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2019-11-19 16:25:58 +01:00
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@@ -206,4 +206,74 @@ $V = \text{Abb}\left( \{0, 1, \ldots, n+1\}, K\right)$.

 \end{aufgabe}

+\begin{aufgabe}
+    Es sei $K$ ein Körper und $U, V$ zwei $K$-Vektorräume.
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Beh.: Ist $f\colon U \to V$ linear, ist auch die duale
+            Abbildung $f^{*}\colon V^{*} \to U^{*}$ linear.
+
+            \begin{proof}
+                Seien $\varphi_1, \varphi_2 \in V^{*}$ und $a \in K$ beliebig.
+                \begin{align*}
+                    f^{*}(\varphi_1 + \varphi_2) &=
+                    (\varphi_1 + \varphi_2) \circ f
+                    = \varphi_1 \circ f + \varphi_2 \circ f
+                    = f^{*}(\varphi_1) + f^{*}(\varphi_2) \\
+                    f^{*}(a \varphi_1) &=
+                    (a \varphi_1) \circ f
+                    \stackrel{\varphi_1 \text{ linear}}{=}
+                    a ((\varphi_1) \circ f)
+                    = a f^{*}(\varphi_1)
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+        \item Beh.: Die Auswertungsabbildung ev:  $U \to (U^{*})^{*}$, mit
+            \[
+                u \mapsto (f \mapsto f(u))
+            \] ist linear.
+
+            \begin{proof}
+                Seien $u_1, u_2 \in U$, $a \in K$ und $f \in U^{*}$ beliebig.
+                \begin{align*}
+                    \text{ev}(u_1 + u_2)(f) &=
+                    f(u_1 + u_2)
+                    \stackrel{f \text{ linear}} {=} f(u_1) + f(u_2)
+                    = \text{ev}(u_1)(f) + \text{ev}(u_2)(f) \\
+                    \text{ev}(a u_1)(f) &=
+                    f(a u_1)
+                    \stackrel{f \text{ linear}} {=} a f(u_1)
+                    = a \cdot \text{ev}(u_1)(f)
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    Es sei $K$ ein Körper und $U, V$ zwei $K$-Vektorräume.
+
+    \begin{enumerate}[a)]
+        \item Die Abbildung $*$:
+            $\text{Hom}_K(U,V) \to \text{Hom}_K(V^{*}, U^{*})$
+            ist linear.
+
+            \begin{proof}
+                Seien $f_1, f_2 \in \text{Hom}_K(U,V)$,
+                $\varphi \in V^{*}$
+                und $a \in K$ beliebig.
+                \begin{align*}
+                    *(f_1 + f_2)(\varphi) &= (f_1 + f_2)^{*}(\varphi)
+                    = \varphi \circ (f_1 + f_2)
+                    = \varphi \circ f_1 + \varphi \circ f_2
+                    = *(f_1)(\varphi) + *(f_2)(\varphi) \\
+                    *(a f_1)(\varphi)
+                    &= (a f_1)*(\varphi)
+                    = \varphi \circ (a f_1)
+                    = a (\varphi \circ f_1)
+                    = a*(f_1)(\varphi)
+                .\end{align*}
+            \end{proof}
+        \item Ist $f\colon U \to V$ linear und surjektiv, so ist
+            $f^{*}\colon V^{*} \to U^{*}$ injektiv.
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
 \end{document}