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\documentclass{../../../lecture}
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\usepackage[]{subcaption}
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\begin{document}
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\begin{satz}[Satz von Taylor]
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Jede Funktion $f \in C^{n+1}(D,\R)$ lässt sich für
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$x, x_0 \in D$ nach Potenzen von $(x-x_0)$
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entwickeln:
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\begin{align*}
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f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \ldots + f^{(n)}(x_0)\frac{(x - x_0)^{n}}{n!} + R_{n+1}(x)
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.\end{align*} Dabei ist das Restglied $R_{n+1}(x)$:
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\begin{align*}
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R_{n+1}(x) = f^{(n+1)}(\xi) \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}
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.\end{align*} mit $\xi$ ein Punkt zwischen $x_0$ und $x$
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($\xi = x_0 + \tau(x-x_0)$, $\tau \in (0,1)$).
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Der Ausdruck
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\[
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T_n(x) = T_{n}(f, x, x_0) := \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^{k}
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.\] heißt Taylorpolynom $n$-ter Ordnung von $f$ bei $x_0$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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Für $x = x_0$: klar.
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Sei $x \neq x_0$. Betrachte $R = R(x, x_0)$ definiert durch
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$f(x) = T_N(f, x, x_0) + \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot R$.
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Für $y \in D$ definiere
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\[
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\varphi(y) := f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(y)}{k!}(x-y)^{k} - \frac{(x-y)^{n+1}}{(n+1)!}R
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.\]
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Dann folgt $\varphi(x_0) = 0 = \varphi(x)$, $\varphi \in C^{1}$.\\
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$\stackrel{\text{Satz von Rolle}}{\implies}$ $\exists \xi$ zwischen $x$ und $x_0$ mit $\varphi'(\xi) = 0$.
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\begin{align*}
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0 = \varphi'(\xi) &= - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!} (x-\xi)^{k}
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||||
- \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\xi)}{k!}k(x-\xi)^{k-1}(-1)
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||||
- \frac{(n+1)(x-\xi)^{n}}{(n+1)!} R \\
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||||
&\stackrel{\mathclap{\text{Teleskop}}}{=} \quad - \frac{f^{n+1}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n} + \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} R \\
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||||
&= \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} \left( - f^{(n+1)}(\xi) + R \right)
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||||
.\end{align*} $\implies R = f^{(n+1)}(\xi)$, $\xi$ zwischen $x$ und $x_0$.
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\end{proof}
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\begin{satz}
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Sei $f$ auf einem beschränkten Intervall $(a,b)$ eine
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$C^{\infty}$ Funktion mit gleichmäßig beschränkten Ableitungen.
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\[
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\sup_{x \in (a,b)} \left| f^{(n)}(x) \right| \le M < \infty
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||||
.\] Dann ist $f$ auf $(a,b)$ analytisch, d.h.
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||||
$\forall x, x_0 \in (a,b)$ konvergiert die Taylor-Reihe von $f$ und
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es gilt:
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\[
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||||
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k}
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||||
.\]
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\end{satz}
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\begin{proof}
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\[
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||||
|f(x) - T_n(f, x, x_0)| \le \frac{\left| f^{(n+1)}(\xi)\right|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}
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||||
\le \frac{M}{(n+1)!(b-a)^{n+1}}
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||||
.\] $\implies \forall \epsilon > 0$ $\exists n_{\epsilon}$, s.d. $\frac{M}{(n+1)!}(b-a)^{n+1} < \epsilon$
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\end{proof}
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\begin{bem}
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\begin{enumerate}
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\item Eine $C^{\infty}$ Funktion muss nicht analytisch sein.
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\item Ist $f \in C^{n}$ mit $f(n) \equiv 0$ auf $D$, dann ist
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$f$ ein Polynom vom Grad kleiner oder gleich $n-1$, da
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\[
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||||
f(x) = T_{n-1}(f, x, x_0) + \underbrace{R_n(x, x_0)}_{= \;0}
|
||||
.\]
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||||
\end{enumerate}
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\end{bem}
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\begin{korrolar}[Lokale Extrema]
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Sei $f \in C^{n}(D, \R)$, $D = (a,b)$ und
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für $x_0 \in (a,b)$ gelte
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\[
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||||
f'(x_0) = f''(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) \quad \text{und} \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0
|
||||
.\] Dann gilt
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\begin{enumerate}
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||||
\item Ist $n$ gerade und $f^{(n)}(x_0) < 0$ bzw. $f^{(n)}(x_0) > 0$, dann ist
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||||
$x_0$ ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum von $f$.
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||||
\item Ist $n$ ungerade, dann ist $x_0$ kein
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lokales Extremum von $f$ (Sattelpunkt, Wendepunkt).
