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| \documentclass[uebung]{../../../lecture} | |||
| \title{Analysis I: Übungsblatt 11} | |||
| \author{Leon Burgard, Christian Merten} | |||
| \begin{document} | |||
| % punkte tabelle | |||
| \begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|@{}m{0cm}@{}} | |||
| \hline | |||
| Aufgabe & \centering A1 & \centering A2 & \centering A3 & \centering A4 & \centering A5 & \centering $\sum$ & \\[5mm] \hline | |||
| Punkte & & & & & & & \\[5mm] \hline | |||
| \end{tabular} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| Für $k \in \N$ ist | |||
| \[ | |||
| f_k(x) := \begin{cases} | |||
| x^{k} \sin\left(\frac{1}{x)}\right) & x \neq 0 \\ | |||
| 0 & x = 0 | |||
| \end{cases} | |||
| \] definiert. | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Beh.: $f_1$ ist in $x_0 = 0$ stetig, aber nicht differenzierbar. | |||
| \begin{proof} | |||
| Da $\sin\left( \frac{1}{x} \right)$ beschränkt durch $\pm 1$, gilt $\forall x \in \R^{\times}$ | |||
| \[ | |||
| \left|x\cdot \sin\left( \frac{1}{x} \right) \right| \le |x| | |||
| .\] Sei $\epsilon > 0$ bel., dann wähle $\delta := \epsilon$. Dann gilt | |||
| $\forall x \in \R^{\times }$ mit $|x| < \delta $: | |||
| \[ | |||
| \left| f_1(0) - f_1(x) \right| | |||
| = \left|x \cdot \sin\left( \frac{1}{x} \right) \right| | |||
| \le |x| < \delta = \epsilon | |||
| .\] $\implies f_1$ in $x_0 = 0$ stetig. | |||
| Weiter gilt für $x_0 = 0$ | |||
| \[ | |||
| D_h f_1(0) = \frac{f_1(0+h) - f_1(0)}{h} = \frac{h \cdot \sin(1 / h)}{h} | |||
| = \sin\left( \frac{1}{h} \right) | |||
| .\] Nun sind offensichtlich $(h_n)_{n\in\N}$ mit $h_n := \frac{1}{2\pi n}$ | |||
| und $(l_n)_{n\in\N}$ mit $l_n := \frac{1}{2 \pi n + \frac{\pi}{2}}$ Nullfolgen, aber | |||
| \[ | |||
| \lim_{n \to \infty} D_{h_n} f_1(0) = \lim_{n \to \infty} \sin\left( 2 \pi n \right) | |||
| = 0 \neq 1 = \lim_{n \to \infty} \sin \left( 2\pi n + \frac{\pi}{2} \right) | |||
| = \lim_{n \to \infty} D_{l_n} f_1(0) | |||
| .\] $\implies f_1$ in $x_0$ nicht differenzierbar. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $f_2$ in $x_0 = 0$ differenzierbar, aber $f_2'$ in $x_0 = 0$ nicht stetig. | |||
| \begin{proof} | |||
| Es gilt | |||
| \[ | |||
| D_h f_2(x_0) = \frac{f_2(h)}{h} = \frac{h^2 \sin(1 / h)}{h} = h \cdot \sin(1 / h) | |||
| .\] $\implies$ Analog zum Stetigkeitsbeweis in (a), folgt $f_2$ in $x_0$ differenzierbar.\\ | |||
| $\implies \lim_{h \to 0} D_h f_2(x) = 0 = f_2'(0)$. | |||
| Für $x \neq 0$ folgt mit Ableitungsregeln direkt: | |||
| \[ | |||
| f_2'(x) = 2x \cdot \sin(1 / x) - \cos ( 1 / x) | |||
| .\] Für $(x_n)_{n\in\N}$ mit $x_n := \frac{1}{2\pi n}$ folgt direkt | |||
| $x_n \xrightarrow{n \to \infty} 0 = x_0$, aber | |||
| \[ | |||
| f_2'(x_n) = 2 \cdot \frac{1}{2\pi n} \sin(2 \pi n) - \cos(2 \pi n) | |||
| = -1 \neq 0 = f_2'(0) | |||
| .\] $\implies$ $f_2'$ nicht stetig in $x_0 = 0$. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $f_3$ in $x_0 = 0$ nur einmal differenzierbar. | |||
