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@@ -52,6 +52,8 @@ Komplexkategorie mit Komplexhomomorphismen bis auf Homotopie als Abbildungen.
 \begin{satz}
     Sei $\com{X} \in \K$ mit $X^{i} = 0$ $\forall i \neq 0$. Dann ist $\com{X} $ K-injektiv (bzw. K-projektiv) genau
     dann wenn $A^{0}$ injektiv (bzw. projektiv) in $\mathcal{A}$ ist.
+
+    \label{satz:single-degree-compl-k-proj}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
@@ -115,6 +117,7 @@ Da $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-
                 \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) 
             \] ein Isomorphismus.
     \end{enumerate}
+    \label{satz:mork=mord-fuer-kproj}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
@@ -164,22 +167,373 @@ Da $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-
 \end{proof}
 
 \begin{satz}
-    Sei $\com{X} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
+    Sei $\com{P} \in \mathcal{K}$. Dann sind äquivalent
     \begin{enumerate}[(i)]
-        \item $\com{X} $ K-projektiv.
+        \item $\com{P} $ K-projektiv.
         \item Für alle Diagramme in $\mathcal{K}$
             \[
             \begin{tikzcd}
                 & \com{M} \arrow{d}{s}  \\
-                \com{X} \arrow{r}{f} & \com{N}\\
+                \com{P} \arrow{r}{f} & \com{N}\\
             \end{tikzcd}
-            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{M} $, s.d.
+            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{P} \to \com{M} $, s.d.
             $sg= f$ in $\mathcal{K}$.
-        \item Für alle Quasiisomorphismen $u\colon \com{S} \to \com{X} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
-            $v\colon \com{A} \to \com{S} $, s.d. $uv = \text{id}_{\com{X} }$ in $\mathcal{K}$.
+        \item Für alle Quasiisomorphismen $u\colon \com{S} \to \com{P} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
+            $v\colon \com{P} \to \com{S} $, s.d. $uv = \text{id}_{\com{P} }$ in $\mathcal{K}$.
     \end{enumerate}
 \end{satz}
 
+\begin{proof}
+    (i)$\implies$(ii): Betrachte das gegebene Diagramm in $\mathcal{D}$:
+    \[
+        \begin{tikzcd}
+            & \com{X} \arrow{d}{\text{id}^{-1}s} \\
+            \com{P} \arrow[dashed]{ur}{g} \arrow{r}{\text{id}^{-1}f} & \com{Y}
+        \end{tikzcd}
+    .\] Da $s$ Quasiisomorphismus, ist $s$ Isomorphismus in $\mathcal{D}$, also existiert ein
+    $g\colon \com{P} \to \com{X} $ in $\mathcal{D}$, sodass das Diagramm kommutiert. \ref{satz:mork=mord-fuer-kproj}
+    (iii) liefert das gewünschte Diagramm in $\mathcal{K}$.
+
+    (ii)$\implies$(iii): Betrachte
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        & \com{S} \arrow{d}{s} \\
+        \com{P} \arrow{r}{\text{id}} & \com{P} 
+    \end{tikzcd}
+    .\] Da $s$ Quasiisomorphismus existiert mit (ii) ein $f\colon \com{P} \to \com{S}$, s.d. $sf = \text{id}_{\com{P} }$.
+
+    (iii)$\implies$(ii): Erneut mit \ref{satz:mork=mord-fuer-kprof} genügt es zu zeigen, dass für
+    $\com{S} \in \mathcal{K}$
+    $\text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{P} , \com{S} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{P} , \com{S} ) $ bijektiv ist.
+    Injektivität: Sei $f\colon \com{P} \to \com{S} $ mit $\text{id}^{-1}f = 0$ in $\mathcal{D}$. Dann
+    existiert nach \ref{derived-cat-morphism-null} ein $t\colon \com{T} \to \com{P} $ Quasiisomorphismus mit $ft = 0$.
