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sose2022/bachelorarbeit/arbeit.tex

@@ -19,11 +19,83 @@
 
 \section{Derivierte Kategorien und abgeleitete Funktoren}
 
+\begin{satz}
+    % TODO: inhalt einfuegen
+    Existenz von derivierten Funktoren
+    \label{satz:existence-derived-functors}
+\end{satz}
+
 \section{Grundlagen}
 
+Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
+Komplexkategorie mit Komplexhomomorphismen bis auf Homotopie als Abbildungen.
+
+\begin{definition}
+    Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Dann sei
+    $\com{M} \otimes_A \com{N} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$ definiert durch
+    \[
+        (\com{M} \otimes_A \com{N})^{n} = \bigoplus_{i \in \Z} M^{i} \otimes_A N^{n-i}
+    \] mit Differentialen
+    \[
+    d^{n}(m \otimes n) = d_{\com{M} }(m) \otimes n + (-1)^{i} m \otimes d_{\com{N} }(n)
+    \] für $m \in M^{i}, n \in N^{n-i}$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+    Seien $\com{A}, \com{B} \in \mathcal{K}$ zwei Komplexe. Dann sei
+    $\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{B}) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ definiert durch
+    \[
+    \text{Hom}^{n}(\com{A}, \com{B}) = \prod_{i \in \Z} \text{Hom}(A^{i}, B^{i+n})
+    \] mit Differentialen
+    \[
+    d^{n}(f) = d_{\com{B} } \circ f - (-1)^{n} f \circ d_{\com{A}}
+    \] für $f \in \text{Hom}^{n}(\com{A}, \com{B})$.
+\end{definition}
+
+\begin{satz}[Adjunktion der Hom- und Tensorproduktkomplexe]
+    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{K}(A\text{-Mod})$. Dann existiert
+    ein natürlicher Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
+    \[
+    \com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P})
+    = \com{\text{Hom}}(\com{M},\com{\text{Hom}} (\com{N} , \com{P} ))
+    .\] 
+    \label{satz:adjunction-hom-tor-comp}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}[]
+    Es gilt
+    \[
+        H^{i}(\com{\text{Hom}}(\com{A}, \com{B}) = \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{A}, \com{B}[i])
+    .\] 
+    \label{hom-compl-cohomgroups}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+
+\end{proof}
 
 % TODO: Bedingung (I) an Indexmengen
 
+Folgendes Kriterium für die Exaktheit von Komplexen ist hilfreich:
+
+\begin{lemma}[]
+    Sei $\com{A} \in \mathcal{K}$ und $\mathcal{G}$ eine Klasse von Objekten
+    von $\mathcal{A}$, sodass jedes Objekt von $\mathcal{A}$ eine Einbettung
+    in ein Objekt aus $\mathcal{G}$ besitzt. Angenommen
+    $\com{\text{Hom}}(\com{A}, E) \in \mathcal{K}(\mathcal{A}b)$ ist exakt für alle
+    $E \in \mathcal{K}$. Dann ist $\com{A} $ exakt.
+    \label{lemma:0.10}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Keine Ahnung.
+    % TODO : einfuegen
+\end{proof}
+
 Wir benötigen im Folgenden mehrmals eine bestimmte Bedingung an inverse Systeme in
 $\mathcal{A}b$. Wir sagen ein inverses System $(M_n)_{n \ge \N}$ genügt Bedingung
 (R), wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
@@ -131,9 +203,6 @@ $\mathcal{A}b$. Wir sagen ein inverses System $(M_n)_{n \ge \N}$ genügt Bedingu
 
