add num1

sose2020/num/uebungen/nulladdition.cpp

@@ -0,0 +1,20 @@
+#include<iostream>
+#include<iomanip>
+
+using namespace std;
+
+int main() {
+    cout << setprecision(17);
+    cout << setw(10);
+    cout << "Enter a float > ";
+    float x;
+    cin >> x;
+    x = x + 1;
+    cout << x << endl;
+
+    cout << "Enter a double > ";
+    double y;
+    cin >> y;
+    y = y + 1;
+    cout << y << endl;
+}

sose2020/num/uebungen/num1.tex

@@ -0,0 +1,124 @@
+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\title{Einführung in die Numerik: Übungsblatt 1}
+\author{Leon Burgard, Christian Merten}
+
+\punkte
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Zur Basis 10 dargestellt:
+            \[
+                (0.5731 \times 8^{5})_{8} = (5\cdot 8^{-1} + 7 \cdot 8^{-2} + 3 \cdot 8^{-3} + 1 \cdot 8^{-4})
+                \cdot 8^{5} = 24264 = 0.24264 \times 10^{5}
+            .\] 
+        \item Die Zahl $x_1 = (0.3)_{10} \in \R$
+            in der normierten Fließkommadarstellung
+            $\mathbb{F}(2,11,2)$ ergibt
+            \[
+                (0.10011001100 \times 2^{1})_{2}
+            .\] 
+            Zurück in $\mathbb{F}(10,r,1)$ ergibt
+            \[
+                (0.2998046875 \times 10^{0})_{10}
+            .\] Das heißt für $r = 1$, $r = 2$ und $r = 3$ ergibt natürliche Rundung
+            jeweils $(0.3)_{10}$. Größere $r$ ergeben andere Ergebnisse.
+        \item Die größte positive Zahl in $\mathbb{F}(4, 6, 2)$ ergibt sich im Dezimalsystem dargestellt
+            als:
+            \[
+                3 \cdot (4^{-1} + 4^{-2} + 4^{-3} + 4^{-4} + 4^{-5} + 4^{-6}) \cdot 4^{3\cdot 4^{0} + 3\cdot4^{1}}
+                = 0.1073 \cdot 10^{10}
+            .\] Die kleinste negative Zahl in $\mathbb{F}(3, 7, 1)$ ergibt sich im Dezimalsystem dargestellt
+            als:
+            \[
+                - 2 \cdot (3^{-1} + 3^{-2} + \ldots + 3^{-7}) \cdot 3^{2 \cdot 3^{0}} \approx -0.8996 \cdot 10^{1}
+            .\] Damit folgt für den maximalen Abstand zweier Zahlen aus $\mathbb{F}(4,6,2)$ und
+            $\mathbb{F}(3,7,1)$:
+            \[
+            \max_{x_2, x_3} | x_2 - x_3 | \approx
+            0.1073 \cdot 10^{10} + 0.8996 \cdot 10^{1} \approx 0.1073 \cdot 10^{10}
+            .\] 
+        \item Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: $\mathbb{F}(2, 2, 1)$. Die Menge der darstellbaren
+            Zahlen ist hier, analog zur Vorlesung:
+            \[
+                \mathbb{F}(2,2,1) = \left\{- \frac{3}{2}, -1, -\frac{3}{4}, -\frac{1}{2}, -\frac{3}{8},
+                -\frac{1}{4}, 0, \frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \frac{3}{2}\right\} 
+            .\] Hier ist sofort zu sehen, dass beispielsweise für $x_4 = 1$ gilt:
+            \[
+            \left| 1 - \frac{3}{4}\right| = \frac{1}{4} \neq \frac{1}{2} = \left| \frac{3}{2} - 1 \right| 
+            .\] 
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Die ersten zehn Folgenglieder in Dezimaldarstellung (nicht normiert):
+    \begin{table}[h!]
+        \centering
+        \label{tab:label}
+        \begin{tabular}{ccc}
+            $n$ & Aufrunden & gerades Runden \\
+            $0$ & $2.46$ & $2.46$ \\
+            $1$ & $2.47$ & $2.46$ \\
+            $2$ & $2.48$ & $2.46$ \\
+            $3$ & $2.49$ & $2.46$ \\
+            $4$ & $2.50$ & $2.46$ \\
+            $5$ & $2.51$ & $2.46$ \\
+            $6$ & $2.52$ & $2.46$ \\
+            $7$ & $2.53$ & $2.46$ \\
+            $8$ & $2.54$ & $2.46$ \\
+            $9$ & $2.55$ & $2.46$ \\
+           $10$ & $2.56$ & $2.46$ \\
+        \end{tabular}
+    \end{table}
+
+    Beim Aufrunden ist deutlich zu sehen, dass, da nach jedem Rechenschritt die 4. Stelle
+    auf $5$ steht, jedes mal aufgerundet wird. Da zwei Rundungen pro Folgenglied stattfinden,
+    führt das zu einer Erhöhung um $2 \cdot 0.005 = 0.01$ pro Folgenglied.
+
+    Beim geraden Runden wird zwar nach der ersten Operation aufgerundet, nach der zweiten jedoch nicht.
+    Deshalb bleibt das Ergebnis exakt.
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Programm zum Test der Nulladdition:
+    \begin{lstlisting}[language=C++, title=nulladdition.cpp, captionpos=b]
+#include<iostream>
+#include<iomanip>
+
+using namespace std;
+
+int main() {
+    // set output width and precision
+    cout << setprecision(17);
+    cout << setw(10);
+
+    // float
+    cout << "Enter a float > ";
+    float x;
+    cin >> x;
+    x = x + 1;
+    cout << x << endl;
+
+    // double
+    cout << "Enter a double > ";
+    double y;
+    cin >> y;
+    y = y + 1;
+    cout << y << endl;
+}\end{lstlisting}
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Bei Verwendung von \lstinline{float} muss $x$ als $5\cdot 10^{-8}$ gewählt werden, bei
+            Verwendung von \lstinline{double} muss $x$ als $10^{-16}$ gewählt werden, damit
+            exakt $1$ zurückgegeben wird.
+        \item Das ist bei weitem nicht die kleinste positive Zahl, die \lstinline{float} bzw.
+            \lstinline{double} darstellen können, da im Exponenten noch weit mehr Stellen zur Verfügung
+            stehen, um sehr viel kleinere positive Zahlen darstellen zu können.
+
+            Allerdings kann dies hier nicht genutzt werden, da durch die Addition mit $1$ gerundet werden
+            muss.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}