+    Also existiert mit (iii) ein $s\colon \com{P} \to \com{T} $, s.d. $ts = \text{id}_{\com{P} }$, also
+    \[
+        f = f \text{id}_{\com{P} } = \underbrace{ft}_{=0}s = 0
+    .\] 
+    Surjektivität: Sei $a \colon \com{P} \to \com{S} $ in $\mathcal{D}$. Dann ist $a$ gegeben durch ein Diagramm
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        & \com{Q} \arrow{dr}{f} \arrow{dl}{s} & \\
+        \com{P} & & \com{S}
+    \end{tikzcd}
+    \] in $\mathcal{K}$ mit $s$ Quasiisomorphismus. Nach (iii) existiert ein $t\colon \com{P} \to \com{Q}$ mit
+    $st = \text{id}_{\com{P} }$. Dann ist
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        & \com{Q} \arrow{dl}{s} \arrow{dr}{f} & \\
+        \com{P} & \com{P} \arrow{l}{\text{id}} \arrow{u}{t} \arrow{d}{\text{id}} & \com{S} \\
+        & \com{P} \arrow{ul}{\text{id}} \arrow{ur}{ft} & \\
+    \end{tikzcd}
+    \] ein kommutatives Diagramm in $\mathcal{K}$, also folgt $s^{-1}f = \text{id}^{-1}(ft)$ in $\mathcal{D}$.
+\end{proof}
+
+Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog:
+
+\begin{satz}[]
+    Für jeden Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$ sind äquivalent:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\com{I}$ K-injektiv
+        \item Für $\com{S} \in \mathcal{K}$ ist der natürliche Homomorphismus
+            \[
+            \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{S} , \com{I} ) \to \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{S} , \com{I} ) 
+            \] ein Isomorphismus.
+        \item Für jedes Diagramm in $\mathcal{K}$
+            \[
+            \begin{tikzcd}
+                \com{Y} \arrow{r}{f} \arrow{d}{s} & \com{I} \\
+                \com{X} 
+            \end{tikzcd}
+            \] mit $s$ Quasiisomorphismus, existiert genau ein $g\colon \com{X} \to \com{I} $, s.d. das Diagramm
+            kommutiert.
+        \item Für jeden Quasiisomorphismus $u\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
+            $v\colon \com{S} \to \com{I} $, s.d. $vu = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$.
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\subsection{Spezielle inverse und direkte Systeme}
+
+Um für einen Komplex $\com{A} $ eine K-injektive bzw. K-projektive Auflösung zu erhalten, konstruieren wir bestimmte
+inverse bzw. direkte Systeme deren Limites die gewünschten Auflösungen liefern. Dazu benötigen wir folgenden Begriff:
+
+\begin{definition}[Spezielles inverses System]
+    Sei $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Ein inverses System $(\com{I}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt
+            $\mathcal{J}$-spezielles inverses System, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{I}_n = 0$.
+                \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kern der natürlichen Abbildung
+                    $\com{I} _n \to \com{I}_{n-1}$. Dann ist $\com{C}_n \in \mathcal{J}$ und
+                    die kurze exakte Folge
+                    \[
+                    0 \to \com{C}_n \to \com{I}_n \to \com{I} _{n-1} \to 0
+                    \] zerfällt stufenweise.
+            \end{enumerate}
+        \item Die Klasse $\mathcal{J}$ heißt abgeschlossen unter speziellen inversen Limites, falls jedes
+            $\mathcal{J}$-spezielle inverse System in $\mathcal{K}$ einen Limes in $\mathcal{J}$ besitzt und jeder
+            Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{J}$, bereits in $\mathcal{J}$ ist.
+    \end{enumerate}
+    
+\end{definition}
+
+Im Folgenden möchten wir zeigen, dass die Klasse der K-projektiven Komplexe 
+abgeschlossen unter speziellen inversen Limites ist. Dazu benötigen wir die folgenden Lemmata:
+
+% TODO: beispiel funktioniert nicht mit N als indexmenge, wird nicht benoetigt
+%\item Sei $\mathcal{J}$ eine Klasse von Komplexen abgeschlossen unter speziellen inversen Limites mit
+%    $\com{A} \in \mathcal{J} \iff \com{A}[1] \in \mathcal{J}$. Dann ist für $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{J}$
+%    und $u \colon \com{A} \to \com{B} $, auch $\com{C}_u$ in $\mathcal{J}$. Denn 
+%    \[
+%        \com{C}_u \to \com{A}[1] \to 0
+%    \] ist ein $\mathcal{J}$-spezielles inverses System mit Limes $\com{C}_u$.
