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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\title{Übungsblatt Nr. 5}
+\author{Christian Merten, Samuel Weidemaier}
+
+\usepackage[]{enumerate}
+
+\usepackage{listings}
+
+\begin{document}
+
+\begin{aufgabe} Schleifeninvarianz
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item $v = (a,b,i)$\\
+            $B(v)= i < n$ \\
+            $H(v)= (b, a+b, i+1)$
+        \item Hier $F$ Fibonacci Folge.\\
+            $INV(v^{j}) \equiv F(j) = a \land F(j+1) = b \land i - 1 < n$
+
+            Verifikation der Schleifeninvariante:
+
+            \begin{enumerate}[1.]
+                \item 
+                    Für $v^{0} = (a^{0}, b^{0}, i^{0}) = (0, 1, 0)$ gilt:
+                    \[
+                        INV(0,1,0) \equiv F(0) = 0 \land F(1) = 1 \land 0 - 1 < n
+                    .\] 
+                \item Es gelte nun $INV(v^{j}) \land B(v^{j})$.
+                    Wende $H$ auf $v^{j}$ an:
+                    \begin{itemize}
+                        \item 
+                            $a_{j+1} = F(j+1) = b_j \land b_{j+1} = a_j + b_{j} = F(j) + F(j+1) = F(j+2)$
+                        \item
+                            $i_{j+1} - 1 = i_{j} + 1 - 1 = i_j < n$
+                    \end{itemize}
+
+                \item
+                    Am Schleifenende gilt $\neg (i < n)$, also  $i \ge n \land i - 1 < n \implies i = n$.
+                    \begin{align*}
+                        &INV(a, b, n-1) \land \neg B(v^{n-1}) \\
+                        \iff & F(n-1) = a \land F(n) = b \land n - 1 < n \\
+                        \iff &Q(v^{n})
+                    .\end{align*}
+            \end{enumerate}
+            
+    \end{enumerate}
+
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    siehe \textit{readSortedArray.ccp}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    siehe \textit{perfectShuffle.cpp}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}