diff --git a/ws2020/ana/uebungen/ana1.pdf b/ws2020/ana/uebungen/ana1.pdf index 7952bfb..3354b2c 100644 Binary files a/ws2020/ana/uebungen/ana1.pdf and b/ws2020/ana/uebungen/ana1.pdf differ diff --git a/ws2020/ana/uebungen/ana1.tex b/ws2020/ana/uebungen/ana1.tex index 08bce79..6b49a4e 100644 --- a/ws2020/ana/uebungen/ana1.tex +++ b/ws2020/ana/uebungen/ana1.tex @@ -13,7 +13,10 @@ Beh.: $\mathcal{A}_{\mu}$ ist eine $\sigma$-Algebra auf $X$. \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] - \item $X \in \mathcal{A}_{\mu}$, denn $\mu(\emptyset) = 0$, da + \item Mit der $\sigma$-Additivtät von $\mu$ folgt + $\mu(\emptyset) = \mu(\emptyset \cup \emptyset) = \mu(\emptyset) + \mu(\emptyset) \implies \mu(\emptyset) = 0$. + Damit folgt + $X \in \mathcal{A}_{\mu}$, denn $\mu(\emptyset) = 0$, da $\mu$ Maß und $X \triangle X = \emptyset$. Mit (ii) ist auch $\emptyset = X^{C} \in \mathcal{A}_{\mu}$. \item Sei $A \in \mathcal{A}_{\mu}$. Dann ex. @@ -48,7 +51,7 @@ &\subset \left( \bigcup_{i \in \N} A_i \setminus B_i \right) \cup \left( \bigcup_{i \in \N} B_i \setminus A_i \right) \\ &= \bigcup_{i \in \N} \left( A_i \setminus B_i \cup B_i \setminus A_i \right) \\ - &\subset C_i \\ + &\subset \bigcup_{i \in \N} C_i \\ &= C .\end{align*} \end{enumerate} @@ -98,14 +101,14 @@ Ang. es existiert ein Wahrscheinlichkeitsmaß $\nu \colon \mathscr{P}(X) \to \{0, 1\} $. Dann ist $\nu([0,1]) = 1$. Definiere nun induktiv: $I_1 = [0, 1]$. Für $I_{k+1}$ teile $I_k$ beliebig in zwei disjunkte Teilintervalle $A, B \subseteq I_k$ mit - $A \cap B = \emptyset$, $A \cup B = I_k$ und $A, B \neq \emptyset$. Da $\mu(I_k) = 1$ und + $A \cap B = \emptyset$, $A \cup B = I_k$ und $A, B \neq \emptyset$. Da $\nu(I_k) = 1$ und $A$ und $B$ disjunkt folgt mit der Additivität von $\nu$, dass entweder $\nu(A) = 1$ oder - $\nu(B) = 1$. Wähle dann $I_{k+1} = A$ oder $I_{k+1} = B$, s.d. $\nu(I_k) = 1$. Damit + $\nu(B) = 1$. Wähle dann $I_{k+1} = A$ oder $I_{k+1} = B$, s.d. $\nu(I_{k+1}) = 1$. Damit ist $I_{k+1} \subsetneqq I_k$ also $I_k$ monoton fallend und $I_k \searrow \{ x \} $ für $x \in [0,1]$. Außerdem gilt nach Konstruktion $\nu(I_k) = 1$ $\forall k \in \N$. Damit folgt nach VL \[ - \lim_{k \to \infty} \mu(I_k) = 1 \neq 0 = \mu\left( \left\{ x \right\} \right) + \lim_{k \to \infty} \nu(I_k) = 1 \neq 0 = \nu\left( \left\{ x \right\} \right) \quad \contr .\] \end{proof} @@ -121,7 +124,7 @@ abzählbar, also $\bigcup_{i \in \N} A_i \in \mathcal{A}$. Falls $\exists j \in \N$, s.d. $A_j \in \mathcal{A}$ überabzählbar, dann ist - $\mathcal{A}^{c}$ höchstens abzählbar nach Definition. Damit folgt + $A_j^{c}$ höchstens abzählbar nach Definition. Damit folgt \[ \left(\bigcup_{i \in \N} A_i\right)^{c} = \bigcap_{i \in \N} A_i ^{c} \subseteq A_j^{c} diff --git a/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.pdf b/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.pdf index 2aebe71..f9fce1a 100644 Binary files a/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.pdf and b/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.pdf differ diff --git a/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.tex b/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.tex index aaee1c4..ee2b70d 100644 --- a/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.tex +++ b/ws2020/wtheo/uebungen/whteo1.tex @@ -36,10 +36,10 @@ nicht, da $\{0\} \cup \{2\} = \{0, 2\} \not\in \mathcal{A}_1 \cup \mathcal{A}_2$. \end{proof} \item Sei $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra über $\Omega$ und $f\colon \mathcal{X} \to \Omega$ Abbildung. - Beh.: $f^{-1}(\mathcal{A}) \coloneqq \{ f^{-1}(A) \colon A \in \mathcal{A}\} $. + Beh.: $f^{-1}(\mathcal{A}) \coloneqq \{ f^{-1}(A) \colon A \in \mathcal{A}\} $ ist $\sigma$-Algebra. \begin{proof} \begin{enumerate}[(i)] - \item $\mathcal{X} \in f^{-1}(\mathcal{A})$, denn $f^{-1}(\mathcal{X}) = \Omega$. + \item $\mathcal{X} \in f^{-1}(\mathcal{A})$, denn $f^{-1}(\Omega) = \mathcal{X}$. \item Sei $B \in f^{-1}(\mathcal{A})$. Dann ex. ein $A \in \mathcal{A}$, s.d. $f^{-1}(A) = B$. Da $\mathcal{A}$ $\sigma$-Algebra ist $A^{c} \in \mathcal{A}$. Damit folgt @@ -120,7 +120,7 @@ wachsend, ist für $n \ge 2\colon B_n = A_n \setminus A_{n-1}$. Damit folgt \begin{salign*} \mathbb{P}(\bigcup_{n \in \N} A_n) &= \mathbb{P}\left( \bigcupdot_{n \in \N} B_n \right)\\ - &\stackrel{\sigma \text{Additivität}}{=} \sum_{n=1}^{\infty} B_n \\ + &\stackrel{\sigma \text{Additivität}}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}(B_n) \\ &= \mathbb{P}(B_1) + \sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(A_n \cap A_{n-1}) \right) \\ &\stackrel{A_n \subseteq A_{n+1}}{=} \mathbb{P}(B_1) + \sum_{n=2}^{\infty} \left( \mathbb{P}(A_n) - \mathbb{P}(A_{n-1}) \right) \\ @@ -151,7 +151,7 @@ + \mathbb{P}(A_{n+1}) - \mathbb{P}\left( \bigcup_{j=1}^{n} A_j \cap A_{n+1} \right) \\ \stackrel{\text{I.V.}}{=}& \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\}} - \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j}\right) + \mathbb{P}(A_{k_1} \cap \ldots \cap A_{k_j})\right) + \mathbb{P}(A_{n+1}) \\ &- \sum_{j=1}^{n} \left( (-1)^{j-1} \sum_{\{k_1, \ldots, k_j\} \subseteq \{1, \ldots, n\} } \mathbb{P}(A_{k_1} \cap A_{n+1} \cap \ldots \cap A_{k_j} \cap A_{n+1}) \right) \\