diff --git a/.gitignore b/.gitignore index 7be40d8..c578418 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -8,3 +8,4 @@ *.log *.synctex.gz *.fdb_latexmk +*.toc diff --git a/lecture.cls b/lecture.cls index 0acca0b..9544db7 100644 --- a/lecture.cls +++ b/lecture.cls @@ -41,14 +41,14 @@ \setlength{\parindent}{0mm} \theoremstyle{definition} -\newmdtheoremenv{satz}{Satz} -\newmdtheoremenv{lemma}{Lemma} -\newmdtheoremenv{korrolar}{Korrolar} -\newmdtheoremenv{definition}{Definition} +\newmdtheoremenv{satz}{Satz}[section] +\newmdtheoremenv{lemma}[satz]{Lemma} +\newmdtheoremenv{korrolar}[satz]{Korrolar} +\newmdtheoremenv{definition}[satz]{Definition} -\newtheorem{bsp}{Beispiel} -\newtheorem{bem}{Bemerkung} -\newtheorem{aufgabe}{Aufgabe} +\newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel} +\newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung} +\newtheorem{aufgabe}[satz]{Aufgabe} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis.pdf b/ws2019/ana/lectures/analysis.pdf index 3e54bca..46d8cb1 100644 Binary files a/ws2019/ana/lectures/analysis.pdf and b/ws2019/ana/lectures/analysis.pdf differ diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis.tex b/ws2019/ana/lectures/analysis.tex index 30f64bd..cf894f3 100644 --- a/ws2019/ana/lectures/analysis.tex +++ b/ws2019/ana/lectures/analysis.tex @@ -3,8 +3,13 @@ \usepackage{standalone} \usepackage{tikz} +\title{Analysis I} +\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina} +\date{WS 2019/20} + \begin{document} +\input{analysis1-2.tex} \input{analysis3.tex} \input{analysis4.tex} \input{analysis5.tex} @@ -15,5 +20,6 @@ \input{analysis10.tex} \input{analysis11.tex} \input{analysis12.tex} +\input{analysis13.tex} \end{document} diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis1-2.pdf b/ws2019/ana/lectures/analysis1-2.pdf new file mode 100644 index 0000000..6b37450 Binary files /dev/null and b/ws2019/ana/lectures/analysis1-2.pdf differ diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis1-2.tex b/ws2019/ana/lectures/analysis1-2.tex new file mode 100644 index 0000000..7c34a55 --- /dev/null +++ b/ws2019/ana/lectures/analysis1-2.tex @@ -0,0 +1,261 @@ +\documentclass{../../../lecture} + +\begin{document} + +\maketitle + +\newpage +\tableofcontents +\newpage + +\section{Grundlagen} + +\subsection{Mengen und Aussagen} + +\begin{definition} + Seien $A$ und $B$ Mengen. + \begin{itemize} + %Venn Diagramme wären schön + \item \textbf{Teilmenge} $B \subset A$ bedeutet: jedes Element von $B$ ist auch Element von $A$ \\ + $B$ ist eine Teilmenge von $A$; bsp.: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ + \item \textbf{Mengengleichheit} Zwei Mengen $A$ und $B$ sind gleich, wenn $A \subset B$ und $B \subset A$. + \item \textbf{Strikte Teilmenge} $B$ ist eine strikte Teilmenge von $A$, wenn es ein Elemnt $a \in A$ gibt, mit $a \notin B$. + \item \textbf{Leere Menge} oder "Nullmenge" $\emptyset$ enthält keine Elemente. \\ + Es gilt konventionsgemäß $\emptyset \in A$ für alle Mengen $A$ + \item \textbf{Vereinigung} von $A$ und $B$: $A \cup B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{oder} \ a \in B \ \}$ + \item \textbf{Durchschnitt} von $A$ und $B$: $A \cap B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{und} \ a \in B \ \}$ + \item \textbf{Differenz} von $A$ und $B$: $A \setminus B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{und} \ a \notin B \ \}$ + \item \textbf{Produktmenge}: $A \times B := \{ \ (a, b) \ | \ a \in A \ \text{und} \ b \in B \ \}$ + \item \textbf{Disjunkte Mengen} $A$ und $B$ sind disjunkt, falls gilt: $A \cap B = \emptyset$ + \end{itemize} + +\end{definition} + +\begin{bem} + Das ODER im mathematischen Sinne bedeutet das einschließliche oder und nicht das entweder oder. + +\end{bem} + + +\subsection{Wahrheitstabellen} +\label{sec:wahrheitstafeln} + +\begin{definition} + Seien $V$ und $E$ Aussagen. \\ + Eine Aussage ist ein Satz, von dem eindeutig feststeht, ob er wahr oder falsch ist.