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ws2019/ana/lectures/analysis20.tex

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+\documentclass{../../../lecture}
+
+\begin{document}
+
+\section{Differentiation}
+
+\subsection{Ableitung}
+
+\begin{definition}
+    Sei $f\colon D \to \R$, $D \subset \R$, eine Funktion. Definiere
+    Differenzenquotienten in $x_0 \in D$.
+    \[
+        D_{h}f(x_0) := \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
+    .\] für Inkrement $h \in \R$ mit $x_0 + h \in D$.
+
+    Eine Funktion $f\colon D \to \R$ heißt differenzierbar im Punkt
+    $x_0 \in D$ mit Ableitung $f'(x_0)$, wenn für jede Nullfolge
+    $(h_n)_{n\in\N}$ mit $x_0 + h_n \in D$ die Folge
+    $(D_{h_n}f(x_0))_{n\in\N}$ konvergiert.
+\end{definition}
+
+\begin{bem}
+    \begin{enumerate}
+        \item Ist eine Funktion differenzierbar in $x_0 \in D$, so
+            haben die Folgen von Differenzenquotienten alle denselben
+            Limes.
+            \[
+                f'(x_0) := \lim_{x_0 + h \in D \; h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}
+            .\] 
+        \item In anderen Worten: Differenzierbarkeit in $x_0 \in D \stackrel{\text{Def.}}{\iff}$
+            \[
+                \exists \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
+            .\] 
+        \item Notationen:
+            \[
+                f'(x_0), \; \frac{df(x_0)}{dx}, \; \frac{d}{dx}f(x_0), \; \frac{df}{dx}(x_0)
+            .\] 
+        \item Ist $x_0 \in D$ ein Randpunkt, z.B.: unterer oder oberer Endpunkt von
+            $D = [a,b]$, dann wird in der Definition der rechts- oder linksseitige
+            Grenzwert gebildet. Man spricht von der links- oder rechtsseitigen
+            Ableitung.
+             \[
+                 \lim_{x \nearrow x_0 \text{ oder } x \uparrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
+             .\] ($: \iff x < x_0, x \to x_0$). Analog für die rechtsseitige Ableitung.
+        \item $f$ heißt differenzierbar auf $D$, wenn sie $\forall x_0 \in D$ differenzierbar
+            (bzw. einseitig differenzierbar im Falle eines Randpunktes) ist.
+            $f$ heißt stetig differenzierbar, falls die Ableitung
+            $f'\colon D \to \R$ auf $D$ stetig ist.
+        \item Differenzierbarkeit bedeutet:
+            Man kann die Funktion $f$ in $x_0$ ,,gut'' durch
+            eine affin-lineare Funktion annähern
+            (affin-linear: Polynom vom Grad 1).
+    \end{enumerate}
+\end{bem}
+
+\begin{satz}[$\epsilon - \delta$ Sprache]
+    Eine Funktion $f\colon D \to \R$ ist in $x_0 \in D$ differenzierbar mit $f'(x_0)$
+    $\iff$ 
+    $\forall \epsilon > 0$, $\exists \delta_{\epsilon} > 0$, s.d. $\forall x_0 + h \in D$, $|h| < \delta_{\epsilon}$ :
+    \[
+        \left| \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} - f'(x_0) \right| < \epsilon
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    trivial.
+\end{proof}
+
+\begin{satz}[differenzierbar $\iff$ linear approximierbar]
+    $f\colon D \to \R$ ist differenzierbar in $x_0 \in D$, genau dann
+    wenn eine Konstante $c \in \R$ existiert mit
+    \[
+        f(x) = f(x_0) + c(x - x_0) + R(x)
+    .\] Für das Restglied $R(x) = R(x, x_0)$ gilt
+    \[
+        \lim_{x \to x_0} \frac{R(x)}{x - x_0} = 0
+    .\] In diesem Falle ist $c$ eindeutig bestimmt mit
+    $c = f'(x_0)$.
+\end{satz}
+
+\begin{proof}
+    ,,$\implies$'': Sei $f$ differenzierbar mit $c = f'(x_0)$. Definiere
+    Funktion
+    \[
+        R(x) := f(x) - f(x_0) - c(x - x_0)
+    .\] Dann gilt
+    \[
+        \frac{R(x)}{x- x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - \underbrace{c}_{f'(x_0)}
+        \xrightarrow[x \to x_0]{f \text{ diff.}} 0
+    .\] 
+
+    ,,$\impliedby$ '' Sei umgekehrt $c \in \R$ mit
+    \[
+        \frac{R(x)}{x - x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - c \xrightarrow{x \to x_0} 0
+    .\], d.h.
+    \[
+        \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = c
+    .\] $\implies f'(x_0) = c$. Limes eindeutig $\implies$ $f$ differenzierbar.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Aus dem Satz zur linearen Approximation folgt eine geometrische Interpretation: $f(x)$
+    kann in $x_0$ ,,gut'' durch eine Gerade approximiert werden.