| in $x_0 = 0$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Für $x_0 = 0$ folgt direkt | |||
| \[ | |||
| D_h f_3(x_0) = \frac{f_3(h)}{h} = \frac{h^{3} \cdot \sin(1 / h)}{h} = h^2 \cdot \sin(1 / h) | |||
| \xrightarrow{h \to 0} 0 | |||
| .\] Für $x \neq 0$ gilt mit Ableitungsregeln direkt: | |||
| \[ | |||
| f_3'(x) = 3x^2 \cdot \sin(1 / x) - x \cdot \cos(1 / h) | |||
| .\] Damit folgt | |||
| \[ | |||
| \lim_{x \to 0} f_3'(x) = 0 = f'(0) | |||
| .\] $\implies f_3'$ in $x_0 = 0$ stetig. Aber wegen | |||
| \[ | |||
| D_h f_3'(0) = \frac{3 h^2 \sin(1 / h) - h \cos(1 / h)}{h} | |||
| = 3 h \sin(1 / h) - \cos (1 / h) | |||
| .\] $\implies f_3'$ in $x_0 = 0$ nicht differenzierbar, analog zu (a). | |||
| \end{proof} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| Sei $f\colon R_{+} \to \R$, $x \mapsto \sqrt{x} $. | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Beh.: $f^{(k)}(x) = \left( -\frac{1}{2} \right)^{k} \prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) \cdot x^{\frac{1}{2} - k} $ | |||
| \begin{proof} | |||
| durch vollständige Induktion nach $k$. | |||
| I.A.: $k = 0$ | |||
| \[ | |||
| f^{(0)}(x) = \left( -\frac{1}{2} \right)^{0} \cdot x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} = f(x) | |||
| .\] | |||
| I.S.: $k \to k+1$. Es ex. ein festes, aber bel. $k \in \N$, für das die Beh. gilt. Damit folgt | |||
| \begin{align*} | |||
| f^{(k+1)}(x) = f^{(k)}'(x) | |||
| &\stackrel{\mathclap{\text{I.V.}}}{=} | |||
| \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^{k} | |||
| \prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) \cdot x^{\frac{1}{2} -k} \right)'(x) \\ | |||
| &\stackrel{\mathclap{\text{Potenzregel}}}{=} \qquad | |||
| \left( \frac{1}{2} -k \right) \left(-\frac{1}{2}\right)^{k} | |||
| \prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) \cdot x^{\frac{1}{2} - k -1} \\ | |||
| &= -\frac{1}{2} (2k-1) | |||
| \left(-\frac{1}{2}\right)^{k} | |||
| \prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) \cdot x^{\frac{1}{2} - (k +1)} \\ | |||
| &= \left( -\frac{1}{2} \right)^{k+1} \prod_{n=0}^{k} (2n-1) \cdot x^{\frac{1}{2} - (k+1)} | |||
| .\end{align*} | |||
| \end{proof} | |||
| \item Mit $(**)$ folgt dann direkt aus (a) | |||
| \[ | |||
| f^{(k)}(x) = \frac{\sqrt{\pi}}{2 \Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) } \cdot x^{\frac{1}{2}-k} | |||
| .\] | |||
| \item Aus (a) und (b) folgt damit direkt | |||
| \begin{align*} | |||
| T_{\infty}(x, x_0) &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \\ | |||
| &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\sqrt{\pi}}{2 \Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) k! } | |||
| \cdot x_0^{\frac{1}{2}-k} (x - x_0)^{k}\\ | |||
| &= \frac{\sqrt{\pi} }{2}\sum_{k=0}^{\infty} | |||
| \frac{x_0^{\frac{1}{2}-k}}{\Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) k! } | |||
| (x - x_0)^{k} | |||
| .\end{align*} | |||
| \item Zunächst folgt aus (ii) direkt | |||