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\end{enumerate}
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\end{korrolar}
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\begin{figure}
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\centering
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||||
\begin{subfigure}{.4\textwidth}
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||||
\caption{$f(x) = x^3$}
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}%
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[grid=both,
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minor tick num=4,
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grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
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||||
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
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axis lines=middle,
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||||
enlargelimits={abs=0.2},
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ymax=3,
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ymin=-3,
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width=.9\textwidth
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]
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||||
\addplot[domain=-2:2,samples=100,smooth,red] {x^3};
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||||
\end{axis}
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||||
\end{tikzpicture}
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||||
\end{subfigure}
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||||
\begin{subfigure}{.4\textwidth}
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||||
\caption{$f(x) = x^2$}
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\begin{tikzpicture}
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||||
\begin{axis}%
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||||
[grid=both,
|
||||
minor tick num=4,
|
||||
grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
|
||||
major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
|
||||
axis lines=middle,
|
||||
enlargelimits={abs=0.2},
|
||||
ymax=3,
|
||||
ymin=-3,
|
||||
width=.9\textwidth
|
||||
]
|
||||
\addplot[domain=-2:2,samples=100,smooth,red] {x^2};
|
||||
\end{axis}
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||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\end{subfigure}
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||||
\end{figure}
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\begin{proof}
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Taylor Satz $\implies$ $f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} (x-x_0)^{n}$
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||||
$f^{(n)}$ stetig in $x_0$, $f^{(n)} \neq 0$ in $x_0$ \\
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||||
$\implies \exists \delta > 0$, s.d. $f^{(n)}(x) \neq 0$ für
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||||
$x \in \; ]x_0 - \delta , x_0 + \delta [$ und hat das gleiche
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||||
Vorzeichen wie $f^{(n)}(x_0)$.
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\begin{enumerate}
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||||
\item $n$ gerade $\implies (x-x_0)^{n} > 0$, falls
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||||
$x \neq x_0$.
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||||
\[
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||||
f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\underbrace{(x-x_0)^n}_{> 0}
|
||||
.\] $\implies$ $f(x) > f(x_0)$, falls $f^{(n)}(\xi) > 0$, dann
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||||
$f^{(n)}(x_0) > 0$.
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||||
$f(x) < f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) < 0$.
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||||
\item $n$ ungerade, wechselt $(x-x_0)^{n}$ das Vorzeichen.
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||||
\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{korrolar}
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||||
Sei $f \in C^{2}\left( (a,b), \R \right) $ und
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$x_0 \in (a,b)$. Dann folgt
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item $x_0$ ist ein lokales Minimum von $f$
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$\implies f'(x_0) = 0$, $f''(x_0) \ge 0$
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||||
\item $x_0$ ist ein lokales Maximum von $f$
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||||
$\implies f'(x_0) = 0, f''(x_0) \le 0$.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{korrolar}
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\begin{proof}
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||||
klar.
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\end{proof}
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\begin{korrolar}[Hinreichende Optimalitätsbedingung]
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||||
Sei $x_0$ mit $f'(x_0) = 0$, $f''(x_0) > 0$. Dann ist
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||||
$x_0$ ein lokales Minimum.
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\end{korrolar}
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\begin{proof}
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trivial.
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\end{proof}
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\subsection{Die Regeln von de l'Hospital}
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Ziel: Grenzwerte zu berechnen für $x \to \pm \infty$ oder
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$f(x) \to \pm \infty$. Grenzwerte vom Typ:
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\[
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\left( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, \infty^{\infty}, \ldots \right)
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.\]
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\begin{lemma}[Verallgemeinerter Mittelwertsatz]
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Seien $f, g$ im Intervall $[a,b]$ stetig und in $(a,b)$
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differenzierbar, $g'(x) \neq 0$ $\forall x \in (a,b)$.
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||||
Dann $\exists $ ein $c \in (a,b)$ s.d. gilt
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\[
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||||
\frac{f'(c)}{g'(c)} = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}
|
||||
.\]
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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ohne Beweis.
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\end{proof}
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\begin{satz}[1. Regel von de l'Hospital]
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Seien $-\infty \le a < b \le + \infty$, $I := (a,b)$ und
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$f, g\colon I \to \R$ differenzierbare Funktionen
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mit
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\[
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\lim_{x \nearrow b} f(x) = 0 = \lim_{x \nearrow b} g(x)
|
||||
.\] Es gelte
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||||
$g'(x) \neq 0$ $\forall x \in I$ und
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||||
$\lim_{x \nearrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c$. $c \in \R \cup \{\pm \infty\} $.
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||||
Dann gilt:
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\[
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||||
g(x) \neq 0 \quad \forall x \in I \; \text{und} \;
|
||||
\lim_{x \nearrow b} \frac{f(x)}{g(x)} = c
|
||||
.\] Analoge Aussagen gelten für $x \searrow a$.