+    \[
+        f(x) \approx g(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x- x_0)
+    .\] Der Graph von $g$ ist eine Tangente.
+    Sekante:
+    \[
+        s_h(x) = f(x_0) + \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} (x-x_0)
+    .\] Tangente:
+    \[
+        g(x) = f(x_0) + f'(x)(x-x_0)
+    .\] 
+\end{bem}
+\begin{figure}[htpb]
+    \centering
+    \caption{$f(x)$ in rot, ihre Tangente (blau) und eine Sekante (lila)
+    im Punkt $x_0 = 1$}
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}%
+            [grid=both,
+             minor tick num=4,
+             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+             axis lines=middle,
+             enlargelimits={abs=0.2},
+             ymax=5,
+             ymin=0
+            ]
+            \addplot[domain=0:3,samples=50,smooth,red] {0.5*x^2};
+            \addplot[domain=0:3,samples=50,smooth,blue] {(x - 1)+0.5};
+            \addplot[domain=0:3,samples=50,smooth,purple] {1.9*(x - 1) + 0.5};
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+\end{figure}
+
+\begin{lemma}
+    Sei $f\colon D \to \R$ differenzierbar in $x_0 \in D$. Dann ist
+    $f$ stetig in $x_0$.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    Sei $f$ differenzierbar, d.h.
+    \[
+        \exists f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}
+    .\] Dann gilt wegen der linearen Approximation:
+    \begin{align*}
+        f(x) &= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + R(x) \\
+             &= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{R(x)}{x - x_0}(x-x_0)
+    .\end{align*}
+    Für $x \to x_0$ geht
+    \[
+        f(x) - f(x_0) = f'(x_0)\underbrace{(x-x_0)}_{\to 0}
+        + \underbrace{\frac{R(x)}{x -x_0}}_{\to 0}\underbrace{(x-x_0)}_{\to 0}
+    .\] d.h. $f(x) \to f(x_0) \stackrel{\text{Def. Stetigkeit}}{\implies} f$ stetig.
+\end{proof}
+
+\begin{bem}
+    Umgekehrt gilt das nicht, z.B.: die Betragsfunktion.
+\end{bem}
+
+\begin{bsp}
+    \begin{enumerate}
+        \item Konstante Funktionen $f \equiv c$ sind stetig
+            differenzierbar mit  $f'(x_0) = 0$ $\forall x_0$.
+        \item Lineare Funktionen $f\colon \R \to \R$
+            $f = ax$ sind stetig differenzierbar mit $f'(x_0) = a$
+            $\forall x_0$, weil
+            \[
+                \lim_{h \to 0} \frac{a(x_0 + h) - ax_0}{h} = a
+            .\] 
+        \item Monomfunktion: $f(x) = x^{n}, n \in \N$ ist
+            stetig differenzierbar mit $f'(x) = n x^{n-1}$ $\forall x$, weil
+            \begin{align*}
+                \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{n} - x^{n}}{h}
+                &\stackrel{a^{n} - b^{n} = \ldots}{=}
+                \lim_{h \to 0} \frac{(x+h-x)(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}\cdot x + \ldots + (x-h)x^{n-2} + x^{n-1}}{h} \\
+                &= \underbrace{x^{n-1} + x^{n-2} \cdot x + \ldots + x^{n-1}}_{n\text{-mal}}  \\
+                &= n x^{n-1}
+            .\end{align*}
+        \item Elementare rationale Funktionen
+            $f = \frac{1}{x}$, $x \neq 0$.
+            \begin{align*}
+                f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x} \right)
+                      = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \frac{x - (x+h)}{(x+h)\cdot x}
+                  = \lim_{h \to 0} - \frac{1}{\underbrace{(x+h)}_{\to x}\cdot x}
+                      = - \frac{1}{x^2}
+            .\end{align*}
+        \item Betragsfunktion $f(x) = |x|$
+            \[
+                f'(x) = \begin{cases}
+                    x & x \ge 0 \\
+                    -x & x < 0
+                \end{cases}
+            .\] ist bei $x_0 = 0$ nicht differenzierbar.
+            $\frac{d|x|}{dx}$ für $x_0 = 0$ existiert nicht. Allerdings
+            existieren die einseitigen Ableitungen.