 \section{K-injektive und K-projektive Auflösungen}
 
-Sei im Folgenden $\mathcal{A}$ eine feste abelsche Kategorie und $\mathcal{K} = \mathcal{K}(\mathcal{A})$ die
-Komplexkategorie mit Komplexhomomorphismen bis auf Homotopie als Abbildungen.
-
 \begin{definition}[K-injektiv bzw. K-projektiv]
     Ein Komplex $\com{X} \in \K$ heißt K-injektiv (bzw. K-projektiv), wenn für alle $\com{S} \in \K$, der Komplex
     $\com{\mathrm{Hom}}(\com{S}, \com{X})$ (bzw. $\com{\mathrm{Hom}}(\com{X}, \com{S})$) exakt ist.
@@ -183,9 +252,15 @@ $\text{Hom}(X^{0}, N) \to \text{Hom}(X^{0}, P)$ surjektiv und damit $X^{0}$ proj
 ,,$\impliedby$'': Sei nun $X^{0}$ projektiv, $\com{S} \in \mathcal{K}$ exakt und $f\colon \com{X} \to \com{S}$
 Komplexhomomorphismus. Dann betrachte
 \[
-diag
+\begin{tikzcd}
+    0 \arrow[from=1-1,to=1-3] \arrow{d} & & X^{0} \arrow{r}
+    \arrow[dashed, from=1-3,to=2-1]{}{k^{0}}
+    \arrow[dashed]{dl} \arrow{d}{f^{0}} & 0 \arrow{d} \\
+    S^{-1} \arrow{r}{d^{-1}} & \text{im }d^{-1} \arrow{r} & S^{0} \arrow{r}{d^{0}} & S^{1}
+\end{tikzcd}
 .\] 
-Da $X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
+Da $d^{0}f^{0} = 0$ faktorisiert $f^{0}$ über $\text{ker } d^{0} = \text{im }d^{-1}$. Weil
+$X^0$ projektiv, existiert $k^{0}\colon A^{0} \to S^{-1}$, s.d. $f^{0} = d^{-1} k^{0}$.
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[]
@@ -363,6 +438,7 @@ Durch Umdrehen aller Pfeile erhalten wir analog:
         \item Für jeden Quasiisomorphismus $u\colon \com{I} \to \com{S} $ in $\mathcal{K}$ existiert ein
             $v\colon \com{S} \to \com{I} $, s.d. $vu = \text{id}_{\com{I} }$ in $\mathcal{K}$.
     \end{enumerate}
+    \label{satz:mork=mord-for-k-inj}
 \end{satz}
 
 \subsection{Spezielle inverse und direkte Systeme}
@@ -874,6 +950,7 @@ Durch Umdrehen der Pfeile erhalten wir die duale Aussagen von
 \begin{satz}[]
     Sei $R$ ein Ring und $\mathcal{A}$ die Kategorie der R-links-Moduln. Dann
     hat jeder Komplex in $\mathcal{K}$ eine K-injektive Rechtsauflösung.
+    \label{satz:existence-k-inj-resolution}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
@@ -1000,6 +1077,7 @@ Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch eine weitere Klasse von Kom
         \item $\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{I})$ ist K-injektiv für jeden
             K-injektiven Komplex $\com{I} \in \mathcal{K}$.
     \end{enumerate}
+    \label{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
@@ -1021,8 +1099,60 @@ Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch eine weitere Klasse von Kom
     \] exakt.
 \end{proof}
 
