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sose2020/la/uebungen/la3.tex

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+\documentclass[uebung]{../../../lecture}
+
+\usepackage{gauss}
+
+\begin{document}
+
+\title{Lineare Algebra II: Übungsblatt 3}
+\author{Dominik Daniel, Christian Merten}
+
+\punkte[12]
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Seien $m, n \in \Z$. Beh.: Folgende Aussagen sind äquivalent
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item $\overline{m}$ ist eine Einheit in $\Z / n \Z$
+                \item $\text{ggT}(m,n) = 1$
+            \end{enumerate}
+            \begin{proof}
+                (i)$\implies$(ii): Sei $\overline{m} \in \left( \Z / n \Z \right)^{\times}$. Dann
+                existiert ein $l \in \Z$ mit $\overline{m} \cdot \overline{l} = \overline{1}$.
+                Also ist $ml - 1 \in n \Z$ und es ex. $k \in \Z$ mit
+                $ml - 1 = kn \implies 1 = ml - kn$. Sei nun $d \in \Z$ mit
+                $d  \mid m$ und $d  \mid n$. Dann folgt
+                $d  \mid (ml - kn) = 1$. Wegen $d \in \Z$, folgt $d = \pm 1$. Damit ist
+                $\text{ggT}(m,n) = 1$.
+
+                (ii)$\implies$(i): Sei $\text{ggT}(m,n) = 1$. Dann folgt
+                mit dem Erw. Euklid. Alg.: $\exists u, v \in \Z$ mit
+                $um + vn = 1 \implies \overline{um} + \underbrace{\overline{vn}}_{= \overline{0}} = 1
+                \implies \overline{u} \cdot \overline{m} = 1 \implies \overline{m} \in (\Z / n \Z)^{\times}$.
+            \end{proof}
+        \item Es ist mit Euklidischem Algorithmus
+            \begin{align*}
+                51 &= 1 \cdot 42 + 9 \\
+                42 &= 4 \cdot 9 + 6 \\
+                9 &= 1 \cdot 6 + 3 \\
+                6 &= 2\cdot 3
+                \intertext{Also ist $\text{ggT}(51, 42) = 3 \implies \overline{42} \not\in (\Z / 51 \Z)^{\times}$.}
+                55 &= 1\cdot 42 + 13 \\
+                42 &= 3 \cdot 13 + 3\\
+                13 &= 4\cdot 3 + 1 \\
+                3 &= 3 \cdot 1
+            \end{align*}
+            Also ist $\text{ggT}(55, 42) = 1 \implies \overline{42} \in ( \Z / 55 \Z)^{\times }$.
+            Der EEA liefert:
+            \begin{align*}
+                1 &= 13 - 4 \cdot 3 \\
+                  &= 13 - 4 (42 - 3\cdot 13) \\
+                  &= 13 \cdot 13 - 4 \cdot 42 \\
+                  &= 13 (55 - 42) - 4\cdot 42 \\
+                  &= 13 \cdot 55 + (-17) \cdot 42
+            .\end{align*}
+            Es ist $-17 + 55 = 38$, also folgt $\overline{42} \cdot \overline{38} = \overline{1}$
+            in $\Z / 55 \Z$.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Beh.: $\forall z \in \mathbb{C}$ ex. $a + bi \in \Z[i]$ mit
+            $\delta |z - (a+bi)| \le \frac{1}{\sqrt{2} }$.
+            \begin{proof}
+                Mit $\text{rd}\colon \R \to \Z$
+                \[
+                    \text{rd}(x) = \begin{cases}
+                        \left\lceil x \right\rceil & |x - \left\lceil x \right\rceil |
+                        \le |x - \left\lfloor x \right\rfloor | \\
+                        \left\lfloor x \right\rfloor & \text{sonst}
+                    \end{cases}
+                .\] Damit folgt $\forall x \in \R$ $|x - \text{rd}(x)| \le \frac{1}{2}$.
+
+                Sei nun $z \in \mathbb{C}$ mit $c, d \in \R$ und $z = c + di$. Dann wähle $a := \text{rd}(c)$
+                und $b := \text{rd}(d)$. Damit folgt
+                \[
+                    0 \le (\underbrace{c - a}_{\le \frac{1}{2}})^2 + (\underbrace{d - b}_{\le \frac{1}{2}})^2
+                    \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
+                .\] Da beide Seiten nicht negativ, folgt
+                \begin{align*}
+                    |z - (a + bi)| &= |c + di - (a + bi)| = |(c-a)^2 + (d-b)^2| \le \frac{1}{\sqrt{2}}
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $\delta(xy) = \delta (x) \cdot \delta (y)$ $\forall x, y \in \Z$.
