diff --git a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.cls b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.cls
index 9aba5c6..dccc7f2 100644
--- a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.cls
+++ b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.cls
@@ -201,7 +201,7 @@
   }
   % replace all relations with align characters (&) and add the needed padding
   \regex_replace_all:nnN
-      { (<&|&<|\c{iff}&|&\c{iff}|\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&) }
+  { (<&|&<|\c{iff}&|&\c{iff}|\c{impliedby}&|&\c{impliedby}|\c{implies}&|&\c{implies}|\c{approx}&|&\c{approx}|\c{equiv}&|&\c{equiv}|=&|&=|\c{le}&|&\c{le}|\c{ge}&|&\c{ge}|&\c{stackrel}{.*?}{.*?}|\c{stackrel}{.*?}{.*?}&|&\c{neq}|\c{neq}&|\c{simeq}&|&\c{simeq}) }
       { \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} \1 \c{kern} \u{l_tmp_dim_needed} }
       \l__lec_text_tl
   \l__lec_text_tl
diff --git a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf
index a52aea4..d66228e 100644
Binary files a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf and b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.pdf differ
diff --git a/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex
index de1c17e..dd8365e 100644
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+++ b/sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex
@@ -2,12 +2,15 @@
 
 \author{Christian Merten\\[1cm]
 {\small Betreuung durch: Prof. Dr. Alexander Schmidt,
-Dr. Marius Leonhardt, Dr. Katharina Hübner}}
+Dr. Marius Leonhardt}}
 \title{Auflösung unbeschränkter Komplexe}
 \usepackage{tikz-cd}
 \usepackage{amssymb}
 \usepackage{hyperref}
 \usepackage{graphicx}
+%\usepackage{datetime}
+
+%\newdateformat{myformat}{\THEDAY{. }\monthname[\THEMONTH] \THEYEAR}
 
 %\newcommand{\smallbullet}{\tikz \draw (0,0) circle (1.5pt);}
 
@@ -57,7 +60,7 @@ Dr. Marius Leonhardt, Dr. Katharina Hübner}}
 
 \begin{titlepage}
     \begin{center}
-        \vspace*{3cm}
+        \vspace*{4cm}
         \textsc{Bachelorarbeit} \\[1cm]
         {
             \LARGE
@@ -72,7 +75,7 @@ Dr. Marius Leonhardt, Dr. Katharina Hübner}}
 
         {
         \vspace{1cm}
-        Heidelberg, den \today.
+        Heidelberg, 2. Mai 2022
         }
 
         \vfill
@@ -81,8 +84,7 @@ Dr. Marius Leonhardt, Dr. Katharina Hübner}}
         \textsc{Betreuung durch}\\[5mm]
         \begin{tabular}{c}
             \emph{Prof. Dr. Alexander Schmidt} \\
-            \emph{Dr. Marius Leonhardt} \\
-            \emph{Dr. Katharina Hübner}
+            \emph{Dr. Marius Leonhardt}
         \end{tabular}
     \end{center}
 \end{titlepage}
@@ -108,7 +110,7 @@ Dr. Marius Leonhardt, Dr. Katharina Hübner}}
     functors. Then we construct various resolutions of unbounded
     complexes of modules over a ring, which we finally apply to show
     the existence of the derived functors of Hom and tensorproduct and to transfer the
-    classic adjunction to the derived functors.
+    classical adjunction to the derived functors.
 \end{abstract}
 
 \selectlanguage{german}
@@ -133,17 +135,17 @@ $N$ die Adjunktion
 \[
     - \otimes_A N \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -)
 \] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man
-die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_A^{i}(-, N)$ als
+die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_i^{A}(-, N)$ als
 Ableitungen der Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich
 die Frage, ob zwischen diesen ein analoges Adjunktionsresultat gilt.
 
-Die Antwort ist nein, denn angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ wäre rechtsadjungiert, dann
-folgte, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
+Die Antwort ist nein, denn angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ ist rechtsadjungiert, dann
+folgt, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt ist. Die exakte Folge
 \[
 \begin{tikzcd}
     0 \arrow{r} & \Z \arrow{r}{\cdot 2} & \Z \arrow{r} & \Z / 2 \Z \arrow{r} & 0
 \end{tikzcd}
-\] in $\Z$-Mod lieferte dann die exakte Folge
+\] in $\Z$-Mod liefert die exakte Folge
 \[
 \begin{tikzcd}
     \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z)}_{= 0} \arrow{r} &
@@ -159,7 +161,7 @@ Es liegt also nahe, dass der klassische Ableitungsbegriff unvollständig ist.
 Im \ref{sec:derived-cat}. Abschnitt wird deshalb ein allgemeinerer Ableitungsbegriff
 dargestellt.
 Um diesen zu finden,
-betrachtet man die Bildung von klassischen Ableitungen.
+betrachtet man zunächst die Bildung von klassischen Ableitungen.
 %Konstruktion eines neuen Ableitungsbegriffs führt zum Begriff der derivierten Kategorie:
 %Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie
 %von $\mathcal{A}$, das heißt die Kategorie, deren Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und
@@ -168,7 +170,7 @@ Dazu seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und $\mathcal{A}$ habe
 genügend viele Injektive.
 Sei $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ein additiver und linksexakter Funktor und
 $X \in \mathcal{A}$. Dann existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex
-$\com{I}$ in $\mathcal{A}$, sodass
+$\com{I}$ in $\mathcal{A}$ mit injektiven Objekten, sodass
 \[
 \begin{tikzcd}
     0 \arrow{r} & X \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots
@@ -198,7 +200,7 @@ mit ihren Auflösungen zu identifizieren,
 also eine geeignete Kategorie von Komplexen zu finden,
 in der quasiisomorphe Komplexe bereits isomorph sind.
 Dazu kann man zunächst zur
-Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ übergehen, das heißt die Kategorie, deren
+Kategorie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ übergehen, deren
 Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und deren Morphismen
 Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus im
 Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz. Deshalb konstruiert man eine weitere Kategorie
@@ -210,12 +212,12 @@ $Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$.
 Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor
 $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
 einer natürlichen Transformation
-$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die den Zusammenhang
-zwischen $\text{R}F$ und $F$ herstellt.
+$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, sodass
+eine gewisse universelle Eigenschaft erfüllt ist.
 
 Im Allgemeinen ist die Existenz von $\text{R}F$ eine schwierige Frage, in der klassischen
 Situation existiert $\text{R}F$ jedoch zumindest
-auf der Unterkategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$ der
+auf der Unterkategorie $\mathcal{D}^{+}(\mathcal{A})$ der
 nach unten beschränkten Komplexe und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen
 mit den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein. Vom klassischen Standpunkt
 erwartungsgemäß, induziert die natürliche Transformation $\xi$ auf der Klasse der nach
@@ -230,15 +232,15 @@ $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ zuzulassen.
 Analog zur klassischen
 Theorie ist dann die Existenz der Ableitung von $F$ gesichert durch:
 \begin{enumerate}[(1)]
-    \item eine Klasse $\mathcal{J}$ von $F$-azyklischen Komplexen, das heißt
-        eine Klasse von Komplexen für die $F$ Exaktheit erhält, und
+    \item eine Unterkategorie $\mathcal{J}$ von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$
+        für die $F$ Exaktheit erhält, und
     \item für jeden Komplex einen Quasiisomorphismus in einen Komplex aus $\mathcal{J}$.
 \end{enumerate}
 In diesem Fall induziert $\xi$ auf den Komplexen aus $\mathcal{J}$ Isomorphismen, das heißt
 Ableitungen berechnen sich, analog zur klassischen Situation, durch Auflösungen durch Komplexe
 aus $\mathcal{J}$.
 
-Besonders die zweite Bedingung ist für beliebige abelsche Kategorien jedoch nur
+Besonders die zweite Bedingung ist für beliebige abelsche Kategorien nur
 sehr schwer zu erfüllen und hängt durch $\mathcal{J}$ von dem konkreten Funktor $F$ ab. Spaltenstein
 hat das in seiner
 Arbeit ,,Resolution of unbounded complexes`` \cite{spaltenstein}
@@ -248,7 +250,8 @@ an die beteiligten Kategorien gelöst. Die vorliegende Arbeit stellt im
 Abschnitt auf den Homfunktor und das Tensorprodukt anzuwenden.
 
 Dafür erweitern wir die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise
-zu Funktoren $\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$, sodass die Erweiterungen,
+zu Funktoren $\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$
+bzw $\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$, sodass die Erweiterungen,
 angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren übereinstimmen. Der naive
 Ansatz $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ bzw. $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ in beiden Variablen zu erweitern,
 indem für Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ gradweise
@@ -335,18 +338,28 @@ $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ definieren wir dafür
 \end{definition*}
 
 Sei nun $\mathcal{J}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe.
-Es wird schnell klar, dass ein exakter K-injektiver Komplex bereits der Nullkomplex ist und
+Es wird schnell klar, dass ein exakter K-injektiver Komplex in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$
+bereits der Nullkomplex ist und
 damit die Bedingung (1) erfüllt ist. Der schwierige Teil ist Bedingung (2) nachzuweisen.
 
-Zuänchst bemerken wir, dass nach unten beschränkte Komplexe mit injektiven Objekten
+Zunächst bemerken wir, dass nach unten beschränkte Komplexe mit injektiven Objekten
 K-injektiv sind. Klassisch ist bekannt, dass
 jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen solchen Komplex hat. Für
 einen beliebigen (unbeschränkten) Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ funktioniert die
 klassische, induktive Konstruktion jedoch nicht.
 
 Wir konstruieren deshalb geeignete $\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme.
-Das sind abzählbare inverse Systeme mit surjektiven Übergangsabbildungen, wobei die Kerne dieser
-in $\mathcal{J}$ liegen. Im ersten Schritt zeigen wir nun, dass $\mathcal{J}$ abgeschlossen
+Das sind abzählbare inverse Systeme $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$,
+wobei für $n > 1$ die kurze Folge
+\[
+    \begin{tikzcd}
+        0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r}
+                    & \com{I}_n \arrow{r}{p_n}
+                    & \com{I}_{n-1} \arrow{r}
+                    & 0
+    \end{tikzcd}
+\] exakt ist, stufenweise zerfällt und $\text{ker } p_n$ in $\mathcal{J}$ liegt.
+Im ersten Schritt zeigen wir nun, dass $\mathcal{J}$ abgeschlossen
 unter $\mathcal{J}$-speziellen inversen Limites ist, das heißt, dass die Limites von solchen
 Systemen in $\mathcal{J}$ liegen.
 
@@ -355,12 +368,12 @@ $\com{M}$ so abzuschneiden, dass
 die Kohomologiegruppen vom Grad $\ge -n$ erhalten bleiben. So erhalten wir ein System
 $(\tau^{\ge -n} \com{M})_{n \in \N}$ der abgeschnittenen Komplexe von $\com{M}$.
 
-Induktiv konstruieren wir dann ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System
+Induktiv erhalten wir dann ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System
 $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und ein inverses System von Quasiisomorphismen
 $f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$, indem wir in jedem Schritt für $n \in \N$
 aus $\tau^{\ge -n} \com{M}$ und $\com{I}_{n-1}$ einen nach unten beschränkten Komplex konstruieren,
 der klassisch durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann.
-So erhalten wir im Limes einen K-injektiven Komplex $\com{I}$ und einen Komplexhomomorphismus
+Im Limes erhalten wir also einen K-injektiven Komplex $\com{I}$ und einen Komplexhomomorphismus
 $f\colon \com{M} \to \com{I}$.
 
