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ws2019/ana/lectures/analysis.tex

@@ -38,5 +38,6 @@
 \input{analysis20.tex}
 \input{analysis21.tex}
 \input{analysis22.tex}
+\input{analysis23.tex}
 
 \end{document}

ws2019/ana/lectures/analysis23.tex

@@ -27,14 +27,14 @@ berechnen.
     Eine Zerlegung mit $|x_k - x_{k-1}| = h$ $\forall k$ heißt
     äquidistant.
 
-    $Z(a,b) = $ Menge aller Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$
+    $\mathcal{Z}(a,b) = $ Menge aller Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Ober- und Untersumme]
     Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt, d.h. $\exists M \in \R$, s.d.
     $|f(x)| \le M$ $\forall x \in [a,b]$.
 
-    Die Riemannsche Ober- / Untersummen sind
+    Die Riemannschen Ober- / Untersummen sind
     \[
         \overline{S}_Z(f) := \sum_{k=1}^{n} \sup_{x \in I_k} f(x) \cdot (x_k - x_{k-1})
     .\] bzw.
@@ -81,12 +81,12 @@ berechnen.
 \begin{lemma}
     Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt. Dann ex. für $f$ das
     Ober- und Unterintegral und für jede Folge von Zerlegungen
-    $z_n \in Z(a,b)$, $n \in \N$ mit $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ gilt
+    $Z_n \in \mathcal{Z}(a,b)$, $n \in \N$ mit $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ gilt
     \[
-    \lim_{n \to \infty} \underline{S}_{z_n} 
+    \lim_{n \to \infty} \underline{S}_{Z_n} 
     = \underline{\int_{a}^{b}  } f(x) dx
-    \le \overline{\int_{a}^{b}} dx
-    = \lim_{n \to \infty} f(x) \overline{S}_{z_n}
+    \le \overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx
+    = \lim_{n \to \infty} f(x) \overline{S}_{Z_n}
     .\] 
 \end{lemma}
 
@@ -110,7 +110,7 @@ berechnen.
     Eine beschränkte Funktion $f\colon  [a,b] \to \R$ ist
     genau dann auf $I = [a,b]$ integrierbar, falls
     $\forall \epsilon > 0$ $\exists $ Zerlegung
-    $z \in Z(a,b)$, s.d.
+    $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$, s.d.
     $|\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)| < \epsilon$.
 \end{satz}
 
@@ -119,7 +119,7 @@ berechnen.
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[Riemann-Summen]
-    Sei $z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ eine Zerlegung von
+    Sei $Z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ eine Zerlegung von
     $[a,b]$ und $x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$, $i = 1 \ldots n$.
     \[
         RS_Z(f) = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})
@@ -157,17 +157,17 @@ berechnen.
 
 \begin{satz}
     Eine beschränkte Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$ ist genau
-    dann  R-integrierbar wenn $\forall $ Folgen $z_n \in Z(a,b)$ mit
+    dann  R.-integrierbar wenn $\forall $ Folgen $Z_n \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit
     $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ alle zugehörigen R.-Summen
     zu dem selben Limes konvergieren.
     \[
-        RS_{z_n}(f) \xrightarrow{n \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) dx 
+        RS_{Z_n}(f) \xrightarrow{n \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) dx 
     .\] 
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    ,,$\implies$'': Sei $f$ R.-integrierbar. Sei $ z \in Z(a,b)$ mit
-    Feinheit $h$. Dann
+    ,,$\implies$'': Sei $f$ R.-integrierbar. Sei $ Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit
+    Feinheit $h$. Dann gilt
     \[
         \underline{S}_Z(f) \le \underbrace{RS_Z(f)}_{\forall \xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)} \le \overline{S}_Z(f)
     .\] Aus der Konvergenz
@@ -176,7 +176,7 @@ berechnen.
     \int_{a}^{b} f(x) dx$.
 
     ,,$\impliedby$'' Seien alle R.-Summen konvergent gegen denselben
-    Limes. Sei  $ z \in \mathcal{Z}(a,b)$, $\epsilon > 0$ beliebig.
+    Limes. Sei  $ Z \in \mathcal{Z}(a,b)$, $\epsilon > 0$ beliebig.
 
     Offenbar $\exists $ R.-S. $\underline{RS}_Z(f)$, $\overline{RS}_Z(f)$
     s.d. $\underline{RS}_Z(f) - \epsilon \le \underline{S}_Z(f)$ und