diff --git a/sose2020/ana/lectures b/sose2020/ana/lectures index 7035188..e4c6c9e 160000 --- a/sose2020/ana/lectures +++ b/sose2020/ana/lectures @@ -1 +1 @@ -Subproject commit 7035188af95eef3fdd7dd248590d2eec53fdaa3d +Subproject commit e4c6c9e0fa273d01d3250ca571f25334e6b87849 diff --git a/sose2020/num/uebungen/num3.pdf b/sose2020/num/uebungen/num3.pdf index a41bad5..ed4fa62 100644 Binary files a/sose2020/num/uebungen/num3.pdf and b/sose2020/num/uebungen/num3.pdf differ diff --git a/sose2020/num/uebungen/num3.tex b/sose2020/num/uebungen/num3.tex index 937c499..f54d7f3 100644 --- a/sose2020/num/uebungen/num3.tex +++ b/sose2020/num/uebungen/num3.tex @@ -46,17 +46,25 @@ &\Vert x \Vert_1 = \sum_{k=1}^{n} |x_k| = \Vert x \Vert_2 \left( \sum_{k=1}^{n} \underbrace{\frac{|x_k|}{\Vert x \Vert_2}}_{\le 1} \right) \ge \Vert x \Vert_2 \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{|x_k|^{2}}{\Vert x \Vert_2^2} \right) - = \Vert x \Vert_2 \frac{\Vert x \Vert_2^2}{\Vert_x \Vert_2^2} = \Vert x \Vert_2 \\ + = \Vert x \Vert_2 \frac{\Vert x \Vert_2^2}{\Vert x \Vert_2^2} = \Vert x \Vert_2 \\ &\Vert x \Vert_2 = \sqrt{\sum_{k=1}^{n} |x_k|^2} \ge \sqrt{\Vert x \Vert_{\infty}^2} = \Vert x \Vert_{\infty} .\end{align*} Damit folgt \begin{align*} - &\Vert x \Vert_2 \le \Vert x \Vert_1 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_2 \\ - &\Vert x \Vert_\infty \le \Vert x \Vert_2 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_\infty + \frac{1}{\sqrt{n}} \Vert x \Vert_1 \le &\Vert x \Vert_2 \le \Vert x \Vert_1 \\ + \frac{1}{\sqrt{n}} \Vert x \Vert_1 \le &\Vert x \Vert_{\infty} \le \Vert x \Vert_1 \\ + \Vert x \Vert_2 \le &\Vert x \Vert_1 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_2 \\ + \frac{1}{\sqrt{n}} \Vert x \Vert_2 \le &\Vert x \Vert_{\infty} \le \Vert x \Vert_2 \\ + \Vert x \Vert_\infty \le \Vert x \Vert_2 \le &\Vert x \Vert_1 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_2 + \le n \Vert x \Vert_\infty \\ + \Vert x \Vert_\infty \le &\Vert x \Vert_2 \le \sqrt{n} \Vert x \Vert_\infty .\end{align*} - Die anderen Kombinationen folgen durch Multiplikation mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$. - Für $n \to \infty$ ist $\sqrt{n} \to \infty$. + Für $n = 1$ sind alle Abschätzungen scharf, denn dann ist + $\Vert x \Vert_1 = \Vert x \Vert_2 = \Vert x \Vert_{\infty}$ und $\sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} = 1$. + + Es gilt $n \xrightarrow{n \to \infty} \infty$, $\sqrt{n} \xrightarrow{n \to \infty} \infty$ und + $\frac{1}{\sqrt{n}} \xrightarrow{n \to \infty} 0$. \end{enumerate} \end{aufgabe} diff --git a/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf b/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf index 20d50ab..e3497a4 100644 Binary files a/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf and b/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf differ diff --git a/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex b/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex index 4c32238..3d6664d 100644 --- a/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex +++ b/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex @@ -12,9 +12,22 @@ \begin{aufgabe}[] \begin{enumerate}[a)] \item Die potentielle Energie