 Da für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ der inverse Limes jedoch nicht exakt ist, ist
@@ -404,7 +417,9 @@ Funktor $\text{R}F$ von der derivierten Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ von
 $\mathcal{A}$ in die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ von $\mathcal{B}$ konstruieren.
 Die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ erhalten wir durch Lokalisierung,
 analog zum gleichnamigen Vorgang in der kommutativen Algebra: Wir starten mit der Kategorie
-$\mathcal{K}(\mathcal{A})$, der Homotopiekategorie von $\mathcal{A}$, wobei die Morphismen
+$\mathcal{K}(\mathcal{A})$, deren Objekte
+Komplexe in $\mathcal{A}$ und deren
+Morphismen
 Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. Daraus erhalten
 wir dann $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ indem alle Quasiisomorphismen in
 $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, das heißt Komplexhomomorphismen, die Isomorphismen auf den
@@ -427,6 +442,14 @@ anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie.
         \item einer Klasse von Sextupeln $(X, Y, Z, u, v, w)$, den ausgezeichneten Dreiecken von $\mathcal{T}$, wobei
             $X, Y, Z \in \mathcal{T}$ und $u\colon X \to Y$, $v\colon Y \to Z$, $w\colon Z \to T(X)$ Morphismen sind.
     \end{enumerate}
+    Wenn $(X, Y, Z, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck ist, schreiben wir
+    auch:
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        & Z \arrow[swap]{dl}{w} & \\
+        X \arrow[swap]{rr}{u} & & Y \arrow[swap]{ul}{v}.
+    \end{tikzcd}
+    \] 
     Ein Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken
     $(X, Y, Z, u, v, w) \to (X', Y', Z', u', v', w')$ ist ein kommutatives Diagramm
     \[
@@ -441,21 +464,39 @@ anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie.
             isomorphe Sextupel $(X, Y, Z, u, v, w)$ wie oben, ist ein ausgezeichnetes Dreieck. Jeder
             Morphismus $u\colon X \to Y$ kann in ein ausgezeichnetes Dreieck $(X, Y, Z, u, v, w)$ eingebettet werden
             und das Sextupel $(X, X, 0, \text{id}_X, 0, 0)$ ist ein ausgezeichnetes Dreieck für alle $X \in \mathcal{T}$.
-        \item $(X, Y, Z, u, v, w)$ ist ein ausgezeichnetes Dreieck genau dann wenn $(Y, Z, T(X), v, w, -T(u))$ ein
+        \item $(X, Y, Z, u, v, w)$ ist genau dann ein ausgezeichnetes Dreieck,
+            wenn $(Y, Z, T(X), v, w, -T(u))$ ein
             ausgezeichnetes Dreieck ist.
         \item Für zwei ausgezeichnete Dreiecke $(X, Y, Z, u, v, w)$ und $(X', Y', Z', u', v', w')$, und
             Morphismen $f\colon X \to X'$, $g\colon Y \to Y'$, die mit $u$ und $u'$ kommutieren, existiert
             ein nicht notwendig eindeutiger Morphismus $h\colon Z \to Z'$, sodass $(f, g, h)$ ein Morphismus
             von ausgezeichneten Dreiecken ist.
+        \item Seien $(X, Y, Z', u, j, k)$, $(Y, Z, X', v, t, i)$
+            und $(X, Z, Y', vu, r, s)$ ausgezeichnete Dreiecke. Dann existieren
+            Morphismen $f\colon Z' \to Y'$ und $g\colon Y' \to X'$, sodass
+            $(Z', Y', X', f, g, T(j) i)$ ein ausgezeichnetes Dreieck ist und die zwei gestrichelten
+            Dreiecke in
+            \[
+            \begin{tikzcd}
+                & Y' \arrow[dashed]{ddl} \arrow[dashed]{dr}{g} & \\
+                Z' \arrow[dashed]{ur}{f} \arrow[dashed]{d} &
+                                                           & \arrow{ll}{T(j)i} 
+                                                           \arrow[swap]{ddl}{i} X' \\
+                X \arrow[swap]{dr}{u} \arrow{rr}{vu} & & Z \arrow[dashed]{uul}
+                \arrow[dashed,swap]{u} \\
+                  & Y \arrow[swap]{uul}{j} \arrow[swap]{ur}{v} &
+            \end{tikzcd}
+            \] 
+            kommutieren.
     \end{enumerate}
     \label{TR2}
 \end{definition}
 
-\begin{bem}
-    Streng genommen ist die hier definierte Triangulierte Kategorie nur eine Pretriangulierte Kategorie. Für
-    eine vollständig triangulierte Kategorie fehlt noch das Oktaheder Axiom
-    (TR4 in \cite{hartshorne}), das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen.
-\end{bem}
+%\begin{bem}
+%    Streng genommen ist die hier definierte Triangulierte Kategorie nur eine Pretriangulierte Kategorie. Für
+%    eine vollständig triangulierte Kategorie fehlt noch das Oktaheder Axiom
+%    (TR4 in \cite{hartshorne}), das wir im Folgenden jedoch nicht benötigen.
+%\end{bem}
 
 \begin{definition}[Triangulierte Unterkategorie]
     Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie mit Verschiebefunktor $T$.
@@ -464,7 +505,7 @@ anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie.
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item für jedes Objekt $X \in \mathcal{T}$ ist $X \in \mathcal{R}$, genau dann wenn
             $T(X) \in \mathcal{R}$ ist, und
-        \item falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{T}$ in $\mathcal{R}$ liegen, so auch
+        \item falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks von $\mathcal{T}$ in $\mathcal{R}$ liegen, so auch
             der dritte.
     \end{enumerate}
     \label{def:triangulated-subcategory}
@@ -499,19 +540,27 @@ anderen Struktur, die einer triangulierten Kategorie.
     siehe Proposition 1.1 in \cite{hartshorne}.
 \end{proof}
 
-\subsection{Homotopiekategorie}
+\subsection{$\mathcal{K}(\mathcal{C})$ als triangulierte Kategorie}
 
-Das kanonische Beispiel für eine triangulierte Kategorie ist die Homotopiekategorie einer additiven Kategorie $\mathcal{C}$.
+Für eine additive Kategorie $\mathcal{C}$ sei im Folgenden $\mathcal{K}om(\mathcal{C})$
+die Komplexkategorie von $\mathcal{C}$. Weiter sei $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ die Kategorie mit den
+selben Objekten wie $\mathcal{K}om(\mathcal{C})$ und mit Homotopieäquivalenzklassen
+von Komplexhomomorphismen als Morphismen.
+Wir geben im Folgenden eine triangulierte Struktur auf $\mathcal{K}(\mathcal{C})$.
 
-\begin{definition}[Homotopiekategorie]
-    Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann ist die \emph{Homotopiekategorie}
-    $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ von $\mathcal{C}$, die Kategorie, deren Objekte
-    Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{C}$ sind und
-    deren Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind.
-\end{definition}
+%Um eine triangulierte Struktur
+%Das kanonische Beispiel für eine triangulierte Kategorie ist die Kategorie $\mathcal{K}(\mathcal{C})$
+%für eine additive Kategorie $\mathcal{C}$.
+%
+%\begin{definition}
+%    Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann ist
+%    $\mathcal{K}(\mathcal{C})$, die Kategorie, deren Objekte
+%    Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{C}$ sind und
+%    deren Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind.
+%\end{definition}
 
 %\begin{bem}
-In der Homotopiekategorie haben wir einen natürlichen Kategorienautomorphismus
+In $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ haben wir einen natürlichen Kategorienautomorphismus
 $T\colon \mathcal{K}(\mathcal{C}) \to \mathcal{K}(\mathcal{C})$, der
 durch Verschieben nach links gegeben ist, das
 heißt für $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{C})$ durch
@@ -529,12 +578,13 @@ heißt für $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{C})$ durch
 \end{bem}
 
 Um die ausgezeichneten Dreiecke in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ zu erklären, benötigen wir
-den Abbildungskegel eines Morphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$:
+den Abbildungskegel eines Komplexhomomorphismus:
 
 \begin{definition}[Abbildungskegel]
-    Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe und $f\colon \com{X} \to \com{Y}$ ein
+    Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}om(\mathcal{C})$ zwei Komplexe und
+    $f\colon \com{X} \to \com{Y}$ ein
     Komplexhomomorphismus. Dann sei der \emph{Abbildungskegel}
-    $\com{C}_f \in \mathcal{K}(\mathcal{C})$ definiert durch
+    $\com{C}_f \in \mathcal{K}om(\mathcal{C})$ definiert durch
     \[
     C_f^{n} = X^{n+1} \oplus Y^{n}
     \] mit Differential
@@ -557,8 +607,20 @@ den Abbildungskegel eines Morphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$:
     \end{enumerate}
 \end{bem}
 
-\begin{satz}[Homotopiekategorie ist trianguliert]
-    Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann ist die Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{C})$
+\begin{bem}[Abbildungskegel in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$]
+    Seien $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}om(\mathcal{C})$ und $f, g \colon \com{X} \to \com{X} $
+    homotope Komplexhomomorphismen. Dann sind
+    $\com{C}_f$ und $\com{C}_g$ homotopieäquivalent, aber die Wahl der Homotopieäquivalenz
+    ist nicht kanonisch. Also sind $\com{C}_f$ und $\com{C}_g$ nur unkanonisch isomorph
+    in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$.
+    Wenn wir
+    im Folgenden von $\com{C}_f \in \mathcal{K}(\mathcal{C})$ für ein
+    $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$ sprechen, ist damit
+    ein beliebiger Vertreter der Isomorphieklasse gemeint.
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[$\mathcal{K}(\mathcal{C})$ ist trianguliert]
+    Sei $\mathcal{C}$ eine additive Kategorie. Dann ist $\mathcal{K}(\mathcal{C})$
     mit den folgenden Daten trianguliert:
     \begin{enumerate}[(a)]
         \item Der Verschiebefunktor $T\colon \mathcal{K}(\mathcal{C}) \to \mathcal{K}(\mathcal{C})$ wie in \ref{eq:shift-functor}.
@@ -579,7 +641,7 @@ den Abbildungskegel eines Morphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{C})$:
     siehe Kapitel 1, §2 in \cite{hartshorne}.
 \end{proof}
 
-Sei nun $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie.
+Sei nun $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$.
 
 \begin{lemma}
     Der Funktor $H\colon \mathcal{K} \to \mathcal{A}b$ der einen Komplex $\com{A}$
@@ -596,7 +658,7 @@ Daraus erhalten wir insbesondere folgendes Kriterium, ob ein Komplexhomomorphism
 
 \begin{lemma}[]
     Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ und $f\colon \com{A} \to \com{B} $ ein Komplexhomomorphismus.
-    Dann ist $f$ ein Quasiisomorphismus, genau dann wenn $\com{C}_f$ exakt ist.
+    Dann ist $f$ genau dann ein Quasiisomorphismus, wenn $\com{C}_f$ exakt ist.
     \label{mapping-cone-exact-for-qis}
 \end{lemma}
 
@@ -661,9 +723,9 @@ Daraus erhalten wir insbesondere folgendes Kriterium, ob ein Komplexhomomorphism
 
 \subsection{Lokalisierung von Kategorien}
 
-Wie anfangs erwähnt, ist die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ einer
+Wie anfangs erwähnt ist die derivierte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ einer
 abelschen Kategorie $\mathcal{A}$
-eine Lokaliserung der Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$.
+eine Lokaliserung von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$.
 Diese funktioniert analog zum gleichnamigen Prozess in der kommutativen Algebra, was
 uns zu folgendem Begriff führt:
 
@@ -689,7 +751,7 @@ uns zu folgendem Begriff führt:
         \item Für $f, g \colon X \to Y$ Morphismen in $\mathcal{C}$, sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
             \begin{enumerate}[(i)]
                 \item Es existiert ein $s\colon Y \to Y'$ in $\mathcal{S}$, sodass $sf = sg$.
-                \item Es existiert ein $t\colon X \to X'$ in $\mathcal{S}$, sodass $ft = gt$.
+                \item Es existiert ein $t\colon X' \to X$ in $\mathcal{S}$, sodass $ft = gt$.
             \end{enumerate}
     \end{enumerate}
     \label{def:mult-system}
@@ -697,7 +759,7 @@ uns zu folgendem Begriff führt:
 
 \begin{definition}[Lokalisierung]
     Seien $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $\mathcal{S}$ eine Klasse von Morphismen in $\mathcal{C}$. Dann
-    ist die \emph{Lokalisierung} von $\mathcal{C}$ in Bezug auf $\mathcal{S}$ eine Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
+    ist eine \emph{Lokalisierung} von $\mathcal{C}$ in Bezug auf $\mathcal{S}$ eine Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
     zusammen mit einem Funktor $Q\colon \mathcal{C} \to \mathcal{C}_{\mathcal{S}}$, sodass
     \begin{enumerate}[(a)]
         \item $Q(s)$ ein Isomorphismus ist für alle $s \in \mathcal{S}$ und
@@ -707,6 +769,11 @@ uns zu folgendem Begriff führt:
     \label{def:localisation}
 \end{definition}
 