+\begin{satz}[]
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Falls $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}$ K-flach sind, dann ist
+            auch $\com{A} \otimes_A \com{B} $ K-flach.
+        \item $\com{M} \in \mathcal{K}$ ist K-flach genau dann wenn $\com{M}[1]$
+            K-flach ist.
+        \item Falls zwei Punkte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{K}$ K-flach
+            sind,
+            dann auch der dritte.
+    \end{enumerate}
+    Insbesondere ist die volle Unterkategorie der K-flachen Komplexe in $\mathcal{K}$
+    eine triangulierte Unterkategorie.
+    \label{satz:k-flat-triangulated}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{K}$ K-flach und $\com{S} $ exakt. Dann
+            ist
+            \[
+            (\com{M} \otimes_A \com{N}) \otimes \com{S} =
+            \com{M} \otimes_A (\com{N} \otimes_A \com{S})
+            \] und die rechte Seite ist exakt.
+        \item Seien $\com{S}, \com{M} \in \mathcal{K}$.
+            Dann sind $- \otimes_A \com{S} $ und $\com{M} \otimes_A -$ nach
+            \ref{satz:tor-is-triangulated} ein triangulierter Funktor, also folgt
+            \[
+                \com{M}[1] \otimes_A \com{S} =
+                (\com{M} \otimes_A \com{S})[1]
+                = \com{M} \otimes_A \com{S}[1]
+            .\] Da Verschieben Exaktheit erhält folgt daraus die Äquivalenz.
+        \item Sei $(\com{M}, \com{N}, \com{P}, u, v, w)$ ein ausgezeichnetes Dreieck
+            in $\mathcal{K}$ mit $\com{M}$ und $\com{N} $ K-flach. Sei weiter
+            $\com{S} $ exakt. Da $- \otimes_A \com{S} $ nach \ref{satz:tor-is-triangulated}
+            ein triangulierter Funktor ist, erhalten wir das ausgezeichnete Dreieck
+            $(\com{M} \otimes_A \com{S}, \com{N} \otimes_A \com{S}, \com{P} \otimes_A \com{S}, u \otimes \text{id}_{\com{S} }, v \otimes \text{id}_{\com{S} }, w \otimes \text{id}_{\com{S} })$
+            und damit für $i \in \Z$ die exakte Folge
+            \[
+            \begin{tikzcd}
+                H^{i}(\com{N} \otimes_A \com{S}) \arrow{r} &
+                H^{i}(\com{P} \otimes_A \com{S}) \arrow{r} &
+                H^{i+1}(\com{M} \otimes_A \com{S})
+            \end{tikzcd}
+            .\] Da die äußeren Terme nach Voraussetzung $0$ sind, folgt die
+            Exaktheit von $\com{P} \otimes_A \com{S} $ und damit, dass $\com{P} $
+            K-flach ist.
+            Der allgemeine Fall folgt nun mit \ref{TR2}.
+    \end{enumerate}
+    
+\end{proof}
+
 \begin{satz}[]
     Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ K-projektiv. Dann ist $\com{M} $ K-flach.
+    \label{satz:k-proj-is-k-flat}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
@@ -1032,12 +1162,12 @@ Um das Tensorprodukt abzuleiten, benötigen wir noch eine weitere Klasse von Kom
         \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{S}, \com{I} )
     .\] Es ist $\com{\text{Hom}}(\com{S}, \com{I})$ exakt, da $\com{I} $ K-injektiv und damit die rechte Seite, da
     $\com{M} $ K-projektiv ist. Also folgt die Behauptung mit \ref{lemma:0.10}.
-    \label{satz:k-proj-is-k-flat}
 \end{proof}
 
 \begin{satz}[]
     Sei $\com{M} \in \mathcal{K}$ K-flach und exakt. Dann ist $\com{M} \otimes_A \com{N} $ exakt
     für alle $\com{N} \in \mathcal{K}$.
+    \label{satz:tor-exact-for-k-flat}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
@@ -1088,6 +1218,7 @@ Umdrehen der Pfeile liefert
     Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{N})$ wohldefiniert
     und kann mithilfe einer K-projektiven Auflösung von $\com{M} $ oder einer K-injektiven Auflösung von $\com{N} $
     berechnet werden.
+    \label{satz:derived-hom}
 \end{satz}
 
