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\documentclass[uebung]{../../../lecture}
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\title{Einführung in die Numerik: Übungsblatt 9}
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\author{Leon Burgard, Christian Merten}
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\usepackage[]{subcaption}
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\begin{document}
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\punkte
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\begin{aufgabe}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Es ergibt sich durch Ausrechnen:
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\begin{salign*}
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a_0 &= y_0 = \frac{1}{2} \\
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a_1 &= \frac{y_1 - a_0 N_0(t_1)}{N_1(t_1)} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{2}{3} \\
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a_2 &= \frac{y_2 - a_0 N_0(t_2) - a_1N_1(t_2)}{N_2(t_2)} = -\frac{4}{45}
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\intertext{Damit folgt}
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p_2(t) &= \frac{1}{2} + \frac{2}{3}\left( t - \frac{1}{4} \right) - \frac{4}{45} \left( t - \frac{1}{4} \right) (t- 1)
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.\end{salign*}
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\item Es folgt für $t_3 = 9$ $y_3 = 3$, also
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\begin{salign*}
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a_3 &= \frac{y_3 - a_0N_0(t_3) - a_1N_1(t_3) - a_2 N_2(t_3)}{N_3(t_3)}
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= \frac{13}{1575}
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\intertext{Damit folgt}
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p_3(t) &= \frac{1}{2} + \frac{2}{3}\left( t - \frac{1}{4} \right) - \frac{4}{45} \left( t - \frac{1}{4} \right) (t- 1) + \frac{13}{1575} \left( t - \frac{1}{4} \right) (t-1)(t-4)
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.\end{salign*}
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\item Graph:\\
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\begin{tikzpicture}
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\begin{axis}[default 2d plot,
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xmin=0,xmax=10,
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legend pos=outer north east]
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\addplot[domain=0:10, smooth,green]{0.5 + 2/3*(x-1/4) - 4/45*(x-1/4)*(x-1)};
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\addlegendentry{$p_2(t)$}
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\addplot[domain=0:10, smooth, blue]{0.5 + 2/3*(x-1/4) - 4/45*(x-1/4)*(x-1)+13/1575*(x-1/4)*(x-1)*(x-4)};
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||||
\addlegendentry{$p_3(t)$}
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\addplot[domain=0:10, smooth, red]{sqrt(x)};
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\addlegendentry{$\sqrt{t}$}
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\end{axis}
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\end{tikzpicture}
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Bezeichne:
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\begin{align*}
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&r_{i,0}(x) \coloneqq y_i \\
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&r_{i,k}(x) \coloneqq \frac{(x-x_i) p_{i+1, k-1}(x) - (x- x_{i+k})p_{i,k-1}(x)}{x_{i+k}-x_i}
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||||
.\end{align*}
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Z.z.: $p_{i,0}(x) = r_{i,0}(x)$ und $p_{i,k}(x) = r_{i,k}(x)$.
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$r_{i,0}$ bzw. $r_{i,k}$ sind Polynome vom Grad $0$ bzw. $k$. D.h. es genügt zu zeigen,
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dass sie die Interpolationseigenschaft erfüllen. Die Behauptung folgt dann aus der
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Eindeutigkeit des Interpolationspolynoms.
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Für $r_{i,0}(x)$ ist die Interpolationseigenschaft trivialerweise für die eine Stützstelle
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$x_i$ erfüllt, denn $r_{i,0}(x_i) = y_i$.
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Für $r_{i,k}$ gilt für $i \le j \le i+k$:
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\begin{salign*}
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r_{i,k}(x_{j}) &= \frac{(x_j-x_i) p_{i+1, k-1}(x_j) - (x_j- x_{i+k})p_{i,k-1}(x_j)}{x_{i+k}-x_i} \\
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&\stackrel{(*)}{=} \frac{(x_j - x_i) y_j - (x_j - x_{i+k})y_j}{x_{i+k}-x_i} \\
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&= y_j \frac{x_j - x_i - x_j + x_{i+k}}{x_{i+k}-x_i} \\
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&= y_j \frac{x_{i+k} - x_i}{x_{i+k}-x_i} \\
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&= y_j
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.\end{salign*}
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$(*)$: Falls $j = i$, dann ist $p_{i+1,k-1}(x_j)$ i.A. nicht $y_j$, aber dann ist
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$(x_j - x_i) = (x_i - x_i) = 0$, also gilt dennoch $(x_j - x_i) p_{i+1,k-1}(x_j) = (x_j - x_i)y_j$.