\\ + \begin{itemize} + \item \textbf{UND und ODER} \ Man definiere die Verknüpfungen UND $\land$ und ODER $\lor$ wie folgt: + + \begin{tabular}{l|c|c|c} + $V$ & $E$ & $V \ \text{und} \ E$ & $V \ \text{oder} \ E$ \\ + \hline + w & w & w & w \\ + w & f & f & w \\ + f & w & f & w \\ + f & f & f & f \\ + \end{tabular} + \\ + + \item \textbf{Negation} \ Man definiere die NICHT-Verknüpfung wie folgt: + + \begin{tabular}{l|c} + $V$ & $\neg V$ \\ + \hline + w & f \\ + f & w \\ + \end{tabular} + \\ + + \item \textbf{Implikation} \ Wenn $V$ gilt, gilt auch $E$. Man sagt: $V$ ist hinreichende Bedingung für $E$, oder die Voraussetzungen von $V$ sind hinreichend für die Gültigkeit von $E$. Die Gültigkeit von $E$ ist notwendig für die Gültigkeit von $V$, oder die Ungültigkeit von $E$ impliziert die Ungültigkeit von $V$. Es gilt: $V \implies E$ ist wahr, falls $\neg V$ oder $E$ wahr ist. + + \begin{tabular}{l|c|c} + $V$ & $E$ & $V \implies E$ \\ + \hline + w & w & w \\ + w & f & f \\ + f & w & w \\ + f & f & w \\ + \end{tabular} + \\ + + \item \textbf{Äquivalenz} \ Man definiere die Äquivalenzrelation $V \Leftrightarrow E$ als:\\ + $V \Leftrightarrow E$ steht für $V \implies E$ und $E \implies V$. + + \begin{tabular}{l|c|c} + $V$ & $E$ & $V \Leftrightarrow E$ \\ + \hline + w & w & w \\ + w & f & f \\ + f & w & f \\ + f & f & w \\ + \end{tabular} + \\ + \end{itemize} +\end{definition} + + +\begin{definition}[Quantoren] + Man definiere folgende Quantoren: + \begin{itemize} + \item $\forall$ Allquantor, also als: für alle. + \item $\exists$ Existenzquantor, also als: es existiert ein. + \item $\exists !$ als: es existiert genau ein a. + \end{itemize} +\end{definition} + + +\begin{bem} + Häufig hilft es Aussagen zu negieren. Hierbei gelten folgende Regeln (können mithilfe von WT gezeigt werden): + \begin{itemize} + \item $ \neg (\forall a \in A: V(a)) \Leftrightarrow (\exists a \in A: \neg V(a))$ + \item $ \neg (\exists a \in A: V(a)) \Leftrightarrow (\forall a \in A: \neg V(a))$ + \end{itemize} +\end{bem} + + +\begin{bem}[Kontraposition] + Zwei weitere Hilfsmittel: + \begin{itemize} + \item $( V \implies E) \Leftrightarrow (\neg E \implies \neg V)$ + \item $(V \Leftarrow E) \Leftrightarrow (\neg E \Leftarrow \neg V)$ + \end{itemize} +\end{bem} + + +\begin{bem} + Zu Quantoren: + \begin{itemize} + \item Quantoren müssen immer angegeben werden. + \item Die Reihenfolge der Quantoren ist essentiell. \\ + Bsp.: $T:=$ Menge aller Töpfe, $D:=$ Menge aller Deckel, $V(a,b)=$ Deckel $b$ passt auf Topf $a$. \\ + $\forall a \in T: \exists b \in D: V(a,b)$ ist vermutlich wahr, \\ + $\exists b \in D: \forall a \in T: V(a,b)$ ist vermutlich falsch. + + \end{itemize} +\end{bem} + + +\subsection{Abbildungen} + +\begin{definition}[Abbildungen] + Seien $A, B$ Mengen. Eine Abbildung $f$ zwischen $A$ und $B$ $f: A \rightarrow B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a \in A$ genau ein Element $b \in B$ zugeordnet. \\ + Hierbei nenne man $A$ Definitionsmenge von $f$ und $B$ Wertemenge von $f$. +\end{definition} + + +\begin{definition}[Folgen] + Zahlenfolgen sind Abbildungen $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$. Schreibweise: statt $a(n)$ wird $a_{n}$ und statt $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ wird $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ geschrieben. +\end{definition} + + +\begin{definition}[injektiv, surjektiv, bijektiv] + Es sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung. + \begin{itemize} + \item Abbildung $f$ heißt injektiv, wenn gilt: + \begin{equation*} + \forall a_{1}, a_{2} \in A: f(a_{1}) = f(a_{2}) \implies a_{1} = a_{2}. + \end{equation*} + \item Abbildung $f$ heißt surjektiv wenn gilt: + \begin{equation*} + \forall b \in B: \exists a \in A: b = f(a). + \end{equation*} + \item Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist. + \end{itemize} +\end{definition} + + +\begin{bsp} + Es