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\end{satz}
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\begin{proof}
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||||
$f, g$ in $b$ stetig $\implies f(b) = g(b) = 0$.
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||||
$g'(x) \neq 0 \implies$ keine weiteren Nullstellen von
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$g$ in $(a,b)$, d.h. $g(x) \neq 0$ $\forall x \in (a,b)$.
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||||
Wir nutzen den verallgemeinerten Mittelwertsatz.
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||||
$\implies \exists \xi \in (a,b)$ mit
|
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\[
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||||
\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{f(x)}{g(x)}
|
||||
.\] Aus $x \nearrow b$ folgt $\xi \nearrow b$ $\implies$ Behauptung.
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||||
\end{proof}
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\begin{bsp}
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\begin{align*}
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\intertext{1.}
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||||
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} &=
|
||||
\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1
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||||
\intertext{2.}
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||||
\lim_{x \searrow 0} \frac{\sin x}{x^2}
|
||||
&= \lim_{x \searrow 0} \frac{\cos x}{2x} = + \infty
|
||||
\intertext{3.}
|
||||
\lim_{x \searrow 0} \frac{(\sin x)^2}{x^2}
|
||||
&= \lim_{x \searrow 0} \frac{2 \sin(x) \cdot \cos(x)}{2x}
|
||||
= \lim_{x \searrow 0} \frac{2(\cos^2 x - \sin^2(x)}{2}
|
||||
= 1
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||||
.\end{align*}
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||||
\end{bsp}
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\begin{satz}[2. Regel von de l'Hospital]
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Seien $- \infty \le a < b \le + \infty$, $I := (a,b)$ und
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$f,g \colon I \to \R$ differenzierbar mit
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||||
$\lim_{x \nearrow b} g(x) = \pm \infty$,
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||||
$g'(x) \neq 0$ $\forall x \in I$.
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\[
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||||
\lim_{x \nearrow b} f(x) = \pm \infty \quad \text{und}
|
||||
\quad \lim_{x \nearrow b} \frac{f'(x)}{g'(x)} = c \in \R \cup \{ \pm \infty\}
|
||||
.\] Dann gilt: $\exists x_0 \in I$ mit $g(x) \neq 0$ für
|
||||
$a < x_0 \le x < b$ und
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||||
\[
|
||||
\lim_{x \nearrow b} \frac{f(x)}{g(x)} = c
|
||||
.\] Analoge Aussage für $x \searrow a$.
|
||||
\end{satz}
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||||
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||||
\begin{proof}
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||||
Rannacher.
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||||
\end{proof}
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||||
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\begin{bem}
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||||
\begin{enumerate}
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||||
\item
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Grenzprozesse für $x \to \pm \infty$.
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\[
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||||
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)}
|
||||
.\] Substitution $y = \frac{1}{x}$, $(y \to 0$ für $x \to \pm \infty$).
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||||
\[
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||||
\lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{y \to 0}
|
||||
\frac{f(\frac{1}{y}}{g(\frac{1}{y})}
|
||||
.\]
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||||
\item $0 - \infty$
|
||||
\[
|
||||
\lim_{x \nearrow b} f(x) = 0, \lim_{x \nearrow b} g(x) = \infty
|
||||
.\]
|
||||
\[
|
||||
\lim_{x \nearrow b} f(x) \cdot g(x) = \lim_{x \nearrow b}
|
||||
\frac{f(x)}{g(x)^{-1}} \sim \frac{0}{0}
|
||||
.\]
|
||||
\item $\infty - \infty$
|
||||
\[
|
||||
\lim_{x \to b} f(x) = \infty, \lim_{x \to b} g(x) = \infty
|
||||
.\]
|
||||
\[
|
||||
\lim_{x \to b} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to b} \left( \frac{1}{\frac{1}{f(x)}}- \frac{1}{\frac{1}{g(x)}} \right)
|
||||
= \lim_{x \to b} \frac{\frac{1}{g(x)} - \frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)} \cdot \frac{1}{g(x)}} \sim \frac{0}{0}
|
||||
.\]
|
||||
|
||||
\item $f(x) \to 1$, $g(x) \to \infty$\\
|
||||
$f(x) \to \infty$, $g(x) \to 0$ \\
|
||||
$f(x) \to 0$, $g(x) \to 0$ \\
|
||||
$\lim f(x)^{g(x)}$?
|
||||
|
||||
Logarithmiere $f(x)^{g(x)} = A$.
|
||||
\[
|
||||
\ln A = g(x) \cdot \ln f(x)
|
||||
.\] $\lim A = \exp(\lim g(x) \cdot \ln(f(x)))$
|
||||
\end{enumerate}
|
||||
\end{bem}
|
||||
|
||||
\end{document}
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