n + 1}}{(n+1)^{n + n^2}} \\
+                        &= n+1 \xrightarrow{n \to \infty} \infty
+                    .\end{align*}
+                    Mit (a ii) folgt damit $c_n \xrightarrow{n \to \infty} \infty$.
+            \end{enumerate}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe} Ergebnisse
+
+    \begin{tabular}{m{1.5cm}|m{3cm}|m{3cm}|m{3cm}|m{3.5cm}@{}m{0pt}@{}}
+        Aufgabe & Beschränkt nach unten & Beschränkt nach oben & Monoton? & Konvergent? & \\[2mm] \hline
+        (a) & Ja, durch $\frac{1}{2}$ & Ja, durch $1$ & Ja, streng monoton wachsend & Ja, da monoton und beschränkt & \\[5mm] \hline
+    (b) & Ja, durch $1$ & Ja, durch $2$ & Nein & Ja, nach Quotientenkriterium für Folgen & \\[2mm]
+    \end{tabular}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item ist konvergent nach Leibniz Kriterium, da
+                    $\frac{1}{\ln(k)}$ monoton fallende Nullfolge.
+                \item ist divergent, da $(-1)^{k} \frac{(k+1)^{k}-k^{k}}{(k+1)^{k}}$ 
+                    keine Nullfolge ist.
+                \item $\sum_{k=2}^{\infty} 2^{k}\cdot \frac{1}{2^{k}\cdot \ln^2(2^{k})}$ ist konvergent und damit ist (iii) nach Verdichtungskriterium konvergent.
+            \end{enumerate}
+        \item
+            Der Konvergenzradius $\rho$ ist  $\frac{1}{4}$, da
+            Häufungspunkte von $\sqrt[k]{|a_k|}$ bei $\pi$ und $4$ vorliegen.
+            Wegen $4 > \pi$ ist damit
+            $\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_k} = 4$.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $\lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{5x + 1} = \frac{2}{5}$
+        \item $\lim_{x \to \infty} \sqrt{4x^2-2x+3} -2x = -\frac{1}{2}$
+        \item $\lim_{x \to \infty} 2^{-x} = 0$ 
+        \item $\lim_{x \to \infty} \frac{x+\sin(x)}{x} = 1$ 
+        \item $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - x}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}$ 
+        \item $\frac{x^2 + x}{x^2 -1} \to \infty$ für $x \searrow 1$.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}