| \begin{align*} | |||
| \Gamma\left(\frac{3}{2} - k\right) | |||
| &\stackrel{\mathclap{\text{(ii)}}}{=} | |||
| (-1)^{k-1} \frac{\Gamma\left( -\frac{3}{2} \right) \Gamma\left( \frac{5}{2} \right) } | |||
| {\Gamma(k + 1 - \frac{3}{2})} \\ | |||
| &\stackrel{\mathclap{\text{(iii)}}}{=} | |||
| (-1)^{k-1} \frac{\pi}{\Gamma\left( k - \frac{1}{2} \right) } | |||
| \intertext{$\implies$} | |||
| \Gamma\left(k - \frac{1}{2}\right) &= (-1)^{k-1} \frac{\pi}{\Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) } | |||
| \intertext{Eingesetzt in (i) ergibt sich damit} | |||
| -\frac{1}{2^{k-1}} \prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) &= | |||
| (-1)^{k-1} \frac{\pi}{\Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) \sqrt{\pi} } \\ | |||
| \implies \left( \frac{1}{2} \right)^{k-1} \; | |||
| \prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) &= (-1)^{k} \frac{\sqrt{\pi} } | |||
| {2 \Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) } \\ | |||
| \implies \left( - \frac{1}{2} \right)^{k} \; | |||
| \prod_{n=0}^{k-1} (2n-1) &= (-1)^{k} \frac{\sqrt{\pi} }{\Gamma\left( \frac{3}{2} -k \right) } | |||
| .\end{align*} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Mit $A := \left( e^{3x} - 5x \right)^{\frac{1}{x}}$ folgt | |||
| \[ | |||
| \ln A = \frac{1}{x} \cdot \ln\left( e^{3x} - 5x \right) | |||
| .\] Damit folgt | |||
| \begin{align*} | |||
| \frac{\ln(e^{3x} - 5x)'}{x'} = \frac{1}{e^{3x} - 5x} \left( 3 e^{3x} - 5 \right) | |||
| \xrightarrow{x \to 0} -2 | |||
| .\end{align*} Mit de l'Hospital folgt damit | |||
| \[ | |||
| \lim_{x \to 0} \left( e^{3x} - 5x \right)^{\frac{1}{x}} = e^{-2} | |||
| .\] | |||
| \item Analog zu (a) mit | |||
| \[ | |||
| \frac{\ln(e^{3x} - 5x)'}{x'} = \frac{1}{e^{3x} - 5x} \left( 3 e^{3x} - 5 \right) | |||
| = \frac{3 - \frac{5}{e^{3x}}}{1-5 \frac{x}{e^{3x}}} | |||
| \xrightarrow{x \to \infty} 3 | |||
| .\] Damit folgt | |||
| \[ | |||
| \lim_{x \to \infty} \left( e^{3x} - 5x \right)^{\frac{1}{x}} = e^{3} | |||
| .\] | |||
| \item Hier folgt direkt | |||
| \[ | |||
| \frac{(5^{x} - 2^{x})'}{x'} = \frac{\ln(5) \cdot 5^{x} - \ln(2)2^{x}}{1} | |||
| \xrightarrow{x \to 0} \ln(5) - \ln(2) | |||
| \qquad \stackrel{\mathclap{\text{de l'Hospital}}}{=} \qquad | |||
| \lim_{x \to 0} \frac{5^{x} - 2^{x}}{x} | |||
| .\] | |||
| \item Abl. bedeutet hier, Zähler und Nenner seperat abgeleitet. | |||
| \[ | |||
| \frac{x - \sin(x)}{x^2} \xrightarrow{\text{Abl.}} \frac{1 - \cos(x)}{2x} | |||
| \xrightarrow{\text{Abl.}} \frac{\sin(x)}{2} | |||
| \xrightarrow{x \to 0} 0 | |||
| .\] de l'Hospital: $\implies \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{x} - \frac{\sin(x)}{x^2} \right) = 0 $. | |||
| \item | |||
| \[ | |||
| \frac{\ln(1+x) - \sin x}{x^2} \xrightarrow{\text{Abl.}} | |||
| \frac{\frac{1}{1+x} - \cos x}{2x} | |||
| \xrightarrow{\text{Abl.}} | |||
| \frac{-\frac{1}{(1+x)^2} + \sin x}{2} \xrightarrow{x \to 0} -\frac{1}{2} | |||