+
+\begin{lemma}
+    Sei $\mathcal{J}_0$ eine Klasse von Objekten von $\mathcal{A}$. Sei weiter $\mathcal{J}$ eine
+    unter speziellen inversen Limites abgeschlossene Klasse
+    von Objekten in $\mathcal{K}$, so dass jeder Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ mit nur einem nicht-null
+    Term und mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$ für $i \in \Z$, in $\mathcal{J}$ enthalten ist. Dann
+    ist jeder nach unten beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$
+    für $i \in \Z$ in $\mathcal{J}$ enthalten.
+
+    \label{lemma:bounded-compl-in-complete-class}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}^{+}$ mit $A^{i} \in \mathcal{J}_0$ für alle $i \in \Z$. Ohne Einschränkung
+    sei $A^{i} = 0$ für alle $i < 0$. Dann sind die Spalten des nachstehenden Diagramms ein
+    $\mathcal{J}$-spezielles inverses System $(\com{S}_n)_{n \ge 0}$ mit
+    Übergangsabbildungen $p_n$,
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \cdots \arrow{r} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{r} \arrow{d} & 0 \arrow{d}\\
+        \cdots\arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & A^{0} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d}\\
+        \cdots\arrow{r} & A^{1} \arrow{d} \arrow{r} & A^{1} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d}\\
+        \cdots\arrow{r} & A^{2} \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \arrow{r} & 0 \arrow{d} \\
+        & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
+    \end{tikzcd}
+    \] denn für $n > 0$ ist $\com{\text{ker } p}_n$ = $[\cdots \to 0 \to \underbrace{A^{n-1}}_{\in \mathcal{J}_0} \to 0 \to \cdots ]$. Nach
+    Voraussetzung ist also $\text{ker } p_n$ in $\mathcal{J}$ und die kurze exakte Folge
+    $0 \to \com{\text{ker } p}_n \to \com{S}_n \to \com{S}_{n-1} \to 0$ zerfällt gradweise. Also folgt
+    $\com{A} = \lim \com{S}_n \in \mathcal{J}$.
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}
+    Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+
+    \label{lemma:exact-comp-complete-inv}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein spezielles inverses System in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$. Für $i \in \Z$
+    erfüllt $(S_n^{i})_{n \in \N}$ die Bedingung P aus \ref{0.11}. Sei also $i \in \Z$ beliebig. Dann erfüllt
+    \[
+        (S_n^{i-1})_{n \in \N} \to (S_n^{i})_{n \in \N} \to (S_n^{i+1})_{n \in \N} \to (S_n^{i+2})_{n \in \N}
+    \] die Bedingungen von \ref{0.11}, da nach Voraussetzung für alle $n > 1$ $\text{ker}(\com{S}_n \to \com{S}_{n-1})$
+    exakt ist. Also ist
+    \[
+    \begin{tikzcd}
+        \lim S_n^{i-1} \arrow{r} \arrow{d}{=} & \lim S_n^{i} \arrow{d}{=} \arrow{r} & \lim S_n^{i+1} \arrow{d}{=}\\
+        (\lim S_n)^{i-1} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i} \arrow{r} & (\lim S_n)^{i+1}
+    \end{tikzcd}
+    \] exakt. Da $i \in \Z$  beliebig, folgt $\lim S_n$ exakt.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
+    unter speziellen inversen Limites. Angenommen inverse Limites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
+    $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kovarianter Funktor, der mit inversen Limites vertauscht und
+    gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.
+
+    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+
+    \label{satz:complete-inv-system-functor}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Sei $(\com{S}_n)_{n \in \N}$ ein $F^{-1}(\mathcal{J})$-spezielles inverses System. Dann ist
+    $(F(\com{S}_n))_{n \in \N}$ ein $\mathcal{J}$-spezielles System, denn
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $F(S_1) = F(1) = 0$, da $F$ mit inversen Limites vertauscht und die Null der Limes des leeren Diagramms
+            ist.