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Analog für $j = i+k$.
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\item Durch Berechnung von $p_{0,3}(61.7)$ mit dem Schema aus (a) erhält man die Tageslänge
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am Ort $E$ mit $19$h $29,55$m.
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item
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\begin{itemize}
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\item Für die Koeffizienten $a_i$ gilt $a_i = y_i$. Also keine Operationen nötig.
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\item Auswertung von $L_i^{(n)}(\xi) = \prod_{j=0,j\neq i}^{n} \frac{(\xi-x_j)}{x_i - x_j} $:
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$n+1$ Faktoren mit $3$ Operationen plus $n$ Multiplikationen für das Produkt. Gesamt:
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$3(n+1) + n = 4n+4+n=5n+4=5(n+1)-1$.
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Auswertung von $p(\xi)$: $n+1$ Summanden mit $5(n+1)-1$ Operationen plus Multiplikation
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mit $y_i$, ergibt $(n+1)\cdot (5(n+1)-1+1) = 5(n+1)^2$. Mit zusätzlich $n$ Additionen
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für die Auswertung der Summe ergibt sich insgesamt $5(n+1)^2 + n = \mathcal{O}(n^2)$.
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\end{itemize}
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\item
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\begin{itemize}
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\item
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Berechnung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines LGS mit unterer Dreicksmatrix.
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Dies erfordert $\mathcal{O}^2$ Operationen.
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\item Auswertung von $N_i(\xi) = \prod_{j=0}^{i-1} (\xi - x_j) $ erfordert $1$ Addition pro Faktor und
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insgesamt $i-1$ Multiplikationen für das Produkt, also insgesamt: $2i - 1$.
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Auswertung von $p(\xi)$ erfordert entsprechend die Auswertung von $N_i(\xi)$ und die
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Multiplikation mit dem Koeffizienten und Summation über alle $(n+1)$ Summanden. Ergibt also
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insgesamt mit kleinem Gauß $(n+1)(n+2) = n^2 + 3n + 2 = \mathcal{O}(n^2)$.
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\end{itemize}
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\item
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\begin{itemize}
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\item Berechnung der Koeffizienten erfordert die Lösung eines vollen LGS, also
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$\mathcal{O}(n^{3})$ Operationen.
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\item Auswertung eines Summanden: $a_i t ^{i}$ erfordert $i-1 + 1 = i$ Multiplikationen.
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Auswertung von $p(x)$ erfordert das Summieren von $n+1$ Summanden, also $n$ zusätzliche Additionen.
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Insgesamt folgt also wieder mit kleinem Gauß $\frac{(n+1)(n+2)}{2} + n = \frac{n^2 + 3n + 2}{2} + n = \frac{n^2 + 5n +4}{2} = \mathcal{O}(n^2)$.