+\begin{bem}
+    Falls in der Situation von \ref{def:localisation} $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ existiert, dann
+    ist diese Kategorie bis auf kanonische Kategorienäquivalenz eindeutig.
+\end{bem}
+
 \begin{definition}
     Sei $\mathcal{C}$ eine Kategorie und $\mathcal{S}$ ein multiplikatives System in $\mathcal{C}$. Dann definiere
     die Kategorie $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ durch
@@ -714,13 +781,13 @@ uns zu folgendem Begriff führt:
         \item $ob(\mathcal{C}) = ob(\mathcal{C}_{\mathcal{S}})$.
         \item Für $X, Y \in \mathcal{C}$ setze
             $\operatorname{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y) = \{ (f, Z, s)  \mid f \colon Z \to Y, 
-            s \colon Z \to X \text{ mit } s \in \mathcal{S}\} / \sim $ wobei
+            s \colon Z \to X \text{ mit } s \in \mathcal{S}\} / \sim $, wobei
             $(f, Z, s) \sim (f', Z', s')$ genau dann wenn ein kommutatives Diagramm
             \[
             \begin{tikzcd}
-                & Z \arrow{dl}{s} \arrow{dr}{f} & \\
+                & Z \arrow[swap]{dl}{s} \arrow{dr}{f} & \\
                 X & W \arrow{l}{t} \arrow{u}{g} \arrow{d}{h} & Y \\
-                  & \arrow{ul}{s'} Z' \arrow{ur}{f'} &
+                  & \arrow{ul}{s'} Z' \arrow[swap]{ur}{f'} &
             \end{tikzcd}
             \] mit $t \in \mathcal{S}$ in $\mathcal{C}$ existiert.
         \item Für $(f, U, s) \in \operatorname{Mor}_{\mathcal{C}_{\mathcal{S}}}(X, Y)$,
@@ -770,7 +837,7 @@ uns zu folgendem Begriff führt:
             Wir nehmen im Folgenden stillschweigend an, dass $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$
             eine (echte) Kategorie ist.
         \item Die Lokalisierung $\mathcal{C}_{\mathcal{S}}$ einer Kategorie $\mathcal{C}$
-    kann auch dual, dass heißt durch Umdrehen aller Pfeile,
+    kann auch dual, das heißt durch Umdrehen aller Pfeile in \ref{constr:localisation},
     konstruiert werden. Wenn im Folgenden der Kontext klar ist, dann schreiben wir auch einfach
     $X$ für $Q(X)$ für ein Objekt $X \in \mathcal{C}$. Ebenso schreiben wir für $X, Y \in \mathcal{C}$ auch
     $s^{-1}f$ bzw. in der dualen Konstruktion $fs^{-1}$ für die Äquivalenzklasse des Tripels
@@ -814,8 +881,8 @@ an $\mathcal{S}$:
 
 \subsection{Derivierte Kategorie}
 
-Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
-Homotopiekategorie. Wir bezeichnen im Folgenden die Klasse
+Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und
+$\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$. Wir bezeichnen im Folgenden die Klasse
 der Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}$ als $\mathcal{Q}is$.
 
 \begin{lemma}[$\mathcal{Q}is$ ist multiplikativ]
@@ -860,7 +927,7 @@ das folgende Lemma:
 \begin{proof}
     Wegen \hyperref[def:mult-system]{FR3} und \ref{lemma:qis-mult} genügt es
     die Äquivalenz von
-    (i) und (ii) zu zeigen. Es ist $\text{id}^{-1}f = 0$, genau dann wenn
+    (i) und (ii) zu zeigen. Es ist genau dann $\text{id}^{-1}f = 0$, wenn
     ein kommutatives Diagram
     \[
     \begin{tikzcd}
@@ -868,7 +935,7 @@ das folgende Lemma:
         \com{X}  & \arrow[dashed]{l}{t} \com{X'} \arrow[dashed]{d} \arrow[dashed]{u} & \com{Y} \\
                  & \com{X} \arrow{ul}{\text{id}} \arrow{ur}{0} & 
     \end{tikzcd}
-    \] mit $t$ Quasiisomorphismus existiert. Das zeigt die Behauptung.
+    \] mit einem Quasiisomorphismus $t$ existiert. Das zeigt die Behauptung.
 \end{proof}
 
 Wir möchten nun Ableitungen von Funktoren im Kontext von
@@ -876,7 +943,7 @@ derivierten Kategorien betrachten.
 Seien dafür $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$ abelsche Kategorien und
 $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein triangulierter
 (kovarianter) Funktor.
-Das ist zum Beispiel der Fall, wenn $F$ induziert ist von einem additiven Funktor
+Das ist zum Beispiel der Fall wenn $F$ induziert ist von einem additiven Funktor
 $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$.
 
 Falls $F$ exakt ist werden Quasiisomorphismen auf Quasiisomorphismen geschickt und $F$ induziert daher
@@ -889,7 +956,7 @@ $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$:
     Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien. Der \emph{rechts abgeleitete Funktor} von $F$ ist
     ein triangulierter Funktor
     \[
-        \text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})
+        \text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})
     \] zusammen mit einer natürlichen Transformation
     \[
         \xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}
@@ -917,7 +984,7 @@ $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$:
 
 \begin{bem}
     \begin{enumerate}[(a)]
-        \item Falls $\text{R}F$ existiert, ist dieser bis auf eindeutige natürliche Transformationen eindeutig.
+        \item Falls $\text{R}F$ existiert, ist dieser bis auf eindeutige natürliche Äquivalenz eindeutig.
         \item Wir schreiben $R^{i}F$  für $H^{i}(\text{R}F)$. Wenn 
             $F$ induziert ist von einem
             links-exakten Funktor $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ und $\mathcal{A}$ genügend
@@ -939,16 +1006,16 @@ $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$:
     $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein triangulierter Funktor. Angenommen es
     existiert eine triangulierte Unterkategorie $\mathcal{L} \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$, sodass
     \begin{enumerate}[(i)]
-        \item Jeder Komplex in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ besitzt einen Quasiisomorphismus in einen
-            Komplex aus $\mathcal{L}$.
-        \item $F|_{\mathcal{L}}$ ist exakt.
+        \item für jeden Komplex in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ ein Quasiisomorphismus in einen
+            Komplex aus $\mathcal{L}$ existiert, und
+        \item $F|_{\mathcal{L}}$ Exaktheit von Komplexen erhält.
     \end{enumerate}
     Dann existiert der Funktor $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ und
     für die natürliche Transformation $\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$ gilt, dass
     für alle $\com{I} \in \mathcal{L}$ die Abbildung
     \[
         \xi(\com{I})\colon Q_{\mathcal{B}}(F(\com{I})) \to \text{R}F(Q_{\mathcal{A}}(\com{I}))
-    \] ein Isomorphismus in $\mathcal{D}(A)$ ist.
+    \] ein Isomorphismus in $\mathcal{D}(\mathcal{B})$ ist.
     \label{satz:existence-derived-functors}
 \end{satz}
 
@@ -1030,7 +1097,7 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen:
     .\] Wegen $d_{\com{Y}[n]} = (-1)^{n}d_{\com{Y}}$, induziert $(f^i)_{i \in \Z}$ also genau dann
     einen Komplexhomomorphismus $\com{X} \to \com{Y}[n]$, wenn $(f^{i})_{i \in \Z} \in \operatorname{ker } d^{n}$.
 
-    Weiter ist $(f^{i})_{i \in \Z} \in \operatorname{im } d^{n-1}$, genau dann wenn eine Familie
+    Weiter ist genau dann $(f^{i})_{i \in \Z} \in \operatorname{im } d^{n-1}$, wenn eine Familie
     $(k^{i})_{i \in \Z}\in \prod_{i \in \Z}^{} \operatorname{Hom}(X^{i}, Y^{i+n-1})$ existiert, sodass
     %\[
     %     f^{i} = d_{\com{Y}}^{i+n-1} k^{i} - (-1)^{n-1} k^{i+1} d_{\com{X} }^{i}
@@ -1069,7 +1136,8 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen:
 
 \begin{proof}
     Nach der Definition von ausgezeichneten Dreiecken in $\mathcal{K}$ genügt es nachzurechnen, dass
-    für $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ in $\mathcal{K}$ und $\com{S} \in \mathcal{K}$ gilt:
+    für $f\colon \com{X} \to \com{Y} $ in $\mathcal{K}om(\mathcal{A})$
+    und $\com{S} \in \mathcal{K}om(\mathcal{A})$ gilt:
     \[
     \com{C}_f \otimes_A \com{S}  = \com{C}_{f \otimes \text{id}_{\com{S}}}
     .\] Das rechnet man gradweise nach und zeigt, dass die Differentiale übereinstimmen.
@@ -1108,11 +1176,13 @@ $\com{X}, \com{Y} \in \mathcal{K}$ lassen sich explizit bestimmen:
 
 \label{sec:resolutions}
 
-Sei $\com{Y} \in \mathcal{K}$.
+Sei in diesem Abschnitt $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und
+$\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$.
+Sei weiter $\com{Y} \in \mathcal{K}$.
 Um die Bedingungen von \ref{satz:existence-derived-functors} für
 $\com{\operatorname{Hom}}(\com{Y}, -)$ (bzw. $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{Y})$)
 zu erfüllen, benötigen wir
-eine Unterkategorie $\mathcal{L}$ von Komplexen in $\mathcal{K}$, sodass
+eine triangulierte Unterkategorie $\mathcal{L}$ von Komplexen in $\mathcal{K}$, sodass
 
 \begin{enumerate}[(i)]
     \item für jeden Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$ ein Quasiisomorphismus
@@ -1150,7 +1220,7 @@ Das Ziel dieses Abschnitts ist das folgende Resultat:
     \label{satz:r-mod-existence-k-proj-and-k-inj-resolutions}
 \end{satz}
 
-Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an \cite{spaltenstein}.
+Die Vorgehensweise orientiert sich dabei an den Abschnitten 1 bis 3 von \cite{spaltenstein}.
 
 \subsection{Elementare Eigenschaften von K-injektiven und K-projektiven Komplexen} 
 
@@ -1192,8 +1262,8 @@ Komplexen entwickelt.
     einen beliebigen Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$,
     der Komplex $\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{I})$ exakt ist, denn
     \[
-        H^{i}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{I})) = \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{I}[i]))
-        \stackrel{\ref{lemma:k-inj-exact-contractible}}{=} \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, 0)) = 0
+        H^{i}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{I})) = \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, \com{I}[i])
+        \stackrel{\ref{lemma:k-inj-exact-contractible}}{=} \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{X}, 0) = 0
     .\] Analog gilt die duale Version für exakte K-projektive Komplexe.
     \label{satz:hom-exact-for-k-inj}
     %auch $\com{\operatorname{Hom}}(\com{X}, \com{I})$ exakt ist für alle $\com{M} \in \mathcal{K}$.
@@ -1222,9 +1292,9 @@ $X^{0} = X$, zusammenhängt. Die folgende Aussage stellt diesen Zusammenhang her
     M \arrow{r} & N \arrow[twoheadrightarrow]{r}{v} & P \arrow{r} & 0
 \end{tikzcd}\]
 Nach Voraussetzung ist dieser nullhomotop, das heißt es existiert ein $k \colon X^{0} \to N$, sodass $f = vk$. Also ist
-$v_{*}\colon \operatorname{Hom}(X^{0}, N) \to \operatorname{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.
+$v_{*}\colon \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X^{0}, N) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ projektiv.
 