ist gegeben als $mgz$, mit $z = R \cos \vartheta$ folgt also - $m g R \cos \vartheta$. Die kinetische Energie hat zwei Komponenten, einmal die Rotation - um $\vartheta$, gegeben als $R^2 \dot{\vartheta}^2$ und die Rotation um die $z$-Achse, die - abhängig ist vom Rotationsradius, also gegeben als $R^2 \omega^2 \sin^2 \vartheta$. + $m g R \cos \vartheta$. + + Im mitrotierten Bezugssystem (gestrichene Koordinaten) ist + \[ + \vec{x}' = R \begin{pmatrix} \sin\vartheta \\ 0 \\ \cos\vartheta \end{pmatrix} + .\] Daraus ergibt sich im Laborsystem mit einer Drehmatrix $S$ + \[ + \vec{x} = S \vec{x}' + .\] Die Geschwindigkeit ist damit gegeben als + \[ + \dot{\vec{x}}' = S \left( \dot{\vec{x}}' + \vec{\omega} \times \vec{x}' \right) + .\] Also folgt mit $\vec{w} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \omega \end{pmatrix}$ + und wegen $S^{T}S = \mathbbm{1}_3$: + \[ + \dot{\vec{x}}^2 = R^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2 \sin^2\vartheta) + .\] Damit folgt die Lagrangefunktion. \item Für den kanonisch konjugierten Impuls gilt \begin{align*} \frac{\partial L}{\partial \dot{\vartheta}} @@ -23,8 +36,17 @@ H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L = \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta .\end{align*} - \item Da ein Potential vorliegt, ist die Hamilton-Funktion nach VL gleich der Gesamtenergie. - Sie sind wegen $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ beide zeitlich erhalten. + \item Es liegt hier zwar ein Potential vor, allerdings ist + die kinetische Energie des Systems gegeben als + \[ + T = \frac{m}{2}R^2(\dot{\vartheta}^2 + \omega^2 \sin^2\vartheta) + .\] Diese ist nicht homogen vom Grad $2$ in $\dot{\vartheta}$, also ist die + Hamiltonfunktion nicht gleich der Gesamtenergie. Das liegt + an der zeitabhängigen Zwangsbedingung. + + Wegen $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ ist die Hamilton Funktion zeitlich + erhalten. Außerdem ist $\dot{w} = 0$, also ist das System + invariant gegenüber Zeittranslation. Damit folgt Energieerhaltung. \item Für die kanonischen Gleichungen folgt \begin{align*} \frac{\partial H}{\partial p_{\vartheta}} &= \frac{2 p_{\vartheta}}{mR^2} - \frac{p_{\vartheta}}{mR^2} @@ -146,13 +168,16 @@ L \to L(q, \dot{q}) = \int_{0}^{l} \text{Lagrange-Dichte} \d x .\] Die Wirkung ist das Zeitintegral über eine Lagrangefunktion. \item Die d'Alembertsche Gleichung ist eine homogene partielle Differentialgleichung - zweiter Ordnung. + zweiter Ordnung. ,,Zweite Zeitableitung $-$ charakteristische Geschwindigkeit zum Quadrat + mal zweite Ortsableitung gleich 0``. \[ \frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \sum_{i=1}^{N} v^2 \frac{\partial^2 q}{\partial x_i^2} = 0 - .\] Allgemein ist die Lösung für zwei beliebige Funktionen $g$ und $h$ gegeben als + .\] Allgemein ist die Lösung für zwei beliebige, zweifach differenzierbare + Funktionen $g$ und $h$ gegeben als \[ q(x, t) = g(x + vt) + h(x - vt) - ,\] also eine Überlagerung zweier Wellen, wobei $g$ rück- und $h$ vorläufig ist. + ,\] also eine Überlagerung zweier Wellen, wobei $g$ rück- und $h$ vorläufig ist. D.h. + die Funktionen müssen sich jeweils mit der charakteristischen Geschwindigkeit verschieben. \end{enumerate} \end{aufgabe}