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||||
\end{itemize}
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||||
\item Auswertung von $p_{i,k}$ im Neville Schema erfordert
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\begin{align*}
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N(k) &= 2 + N(k-1) + 1 + 1 + 1 + N(k-1) + 1 + 1 \\
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&= 7 + 2 N(k-1) \\
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&= 7 + 2 \cdot 7 + 4 \cdot N(k-2) = \ldots = \sum_{j=0}^{k-1} 7 \cdot 2^{j} \\
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&= 7 \frac{2^{k} - 1}{2 - 1} \\
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&= 7 (2^{k} - 1) \\
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&= \mathcal{O}(2^{k})
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.\end{align*}
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\end{enumerate}
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\end{aufgabe}
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\begin{aufgabe}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item Auszug aus \textit{polynom.cc}
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\begin{lstlisting}[language=C++, title=Auswertung des Interpolationspolynoms für vorgegebene Stüztstellen, captionpos=b]
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||||
// Auswertung von p_{i,k}(t) mit Neville Schema bei t=x
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||||
template<typename REAL>
|
||||
REAL evaluateNeville(REAL x, std::vector<REAL> &xs, std::vector<REAL> &ys, int i, int k) {
|
||||
if(k == 0) {
|
||||
return ys[i];
|
||||
} else {
|
||||
// nevile rekursionsformel
|
||||
return ((x - xs[i])*evaluateNeville(x, xs, ys,i+1,k-1) - (x - xs[i+k])*evaluateNeville(x, xs, ys, i, k-1))/(xs[i+k]-xs[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
// Auswertung eines Interpolationspolynoms p(t) bei t=x
|
||||
template<typename REAL>
|
||||
REAL evaluate(REAL x, std::vector<REAL> &xs, std::vector<REAL> &ys) {
|
||||
// nutze neville verfahren mit p(x) = p_{0,n}(x)
|
||||
evaluateNeville(x, xs, ys, 0, xs.size()-1);
|
||||
}\end{lstlisting}
|
||||
\item Auszug aus \textit{polynom.cc}
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||||
\begin{lstlisting}[language=C++, title=Auswertung von I-Polynomen für äquidistante Stützstellen, captionpos=b]
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||||
// Auswertung eines Interpolationspolynoms einer Funktion bei vorgegebenen Stuetzstellen
|
||||
template <typename REAL>
|
||||
REAL evaluateFunction(REAL x, std::vector<REAL> &xs, REAL(*f)(REAL)) {
|
||||
std::vector<double> ys(xs.size());
|
||||
for (int i = 0; i < xs.size(); i++) {
|
||||
// berechne stuetzstellen
|
||||
ys[i] = f(xs[i]);
|
||||
}
|
||||
// verwende polynominterpolation
|
||||
return evaluate(x, xs, ys);
|
||||
}
|
||||
|
||||
// Auswertung eines Interpolationspolynoms einer Funktion bei aequidistanten Stuetzstellen
|
||||
template <typename REAL>
|
||||
REAL evaluateFunctionEqualDist(REAL x, REAL a, REAL b, REAL h, REAL(*f)(REAL)) {
|
||||
std::vector<double> xs(std::floor((b-a)/h));
|
||||
std::vector<double> ys(xs.size());
|
||||
for (int i = 0; i < xs.size(); i++) {
|
||||
// berechne stuetzstellen
|
||||
xs[i] = a + i*h;
|
||||
// und funktionswerte
|
||||
ys[i] = f(xs[i]);
|
||||
}
|
||||
// werte polynom aus
|
||||
return evaluate(x, xs, ys);
|
||||
}\end{lstlisting}
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||||
\begin{figure}[h]
|
||||
\begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[default 2d plot, xmin=-1, xmax=1]
|
||||
\addplot[green] table {f1_5.dat};
|
||||
\addlegendentry{$n=5$}
|
||||
\addplot[orange] table {f1_10.dat};
|
||||
\addlegendentry{$n=10$}
|
||||
\addplot[blue] table {f1_20.dat};
|
||||
\addlegendentry{$n=20$}
|
||||
\addplot[red, samples=100] {1/(1+x^2)};
|
||||
\addlegendentry{$\frac{1}{1+x^2}$}
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{$f_1 = \frac{1}{1+x^2}$}
|
||||
\end{subfigure}
|
||||
\begin{subfigure}[b]{.5\linewidth}
|
||||
\begin{tikzpicture}
|
||||
\begin{axis}[default 2d plot, xmin=-0.5, xmax=0.5, legend pos=outer north east,
|
||||
restrict y to domain=-1:5]
|
||||
\addplot[green] table {f2_5.dat};
|
||||
\addlegendentry{$n=5$}
|
||||
\addplot[orange] table {f2_10.dat};
|
||||
\addlegendentry{$n=10$}
|
||||
\addplot[blue] table {f2_20.dat};
|
||||
\addlegendentry{$n=20$}
|
||||
\addplot[red, samples=5000] {sqrt(abs(x))};
|
||||
\addlegendentry{$\sqrt{|x|} $}
|
||||
\end{axis}
|
||||
\end{tikzpicture}
|
||||
\caption{$f_2 = \sqrt{|x|} $}
|
||||
\end{subfigure}
|
||||
\end{figure}
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||||
\item Für $\frac{1}{1+x^2}$ funktioniert die Interpolation mit äquidistanten Stützstellen sehr gut.