+        \item Für $n > 1$ ist nach Voraussetzung
+            \[
+            \begin{tikzcd}
+                0 \arrow{r} & \text{ker } p_n \arrow{r} & \com{S}_n \arrow{r}{p_n} & \com{S}_{n-1} \arrow{r} & 0
+            \end{tikzcd}
+            \] 
+            exakt, zerfällt gradweise und $\text{ker } p_n$ ist in $F^{-1}(\mathcal{J})$. Nach Voraussetzung ist damit
+            \[
+            \begin{tikzcd}
+                0 \arrow{r} & F(\text{ker } p_n) \arrow{r} & F(\com{S}_n) \arrow{r}{F(p_n)} & F(\com{S}_{n-1}) \arrow{r} & 0
+            \end{tikzcd}
+            \] exakt und zerfällt gradweise. Aus der Exaktheit folgt damit auch
+            $\text{ker } F(p_n) = F(\text{ker } p_n)$, also $\text{ker } F(p_n) \in \mathcal{J}$.
+    \end{enumerate}
+    Also $F(\lim \com{S}_n) = \lim F(\com{S}_n) \in \mathcal{J}$ und damit $\lim \com{S}_n \in F^{-1}(\mathcal{J})$.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[]
+    Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren inverse Limites.
+
+    Dann ist die Klasse aller Komplexe $\com{A} \in \mathcal{K}$, sodass
+    $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen
+    inversen Limites. Insbesondere ist die Klasse der K-injektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen inversen
+    Limites.
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Sei $\mathcal{J}$ die Klasse der exakten Komplexe und für $\com{T} \in \mathcal{I}$ sei
+    $\mathcal{E}_{\com{T}}$ die Klasse der Komplexe $\com{A} $, sodass
+    $\com{\text{Hom}}(\com{T}, \com{A})$ exakt ist. Dann
+    ist $\mathcal{E}_{\com{T}} = \com{\text{Hom}}(\com{T}, -)^{-1}(\mathcal{J})$. $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ erfüllt
+    die Voraussetzungen von \ref{satz:complete-inv-system-functor}, denn:
+
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item Nach \ref{lemma:exact-comp-complete-inv} ist
+            $\mathcal{J}$ abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+        \item Wegen \ref{satz:adjunction-hom-tor-comp} ist $\com{\text{Hom}} (\com{T}, -)$ rechtsadjungiert und
+            vertauscht daher mit Limites. Außerdem ist $\com{\text{Hom}}(\com{T}, -)$ gradweise additiv, erhält also
+            gradweise zerfallende Folgen.
+    \end{enumerate}
+    Also ist $\mathcal{E}_{\com{T}}$ und damit $\bigcap_{\com{T} \in \mathcal{I}} \mathcal{E}_{\com{T} }$
+    abgeschlossen unter speziellen inversen Limites.
+
+    Das Insbesondere folgt wenn $\mathcal{I} = \mathcal{J}$ gesetzt wird.
+\end{proof}
+
+Wenn wir alle Pfeile umdrehen erhalten wir die folgende Definition und Ergebnisse:
+
+\begin{definition}[Spezielles direktes System]
+    Sei $\mathcal{P} \subset \mathcal{K}$ eine Klasse von Komplexen.
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Ein direktes System $(\com{P}_n)_{n \in \N}$ in $\mathcal{K}$ heißt $\mathcal{P}$-spezielles
+            direktes System, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:
+            \begin{enumerate}[(i)]
+                \item Falls $n = 1$, dann ist $\com{P}_n = 0$.
+                \item Falls $n > 1$, dann sei $\com{C}_n$ der Kokern der natürlichen Abbildung
+                    $\com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n}$. Dann ist $\com{C}_n \in \mathcal{P}$ und
+                    die kurze exakte Folge
+                    \[
+                    0 \to \com{P}_{n-1} \to \com{P}_{n} \to \com{C}_n \to  0
+                    \] zerfällt stufenweise.
+            \end{enumerate}
+        \item Die Klasse $\mathcal{P}$ heißt abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites, falls jedes
+            $\mathcal{P}$-spezielle direkte System in $\mathcal{K}$ einen Colimes in $\mathcal{P}$ besitzt und jeder
+            Komplex in $\mathcal{K}$, der isomorph ist zu einem Komplex in $\mathcal{P}$, bereits in $\mathcal{P}$ ist.