| .\] de l'Hospital: $\implies \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \sin(x)}{x^2} = -\frac{1}{2} $. | |||
| \item Mit $y := \frac{1}{x}$ und $A := (1+y)^{\frac{1}{y}}$, folgt | |||
| \[ | |||
| \ln A = \frac{\ln(1+y)}{y} \xrightarrow{\text{Abl.}} | |||
| \frac{1}{1+y} \xrightarrow{y \to \infty} 0 | |||
| .\] Damit folgt mit de l'Hospital $\lim_{y \to \infty} A = 1$. Insgesamt ergibt sich damit | |||
| \[ | |||
| \lim_{y \to \infty} \frac{1}{y} \cdot (1+y)^{\frac{1}{y}} - \frac{e}{y} = 0 | |||
| .\] | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Die Funktion ist konvex, d.h. die Bedingung $r'(m) = 0$ reicht bereits aus. Damit folgt | |||
| \begin{align*} | |||
| 0 &\stackrel{!}{=} r'(m) = - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} 2(y_i - m x_i - b^{*}) \\ | |||
| \implies m^{*} &= \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i y_i - b^{*} \sum_{i=1}^{N} x_i}{\sum_{i=1}^{N} x_i^2} | |||
| .\end{align*} | |||
| Mit $\xi := \sum_{i=1}^{N} x_i y_i$ und $\zeta := \sum_{i=1}^{N} x_i^2$ folgt | |||
| \begin{align*} | |||
| m^{*} = \frac{\xi - b^{*} N \overline{x}}{\zeta} | |||
| .\end{align*} | |||
| Mit $b^{*} = \overline{y} - m \overline{x}$ folgt | |||
| \begin{align*} | |||
| m^{*} &= \frac{\xi - N(\overline{y} - m^{*} \overline{x})\overline{x}}{\zeta} \\ | |||
| \implies m^{*} &= \frac{\xi - N \overline{x} \overline{y}}{\zeta - N \overline{x}^2} | |||
| .\end{align*} | |||
| \item Mit $f(x) = m^{*} x + b^{*}$ und der in (a) gezeigten Formel folgt mit dem | |||
| Ansatz $f(x) = 0$, dass ab dem 32. Zettel niemand mehr abgibt. | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Beh.: $f_n(x) := \sin\left( \frac{1}{n} x \right)$, $x \in [-\pi, \pi]$ ist | |||
| gleichmäßig konvergent mit $f(x) = 0$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Der $\sin(\tau)$ hat auf $\tau \in [-\pi, \pi]$ genau zwei Extrema bei $\tau_1 = \frac{\pi}{2}$ | |||
| und $\tau_2 = -\frac{\pi}{2}$. | |||
| Für $n > 2$ gilt: $\left| \frac{1}{n} \cdot \pi \right| < \frac{\pi}{2}$. Damit | |||
| folgt $\forall x \in [-\pi, \pi]$: $\sin\left( \frac{1}{n} x \right) | |||
| \le \sin\left( \frac{1}{n} \pi \right) $. | |||
| Sei nun $\epsilon > 0$ bel. Dann wähle | |||
| $n_{\epsilon} := \left\lceil \frac{\pi}{\arcsin(\epsilon)} \right\rceil > 2$. Dann folgt | |||
| $\forall x \in [-\pi, \pi]$ und alle $n \in \N$ mit $n \ge n_{\epsilon}$: | |||
| \[ | |||
| |f_n(x) - f(x)| = |f_n(x)| = \left|\sin\left( \frac{1}{n} x \right)\right| | |||
| \le \left| \sin\left( \frac{1}{n_{\epsilon}} \pi \right) \right| | |||
| \le \left| \sin\left( \frac{1}{\frac{\pi}{\arcsin(\epsilon)}} \pi \right) \right| | |||
| = \epsilon | |||
| .\] $\implies f_n$ gleichmäßig konvergent. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $f_n(x) := n x (1-x)^{n}$, $x \in [0,1]$ ist punktweise konvergent | |||
| mit $f(x) = 0$, aber nicht gleichmäßig konvergent. | |||
| \begin{proof} | |||
| Sei $x \in [0,1]$. Für $x = 0$ und $x = 1$ gilt | |||