+\begin{figure}[htpb]
+    \centering
+    \caption{Betragsfunktion}
+    \begin{tikzpicture}
+        \begin{axis}%
+            [grid=both,
+             minor tick num=4,
+             grid style={line width=.1pt, draw=gray!10},
+             major grid style={line width=.2pt,draw=gray!50},
+             axis lines=middle,
+             enlargelimits={abs=0.2},
+             ymax=5,
+             ymin=0
+            ]
+            \addplot[domain=-3:3,samples=100,red] {abs(x)};
+          \end{axis}
+    \end{tikzpicture}
+\end{figure}
+        \item Exponential-Funktion $f(x) = e^{x}$ ist stetig
+            differenzierbar $\forall x$ mit $f'(x) = e^{x}$, weil
+            \begin{align*}
+                \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h} - e^{x}}{h}
+                = e^{x} \cdot \underbrace{\lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{h}}_{= 1} = e^{x}
+            .\end{align*}
+            mit
+            \begin{align*}
+                e^{h} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{h^{k}}{k!} = 1 + \frac{h}{2} + \frac{h^2}{3!} + \ldots \\
+                \frac{e^{h} - 1}{h} &= 1 + \frac{h}{2} + \frac{h^2}{3!} + \ldots \xrightarrow{h \to 0} \to  1
+            .\end{align*}
+        \item Sinus / Cosinus.
+             mit $\sin(x) - \sin(y) = 2 \cos \frac{1}{2} (x+y) \cdot \sin \frac{1}{2}(x-y)$ folgt
+            \begin{align*}
+                \sin'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h} \\
+                         &= \lim_{h \to 0} \frac{2 \cos\left(\frac{1}{2} h +x\right)\cdot \sin(\frac{1}{2}h)}{h} \\
+                         &= \lim_{h \to 0}
+                         \underbrace{\cos\left(\frac{1}{2}h + x\right)}_{\to \cos x}
+                         \cdot 
+                         \underbrace{\lim_{h \to 0} \frac{\sin(\frac{1}{2}h)}{\frac{h}{2}}}_{\to 1} \\
+                         &= \cos x
+            .\end{align*}
+
+            $\cos'(x) = - \sin(x)$ folgt analog.
+    \end{enumerate}
+\end{bsp}
+
+\begin{satz}[Ableitungsregeln]
+    Für die Ableitungen gelten folgende Rechenregeln.
+    Seien $f, g\colon D \to \R$ differenzierbar.
+    \begin{enumerate}
+        \item Lineare Kombinationen $\alpha f + \beta g$
+            ist differenzierbar mit
+             \[
+                 (\alpha f + \beta g)'(x) = \alpha f'(x) + \beta g'(x)
+            .\] $\alpha, \beta \in \R$ 
+        \item Produktregel
+            \[
+                (f\cdot g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)\cdot g'(x)
+            .\] 
+        \item Quotientenregel
+            \[
+                \left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{g^2}
+            .\]  $g(x) \neq 0$
+    \end{enumerate}
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion]
+    Sei $f\colon  D \to B \subset \R$ stetige invertierbare
+    Funktion mit Inverser
+    \[
+    f^{-1}\colon B \to D.
+    .\] Ist $f$ in $x_0 \in D$ differenzierbar mit $f'(x) \neq 0$. Dann ist
+    $f^{-1}$ in $y_0 = f(x_0)$ differenzierbar mit
+    \[
+        \left( f^{-1} \right)'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} \quad y_0 = f(x_0)
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{satz}[Kettenregel]
+    Seien $f\colon D_f \to \R$, $g\colon D_g \to \R$ stetige Funktionen.
+    $f \in x_0 \in D_f$ differenzierbar, $g \in y_0 = f(x_0) \in D_g$ 
+    differenzierbar. Dann ist $(g \circ f): D_f \to \R$ differenzierbar
+    in $x_0$ und es gilt die Kettenregel
+    \[
+        \left( g \circ f \right) ' (x_0) = g'(f(x_0)) \cdot f'(x_0)
+    .\] 
+\end{satz}
+
+\begin{bsp}
+    Für $x > 0$ \[
+        \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}
+    .\] $\ln x$ auf $]0, \infty[$ ist stetig differenzierbar.
+    \[
+        \ln'(y) = \frac{1}{(e^{x})'} = \frac{1}{e^{x}} = \frac{1}{y}
+    .\] $y = e^{x}$ 
+
+    Trick: $y = u^{v}$, $u = u(x), v = v(x)$ 
+    \begin{align*}
+        \ln y &= v \ln u \\
+        \frac{1}{y} \cdot y' &= v' \ln u + v \cdot \ln + v\cdot (\ln u)'
+        = v' \ln u + v \frac{1}{u} u' \\
+        \implies y' &= y (v' \ln u + v \frac{1}{u} u') \\
+        \implies (u^{v})' &= u^{v}(v' \ln u + v \cdot \frac{1}{u} u')
+        = u^{v} \cdot \ln u \cdot v' + u^{v-1} \cdot v \cdot u'
+    .\end{align*}
+
+    $y = \frac{(x^2 + 2)\cdot \sqrt[4]{(x-1)^{3}} e^{x} }{(x+5)^{3}} = g(x)$  \\ 
+    $\ln y = \ln(x^2 + 2) + \frac{3}{4} (x-1) + x - 3 \ln (x+5)$
+\end{bsp}
+
+\end{document}