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2020-01-24 12:48:52 +01:00
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@@ -38,5 +38,6 @@
\input{analysis20.tex} \input{analysis20.tex}
\input{analysis21.tex} \input{analysis21.tex}
\input{analysis22.tex} \input{analysis22.tex}
\input{analysis23.tex}
\end{document} \end{document}
ws2019/ana/lectures/analysis23.tex
+13 -13
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@@ -27,14 +27,14 @@ berechnen.
Eine Zerlegung mit $|x_k - x_{k-1}| = h$ $\forall k$ heißt Eine Zerlegung mit $|x_k - x_{k-1}| = h$ $\forall k$ heißt
äquidistant. äquidistant.
$Z(a,b) = $ Menge aller Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$ $\mathcal{Z}(a,b) = $ Menge aller Zerlegungen des Intervalls $[a,b]$
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}[Ober- und Untersumme] \begin{definition}[Ober- und Untersumme]
Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt, d.h. $\exists M \in \R$, s.d. Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt, d.h. $\exists M \in \R$, s.d.
$|f(x)| \le M$ $\forall x \in [a,b]$. $|f(x)| \le M$ $\forall x \in [a,b]$.
Die Riemannsche Ober- / Untersummen sind Die Riemannschen Ober- / Untersummen sind
\[ \[
\overline{S}_Z(f) := \sum_{k=1}^{n} \sup_{x \in I_k} f(x) \cdot (x_k - x_{k-1}) \overline{S}_Z(f) := \sum_{k=1}^{n} \sup_{x \in I_k} f(x) \cdot (x_k - x_{k-1})
.\] bzw. .\] bzw.
@@ -81,12 +81,12 @@ berechnen.
\begin{lemma} \begin{lemma}
Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt. Dann ex. für $f$ das Sei $f\colon [a,b] \to \R$ beschränkt. Dann ex. für $f$ das
Ober- und Unterintegral und für jede Folge von Zerlegungen Ober- und Unterintegral und für jede Folge von Zerlegungen
$z_n \in Z(a,b)$, $n \in \N$ mit $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ gilt $Z_n \in \mathcal{Z}(a,b)$, $n \in \N$ mit $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ gilt
\[ \[
\lim_{n \to \infty} \underline{S}_{z_n} \lim_{n \to \infty} \underline{S}_{Z_n}
= \underline{\int_{a}^{b} } f(x) dx = \underline{\int_{a}^{b} } f(x) dx
\le \overline{\int_{a}^{b}} dx \le \overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx
= \lim_{n \to \infty} f(x) \overline{S}_{z_n} = \lim_{n \to \infty} f(x) \overline{S}_{Z_n}
.\] .\]
\end{lemma} \end{lemma}
@@ -110,7 +110,7 @@ berechnen.
Eine beschränkte Funktion $f\colon [a,b] \to \R$ ist Eine beschränkte Funktion $f\colon [a,b] \to \R$ ist
genau dann auf $I = [a,b]$ integrierbar, falls genau dann auf $I = [a,b]$ integrierbar, falls
$\forall \epsilon > 0$ $\exists $ Zerlegung $\forall \epsilon > 0$ $\exists $ Zerlegung
$z \in Z(a,b)$, s.d. $Z \in \mathcal{Z}(a,b)$, s.d.
$|\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)| < \epsilon$. $|\overline{S}_Z(f) - \underline{S}_Z(f)| < \epsilon$.
\end{satz} \end{satz}
@@ -119,7 +119,7 @@ berechnen.
\end{proof} \end{proof}
\begin{definition}[Riemann-Summen] \begin{definition}[Riemann-Summen]
Sei $z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ eine Zerlegung von Sei $Z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ eine Zerlegung von
$[a,b]$ und $x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$, $i = 1 \ldots n$. $[a,b]$ und $x_{i-1} \le \xi_i \le x_i$, $i = 1 \ldots n$.
\[ \[
RS_Z(f) = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_i) (x_i - x_{i-1}) RS_Z(f) = \sum_{k=1}^{n} f(\xi_i) (x_i - x_{i-1})
@@ -157,17 +157,17 @@ berechnen.
\begin{satz} \begin{satz}
Eine beschränkte Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$ ist genau Eine beschränkte Funktion $f\colon I = [a,b] \to \R$ ist genau
dann R-integrierbar wenn $\forall $ Folgen $z_n \in Z(a,b)$ mit dann R.-integrierbar wenn $\forall $ Folgen $Z_n \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit
$h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ alle zugehörigen R.-Summen $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ alle zugehörigen R.-Summen
zu dem selben Limes konvergieren. zu dem selben Limes konvergieren.
\[ \[
RS_{z_n}(f) \xrightarrow{n \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) dx RS_{Z_n}(f) \xrightarrow{n \to \infty} \int_{a}^{b} f(x) dx
.\] .\]
\end{satz} \end{satz}
\begin{proof} \begin{proof}
,,$\implies$'': Sei $f$ R.-integrierbar. Sei $ z \in Z(a,b)$ mit ,,$\implies$'': Sei $f$ R.-integrierbar. Sei $ Z \in \mathcal{Z}(a,b)$ mit
Feinheit $h$. Dann Feinheit $h$. Dann gilt
\[ \[
\underline{S}_Z(f) \le \underbrace{RS_Z(f)}_{\forall \xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)} \le \overline{S}_Z(f) \underline{S}_Z(f) \le \underbrace{RS_Z(f)}_{\forall \xi = (\xi_1, \ldots, \xi_n)} \le \overline{S}_Z(f)
.\] Aus der Konvergenz .\] Aus der Konvergenz
@@ -176,7 +176,7 @@ berechnen.
\int_{a}^{b} f(x) dx$. \int_{a}^{b} f(x) dx$.
,,$\impliedby$'' Seien alle R.-Summen konvergent gegen denselben ,,$\impliedby$'' Seien alle R.-Summen konvergent gegen denselben
Limes. Sei $ z \in \mathcal{Z}(a,b)$, $\epsilon > 0$ beliebig. Limes. Sei $ Z \in \mathcal{Z}(a,b)$, $\epsilon > 0$ beliebig.
Offenbar $\exists $ R.-S. $\underline{RS}_Z(f)$, $\overline{RS}_Z(f)$ Offenbar $\exists $ R.-S. $\underline{RS}_Z(f)$, $\overline{RS}_Z(f)$
s.d. $\underline{RS}_Z(f) - \epsilon \le \underline{S}_Z(f)$ und s.d. $\underline{RS}_Z(f) - \epsilon \le \underline{S}_Z(f)$ und