+            \begin{proof}
+                Durch Einsetzen der Definition und Nachrechnen, analog zum letzten Zettel.
+            \end{proof}
+            
+            Beh.: $\forall z, w \in \Z[i]$ mit $w \neq 0$ ex. $q \in \Z[i]$ mit
+            $\delta (z - q\cdot w) \le \frac{1}{2}\delta(w)$.
+            \begin{proof}
+                Seien $z, w \in \Z[i]$ mit $w \neq 0$. Dann ex. mit (a) ein $q \in \Z[i]$, s.d.
+                \begin{align*}
+                    \delta \left(\frac{z}{w} - q\right) &\le \frac{1}{2}
+                .\end{align*}
+                Damit folgt direkt
+                \begin{align*}
+                    \delta (w) \delta \left( \frac{z}{w} - q \right)
+                    = \delta \left( w \left(\frac{z}{w} - q\right) \right)
+                    = \delta ( z - q w)
+                    &\le \frac{1}{2} \delta (w)
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $\Z[i]$ ist Euklidischer Ring.
+            \begin{proof}
+                Zunächst ist $\Z[i]$ nullteilerfrei. Weiter seien $f, g \in \Z[i]$ mit $g \neq 0$.
+                Dann ex. mit (b) ein $q \in \Z[i]$ mit
+                \[
+                    \delta(f - q\cdot g) \le \frac{1}{2}\delta (g)
+                .\] Mit $r := f - q\cdot g$
+                folgt damit $\delta (r) \le \frac{1}{2} \delta(g)$,
+                also wegen $g \neq 0$ und $\delta(r), \delta (g) \in \N_0$, $\delta (r) < \delta (g)$.
+
+                Damit folgt
+                \[
+                    f = qg + r \qquad (\delta (r) < \delta (g) \text{ oder } r = 0)
+                .\] 
+            \end{proof}
+        \item Beh.: $1 \in \text{GGT}(9, 3+4i)$.
+            \begin{proof}
+                Mit dem Euklid. Alg. folgt:
+                \begin{align*}
+                    9 &= (1 - i) (3+4i) + (2 - i) \\
+                    3+4i &= 2 i \cdot (2 - i) + 1 \\
+                    2 - i &= (2 - i) \cdot 1
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Beh.: Sei $R \neq 0$ ein Ring, dann sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $R$ ist ein Körper
+        \item $R[t]$ ist ein Euklidischer Ring
+        \item $R[t]$ ist ein Hauptidealring
+    \end{enumerate}
+    \begin{proof}
+        (i) $\implies$ (ii): Polynomringe über Körper sind nach VL euklidisch.
+
+        (ii) $\implies$ (iii): Jeder Euklidische Ring ist nach VL Hauptidealring.
+
+        (iii) $\implies$ (i): Sei $R$ kein Körper. Falls
+        $R$ nicht nullteilerfrei, folgt die Behauptung. Sei im Folgenden
+        also $R$ nullteilerfrei. Wegen $R \neq 0$ existiert ein
+        $x \in R \setminus \{0\} $ mit $xy \neq 1$ $\forall y \in R$.
+        
+        Beh.: $(x,t)$ ist kein Hauptideal. Ang.: $\exists f \in R[t]$ mit $(f) = (x, t)$. Dann
+        ex. $h \in R[t]$ mit $x = fh$. Da $R$ nullteilerfrei, folgt
+        \[
+            0 = \text{deg}(x) = \text{deg}(f) + \text{deg}(h) \implies \text{deg}(f) = \text{deg}(h) = 0
+        .\] Es ex. also ein $a \in R$ mit $f = a$. Außerdem ex. $g \in R[t]$
+        mit $t = fg = a g$. Also ist $\text{deg}(g) = 1$ und wegen $e(t) = 1$ folgt
+        \[
+            1 = e(t) = e(a) \cdot e(g) = a \cdot \underbrace{e(h)}_{\in R}
+        .\] Also ist $a \in \R^{\times}$ und damit $1 \in (a) = (x, t)$, denn $1 = aa^{-1}$.
+        Wegen $(a) = (x, t)$, existieren $u, v \in R[t]$ mit
+        \[
+            1 = xu + tv \stackrel{t = 0}{\implies} 1 = x \cdot \underbrace{u(0)}_{\in R}
+        .\] Damit ist $x \in R^{\times }$ $\contr$.
