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fix ana7

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2020-06-17 15:15:33 +02:00
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@@ -9,11 +9,11 @@
\begin{aufgabe} \begin{aufgabe}
\begin{enumerate}[(a)] \begin{enumerate}[(a)]
\item $f\colon R^2 \to \R$, $f(x,y) = e^{x} \cos(y) + \ln(1+y^2)$. Dann gilt \item $f\colon \R^2 \to \R$, $f(x,y) = e^{x} \cos(y) + \ln(1+y^2)$. Dann gilt
\[ \[
\nabla f = \begin{pmatrix} e^{x} \cos(y) \\ -e^{x} \sin(y) + \frac{2y}{1+y^2} \end{pmatrix} \nabla f = \begin{pmatrix} e^{x} \cos(y) \\ -e^{x} \sin(y) + \frac{2y}{1+y^2} \end{pmatrix}
.\] .\]
\item $f\colon R^2 \to R$ mit \item $f\colon \R^2 \to \R$ mit
\[ \[
f(x,y) = \begin{cases} f(x,y) = \begin{cases}
xy \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ xy \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\
@@ -54,7 +54,12 @@
\frac{\partial^2f(0,0)}{\partial y \partial x} \frac{\partial^2f(0,0)}{\partial y \partial x}
&= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,h) - \frac{\partial f}{\partial x}(0)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,h) - \frac{\partial f}{\partial x}(0)}{h}
= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(0,h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\partial f}{\partial y}(0,h)}{h}
= - \frac{h^{5}}{h h^{4} } = -1 = - \frac{h^{5}}{h h^{4} } = -1 \\
\frac{\partial^2f(0,0)}{\partial x \partial x}
&= 0
\\
\frac{\partial^2f(0,0)}{\partial y \partial y}
&= 0
.\end{salign*} .\end{salign*}
Also existieren die zweiten partiellen Ableitungen auf ganz $\R^2$, aber es gilt Also existieren die zweiten partiellen Ableitungen auf ganz $\R^2$, aber es gilt
\[ \[
@@ -67,14 +72,14 @@
\begin{proof} \begin{proof}
Es gilt für $(x,y) \neq (0,0)$: Es gilt für $(x,y) \neq (0,0)$:
\begin{align*} \begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x \partial y} \frac{\partial f^2}{\partial x \partial y}
= \frac{x^{6} + 9x^{4}y^2 - 9x^2y^{4} - y^{6}}{(x^2 + y^2)^{3}} = \frac{x^{6} + 9x^{4}y^2 - 9x^2y^{4} - y^{6}}{(x^2 + y^2)^{3}}
.\end{align*} .\end{align*}
Mit $(x,y)_n = \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) $ gilt Mit $(x,y)_n = \left( \frac{1}{n}, \frac{1}{n} \right) $ gilt
$(x,y)_n \xrightarrow{n \to \infty} (0,0)$, aber $(x,y)_n \xrightarrow{n \to \infty} (0,0)$, aber
\begin{align*} \begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial x \partial y}(x,y)_n \frac{\partial f^2}{\partial x \partial y}(x,y)_n
= \frac{\frac{1}{n^{6}} + \frac{9}{n^{6}} - \frac{9}{n^{6}} - \frac{1}{n^{6}}}{\frac{8}{n^{6}}} = 0 \neq 1 = \frac{\partial f}{\partial x \partial y} (0,0) = \frac{\frac{1}{n^{6}} + \frac{9}{n^{6}} - \frac{9}{n^{6}} - \frac{1}{n^{6}}}{\frac{8}{n^{6}}} = 0 \neq 1 = \frac{\partial f^2}{\partial x \partial y} (0,0)
.\end{align*} .\end{align*}
\end{proof} \end{proof}
Der Satz von Schwarz für ein $x \in D$ gilt nur, wenn $f$ 2-mal stetig Der Satz von Schwarz für ein $x \in D$ gilt nur, wenn $f$ 2-mal stetig
@@ -108,11 +113,16 @@
\frac{\partial f}{\partial v} (0, 0) = \lim_{t \searrow 0} \frac{\partial f}{\partial v} (0, 0) = \lim_{t \searrow 0}
\frac{f(tv) - f(0)}{t} \frac{f(tv) - f(0)}{t}
= \lim_{t \searrow 0} \frac{f(tv)}{t} = \lim_{t \searrow 0} \frac{f(tv)}{t}
= \lim_{t \searrow 0} \frac{v_xv_y^2}{v_x^2 + \frac{1}{t^2}v_y^{4}} = \frac{v_y^2}{v_x} = \lim_{t \searrow 0} \frac{v_xv_y^2}{v_x^2 + \frac{1}{t^2}v_y^{4}}% = \frac{v_y^2}{v_x}
=
\begin{cases}
0 & v_x = 0 \\
\frac{v_y^2}{v_x} & v_x \neq 0
\end{cases}
.\end{salign*} .\end{salign*}
Also existieren alle Richtungsableitungen in $(x,y) = (0,0)$. Also existieren alle Richtungsableitungen in $(x,y) = (0,0)$.
\end{proof} \end{proof}
\item $f\colon R^2 \to \R$ mit \item $f\colon \R^2 \to \R$ mit
\[ \[
f(x,y) = \begin{cases} f(x,y) = \begin{cases}
(x^2 + y^2) \sin\left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} } \right) & (x,y) \neq (0,0) \\ (x^2 + y^2) \sin\left( \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2} } \right) & (x,y) \neq (0,0) \\
@@ -158,7 +168,7 @@
\end{aufgabe} \end{aufgabe}
\begin{aufgabe} \begin{aufgabe}
Sei $D \coloneqq \R^2 \setminus \{ (x_1, x_2)^{T} \mid x_2 \le 0 \text{ oder } x_1x_2 = k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \Z\} $, $f\colon D \to \R^2$ und $g \colon R^2 \to \R^2$ mit Sei $D \coloneqq \R^2 \setminus \{ (x_1, x_2)^{T} \mid x_2 \le 0 \text{ oder } x_1x_2 = k\pi + \frac{\pi}{2}, k \in \Z\} $, $f\colon D \to \R^2$ und $g \colon \R^2 \to \R^2$ mit
\[ \[
f(x_1, x_2) = \begin{pmatrix} x_1 \ln(x_2) \\ \tan(x_1, x_2) \end{pmatrix}, f(x_1, x_2) = \begin{pmatrix} x_1 \ln(x_2) \\ \tan(x_1, x_2) \end{pmatrix},
\quad g(y_1, y_2) = \begin{pmatrix} y_1^2 \\ y_2^2 \end{pmatrix} \quad g(y_1, y_2) = \begin{pmatrix} y_1^2 \\ y_2^2 \end{pmatrix}