+    \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Durch Umdrehen aller Pfeile, erhalten wir auch eine duale Version von \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}.
+Ebenfalls analog gilt:
+
+% brauche ich nicht
+%\begin{lemma}
+%    Die Klasse der exakten Komplexe in $\mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites.
+%
+%    \label{lemma:exact-comp-complete-inv}
+%\end{lemma}
+%
+%\begin{proof}
+%    
+%\end{proof}
+
+\begin{satz}
+    Sei $\mathcal{B}$ eine weitere abelsche Kategorie und $\mathcal{J} \subset \mathcal{K}(B)$ abgeschlossen
+    unter speziellen inversen Colimites. Angenommen direkte Colimites existieren in $\mathcal{A}$ und sei
+    $F\colon \mathcal{K}(A) \to \mathcal{K}(B)$ ein kontravarianter Funktor, der direkte Colimites in
+    inverse Limites überführt und gradweise zerfallende kurze exakte Folgen erhält.
+
+    Dann ist $F^{-1}(\mathcal{J}) \subset \mathcal{K}(\mathcal{A})$ abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites.
+
+    \label{satz:complete-inv-system-functor}
+\end{satz}
+
+\begin{korollar}[]
+    Sei $\mathcal{I}$ eine Klasse von Komplexen und angenommen in $\mathcal{A}$ existieren direkte Colimites.
+
+    Dann ist die Klasse aller Komplexe $\com{A} \in \mathcal{K}$, sodass
+    $\com{\text{Hom}}(\com{A},  \com{T})$ exakt ist für alle $\com{T} \in \mathcal{I}$, abgeschlossen unter speziellen
+    direkten Colimites. Insbesondere ist die Klasse der K-projektiven Komplexe abgeschlossen unter speziellen direkten
+    Colimites.
+    \label{kor:k-proj-closed}
+\end{korollar}
+
+
+\begin{definition}[]
+    Angenommen inverse (bzw. direkte) Limites existieren in $\mathcal{K}$ und sei $\mathcal{G}$ eine Klasse von
+    Komplexen in $\mathcal{K}$. Dann nennen wir $\underset{\leftarrow}{\mathcal{G}}$
+    (bzw. $\underset{\rightarrow}{\mathcal{G}})$ die kleinste Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$, die abgeschlossen
+    unter speziellen inversen (bzw. direkten) Limites ist und $\mathcal{G}$ enthält.
+\end{definition}
+
+\subsection{Existenz von K-projektiven und K-injektiven Auflösungen}
+
+Sei $\mathcal{P}$ eine Klasse von Komplexen in $\mathcal{K}$. Die folgenden Bedingungen an $\mathcal{P}$ sind
+äquivalent:
+
+\begin{enumerate}[(1)]
+    \item Jeder nach oben beschränkte Komplex $\com{A} \in \mathcal{K}$ hat eine Auflösung $\com{P} \to \com{A} $
+        nach links mit $\com{P} \in \mathcal{P}$.
+    \item Für alle $\com{A} \in \mathcal{K} $ und $n \in \Z$, existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ mit
+        $H^{i}(\com{P}) = 0$ für $i > n$ und ein Komplexhomomorphismus $f\colon \com{P} \to \com{A} $, der
+        einen Isomorphismus $H^{i}(\com{P}) \to H^{i}(\com{A})$ induziert für $i \le n$.
+\end{enumerate}
+
+\begin{proof}
+    (1) $\implies$ (2): Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $n \in \Z$. Dann ist $\tau_{\le n} \com{A}$ nach oben
+beschränkt, also existiert ein $\com{P} \in \mathcal{P}$ und ein Quasiisomorphismus $s\colon \com{P} \to \tau_{\le n}\com{A}$. Durch Komposition mit dem natürlichen Komplexhomomorphismus $\tau_{\le n}\com{A} \to \com{A}$ erhalten wir
+ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $.
+Für $i > n$ ist nun $H^{i}(\com{P}) = H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = 0 $. Für $i \le n$ ist
+$H^{i}(\tau_{\le n}\com{A}) = H^{i}(\com{A})$, also induziert $f$ den gewünschten Isomorphismus.