sei $f$ eine Abbildung: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$. Dann ist $f$ weder injektiv, noch surjektiv. \\ + Jedoch ist $f: \mathbb{R} \rightarrow [-1, 1], \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$ surjektiv, aber nicht injektiv. \\ + Und $f: [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} ] \rightarrow [-1, 1], \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$ ist injektiv und surjektiv, also bijektiv. +\end{bsp} + + +\begin{definition}[Bild] + Das Bild von $A_{1}$ (unter $f$): + \begin{equation*} + f(A_{1}) := \{ f(a) \ | \ a \in A_{1} \ \} = \{ b \in B \ | \ \exists a \in A_{1}: b = f(a) \ \} + \end{equation*} +\end{definition} + +\begin{definition}[Urbild] + Das Urbild von $B_{1}$ (unter $f$): + \begin{equation*} + f^{-1}(B_{1}) := \{ a \ | \ f(a) \in B_{1} \ \} \subset A + \end{equation*} +\end{definition} + + +\begin{definition}[Inverse] + Zu einer bijektiven Abbildung existiert eine sogenannte Umkehrabbildung, auch Inverse, die ebenfalls bijektiv ist: + \begin{equation*} + f^{-1}: B \rightarrow A \ \text{mit} \ a = f^{-1}(b) \ :\Leftrightarrow \ b = f(a) + \end{equation*} +\end{definition} + +\begin{bem} + Nur bijektive Abbildung besitzen Inverse. \\ + Die Notation $f^{-1}(B)$ hat zwei Bedeutungen: + \begin{itemize} + \item Urbild von $B$ unter $f$ + \item Bild von $B$ unter $f^{-1}$ + \end{itemize} + Das Urbild ist also für beliebige Abbildungen definiert +\end{bem} + + +\begin{definition}[Komposition von Abbildungen] + Es sein $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ Abbildungen. + Dann sei: + \begin{equation*} + g \circ f : A \rightarrow C, \ (g\circ f)(a) := g(f(a)) + \end{equation*} + Man sagt: $g \circ f$ heißt $g$ komponiert $f$. +\end{definition} + + +\begin{definition}[Morphismen] + Seien $A$ und $B$ Mengen mit einer gewissen Operation $\oplus_{A}$ bzw. $\oplus_{B}$, z.B. Addition, Multiplikation. \\ + Die Abbildung $f: A \rightarrow B$ heißt homomorph (strukturerhaltend ), wenn gilt: + \begin{equation*} + \forall a_{1}, a_{2} \in A: f(a_{1} \oplus_{A} a_{2}) =f(a_{1}) \oplus_{A} f(a_{2}) + \end{equation*} + Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus. +\end{definition} + + +\begin{definition}[Äquivalenzrelation] + Äquivalenzrelation auf eine Menge $A$ ist eine Beziehung $a \sim b$ zwischen Elementen von $A$ mit Eigenschaften + \begin{itemize} + \item $R_{1}$ (Relation)für $\forall a, b \in A$ gilt entweder $a \sim b$ oder $a \nsim b$ + \item $R_{2}$(Reflexivität) $a \sim a$ + \item $R_{3}$(Symmetrie) $a \sim b \implies b \sim a$ + \item $R_{4}$(Transitivität) $a \sim b$ und $b \sim c \implies a \sim c$ + \end{itemize} +\end{definition} + + +\begin{definition}[Äquivalenzklasse] + $[a] := \{ b \in A \ | \ b \sim a \ \}$ \\ + $a$ heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse $[a]$. +\end{definition} + +\begin{bsp} + $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ \\ + Man definiere folgende Äquivalenzrelation: \\ + \begin{equation*} + (n, m) \sim (n', m') :\Leftrightarrow n + m' = n' + m \Leftrightarrow n - m = n' - m' + \end{equation*} + $R_{1}$ und $R_{2}$ sind offenbar erfüllt. \\ + $R_{3}$ $n + m' = n' + m \implies (n', m') \sim (n, m)$ \\ + $R_{4}$ $(n, m) \sim (n', m')$ und $(n', m') \sim (n'', m'')$ gilt: \\ + $(n' + m') + m'' = (n' + m) + m'' = (n' + m'') + m = (m' + n'') + m$ \\ + $\implies n + m'' = n'' + m \implies (n, m) \sim (n'', m'')$ \\ + + Die zugehörigen Äquivalenzklassen bestehen aus allen Paaren natürlicher Zahlen mit gleicher Differenz. +\end{bsp} + + + + +\end{document} diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis3.tex b/ws2019/ana/lectures/analysis3.tex index 4243e31..092842f 100644 --- a/ws2019/ana/lectures/analysis3.tex +++ b/ws2019/ana/lectures/analysis3.tex @@ -1,8 +1,6 @@ \documentclass{lecture} \begin{document} -\section{Grundlagen} - \subsection{Vollständige Induktion} \begin{bsp}