-($\Leftarrow$) Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$
+($\Leftarrow$) Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$ ein
 Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
 \[
 \begin{tikzcd}
@@ -1236,7 +1306,8 @@ Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
 \end{tikzcd}
 .\] 
 Da $d^{0}f^{0} = 0$, faktorisiert $f^{0}$ über $\operatorname{ker } d^{0} = \operatorname{im }d^{-1}$. Weil
-$X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
+$X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d^{-1} k^{0}$
+und damit ist $f$ nullhomotop.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[]
@@ -1322,7 +1393,7 @@ $X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d
     \[
     \begin{tikzcd}
         & \com{S} \arrow{d}{s} & \\
-        \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{Y} & \arrow{l}{s} \arrow{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
+        \com{P} \arrow{dr}{f} \arrow{ur}{g} & \com{Y} & \arrow{l}{s} \arrow[swap]{ul}{\text{id}} \com{S} \arrow{dl}{s}\\
         & \com{Y} \arrow{u}{\text{id}} & \\
     \end{tikzcd}
     .\] Damit folgt $a = g\text{id}^{-1}$.
@@ -1346,7 +1417,7 @@ $X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d
                 & \com{X} \arrow{d}{s}  \\
                 \com{P} \arrow{r}{f} & \com{Y}\\
             \end{tikzcd}
-            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{X} $, sodass
+            \] mit einem Quasiisomorphismus $s$, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{X} $, sodass
             $sg= f$ in $\mathcal{K}$.
         \item Für alle Quasiisomorphismen $s\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
             $g\colon \com{P} \to \com{S} $, sodass $sg = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$.
@@ -1358,7 +1429,7 @@ $X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d
     \[
         \begin{tikzcd}
             & \com{X} \arrow{d}{\text{id}^{-1}s} \\
-            \com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y}
+            \com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow[swap]{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y}
         \end{tikzcd}
     .\] Da $s$ ein Quasiisomorphismus ist, induziert $s$ einen Isomorphismus in $\mathcal{D}$.
     Also existiert genau ein
@@ -1390,7 +1461,7 @@ $X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d
         & \com{Q} \arrow{dr}{f} \arrow{dl}{s} & \\
         \com{P} & & \com{S}
     \end{tikzcd}
-    \] in $\mathcal{K}$ mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (iii) existiert ein $t\colon \com{P} \to \com{Q}$ mit
+    \] in $\mathcal{K}$ mit einem Quasiisomorphismus $s$. Nach (iii) existiert ein $t\colon \com{P} \to \com{Q}$ mit
     $st = \text{id}_{\com{P} }$. Dann ist
     \[
     \begin{tikzcd}
@@ -1398,7 +1469,7 @@ $X^0$ projektiv ist, existiert $k^{0}\colon X^{0} \to S^{-1}$, sodass $f^{0} = d
         \com{P} & \com{P} \arrow{l}{\text{id}} \arrow{u}{t} \arrow{d}{\text{id}} & \com{S} \\
         & \com{P} \arrow{ul}{\text{id}} \arrow{ur}{ft} & \\
     \end{tikzcd}
-    \] ein kommutatives Diagramm in $\mathcal{K}$, also folgt $s^{-1}f = \text{id}^{-1}(ft)$ in $\mathcal{D}$.
+    \] ein kommutatives Diagramm in $\mathcal{K}$, also folgt $a = s^{-1}f = \text{id}^{-1}(ft)$ in $\mathcal{D}$.
 \end{proof}
 
 Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog:
@@ -1417,8 +1488,8 @@ Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog:
                 \com{Y} \arrow{r}{f} \arrow{d}{s} & \com{I} \\
                 \com{X} 
             \end{tikzcd}
-            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, sodass das Diagramm
-            kommutiert.
+            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $,
+            sodass $gs = f$ in $\mathcal{K}$.
         \item Für jeden Quasiisomorphismus $s\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
             $g\colon \com{S} \to \com{I} $, sodass $gs = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$.
     \end{enumerate}
@@ -1439,12 +1510,19 @@ Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen
                 \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{I}_n = 0$.
                 \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kern der natürlichen Abbildung
                     $\com{I} _n \to \com{I}_{n-1}$. Dann ist $\com{C}_n \in \mathcal{J}$ und
-                    die kurze exakte Folge
+                    die kurze Folge
                     \[
-                    0 \to \com{C}_n \to \com{I}_n \to \com{I} _{n-1} \to 0
-                    \] zerfällt stufenweise.
+                        \begin{tikzcd}
+                            0 \arrow{r} & \com{C}_n \arrow{r}
+                                        & \com{I}_n \arrow{r}
+                                        & \com{I}_{n-1} \arrow{r}
+                                        & 0
+                        \end{tikzcd}
+                    %0 \to \com{C}_n \to \com{I}_n \to \com{I} _{n-1} \to 0
+                    \] ist exakt und zerfällt stufenweise.
             \end{enumerate}
-        \item Die Klasse $\mathcal{J}$ heißt abgeschlossen unter speziellen inversen Limites, falls jedes
+        \item Die Klasse $\mathcal{J}$ heißt \emph{abgeschlossen unter speziellen inversen Limites},
+            falls jedes
             $\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder
             Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph zu einem Komplex in $\mathcal{J}$ ist, bereits in $\mathcal{J}$ ist.
     \end{enumerate}
@@ -1484,9 +1562,9 @@ Auflösung zu konstruieren. Dies machen wir mit sogenannten speziellen inversen
         \cdots\arrow{r} & A^{2} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \\
         & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
     \end{tikzcd}
-    \] denn für $n > 1$ ist $\com{\operatorname{ker } p}_n$ = $[\cdots \to 0 \to \underbrace{A^{n-2}}_{\in \mathcal{J}_0} \to 0 \to \cdots ]$. Nach
+    \] denn für $n > 1$ ist $\operatorname{ker } p_n$ = $[\cdots \to 0 \to \underbrace{A^{n-2}}_{\in \mathcal{J}_0} \to 0 \to \cdots ]$. Nach
     Voraussetzung ist also $\operatorname{ker } p_n$ in $\mathcal{J}$ und die kurze exakte Folge
-    $0 \to \com{\operatorname{ker } p}_n \to \com{S}_n \to \com{S}_{n-1} \to 0$ zerfällt gradweise. Also folgt
+    $0 \to \operatorname{ker } p_n \to \com{S}_n \to \com{S}_{n-1} \to 0$ zerfällt gradweise. Also folgt
     $\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$.
 \end{proof}
 
@@ -1517,7 +1595,7 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$.
 \end{definition}
 
 \begin{bsp}
-    Spezielle inverse Systeme erfüllen (R).
+    Spezielle inverse Systeme in $\mathcal{A}b$ erfüllen (R).
 \end{bsp}
 
 \begin{lemma}
@@ -1667,9 +1745,10 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}
-    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
+    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(\mathcal{B})$ abgeschlossen
     unter speziellen inversen Limites. Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
-    $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kovarianter Funktor, der mit inversen Limites vertauscht und
+    $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein kovarianter Funktor,
+    der mit inversen Limites vertauscht und
     gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.
 
     Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
@@ -1687,13 +1766,13 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$.
         \item Für $n > 1$ ist nach Voraussetzung
             \[
             \begin{tikzcd}
-                0 \arrow{r} & \operatorname{ker } \com{p}_n \arrow{r} & \com{S}_n \arrow{r}{p_n} & \com{S}_{n-1} \arrow{r} & 0
+                0 \arrow{r} & \operatorname{ker } p_n \arrow{r} & \com{S}_n \arrow{r}{p_n} & \com{S}_{n-1} \arrow{r} & 0
             \end{tikzcd}
             \] 
-            exakt, zerfällt gradweise und $\operatorname{ker } \com{p}_n$ ist in $F^{-1}(\mathcal{J})$. Nach Voraussetzung ist damit
+            exakt, zerfällt gradweise und $\operatorname{ker } p_n$ ist in $F^{-1}(\mathcal{J})$. Nach Voraussetzung ist damit
             \[
             \begin{tikzcd}
-                0 \arrow{r} & F(\operatorname{ker } \com{p}_n) \arrow{r} & F(\com{S}_n) \arrow{r}{F(p_n)} & F(\com{S}_{n-1}) \arrow{r} & 0
+                0 \arrow{r} & F(\operatorname{ker } p_n) \arrow{r} & F(\com{S}_n) \arrow{r}{F(p_n)} & F(\com{S}_{n-1}) \arrow{r} & 0
             \end{tikzcd}
             \] exakt und zerfällt gradweise. Aus der Exaktheit folgt damit auch
             $\operatorname{ker } F(p_n) = F(\operatorname{ker } p_n)$, also $\operatorname{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$.
@@ -1714,7 +1793,7 @@ technisches Hilfswerkzeug für inverse Systeme in $\mathcal{A}b$.
     Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei
     $\mathcal{H}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass
     $\com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann
-    ist $\mathcal{H}_{\com{T}} = \com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})$.
+    ist $\mathcal{H}_{\com{T}} = \com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})$ und
     $\mathcal{E}$ mit $\com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt
     die Voraussetzungen von \ref{satz:complete-inv-system-functor}, denn:
 
@@ -1742,14 +1821,21 @@ Für die Klasse der K-projektiven Komplexe betrachten wir die duale Version von
                 \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{P}_n = 0$.
                 \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kokern der natürlichen Abbildung
                     $\com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n}$. Dann ist $\com{C}_n \in \mathcal{P}$ und
-                    die kurze exakte Folge
+                    die kurze Folge
                     \[
-                    0 \to \com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n} \to \com{C}_n \to  0
-                    \] zerfällt stufenweise.
+                        \begin{tikzcd}
+                            0 \arrow{r} & \com{P}_{n-1} \arrow{r}
+                                        & \com{P}_{n} \arrow{r}
+                                        & \com{C}_n \arrow{r}
+                                        & 0
+                        \end{tikzcd}
+                    %0 \to \com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n} \to \com{C}_n \to  0
+                    \] ist exakt und zerfällt stufenweise.
             \end{enumerate}
-        \item Die Klasse $\mathcal{P}$ heißt abgeschlossen unter speziellen direkten Kolimites, falls jedes
+        \item Die Klasse $\mathcal{P}$ heißt \emph{abgeschlossen unter speziellen direkten Kolimites},
+            falls jedes
             $\mathcal{P}$-spezielle direkte System in $\mathcal{K}$ einen Kolimes in $\mathcal{P}$ besitzt und jeder
-            Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{P}$, bereits in $\mathcal{P}$ ist.
+            Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph zu einem Komplex in $\mathcal{P}$ ist, bereits in $\mathcal{P}$ ist.
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
@@ -1768,9 +1854,11 @@ und insbesondere die folgenden Ergebnisse:
 %\end{proof}
 
 \begin{satz}
-    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
-    unter speziellen inversen Limites. Angenommen direkte Kolimites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
-    $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kontravarianter Funktor, der direkte Kolimites in
+    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(\mathcal{B})$ abgeschlossen
+    unter speziellen inversen Limites. Angenommen direkte Kolimites existieren in $\mathcal{A}$
+    und sei
+    $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$
+    ein kontravarianter Funktor, der direkte Kolimites in
     inverse Limites überführt und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.
 
     Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen direkten Kolimites.
@@ -1793,7 +1881,7 @@ und insbesondere die folgenden Ergebnisse:
     Angenommen inverse (bzw. direkte) Limites existieren in $\mathcal{K}$ und sei $\mathcal{G}$ eine Klasse von
     Komplexen in $\mathcal{K}$. Dann sei $\leftfinal{\mathcal{G}}$
     (bzw. $\rightfinal{\mathcal{G}})$ die kleinste Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$, die abgeschlossen
-    unter speziellen inversen Limites (bzw. direkten Kolimites) ist und $\mathcal{G}$ enthält.
+    unter speziellen inversen Limites (bzw. speziellen direkten Kolimites) ist und $\mathcal{G}$ enthält.
 \end{definition}
 
 \subsection{Existenz von K-projektiven und K-injektiven Auflösungen}
@@ -1808,6 +1896,29 @@ zu beweisen. Dazu verallgemeinern wir zunächst die Begriffe K-injektive und K-p
     ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{J} $ mit $\com{J} \in \mathcal{J}$.
 \end{definition}
 
+\begin{bem}[Notation]
+    Für einen Komplex $\com{X} \in \mathcal{K}$ und $n \in \N$ schreiben wir
+    $\tau_{\le n} \com{X}$ (bzw. $\tau^{\ge -n} \com{X}$) für den
+    Komplex
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \cdots \arrow{r} & X^{n-2} \arrow{r} & X^{n-1} \arrow{r} & \operatorname{ker } d^n \arrow{r} & 0 \arrow{r} & \cdots
+    \end{tikzcd}
+    \]  bzw.
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} &  \operatorname{coker }d^{-n-1} \arrow{r} & X^{-n+1} \arrow{r} & X^{-n+2} \arrow{r} & \cdots
+    \end{tikzcd}
+    .\] Für $i \in \Z$ ist dann $H^{i}(\tau_{\le n} \com{X}) = \begin{cases}
+    H^{i}(\com{X}) & i \le n \\
+    0 & i > n
+    \end{cases}$
+    bzw. $H^{i}(\tau^{\ge -n}\com{X}) = \begin{cases}
+    0 & i < -n \\
+    H^{i}(\com{X}) & i \ge -n
+    \end{cases}$.
+\end{bem}
+
 \subsubsection{Linksauflösungen}
 
 Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$.
@@ -1839,17 +1950,17 @@ Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$.
     $s\colon \com{P} \to \tau_{\le n}\com{A}$. Durch Komposition mit dem natürlichen
     Komplexhomomorphismus $\tau_{\le n}\com{A} \to \com{A}$ erhalten
     wir ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $. Für $i > n$ ist nun
-    $H^{i}(\com{P}) = H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = 0 $. Für $i \le n$ ist
+    $H^{i}(\com{P}) \simeq H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = 0 $. Für $i \le n$ ist
     $H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = H^{i}(\com{A})$, also induziert $f$ den gewünschten Isomorphismus.
 
     (ii)$\implies$(i):
     Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ nach oben beschränkt.
     Ohne Einschränkung ist $A^{i} = 0$ für alle $i > 0$.
     Wähle $n= 0$ in (ii). Dann existiert ein $f\colon \com{P} \to \com{A}$ mit
-    $\com{P} \in \mathcal{P}$, $H^{i}(\com{P}) = 0$ und $f$ induziert
+    $\com{P} \in \mathcal{P}$, $H^{i}(\com{P}) = 0$ für $i > 0$ und $f$ induziert
     %$H^{i}(\com{P}) \xrightarrow[\sim]{0 = H^{i}(f)} 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i > 0$ und
     Isomorphismen $H^{i}(\com{P})\xrightarrow[\sim]{H^{i}(f)} H^{i}(\com{A})$ für $i \le 0$.
-    Da $H^{i}(\com{P}) = 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i < 0$ ist also $f$ ein Quasiisomorphismus.
+    Da $H^{i}(\com{P}) = 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i > 0$, ist also $f$ ein Quasiisomorphismus.
 \end{proof}
 
 \begin{bem}[]
@@ -1871,11 +1982,12 @@ Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$.
     Sei $\mathcal{P}$ die Klasse
     der nach oben beschränkten Komplexe $\com{P} \in \mathcal{K}$ mit $P^{i}$
     projektiv für alle $i \in \Z$. Falls $\mathcal{A}$ genügend viele Projektive hat, erfüllt
-    $\mathcal{P}$ die äquivalenten Bedingungen aus \ref{lemma:class-compl-cond}.
+    $\mathcal{P}$ die äquivalenten Bedingungen aus \ref{lemma:class-compl-cond} (siehe beispielsweise
+    Lemma 4.6 in \cite{hartshorne}).
 
     Ein solches $\com{P}$ ist K-projektiv, denn: Für alle eingradigen Komplexe $\com{Q}$ mit
     $Q^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ ist $\com{Q} $ nach \ref{satz:single-degree-compl-k-proj} K-projektiv. Da
-    nach \ref{kor:k-proj-closed} die Klasse der K-projektiven
+    nach \ref{kor:k-proj-closed} die Klasse der K-Projektiven
     abgeschlossen unter speziellen direkten Kolimites ist, folgt mit dem Dual von
     \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}, dass $\com{P} $ K-projektiv ist.
 
@@ -2039,7 +2151,7 @@ Im Folgenden nehmen wir an, dass $\mathcal{P}$ die äquivalenten Bedingungen von
     Sei $p_{n-1}\colon \com{P}_{n-1} = \com{P} \to \com{P}_n$ die natürliche Abbildung.
     Dann ist $p_{n-1}$ gradweise gegeben durch die natürliche Inklusion
     $P^{i} \to Q^{i+1} \oplus P^{i}$. Also folgt
-    $\operatorname{coker } p_{n-1} = \com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und wir haben gradweise
+    $\operatorname{coker } p_{n-1} = \com{Q}[1] \in \mathcal{P}$ und wir haben
     zerfallende exakte Folgen:
     \[
     \begin{tikzcd}
@@ -2048,7 +2160,10 @@ Im Folgenden nehmen wir an, dass $\mathcal{P}$ die äquivalenten Bedingungen von
     \end{tikzcd}
     .\]
     Also ist $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System.
-    Außerdem ist nach Definition von $h$: $f_n p_{n-1} = h p_{n-1} = f = a_{n-1} f_{n-1}$,
+    Außerdem ist nach Definition von $h$:
+    \[
+    f_n p_{n-1} = h p_{n-1} = f = a_{n-1} f_{n-1}
+    ,\] 
     also kommutiert
     \[
     \begin{tikzcd}
@@ -2089,7 +2204,7 @@ Daraus folgt nun sofort:
 
 \begin{korollar}[]
     Angenommen direkte Kolimites existieren in $\mathcal{A}$ und
-    $\colim$ ist exakt. Falls $\mathcal{A}$ außerdem genug Projektive hat,
+    $\colim$ ist exakt. Falls $\mathcal{A}$ außerdem genügend viele Projektive hat,
     besitzt jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-projektive Auflösung.
     \label{satz:existence-k-proj-resolution}
 \end{korollar}
@@ -2114,12 +2229,12 @@ $\mathcal{I}$-Rechtsauflösung.}
 %\end{enumerate}
 
 \begin{bsp}
-    Falls $\mathcal{A}$ genügend Injektive hat, können wir, dual zu Beispiel
+    Falls $\mathcal{A}$ genügend viele Injektive hat, können wir, dual zu Beispiel
     \ref{bsp:bounded-above-projectives}, $\mathcal{I}$ als die Klasse
     der nach unten beschränkten Komplexe mit in $\mathcal{A}$ injektiven Objekten wählen.
 \end{bsp}
 
-Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
+Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die dualen Aussagen von
 \ref{lemma:constr-dir-system} und \ref{satz:existence-left-resolutions}:
 
 \begin{lemma}[]
@@ -2236,7 +2351,7 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
     \[
     H^{m}(\com{I}) \longrightarrow H^{m}(\com{I}_N) 
     \] ein Isomorphismus. Erneute Betrachtung des linken Vierecks von \eqref{eq:diag-hi-in} für $i=m$ und
-    $n=N$ liefert nun, dass $H^{i}(f)$ ein Isomorphismus ist.
+    $n=N$ liefert nun, dass $H^{m}(f)$ ein Isomorphismus ist.
 \end{proof}
 
 \begin{bem}
@@ -2249,7 +2364,9 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
 
 \label{sec:application}
 
-Sei $R$ ein Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Moduln.
+Sei $R$ ein Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (Links-)Moduln und
+weiterhin $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$. Die
+Argumentation folgt im Wesentlichen den Anfängen der Abschnitte 5 und 6 von \cite{spaltenstein}.
 
 \subsection{Abgeleitete $\com{\operatorname{Hom}}$ Funktoren}
 
@@ -2283,7 +2400,7 @@ Sei $R$ ein Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Mo
 %\end{satz}
 
 \begin{satz}
-    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ wohldefiniert
+    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ wohldefiniert
     und kann mithilfe einer K-projektiven Auflösung von $\com{M} $ oder einer K-injektiven Auflösung von $\com{N} $
     berechnet werden.
     \label{satz:derived-hom}
@@ -2314,6 +2431,31 @@ Sei $R$ ein Ring und im Folgenden $\mathcal{A}$ die Kategorie der $R$ (links-)Mo
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
+\noindent Analog zu \ref{hom-compl-cohomgroups} erhalten wir
+
+\begin{lemma}[]
+    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist
+    \[
+    H^{0}(\operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})) \simeq
+    \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \com{N})
+    .\] 
+    \label{rhom-compl-cohomgroups}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Nach \ref{satz:existence-k-inj-resolution} existiert ein Quasiisomorphismus
+    $f\colon \com{N} \to \com{I}$, wobei $\com{I}$ K-injektiv ist. Also induziert
+    $f$ einen Isomorphismus in $\mathcal{D}$ und es folgt
+    \begin{salign*}
+    H^{0}(\operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}))
+    &\simeq H^{0}(\operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{I})) \\
+    &\simeq H^{0} (\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{I})) \\
+    &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=} \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{I}) \\
+    &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=} \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \com{I})\\
+    &\simeq \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \com{N})
+    .\end{salign*}
+\end{proof}
+
 \subsection{Abgeleitetes Tensorprodukt}
 
 Sei von nun an $R = A$ ein kommutativer Ring. Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch
@@ -2337,13 +2479,13 @@ eine weitere Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$:
     $n \in \Z$:
     \[
         (\com{M} \otimes_A \com{S})^{n} = \bigoplus_{i+j=n} M^{i} \otimes_A S^{j}
-        = M^{0} \otimes S^{n} = (M^{0} \otimes \com{S} )^{n}
+        = M^{0} \otimes_A S^{n} = (M^{0} \otimes_A \com{S} )^{n}
     \] und für $m \in M^{0}$, $s \in S^{n}$:
     \[
-    d_{\com{M} \otimes_A \com{S} }^{n}(m \otimes s)
-    = \underbrace{d_{M}^{0}(m)}_{= 0} \otimes_A s + (-1)^{0} m \otimes_A d_{S}(s)
-    = m \otimes_A d_S(s)
-    = d_{M^{0} \otimes_A \com{S} }
+    d_{\com{M} \otimes_A \com{S}}^{n}(m \otimes s)
+    = \underbrace{d_{M}^{0}(m)}_{= 0} \otimes s + (-1)^{0} m \otimes d^{n}_{S}(s)
+    = m \otimes d^{n}_S(s)
+    = d^{n}_{M^{0} \otimes_A \com{S} }
     .\] Also ist $\com{M} \otimes_A \com{S} = M^{0} \otimes_A \com{S}$. Damit folgt
     die Behauptung aus den Definitionen.
 \end{proof}
@@ -2391,7 +2533,7 @@ Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexe
 