 \begin{proof}
@@ -1095,7 +1226,7 @@ Umdrehen der Pfeile liefert
     K-injektiven Komplexe von $\mathcal{K}$. Dann ist für $\com{M} $ beliebig:
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item $\mathcal{L}$ ist trianguliert nach \ref{satz:k-proj-triangulated}.
-        \item Für alle $\com{N} \in \mathcal{K}$ existiert ein Quasiisomorphismus $\com{N} \to \com{I} $
+        \item Für alle $\com{N} \in \mathcal{K}$ existiert ein Quasiisomorphismus $\com{N} \to \com{I} $ wegen \ref{satz:existence-k-inj-resolution}
             mit $\com{I} \in \mathcal{L}$.
         \item Nach \ref{satz:hom-exact-for-k-inj} ist $\com{\text{Hom}}(\com{M}, -)|_{\mathcal{L}}$ exakt.
     \end{enumerate}
@@ -1119,6 +1250,92 @@ Umdrehen der Pfeile liefert
 \begin{satz}[]
     Seien $\com{M}, \com{N} \in \mathcal{D}$. Dann ist $\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}$ wohldefiniert und
     kann mithilfe einer K-flachen Auflösung einer der Faktoren berechnet werden.
+    \label{satz:derived-tor}
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    Erneut in der Notation von \ref{satz:existence-derived-functors} wähle $\mathcal{L}$
+    als die volle Unterkategorie der K-flachen Komplexe von $\mathcal{K}$. Dann ist
+    für $\com{N}$ beliebig:
+    \begin{enumerate}[(i)]
+        \item $\mathcal{L}$ ist trianguliert nach \ref{satz:k-flat-triangulated}.
+        \item Für alle $\com{M} \in \mathcal{K}$ existiert nach
+            \ref{satz:existence-k-proj-resolution} und \ref{satz:k-proj-is-k-flat}
+            ein Quasiisomorphismus
+            $\com{P} \to \com{M}$ mit $\com{P} \in \mathcal{L}$.
+        \item Nach \ref{satz:tor-exact-for-k-flat} ist
+            $\com{N} \otimes_A -|_{\mathcal{L}}$ exakt.
+    \end{enumerate}
+    Also existiert $\com{N} \otimes_A^{\text{L}} -$ und analog für
+    $- \otimes_A^{L} \com{N}$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Adjunktion}
+
+Jetzt können wir alles zusammentragen und erhalten:
+
+\begin{satz}
+    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}$. Dann existiert ein natürlicher
+    Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
+    \[
+    \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
+    = \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+    .\] 
+    \label{satz:adjunction-rhom-rtor}
 \end{satz}
 
+\begin{proof}
+    Nach \ref{satz:derived-hom} und \ref{satz:derived-tor} sind alle Terme wohldefiniert
+    und wir können mit \ref{satz:existence-k-proj-resolution} und
+    \ref{satz:k-proj-is-k-flat} ohne Einschränkung annehmen, dass $\com{N} $ K-flach ist,
+    und mit \ref{satz:existence-k-inj-resolution}, dass $\com{P} $ K-injektiv ist.
+
+    Dann folgt
+    \begin{align*}
+        \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
+        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
+        &= \com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P} ) \\
+        &\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor}}{=}
+        \com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+        &= \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+    .\end{align*}
+    Das letzte Gleichheitszeichen gilt, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj}
+    $\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist.
+\end{proof}
+
+\begin{korollar}[]
+    Seien $\com{M}, \com{N}, \com{P} \in \mathcal{D}$. Dann existiert ein natürlicher
+    Isomorphismus, der funktoriell in allen Variablen ist:
+    \[
+        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
+        = \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N} , \com{P} )
+    .\] Insbesondere gilt folgende Funktoradjunktion in $\mathcal{D}$:
+    \[
+    - \otimes_A^{\text{L}} N \dashv \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, -)
+    .\] 
+\end{korollar}
+
+\begin{proof}
+    Wir können wieder annehmen, dass $\com{N}$ K-flach und $\com{P} $ K-injektiv ist.
+    Dann betrachte:
+    \begin{salign*}
+        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P})
+        &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
+        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\
+        &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=}
+        H^{0}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A^{\text{L}} \com{N}, \com{P}) \\
+        &= H^{0}\com{\text{Hom}}(\com{M} \otimes_A \com{N}, \com{P}) \\
+        &\stackrel{\ref{satz:adjunction-hom-tor-comp}}{=}
+        H^{0}\com{\text{Hom}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+        &\stackrel{\ref{hom-compl-cohomgroups}}{=}
+        \text{Mor}_{\mathcal{K}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+        &\stackrel{\ref{satz:mork=mord-for-k-inj}}{=}
+        \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})) \\
+        &= \text{Mor}_{\mathcal{D}}(\com{M}, \text{R}\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P}))
+    .\end{salign*}
+    Das letzte Gleichheitszeichen gilt erneut, weil nach \ref{satz:homs-of-k-flat-are-k-inj}
+    $\com{\text{Hom}}(\com{N}, \com{P})$ K-injektiv ist.
+\end{proof}
+
 \end{document}