| $f_n(1) = f_n(0) = f(0)$ $\forall n \in \N$. | |||
| Für $x \in (0,1)$ gilt | |||
| \begin{align*} | |||
| \frac{f_{n+1}(x)}{f_n(x)} &= \frac{(n+1)(1-x)}{n} = \frac{n+1-x(n+1)}{n} | |||
| .\end{align*} | |||
| Wähle nun $n_{0} = \left\lceil \frac{1 - x}{x}\right\rceil $. Dann gilt $\forall n > n_0$: | |||
| \[ | |||
| x (n+1) > x \left( \frac{1-x}{x} + 1 \right) = 1 | |||
| \implies \frac{\overbrace{n+1 - x(n+1)}^{<\; n}}{n} < 1 | |||
| .\] | |||
| Damit ist $\forall n > n_0$ $f_n$ streng monoton fallend. | |||
| Da außerdem $f_n(x)$ nach unten beschränkt durch $0$, gilt damit | |||
| $f_n(x) \xrightarrow{n \to \infty} 0$. | |||
| $\implies f_n$ konvergiert punktweise gegen $f(x) = 0$.\\[2mm] | |||
| Z.z.: $f_n$ nicht gleichmäßig konvergent. | |||
| $f_n(x)$ ist als Produkt von stetigen Funktionen stetig und nach Produktregel | |||
| differenzierbar. | |||
| Mit Produkt- und Potenzregel folgt demnach | |||
| \begin{align*} | |||
| f_n'(x) &= n \left[ (1-x)^{n} - nx (1-x)^{n-1} \right] \\ | |||
| &= n (1-x)^{n-1} \left[ 1-x - nx \right] \\ | |||
| f_n''(x) &= n^2 \left[ -(1-x)^{n-1} - (1-x)^{n-1} + x(n-1) (1-x)^{n-2} \right] \\ | |||
| &= n^2 \left( 1-x \right)^{n-2} | |||
| \left[ -2 +x + xn\right] | |||
| .\end{align*} | |||
| Für $\xi_n = \frac{1}{n+1}$ gilt | |||
| \begin{align*} | |||
| f_n'\left(\xi_n) | |||
| &= n \left( 1-\frac{1}{n+1} \right)^{n-1} \left[ 1 - \frac{1}{n+1} - \frac{n}{n+1} \right] | |||
| = n \left( 1- \frac{1}{n+1} \right)^{n-1} \left[ \frac{n+1 - 1 -n}{n+1}\right] = 0 \\ | |||
| f_n''(\xi_n) | |||
| &= n^2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{n-2} | |||
| \left[ -2 + \frac{1}{n+1} + \frac{n}{n+1} \right] | |||
| = \underbrace{n^2 \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{n-2}}_{> 0} | |||
| \underbrace{\left[ \frac{-n -1}{n+1} \right]}_{< 0} < 0 | |||
| .\end{align*} | |||
| Damit folgt, $f_n$ hat einen Hochpunkt bei $x = \xi_n$. Weiter gilt | |||
| \begin{align*} | |||
| f_n(\xi_n) &= \frac{1}{n+1} n \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{n} | |||
| = \frac{1}{\frac{1}{n} + 1} \left( 1 - \frac{1}{n+1} \right)^{n} | |||
| \xrightarrow{n \to \infty} \frac{1}{e} | |||
| .\end{align*} | |||
| Sei nun $\frac{1}{2e} > \epsilon > 0$ beliebig. Dann ex. ein $N_0 \in \N$, s.d. gilt | |||
| $\forall n > N_0$: | |||
| \begin{align*} | |||
| \left| \frac{1}{e} - f_n(\xi_n) \right| < \epsilon | |||
| \implies \left| f(\xi_n) \right| + \epsilon > \left| \frac{1}{e} \right| | |||
| \implies |f_n(\xi_n)| > \frac{1}{e} - \epsilon | |||
| .\end{align*} | |||
| Sei nun $N_0 < n_\epsilon \in \N$ beliebig. Dann wähle | |||
| $x = \xi_{n_\epsilon}$. Damit folgt | |||
| \[ | |||
| |f_{n_\epsilon}(\xi_{n_\epsilon}) - f(\xi_{n_\epsilon})| = |f_{n_{\epsilon}}(\xi_{n_\epsilon})| | |||
| > \frac{1}{e} - \epsilon | |||
| > 2 \epsilon - \epsilon = \epsilon | |||
| .\] $\implies f_n$ nicht gleichmäßig konvergent. | |||
| \end{proof} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \end{document} | |||