+
+    (2) $\implies$ (1): Sei $\com{A} \in \mathcal{K}^{-}$. Ohne Einschränkung ist $A^{i} = 0$ für alle $i > 0$. Dann
+    existiert für $n = 0$ ein $f\colon \com{P} \to \com{A} $ mit $\com{P} \in \mathcal{P}$ und $f$ induziert
+    $H^{i}(\com{P}) \xrightarrow[\sim]{0 = H^{i}(f)} 0 = H^{i}(\com{A})$ für $i > 0$ und
+    $H^{i}(\com{P})\xrightarrow[\sim]{H^{i}(f)} H^{i}(\com{A})$ für $i \le 0$. Also ist $f$ ein Quasiisomorphismus.
+\end{proof}
+
+Im Folgenden nehmen wir an, dass $\mathcal{P}$ die Eigenschaft (1) erfüllt.
+
+\begin{bsp}[]
+    Falls $\mathcal{A}$ genügend Projektive hat, können wir $\mathcal{P}$ als die Klasse der nach oben beschränkten
+    Komplexe
+    $\com{P} \in \mathcal{K}$ mit $P^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ wählen.
+
+    Ein solches $\com{P}$ ist K-projektiv, denn: Für alle eingradigen Komplexe $\com{Q}$ mit
+    $Q^{i}$ projektiv für alle $i \in \Z$ ist $\com{Q} $ nach \ref{satz:single-degree-compl-k-proj} K-projektiv. Da
+    nach \ref{kor:k-proj-closed} die Klasse der K-projektiven
+    abgeschlossen unter speziellen direkten Colimites ist, folgt mit dem Dual von
+    \ref{lemma:bounded-compl-in-complete-class}, dass $\com{P} $ K-projektiv ist.
+
+    Erneut nach \ref{kor:k-proj-closed} sind die Komplexe in $\underset{\rightarrow}{\mathcal{P}}$ damit ebenfalls
+    $K$-projektiv.
+\end{bsp}
+
+Unser Ziel ist nun für einen gegebenen Komplex $\com{A}$ eine Auflösung nach Links durch einen Komplex
+aus $\mathcal{P}$ zu konstruieren. Dazu schneiden wir den Komplex nach oben ab und lösen schrittweise auf. Das
+folgende Lemma führt diese Konstruktion aus.
+
+\begin{lemma}
+    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$. Dann existiert ein $\mathcal{P}$-spezielles direktes System $(\com{P}_n)_{n\ge -1}$ und
+    ein direktes System von Kettenhomomorphismen $f_n \colon \com{P}_n \to \tau_{\le n}\com{A}$, sodass
+    $f_n$ ein Quasiisomorphismus ist für alle $n \ge 0$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Wir gehen induktiv vor. Setze $\com{P}_{-1} = 0$ und $f_{-1} = 0$. Nach (1) existiert ein Quasiisomorphismus
+    $f_0 \colon \com{P}_0 \to \tau_{\le 0}\com{A} $ mit $\com{P}_0 \in \mathcal{P}$.
+
+    Sei nun $n \ge 1$ und seien $\com{P}_{-1}, \ldots, \com{P}_{n-1}$ und $f_{-1}, \ldots, f_{n-1}$ konstruiert. Dann
+    setze $\com{P} = \com{P}_{n-1}$, $\com{B} = \tau_{\le n} \com{A} $. Es sei
+    $a_{n-1}\colon \tau_{\le n-1}\com{A} \to \tau_{\le n} \com{A} $ der natürliche Komplexhomomorphismus
+    und $f = a_{n-1}f_{n-1}$.
+
+    Da $\com{B} = \tau_{\le n}\com{A} $ nach oben beschränkt ist und $C_f^{i} = P^{i+1} \oplus B^{i}$.
+
+    Mit (1) existiert ein Quasiisomorphismus $g\colon \com{Q} \to \com{C}_f[-1] $ mit $\com{Q}[1] \in \mathcal{P}$.
+\end{proof}
+
 \newpage
 
 \section{Adjunktion von abgeleitetem Hom und Tensorprodukt}