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2020-05-12 10:30:01 +02:00
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@@ -136,7 +136,7 @@
Damit folgt $a^2 = 2$, aber $a \in \Z$ $\contr$. Damit folgt $a^2 = 2$, aber $a \in \Z$ $\contr$.
\end{proof} \end{proof}
Beh.: $2$ und $1 \pm \sqrt{-3} $ sind irreduzibel. Beh.: $\pm 2$ und $\pm (1 \pm \sqrt{-3})$ sind irreduzibel.
\begin{proof} \begin{proof}
Es gilt zunächst $\delta (2) = \delta (1 \pm \sqrt{-3}) = 4$. Es gilt zunächst $\delta (2) = \delta (1 \pm \sqrt{-3}) = 4$.
@@ -150,13 +150,17 @@
$y \in \Z[\sqrt{-3}]^{\times }$. $y \in \Z[\sqrt{-3}]^{\times }$.
Für $1 \pm \sqrt{-3} $ analog. Für $1 \pm \sqrt{-3} $ analog.
Da $2 \; \widehat{=} -2$ und
$1 \pm \sqrt{-3} \;\widehat{=} -(1 \pm \sqrt{-3})$, folgt die Behauptung.
\end{proof} \end{proof}
Beh.: $2$ ist kein Primelement in $\Z[\sqrt{-3} ]$. Beh.: $2$ ist kein Primelement in $\Z[\sqrt{-3} ]$.
\begin{proof} \begin{proof}
Es gilt $2 \mid 4 = (1 + \sqrt{-3})(1 - \sqrt{-3})$. Aber Es gilt $2 \mid 4 = (1 + \sqrt{-3})(1 - \sqrt{-3})$. Aber
$2 \nmid (1 \pm \sqrt{-3})$, da $1 \pm \sqrt{-3} $ irreduzibel. Also $2 \nmid (1 \pm \sqrt{-3})$, da $1 \pm \sqrt{-3} $ irreduzibel und $2 \neq \pm 1$ und
ist $2$ kein Primelement. $2 \neq 1 \pm \sqrt{-3}$.
Also ist $2$ kein Primelement.
\end{proof} \end{proof}
\item Beh.: $\text{GGT}(4, 2+2\sqrt{-3}) = \emptyset$. \item Beh.: $\text{GGT}(4, 2+2\sqrt{-3}) = \emptyset$.
\begin{proof} \begin{proof}
@@ -171,12 +175,12 @@
\begin{align*} \begin{align*}
\delta^{-1}(1) &= \{\pm 1 \} \\ \delta^{-1}(1) &= \{\pm 1 \} \\
\delta^{-1}(4) &= \{\pm 2, \pm (1 \pm \sqrt{-3}) \} \\ \delta^{-1}(4) &= \{\pm 2, \pm (1 \pm \sqrt{-3}) \} \\
\delta ^{-1}(16) &= \{\pm 4, \pm (2 \pm \sqrt{-3}) \} \delta ^{-1}(16) &= \{\pm 4, \pm (2 \pm 2\sqrt{-3}) \}
.\end{align*} .\end{align*}
Damit folgt, dass alle möglichen gemeinsamen Teiler Damit folgt, dass alle möglichen gemeinsamen Teiler
gegeben sind durch: gegeben sind durch:
\[ \[
T = \{\pm 1, \pm 2, \pm (1 \pm \sqrt{-3}), \pm 4, \pm (2 \pm \sqrt{-3})\} T = \{\pm 1, \pm 2, \pm (1 \pm \sqrt{-3}), \pm 4, \pm (2 \pm 2\sqrt{-3})\}
.\] .\]
Es gilt weiter $4 \nmid (2 \pm 2\sqrt{-3})$, da $\forall a, b \in \Z$ gilt: Es gilt weiter $4 \nmid (2 \pm 2\sqrt{-3})$, da $\forall a, b \in \Z$ gilt:
\[ \[
@@ -188,7 +192,7 @@
\[ \[
4 = (2 \pm 2 \sqrt{-3} ) (a + \sqrt{-3} b) 4 = (2 \pm 2 \sqrt{-3} ) (a + \sqrt{-3} b)
= \underbrace{2a \mp 6b}_{=4} + \sqrt{-3} (\underbrace{2b \pm 2a}_{= 0}) = \underbrace{2a \mp 6b}_{=4} + \sqrt{-3} (\underbrace{2b \pm 2a}_{= 0})
\implies 2a = \mp 2b \implies = \mp \underbrace{8b}_{\in \Z} = 4 \quad \contr \implies 2a = \mp 2b \implies \mp \underbrace{8b}_{\in \Z} = 4 \quad \contr
.\] Analog folgt wieder $\pm (2 \pm 2 \sqrt{-3}) \nmid \pm 4$. .\] Analog folgt wieder $\pm (2 \pm 2 \sqrt{-3}) \nmid \pm 4$.
Damit folgt $\pm 4$, $\pm (2 \pm 2 \sqrt{-3}) \not\in \text{GGT}(4, 2 + 2 \sqrt{-3})$. Damit folgt $\pm 4$, $\pm (2 \pm 2 \sqrt{-3}) \not\in \text{GGT}(4, 2 + 2 \sqrt{-3})$.