     (ii)$\implies$(i): Sei $\com{S} $ exakt. Wegen \ref{lemma:0.10} genügt es zu
     zeigen, dass für jeden K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$,
-    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, I) $ exakt ist. Dazu
+    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, \com{I}) $ exakt ist. Dazu
     sei $\com{I}$ ein K-injektiver Komplex. Dann ist
     \[
         \com{\operatorname{Hom}}(\com{S} \otimes_A \com{M}, \com{I})
@@ -2403,7 +2545,7 @@ Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexe
     \begin{enumerate}[(a)]
         \item Falls $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}$ K-flach sind, dann ist
             auch $\com{M} \otimes_A \com{N} $ K-flach.
-        \item $\com{M} \in \mathcal{K}$ ist K-flach genau dann wenn $\com{M}[1]$
+        \item $\com{M} \in \mathcal{K}$ ist genau dann K-flach, wenn $\com{M}[1]$
             K-flach ist.
         \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-flach
             sind,
@@ -2419,7 +2561,7 @@ Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexe
         \item Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}$ K-flach und $\com{S} $ exakt. Dann
             ist
             \[
-            (\com{M} \otimes_A \com{N}) \otimes \com{S} =
+            (\com{M} \otimes_A \com{N}) \otimes_A \com{S} =
             \com{M} \otimes_A (\com{N} \otimes_A \com{S})
             \] und die rechte Seite ist exakt.
         \item Seien $\com{S}, \com{M} \in \mathcal{K}$.
@@ -2432,7 +2574,8 @@ Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexe
             .\] Da Verschieben Exaktheit erhält, folgt daraus die Äquivalenz.
         \item Sei $(\com{M}, \com{N}, \com{P}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck
             in $\mathcal{K}$ mit $\com{M}$ und $\com{N} $ K-flach. Sei weiter
-            $\com{S} $ exakt. Da $- \otimes_A \com{S} $ nach \ref{satz:tor-is-triangulated}
+            $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt.
+            Da $- \otimes_A \com{S} $ nach \ref{satz:tor-is-triangulated}
             ein triangulierter Funktor ist, erhalten wir das ausgezeichnete Dreieck
             $(\com{M} \otimes_A \com{S}, \com{N} \otimes_A \com{S}, \com{P} \otimes_A \com{S}, u \otimes \text{id}_{\com{S} }, v \otimes \text{id}_{\com{S} }, w \otimes \text{id}_{\com{S} })$
             und damit für $i \in \Z$ die exakte Folge
@@ -2445,7 +2588,7 @@ Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexe
             .\] Da die äußeren Terme nach Voraussetzung $0$ sind, folgt die
             Exaktheit von $\com{P} \otimes_A \com{S} $ und damit, dass $\com{P} $
             K-flach ist.
-            Der allgemeine Fall folgt nun mit \ref{TR2}.
+            Der allgemeine Fall folgt nun mit \hyperref[TR2]{TR2}.
     \end{enumerate}
     
 \end{proof}
@@ -2457,11 +2600,13 @@ Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexe
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
-    Sei $\com{M} $ K-projektiv und $\com{S} $ exakt. Sei weiter $\com{I} $ K-injektiv. Dann folgt
+    Sei $\com{M} $ K-projektiv und $\com{S} $ exakt. Sei weiter $\com{I} \in \mathcal{K}$
+    K-injektiv. Dann folgt
     \[
         \com{\operatorname{Hom}} (\com{M} \otimes_A \com{S}, \com{I}) \stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
         \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{S}, \com{I} ))
-    .\] Es ist $\com{\operatorname{Hom}}(\com{S}, \com{I})$ exakt, da $\com{I} $ K-injektiv und damit
+    .\] Es ist $\com{\operatorname{Hom}}(\com{S}, \com{I})$ exakt, da $\com{I} $ K-injektiv ist.
+    Damit
     ist die rechte Seite auch exakt, da
     $\com{M} $ K-projektiv ist. Also folgt die Behauptung mit \ref{lemma:0.10}. Das Insbesondere folgt
     nun aus \ref{satz:existence-k-proj-resolution}.
@@ -2479,7 +2624,7 @@ Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexe
     $\com{P} \to \com{N} $. Da $\com{M} $ K-flach ist, erhält $\com{M} \otimes_A -$ nach
     \ref{kor:exactness-preserver-preserves-qis} Quasiisomorphismen. Damit folgt
     \begin{equation}
-        H^{i}(\com{M} \otimes_A \com{N}) = H^{i}(\com{M} \otimes_A \com{P})
+        H^{i}(\com{M} \otimes_A \com{N}) \simeq H^{i}(\com{M} \otimes_A \com{P})
         \label{eq:cohom-groups-1}
     .\end{equation}
     Da $\com{P} $ K-flach ist, folgt mit der Exaktheit von $\com{M} $, dass
@@ -2489,7 +2634,7 @@ Im Folgenden benötigen wir folgendes Kritierium für die Exaktheit von Komplexe
 Damit erhalten wir:
 
 \begin{satz}
-    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}$ wohldefiniert und
+    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\com{M} \otimes_A^{\operatorname{L}} \com{N}$ wohldefiniert und
     kann mithilfe einer K-flachen Auflösung einer der Faktoren berechnet werden.
     \label{satz:derived-tor}
 \end{satz}
@@ -2506,7 +2651,7 @@ Damit erhalten wir:
         \item Nach \ref{satz:tor-exact-for-k-flat} erhält
             $\com{N} \otimes_A -|_{\mathcal{L}}$ Exaktheit von Komplexen.
     \end{enumerate}
-    Also existiert $\com{N} \otimes_A^{\text{L}} -$. Analog zeigt man die Existenz von
+    Also existiert $\com{N} \otimes_A^{\operatorname{L}} -$. Analog zeigt man die Existenz von
     $- \otimes_A^{L} \com{N}$ und wie im Beweis von \ref{satz:derived-hom}, dass
     beide Ableitungen übereinstimmen.
 \end{proof}
@@ -2519,8 +2664,8 @@ Jetzt können wir alles zusammentragen und erhalten:
     Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}$. Dann existiert ein natürlicher
     Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
     \[
-    \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
-    = \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+    \operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\operatorname{L}} \com{N}, \com{P})
+    = \operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
     .\] 
     \label{satz:adjunction-rhom-rtor}
 \end{satz}
@@ -2533,50 +2678,55 @@ Jetzt können wir alles zusammentragen und erhalten:
 
     Dann folgt
     \begin{align*}
-        \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
-        &= \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
+        \operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\operatorname{L}} \com{N}, \com{P})
+        &= \operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
         &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P} ) \\
         &\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
         \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
-        &= \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
-        &= \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+        &= \operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+        &= \operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
     .\end{align*}
     Das vorletzte Gleichheitszeichen gilt, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj}
     $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist.
 \end{proof}
 
-\begin{korollar}[]
+\begin{korollar}
     Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}$. Dann existiert ein natürlicher
     Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
     \[
-        \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
-        = \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N} , \com{P} ))
+        \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\operatorname{L}} \com{N}, \com{P})
+        = \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N} , \com{P} ))
     .\] Insbesondere gilt folgende Funktoradjunktion in $\mathcal{D}$:
     \[
-    - \otimes_A^{\text{L}} \com{N}  \dashv \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)
+    - \otimes_A^{\operatorname{L}} \com{N}  \dashv \operatorname{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)
     .\] 
 \end{korollar}
 
 \begin{proof}
-    Wir können wieder annehmen, dass $\com{N}$ K-flach und $\com{P} $ K-injektiv ist.
-    Dann betrachte:
-    \begin{salign*}
-        \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
-        &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
-        \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\
-        &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=}
-        H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\
-        &= H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
-        &\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
-        H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
-        &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=}
-        \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
-        &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
-        \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
-        &= \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
-    .\end{salign*}
-    Das vorletzte Gleichheitszeichen gilt erneut, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj}
-    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist.
+    %$H^{0}$ angewendet auf den Isomorphismus aus \ref{satz:adjunction-rhom-rtor} zeigt
+    %mit \ref{rhom-compl-cohomgroups} die Behauptung.
+    Man wende \ref{rhom-compl-cohomgroups} auf den Isomorphismus
+    aus \ref{satz:adjunction-rhom-rtor} an.
+
+    %Wir können wieder annehmen, dass $\com{N}$ K-flach und $\com{P} $ K-injektiv ist.
+    %Dann betrachte:
+    %\begin{salign*}
+    %    \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
+    %    &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
+    %    \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\
+    %    &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=}
+    %    H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\
+    %    &= H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
+    %    &\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
+    %    H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+    %    &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=}
+    %    \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+    %    &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
+    %    \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+    %    &= \operatorname{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+    %.\end{salign*}
+    %Das vorletzte Gleichheitszeichen gilt erneut, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj}
+    %$\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist.
 \end{proof}
 
 \bibliographystyle{alpha}
diff --git a/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.pdf b/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.pdf
index b667298..9b08bc7 100644
Binary files a/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.pdf and b/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.pdf differ
diff --git a/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.tex b/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.tex
index 10e88ea..7b65879 100644
--- a/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.tex
+++ b/sose2022/bachelorarbeit/vortrag.tex
@@ -16,17 +16,22 @@ $N$ die Adjunktion
 \[
     - \otimes_A N \dashv \operatorname{Hom}_A(N, -)
 \] bekannt. In der klassischen homologischen Algebra definiert man
-die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_A^{i}(-, N)$ als
+die Funktoren $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ und $\operatorname{Tor}_i^{A}(-, N)$ als
 Ableitungen der Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$. Nun stellt sich
 die Frage, ob zwischen diesen ein analoges Adjunktionsresultat gilt.
 
-Die Antwort ist nein, denn angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ wäre rechtsadjungiert, dann
-folgte, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
+\begin{satz}[]
+    $\operatorname{Ext}$ ist nicht rechtsadjungiert.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+Angenommen $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ ist rechtsadjungiert, dann
+ist $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
 \[
 \begin{tikzcd}
     0 \arrow{r} & \Z \arrow{r}{\cdot 2} & \Z \arrow{r} & \Z / 2 \Z \arrow{r} & 0
 \end{tikzcd}
-\] in $\Z$-Mod lieferte dann die exakte Folge
+\] in $\Z$-Mod liefert die exakte Folge
 \[
 \begin{tikzcd}
     \underbrace{\operatorname{Ext}^{0}_{\Z}(\Z / 2\Z, \Z)}_{= 0} \arrow{r} &
@@ -38,25 +43,18 @@ folgte, dass $\operatorname{Ext}_A^{i}(N, -)$ linksexakt sei. Die exakte Folge
 und $\operatorname{Ext}_{\Z}^{0}(\Z / 2 \Z, \Z) = \operatorname{Hom}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z) = 0$, also ist
 $\operatorname{Ext}_{\Z}^{1}(\Z / 2 \Z, \Z) \to \operatorname{Ext}^{1}_{\Z}(\Z / 2 \Z, \Z)$ nicht injektiv.
 