+    \end{proof}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Rechnerei ergibt
+            \begin{align*}
+                &\begin{gmatrix}[p] 0 & 20 & 0 \\ 10 & 12 & 6 \\ 20 & 12 & 10
+                    \rowops
+                    \swap{0}{1}
+                    \colops
+                    \swap{0}{2}
+                \end{gmatrix}
+                \rightsquigarrow
+                \begin{gmatrix}[p] 6 & 12 & 10 \\ 0 & 20 & 0 \\ 10 & 12 & 20
+                    \colops
+                    \add[-2]{0}{1}
+                    \rowops
+                    \add[-1]{0}{2}
+                    \swap{0}{2}
+                \end{gmatrix}
+                \rightsquigarrow
+                \begin{gmatrix}[p] 4 & -8 & 10 \\ 0 & 20 & 0 \\ 6 & 0 & 10
+                    \rowops
+                    \add[-1]{0}{2}
+                    \swap{0}{2}
+                    \add[-2]{0}{2}
+                    \swap{0}{2}
+                \end{gmatrix} \\
+                &\rightsquigarrow
+                \begin{gmatrix}[p] 2 & 8 & 0 \\ 0 & 20 & 0 \\ 0 & -24 & 10
+                    \colops
+                    \add[-4]{0}{1}
+                    \rowops
+                    \add{1}{2}
+                    \swap{1}{2}
+                    \add[-5]{1}{2}
+                \end{gmatrix}
+                \rightsquigarrow
+                \begin{gmatrix}[p] 2 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 10 \\ 0 & 0 & -50
+                    \colops
+                    \add[-2]{1}{2}
+                    \swap{1}{2}
+                \end{gmatrix}
+                \rightsquigarrow
+                \begin{gmatrix}[p] 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & -50 & 0
+                    \rowops
+                    \add[25]{1}{2}
+                    \colops
+                    \add[-2]{1}{2}
+                \end{gmatrix}
+                \rightsquigarrow
+                    \begin{gmatrix}[p] 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 100
+                \end{gmatrix}
+            .\end{align*}
+            Damit folgen mit dem Elementarteilersatz die Elementarteiler $2, 2$ und $100$.
+            Also folgen die Fittingideale mit
+            $\text{Fit}_1(A) = (2)$, $\text{Fit}_2(A) = (2\cdot 2) = (4)$ und
+            $\text{Fit}_3(A) = (2 \cdot 2 \cdot 100) = (400)$.
+        \item Noch mehr Rechnerei ergibt
+            \begin{align*}
+                &\begin{gmatrix}[p] 1 -t & -1 & 2 \\
+                    -1 & -t & 3 \\
+                    0 & -1 & 3-t
+                    \rowops
+                    \swap{0}{1}
+                    \mult{0}{\cdot (-1)}
+                \end{gmatrix}
+                \rightsquigarrow
+                \begin{gmatrix}[p] 1 & t & -3 \\
+                    1 - t & -1 & 2 \\
+                    0 & -1 & 3-t
+                    \colops
+                    \add[-t]{0}{1}
+                    \add[-3]{0}{2}
+                    \rowops
+                    \add[-(t-1)]{0}{1}
+                \end{gmatrix}\\
+                &\rightsquigarrow
+                \begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 \\
+                    0 & -1-t+t^2 & 5-3t \\
+                    0 & -1 & 3-t
+                    \colops
+                    \rowops
+                    \swap{1}{2}
+                    \mult{1}{\cdot (-1)}
+                \end{gmatrix}
+                \rightsquigarrow
+                \begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 \\
+                    0 & 1 & -3 + t \\
+                    0 & -1 -t + t^2 & 5-3t
+                    \colops
+                    \add[-(-3 + t)]{1}{2}
+                    \rowops
+                    \add[t+t-t^2]{1}{2}
+                \end{gmatrix} \\
+                &\rightsquigarrow
+                \begin{gmatrix}[p] 1 & 0 & 0 \\
+                    0 & 1 & 0 \\
+                    0 & 0 & 8 + t - 4t^2 + t^3
+                \end{gmatrix}
+            .\end{align*}
+            Damit folgen die Elementarteiler $1$, $1$ und $8 + t - 4t^2 + t^3$. Für die Fittingideale gilt
+            $\text{Fit}_1(B) = (1)$, $\text{Fit}_2(B) = (1)$ und $\text{Fit}_3(B) = (8 + t - 4t^2 + t^{3})$.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\end{document}