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Für $\sqrt{|x|} $ entstehen durch die nicht differenzierbare Stelle bei $x=0$ sehr große Abweichungen,
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die zu den Rändern mit wachsendem Polynomgrad sogar zunehmen.
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||||
\end{enumerate}
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||||
\end{aufgabe}
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||||
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||||
\end{document}
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||||
@@ -0,0 +1,75 @@
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||||
#include <iostream>
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#include <vector>
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||||
#include <math.h>
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||||
// Auswertung von p_{i,k}(t) mit Neville Schema bei t=x
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||||
template<typename REAL>
|
||||
REAL evaluateNeville(REAL x, std::vector<REAL> &xs, std::vector<REAL> &ys, int i, int k) {
|
||||
if(k == 0) {
|
||||
return ys[i];
|
||||
} else {
|
||||
// nevile rekursionsformel
|
||||
return ((x - xs[i])*evaluateNeville(x, xs, ys,i+1,k-1) - (x - xs[i+k])*evaluateNeville(x, xs, ys, i, k-1))/(xs[i+k]-xs[i]);
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
|
||||
// Auswertung eines Interpolationspolynoms p(t) bei t=x
|
||||
template<typename REAL>
|
||||
REAL evaluate(REAL x, std::vector<REAL> &xs, std::vector<REAL> &ys) {
|
||||
// nutze neville verfahren mit p(x) = p_{0,n}(x)
|
||||
evaluateNeville(x, xs, ys, 0, xs.size()-1);
|
||||
}
|
||||
|
||||
// Auswertung eines Interpolationspolynoms einer Funktion bei vorgegebenen Stuetzstellen
|
||||
template <typename REAL>
|
||||
REAL evaluateFunction(REAL x, std::vector<REAL> &xs, REAL(*f)(REAL)) {
|
||||
std::vector<double> ys(xs.size());
|
||||
for (int i = 0; i < xs.size(); i++) {
|
||||
// berechne stuetzstellen
|
||||
ys[i] = f(xs[i]);
|
||||
}
|
||||
// verwende polynominterpolation
|
||||
return evaluate(x, xs, ys);
|
||||
}
|
||||
|
||||
// Auswertung eines Interpolationspolynoms einer Funktion bei äquidistanten Stützstellen
|
||||
template <typename REAL>
|
||||
REAL evaluateFunctionEqualDist(REAL x, REAL a, REAL b, REAL h, REAL(*f)(REAL)) {
|
||||
std::vector<double> xs(std::floor((b-a)/h));
|
||||
std::vector<double> ys(xs.size());
|
||||
for (int i = 0; i < xs.size(); i++) {
|
||||
// berechne stuetzstellen
|
||||
xs[i] = a + i*h;
|
||||
// und funktionswerte
|
||||
ys[i] = f(xs[i]);
|
||||
}
|
||||
// werte polynom aus
|
||||
return evaluate(x, xs, ys);
|
||||
}
|
||||
|
||||
// beispiel funktionen
|
||||
template <typename REAL>
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||||
REAL f1(REAL x) {
|
||||
return 1/(1+std::pow(x,2));
|
||||
}
|
||||
|
||||
template <typename REAL>
|
||||
REAL f2(REAL x) {
|
||||
return std::sqrt(std::abs(x));
|
||||
}
|
||||
|
||||
int main() {
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// polynom grad
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int n = 5;
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// abstand zwischen stützstellen
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double h = 2.0 / n;
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||||
// schrittweite
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||||
double dx = 2.0 / 1000;
|
||||
double x = 0;
|
||||
for(int i = 0; i < 1000; i++) {
|
||||
x = -1.0 + i*dx;
|
||||
// werte polynom mit äquidistanten stuetzstellen zwischen -1 und 1 mit abstand h bei t=x aus
|
||||
std::cout << x << " " << evaluateFunctionEqualDist(x, -1.0, 1.0, h, f2) << std::endl;
|
||||
}
|
||||
}
|
||||
Reference in New Issue
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