+\end{proof}
+
 \section{Neuer Ableitungsbegriff}
 
-Es liegt also nahe, dass der klassische Ableitungsbegriff unvollständig ist.
-Um einen allgemeineren zu finden,
-betrachtet man die Bildung von klassischen Ableitungen.
-%Konstruktion eines neuen Ableitungsbegriffs führt zum Begriff der derivierten Kategorie:
-%Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Homotopiekategorie
-%von $\mathcal{A}$, das heißt die Kategorie, deren Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und
-%deren Morphismen Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind.
-Dazu seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien und $\mathcal{A}$ habe
-genügend viele Injektive.
-Sei $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ ein additiver und linksexakter Funktor und
-$X \in \mathcal{A}$. Dann existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex
-$\com{I}$ in $\mathcal{A}$, sodass
-\[
-\begin{tikzcd}
-    0 \arrow{r} & X \arrow{r} & I^{0} \arrow{r} & I^{1} \arrow{r} & \cdots
-\end{tikzcd}
-\] exakt ist oder, äquivalent dazu, dass die vertikalen Morphismen in
+Seien $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ abelsche Kategorien, $\mathcal{A}$ habe genügend viele Injektive
+und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ sei additiv und linksexakt.
+
+\begin{bem}[Erinnerung]
+Sei $X \in \mathcal{A}$.
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item Es existiert eine injektive Auflösung von $X$, also ein Komplex
+$\com{I}$ in $\mathcal{A}$ mit injektiven Objekten, sodass
 \begin{equation}
 \begin{tikzcd}
     \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & X \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & \cdots \\
@@ -64,132 +62,107 @@ $\com{I}$ in $\mathcal{A}$, sodass
     \label{eq:resolution}
 \end{tikzcd}
 \end{equation}
-einen Quasiisomorphismus bilden, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf
-den Kohomologiegruppen induziert. Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen
-des Komplexes $F(\com{I})$. Man zeigt dann aufwendig, dass dieser Prozess wohldefiniert ist, das
-heißt insbesondere nicht von der Wahl der injektiven Auflösung von $X$ abhängt.
-
-Anstatt den abgeleiteten Funktor von $F$ auf $\mathcal{A}$ zu konstruieren, definiert man nun
-die Ableitung auf einer Komplexkategorie von $\mathcal{A}$, das heißt einer Kategorie, deren
-Objekte Komplexe mit Objekten aus $\mathcal{A}$ sind. Bezeichne mit $X[0]$ den oberen Komplex
-in \eqref{eq:resolution}. Dann ist es natürlich zu fordern, dass die Ableitung von $F$ bei
-$X[0]$ bis auf Isomorphie mit der Ableitung von $F$ bei $\com{I}$ und bei allen weiteren injektiven
-Auflösungen von $X$ übereinstimmt.
-
-Dies führt zu der Idee, Objekte (und allgemeiner Komplexe) auf kategorieller Ebene
-mit ihren Auflösungen zu identifizieren,
-also eine geeignete Kategorie von Komplexen zu finden,
-in der quasiisomorphe Komplexe bereits isomorph sind.
-Dazu kann man zunächst zur
-Homotopiekategorie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ übergehen, das heißt die Kategorie, deren
-Objekte Komplexe aus $\mathcal{A}$ und deren Morphismen
-Homotopieäquivalenzklassen von Komplexhomomorphismen sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus im
-Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz. Deshalb konstruiert man eine weitere Kategorie
-$\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$, mit den Objekten
-von $\mathcal{K}(\mathcal{A})$, wobei alle Quasiisomorphismen in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$
-Isomorphismen in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ induzieren. Man erhält einen kanonischen Funktor
-$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$.
-
-Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor
-$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
-einer natürlichen Transformation
-$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die den Zusammenhang
-zwischen $\text{R}F$ und $F$ herstellt.
-
-Im Allgemeinen ist die Existenz von $\text{R}F$ eine schwierige Frage, in der klassischen
-Situation existiert $\text{R}F$ jedoch zumindest
-auf der Unterkategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$ der
-nach unten beschränkten Komplexe und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen
-mit den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein. Vom klassischen Standpunkt
-erwartungsgemäß, induziert die natürliche Transformation $\xi$ auf der Klasse der nach
-unten beschränkten Komplexe mit injektiven Objekten Isomorphismen, das heißt $F$ stimmt mit
-seiner Ableitung $\text{R}F$ auf diesen Komplexen überein.
-
-Dieser neue Ableitungsbegriff erlaubt auf natürliche Weise auch Funktoren\footnote{Unter Voraussetzung
-einer schwachen Bedingung an $F$, die beispielsweise erfüllt ist, wenn
-$F$ von einem additiven Funktor
-$\mathcal{A} \to \mathcal{B}$ induziert ist.}
-$F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ zuzulassen.
-Analog zur klassischen
-Theorie ist dann die Existenz der Ableitung von $F$ gesichert durch:
-\begin{enumerate}[(1)]
-    \item eine Klasse $\mathcal{J}$ von $F$-azyklischen Komplexen, das heißt
-        eine Klasse von Komplexen für die $F$ Exaktheit erhält, und
-    \item für jeden Komplex einen Quasiisomorphismus in einen Komplex aus $\mathcal{J}$.
+ein Quasiisomorphismus ist, das heißt ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen auf
+den Kohomologiegruppen induziert.
+
+\item Die Ableitungen von $F$ bei $X$ sind nun die Kohomologiegruppen
+des Komplexes $F(\com{I})$.
+
+\item Wohldefiniert.
 \end{enumerate}
-In diesem Fall induziert $\xi$ auf den Komplexen aus $\mathcal{J}$ Isomorphismen, das heißt
-Ableitungen berechnen sich, analog zur klassischen Situation, durch Auflösungen durch Komplexe
-aus $\mathcal{J}$.
-
-Besonders die zweite Bedingung ist für beliebige abelsche Kategorien jedoch nur
-sehr schwer zu erfüllen und hängt durch $\mathcal{J}$ von dem konkreten Funktor $F$ ab. Spaltenstein
-hat das in seiner
-Arbeit ,,Resolution of unbounded complexes`` \cite{spaltenstein}
-für zahlreiche Funktoren unter wenigen Voraussetzungen
-an die beteiligten Kategorien gelöst. Die vorliegende Arbeit stellt im
-\ref{sec:resolutions}. Abschnitt sein Argument dar, um dies im \ref{sec:application}.
-Abschnitt auf den Homfunktor und das Tensorprodukt anzuwenden.
-
-Dafür erweitern wir die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise
-zu Funktoren $\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$, sodass die Erweiterungen,
-angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren übereinstimmen. Der naive
-Ansatz $\operatorname{Hom}_A(N, -)$ bzw. $\operatorname{Hom}_A(-, N)$ in beiden Variablen zu erweitern,
-indem für Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ gradweise
-$\operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i})$ gebildet wird, ist nicht hinreichend,
-denn dieser neue Komplex enthielte keine Informationen über die Komplexhomomorphismen
-von $\com{M}$ nach $\com{N}$.
-
-%Die Idee
-%der derivierten Kategorie kommt von der Beobachtung, dass vor allem die Kohomologiegruppen von
-%Komplexen von Interessse sind. Allerdings ist ein Quasiisomorphismus
-%$f\colon \com{X} \to \com{Y}$ zwischen Komplexen $\com{X}, \com{Y} $ in $\mathcal{A}$,
-%also ein Komplexhomomorphismus, der Isomorphismen zwischen den Kohomologiegruppen induziert,
-%im Allgemeinen keine Homotopieäquivalenz, das heißt kein Isomorphismus in $\mathcal{K}(\mathcal{A})$.
-%Diesen Defekt behebt die deriverte Kategorie $\mathcal{D}(\mathcal{A})$, die die selben Objekte
-%hat wie $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ und in der alle Quasiisomorphismen zu Isomorphismen erklärt
-%werden. Bezeichne im Folgenden
-%$Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$ den kanonischen Funktor.
-
-%Sei nun $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $F\colon \mathcal{A} \to \mathcal{B}$
-%ein additiver Funktor. Dann definiert man einen Funktor
-%$\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
-%mit einer natürlichen Transformation
-%$\xi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$. Für ein Objekt
-%$X \in \mathcal{A}$ bezeichne $X[0] \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ den Komplex der im Grad $0$ $X$
-%zu stehen hat und in allen anderen Graden $0$ ist.
-%Falls $F$ linksexakt ist,
-%existiert $\text{R}F$ und die Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0]) $ entsprechen
-%den klassischen Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$. Allgemeiner definiert man $\text{R}F$
-%für bestimmte Funktoren $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{A})$. Das
-%bedeutet der neue Ableitungsbegriff ist eine echte Verallgemeinerung des alten.
-
-%Um die abgeleitete Hom-Tensor Adjunktion zu formulieren, werden die Funktoren $\operatorname{Hom}_A(N, -)$
-%und $- \otimes_A N$ in natürlicher Weise zu Funktoren
-%$\mathcal{K}(A\text{-Mod}) \to \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ erweitert, sodass
-%die Erweiterungen, angewendet auf eingradige Komplexe, mit den ursprünglichen Funktoren
-%übereinstimmen. Der so (in beiden Variablen) funktoriell definierte Komplex
-%$\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ für
-%Komplexe $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ soll dabei Informationen über die
-%Morphismen in $\mathcal{K}(A\text{-Mod})$ von $\com{M} $ nach $\com{N} $ enthalten. Man definiert
-%also für $n \in \Z$
+\end{bem}
+
+\begin{bem}[Idee]
+    Identifiziere $X$ bzw. $X[0]$ mit seinen Auflösungen.
+\end{bem}
 
 \begin{definition}
-Anstatt dessen definiert man für $n \in \Z$ und Komplexe $\com{M}, \com{N} \in
-\mathcal{K}(\mathcal{A})$:
-\[
-\operatorname{Hom}^{n}(\com{M}, \com{N}) = \prod_{i \in \Z} \operatorname{Hom}_A(M^{i}, N^{i+n})
-\] mit Differential
-\[
-    d^{n}(f) = d_{\com{N} } f - (-1)^{n} f d_{\com{M}}
-.\]
+    Sei $\mathcal{K}(\mathcal{A})$ die Kategorie mit:
+    \begin{itemize}
+        \item Objekten: Komplexe von $\mathcal{A}$.
+        \item Morphismen: Komplexhomomorphismen modulo Homotopie.
+    \end{itemize}
 \end{definition}
 
-\begin{lemma}
-    Dann erhält man den Zusammenhang
+\begin{definition}[Derivierte Kategorie]
+    Sei $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ die derivierte Kategorie von $\mathcal{A}$ mit
+    \begin{itemize}
+        \item Objekte: Komplexe von $\mathcal{A}$
+    \end{itemize}
+    und einem kanonischen Funktor
+    $Q_{\mathcal{A}}\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{A})$, sodass
+    Quasiisomorphismen Isomorphismen induzieren in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[Mengentheorie]
+    Es gibt mengentheoretische Probleme.
+\end{bem}
+
+$F$ induziert natürlicherweise einen Funktor $\mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$.
+
+\begin{definition}[Totalableitung]
+    Sei $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein additiver
+    Funktor plus $(*)$.
+    Die (Rechts-)Ableitung von $F$ ist nun (falls existent) ein Funktor
+    $\text{R}F\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$ mit
+    einer natürlichen Transformation
+    $\varphi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to \text{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$, die
+    eine gewissen universelle Eigenschaft erfüllen.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[Universelle Eigenschaft]
+    Für jeden Funktor $G\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
+    und jede natürliche Transformation
+    $\psi\colon Q_{\mathcal{B}} \circ F \to G \circ Q_{\mathcal{A}}$ eine
+    eindeutige natürliche Transformation $\eta\colon RF \to G$ existiert, sodass
     \[
-    H^{0}\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) = \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{N})
-    .\]
-\end{lemma}
+        \begin{tikzcd}
+            Q_{\mathcal{B}} \circ F \arrow{r}{\phi} \arrow{dr}{\psi} & RF \circ Q_{\mathcal{A}} \arrow[dashed]{d}{\eta} \\
+            & G \circ Q_{\mathcal{A}}
+        \end{tikzcd}
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item In der klassischen Situation existiert $RF$ auf der Unterkategorie
+            $\mathcal{D}(\mathcal{A})^{+}$.
+        \item Kohomologiegruppen $H^{i}\text{R}F(X[0])$ stimmen mit den klassischen
+            Rechtsableitungen $\text{R}^{i}F(X)$ überein.
+        \item $\varphi$ induziert Isomorphismen auf der Klasse der nach unten beschränkten
+            Komplexe mit injektiven Objekten.
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[]
+    Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{A}$.
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item Für $\com{I} \in \mathcal{J}$ gilt: $\com{I} $ exakt
+            $\implies$ $F(\com{I})$ exakt.
+        \item Für alle $\com{X} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ existiert
+            ein Quasiisomorphismus $\com{X} \to \com{I} $ mit $\com{I} \in \mathcal{J}$.
+    \end{enumerate}
+    Dann existiert $RF\colon \mathcal{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{D}(\mathcal{B})$
+    und $\varphi(\com{I})$ ist ein Isomorphismus für alle $\com{I} \in \mathcal{J}$.
+\end{satz}
+
+\section{Ableitungen von Hom und Tensorprodukt}
+
+Erweitern von Hom und Tensorprodukt auf $\mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$.
+
+\begin{definition}[]
+    Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ definieren wir
+    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$, sodass
+    \begin{itemize}
+        \item $\com{\operatorname{Hom}}$ auf eingradigen Komplexen
+            mit $\operatorname{Hom}_{\mathcal{A}}$ übereinstimmt,
+        \item und
+            \[
+            H^{0}(\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{N})) =
+            \operatorname{Mor}_{\mathcal{K}(\mathcal{A}}(\com{M}, \com{N})
+            .\] 
+    \end{itemize}
+\end{definition}
 
 \begin{definition}
 Für $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert man nun
@@ -202,7 +175,7 @@ $\com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ einen natürlichen Isomorphismus
 \end{definition}
 Das Ziel ist nun die Funktoren $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, $\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$
 und $- \otimes_A \com{N} $ abzuleiten.
-Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{J}$ von Komplexen, die die Bedingungen
+Dafür suchen wir jeweils eine Klasse $\mathcal{I}$ von Komplexen, die die Bedingungen
 (1) und (2) für den entsprechenden Funktor erfüllt.
 
 Für
@@ -214,7 +187,17 @@ $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$ definieren wir dafür
     $\com{M} \to \com{I} $ mit einem K-injektiven Komplex $\com{I}$.
 \end{definition}
 
-Sei nun $\mathcal{J}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
+\begin{bem}
+    $\com{I} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ ist genau dann K-injektiv, wenn
+    jeder Komplexhomomorphismus von einem exakten Komplex nach $\com{I} $
+    nullhomotop ist.
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    Jeder nach unten beschränkte Komplex mit injektiven Objekten ist K-injektiv (Algebra II).
+\end{bsp}
+
+Sei nun $\mathcal{I}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
 (1) ist für diese Wahl erfüllt, denn:
 
 \begin{lemma}
@@ -231,52 +214,197 @@ Sei nun $\mathcal{J}$ die Klasse der K-injektiven Komplexe. Die Bedingung
 
 Der schwierige Teil ist Bedingung (2) nachzuweisen.
 
-Zuänchst bemerken wir, dass nach unten beschränkte Komplexe mit injektiven Objekten
-K-injektiv sind. Klassisch ist bekannt, dass
-jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen solchen Komplex hat. Für
-einen beliebigen (unbeschränkten) Komplex $\com{M} \in \mathcal{K}(\mathcal{A})$ funktioniert die
-klassische, induktive Konstruktion jedoch nicht.
-
-Wir konstruieren deshalb geeignete $\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme.
-Das sind abzählbare inverse Systeme mit surjektiven Übergangsabbildungen, wobei die Kerne dieser
-in $\mathcal{J}$ liegen. Im ersten Schritt zeigen wir nun, dass $\mathcal{J}$ abgeschlossen
-unter $\mathcal{J}$-speziellen inversen Limites ist, das heißt, dass die Limites von solchen
-Systemen in $\mathcal{J}$ liegen.
-
-Die Idee im zweiten Schritt ist nun, für $n \in \N$ den unbeschränkten Komplex
-$\com{M}$ so abzuschneiden, dass
-die Kohomologiegruppen vom Grad $\ge -n$ erhalten bleiben. So erhalten wir ein System
-$(\tau^{\ge -n} \com{M})_{n \in \N}$ der abgeschnittenen Komplexe von $\com{M}$.
-
-Induktiv konstruieren wir dann ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System
-$(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und ein inverses System von Quasiisomorphismen
-$f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$, indem wir in jedem Schritt für $n \in \N$
-aus $\tau^{\ge -n} \com{M}$ und $\com{I}_{n-1}$ einen nach unten beschränkten Komplex konstruieren,
-der klassisch durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann.
-So erhalten wir im Limes einen K-injektiven Komplex $\com{I}$ und einen Komplexhomomorphismus
-$f\colon \com{M} \to \com{I}$.
-
-Da für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ der inverse Limes jedoch nicht exakt ist, ist
-$f\colon \com{M} \to \com{I}$
-a priori kein Quasiisomorphismus, obwohl $f_n$ ein solcher ist für alle $n \in \N$.
-Mithilfe einer Variante des
-Mittag-Leffler Kriteriums können wir zeigen, dass $f$ dennoch ein Quasiisomorphismus ist.
-
-Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder
-Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat.
-Für den Funktor $- \otimes_A \com{N}$ benötigen
-wir dann noch eine dritte Klasse von Komplexen, die K-flachen Komplexe, die analog zu den
-K-Injektiven auf das Tensorprodukt angepasst definiert werden. Wir können dann zeigen, dass
-jeder K-projektive Komplex schon K-flach ist und erhalten so, dass jeder Komplex auch eine K-flache
-Auflösung besitzt.
-
-Im letzten Abschnitt wenden wir die Existenz von K-injektiven, K-projektiven und K-flachen
-Auflösungen an, um die Existenz der abgeleiteten Funktoren $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$,
-$\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$ und $- \otimes_A^{L} \com{N} $ zu zeigen.
-Als Korollar erhalten wir daraus die Adjunktion von $- \otimes^{L}_A \com{N}$
-und $\text{R}\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$, indem wir durch geeignetes Auflösen
-der beteiligten Komplexe die
-Situation auf die Adjunktion von $- \otimes_A \com{N}$ und $\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$
-zurückführen.
+\begin{bsp}
+    Falls $\mathcal{A}$ genügend viele Injektive hat, hat
+    jeder nach unten beschränkte Komplex eine Auflösung durch einen
+    nach unten beschränkten Komplex mit injektiven Objekten. Das konstruiert man induktiv, indem
+    man schrittweise in injektive Objekte einbettet.
+\end{bsp}
+
+Das funktioniert nur nicht für unbeschränkte Komplexe.
+
+Idee: Wir bedienen uns der Auflösung beschränkter Komplexe, konstruieren damit ein inverses System
+und der Limes liefert dann eine K-injektive Auflösung.
+
+Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen.
+
+\begin{definition}
+    Ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System ist ein abzählbares inverses System
+    $(\com{I}_n)_{n \in \N}$, sodass
+    \begin{enumerate}[(1)]
+        \item $\com{I}_1 = 0$
+        \item Für $n > 1$ ist
+            die kurze Folge
+            \[
+            \begin{tikzcd}
+                0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{I}_n \arrow{r}{p_n}
+                            & \com{I}_{n-1} \arrow{r} & 0
+            \end{tikzcd}
+            \] exakt, zerfällt stufenweise und $\text{ker } p_n$ liegt in $\mathcal{J}$.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Wir zeigen nun zunächst, dass die Klasse $\mathcal{I}$ der K-Injektiven abgeschlossen unter
+speziellen inversen Systemen ist, das heißt, dass der inverse Limes
+$\mathcal{I}$-spezieller inverser Systeme wieder in $\mathcal{I}$ liegt.
+
+Dazu beobachtet man
+
+\begin{lemma}
+    Die Klasse der exakten Komplexe ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Diagrammjagd.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie,
+    $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(\mathcal{B})$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+    Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
+    $F\colon \mathcal{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{K}(\mathcal{B})$ ein kovarianter
+    Funktor der mit inversen Limites vertauscht und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.
+    
+    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen
+    inversen Limites.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Das liegt daran, dass $F$ $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielle inverse Systeme in
+    $\mathcal{J}$-spezielle inverse Systeme überführt.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[]
+Die Klasse $\mathcal{I}$ der K-injektiven Komplexe
+ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\mathcal{E}$ die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{A}$,
+    dann ist für jeden exakten Komplex $\com{T} $ in $\mathcal{A}$ die Klasse
+    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})$ abgeschlossen
+    unter speziellen inversen Limites. Mit
+    \[
+    \mathcal{I} = \bigcap_{\com{T} \in \mathcal{E}}
+    \com{\operatorname{Hom}} (\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{E})
+    \] folgt jetzt die Behauptung.
+\end{proof}
+
+Sei nun $\com{M} \in \mathcal{K}$ ein beliebiger Komplex.
+Wir wollen ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System konstruieren, dessen Limes eine Auflösung
+von $\com{M} $ liefert.
+
+\begin{definition}[Abschneiden]
+    Für $n \in \N$ betrachten wir den Komplex $\tau^{\ge -n} \com{M} $
+    \[
+        \begin{tikzcd}
+            0 \arrow{r} & \arrow{r} \operatorname{coker } d_{M}^{-n-1}
+              & \arrow{r} M^{-n+1}
+              & \arrow{r} M^{-n+2}
+              & \cdots
+        \end{tikzcd}
+    .\] 
+\end{definition}
+
+\begin{bem}[]
+    Dann ist für $i \ge -n$
+    \[
+        H^{i}(\tau^{\ge -n}\com{M}) = H^{i}(\com{M})
+    .\] 
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[]
+    Es existiert ein $\mathcal{I}$-spezielles inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$
+    mit einem inversen System von Quasiisomorphismen $f_n\colon \tau^{\ge -n} \com{M} \to \com{I}_n$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Wir gehen induktiv vor: Setze $I_1 = 0$ und $f_1 = 0$. Sei $\com{M}_n = \tau^{\ge -n} \com{M}$.
+    Dann ist $\com{M}_2$ nach unten beschränkt, also existiert ein K-injektiver Komplex
+    $\com{I}_2$ und ein Quasiisomorphismus $f_2 \colon \com{M}_2 \to \com{I}_2$.
+
+    Sei nun $n \ge 3$, $\com{I}_{n-1}$ und $f_{n-1}$ bereits konstruiert.
+    Aus $\com{I}_{n-1}$ und $\com{M}_n$ konstruiert man einen neuen nach unten beschränkten
+    Komplex, der wieder durch einen K-injektiven aufgelöst werden kann. Durch geeignete Modifikation
+    erhält man dann $\com{I}_n$ und $f_n$.
+\end{proof}
+
+Wir nehmen nun an, dass in $\mathcal{A}$ inverse Limites existieren.
+
+\begin{bem}[]
+    \begin{enumerate}[(a)]
+    \item Sei $\com{I} $ der Limes des Systems
+        $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ und $f\colon \com{M} \to \com{I}$ der Limes des Systems
+        $(f_n)_{n \in \N}$.
+    \item Dann sind zwar die $f_n$ Quasiisomorphismen, aber
+        $f$ a priori kein Quasiisomorphismus, da der inverse Limes im Allgemeinen,
+        insbesondere für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$, nicht exakt ist.
+    \item Abhilfe: Mittag Leffler + Diagrammjagd. Also
+        $f$ für $\mathcal{A} = A\text{-Mod}$ ein Quasiisomorphismus.
+\end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{korollar}[]
+Existenz von $R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, -)$.
+\end{korollar}
+
+\begin{bem}[Umdrehen der Pfeile]
+    Dual dazu definieren wir K-projektive Komplexe und Auflösungen und zeigen, dass jeder
+    Komplex in $A$-Mod ebenfalls eine K-projektive Auflösung hat.
+\end{bem}
+
+\begin{korollar}[]
+Existenz von $R\com{\operatorname{Hom}}(-, \com{N})$.
+\end{korollar}
+
+\begin{definition}[K-flach]
+    Analog zu K-injektiv für $- \otimes_A \com{N}$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[]
+    K-projektiv $\implies$ K-flach
+\end{satz}
+
+\begin{korollar}[]
+    Es existieren K-flache Auflösungen.
+\end{korollar}
+
+\begin{korollar}
+    Abgeleitetes Tensorprodukt existiert.
+\end{korollar}
+
+Die K-flachen Komplexe hängen noch auf wichtige Weise mit den K-injektiven zusammen:
+\begin{satz}[]
+    Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$. Dann ist $\com{M} $ genau dann K-flach, wenn
+    $\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ K-injektiv ist für jeden K-Injektiven
+    $\com{I} \in \mathcal{K}$.
+\end{satz}
+
+
+\begin{korollar}
+    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}(\mathcal{A})$. Dann existiert
+    ein natürlicher Isomorphismus
+    \[
+    R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P})
+    = R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+    .\] 
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Da in $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ Quasiisomorphismen Isomorphismen induzieren und
+    wir die Existenz der verschiedenen Auflösungen kennen, können wir ohne Einschränkung annehmen,
+    dass $\com{P} $ K-injektiv und $\com{N} $ K-flach ist. Dann ist
+    \begin{align*}
+    R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P})
+    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{L} \com{N}, \com{P}) \\
+    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
+    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+    &= \com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+    &= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, \com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+    &= R\com{\operatorname{Hom}}(\com{M}, R\com{\operatorname{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+    .\end{align*}
+\end{proof}
+
+Die eigentliche Adjunktion bekommen wir durch Anwenden von $H^{0}$
 
 \end{document}
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