diff --git a/ws2020/ana/uebungen/ana7.pdf b/ws2020/ana/uebungen/ana7.pdf new file mode 100644 index 0000000..b1fe003 Binary files /dev/null and b/ws2020/ana/uebungen/ana7.pdf differ diff --git a/ws2020/ana/uebungen/ana7.tex b/ws2020/ana/uebungen/ana7.tex new file mode 100644 index 0000000..d6fc04e --- /dev/null +++ b/ws2020/ana/uebungen/ana7.tex @@ -0,0 +1,146 @@ +\documentclass[uebung]{../../../lecture} + +\title{Analysis 3: Übungsblatt 7} +\author{Leon Burgard, Christian Merten} +\usepackage[]{mathrsfs} + +\begin{document} + +\punkte + +\begin{aufgabe}[] + Es ist $F \coloneqq \frac{1}{1+x^2} \in L^{1}((0,1))$, da $F$ auf dem beschränkten Intervall $(0,1)$ + beschränkt. + Dann gilt mit dem Diffeomorphismus $t\colon (0, \frac{\pi}{4}) \to (0, 1)$ + mit $t(x) := \tan(x)$ für $x \in (0, \frac{\pi}{4})$ und + $\frac{\d{t}}{\d{x}} = \frac{1}{\cos^2(x)} = 1 + \tan^2(x)$ mit + dem Transformationssatz: + \begin{salign*} + \int_{(0,1)}^{} \frac{1}{1+x^2} \d{x} &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \d{t} = \frac{\pi}{4} + \qquad (*) + .\end{salign*} + Es ist $g$ stetig in beiden Koordinaten, insbesondere messbar und R-integrierbar mit Hauptsatz. Damit + folgt + \begin{salign*} + \int_{(0,1)}^{} \int_{(0,1)}^{} \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} \d{x} \d{y} + &= - \int_{(0,1)}^{} \int_{(0,1)}^{} \frac{\partial}{\partial x} \frac{x}{(x^2 + y^2)^2} \d{x} \d{y} \\ + &= - \int_{(0,1)}^{} \frac{1}{1+y^2} \d{y} \\ + &\stackrel{(*)}{=} - \frac{\pi}{4} \\ + &\neq \frac{\pi}{4} \\ + &\stackrel{(*)}{=} \int_{(0,1)}^{} \frac{1}{1+x^2} \d{x} \\ + &= \int_{(0,1)}^{} \int_{(0,1)}^{} \frac{\partial }{\partial y} \frac{y}{(x^2 + y^2)^2} \d{y} \d{x} \\ + &= \int_{(0,1)}^{} \int_{(0,1)}^{} \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} \d{y} \d{x} + .\end{salign*} + Die beiden Integrale stimmen nicht überein, da $g(x,y) \not\in L^{1}((0,1) \times (0,1))$, denn + \begin{salign*} + \int_{(0,1) \times (0,1)}^{} |g(x,y)| \d{(x,y)} &\stackrel{\text{Fubini}}{=} + \int_{(0,1)}^{} \int_{(0,1)}^{} \frac{|x^2 - y^2|}{(x^2 + y^2)^2} \d{x} \d{y} \\ + &= \int_{(0,1)}^{} \left[ - \int_{(0,y]}^{} \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)} \d{x} + + \int_{(y, 1)}^{} \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} \d{x} \right] \d{y} \\ + &= \int_{(0,1)}^{}\left[ \frac{y}{2 y^2} - \left( \frac{1}{1+y^2} - \frac{y}{2y^2}\right) \right] \d{y} \\ + &= \int_{(0,1)}^{} \frac{1}{y} \d{y} - \int_{(0,1)}^{} \frac{1}{1+y^2} \d{y} \\ + &\stackrel{\text{mon. Konv.}}{=} \lim_{n \to \infty} \int_{[\frac{1}{n}, 1)}^{} \frac{1}{y} \d{y} + - \frac{\pi}{4} \\ + &= - \lim_{n \to \infty} \ln\left( \frac{1}{n} \right) - \frac{\pi}{4} \\ + &= \infty + .\end{salign*} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe} + \begin{enumerate}[a)] + \item Es ist $(\sqrt{r^2 - 1})((1, \infty)) = (0, \infty)$, + $(rt \sin(s))(U) = \R$ und $(rt \cos(s))(U) = \R$. $\sin$ und $\cos$ haben + keine gemeinsamen Nullstellen und $r, t \neq 0$ für $(r, t, s) \in U$, also folgt + \[ + \Phi(U) = \{ x \in \R^2 \times (0, \infty) \mid x_1 \neq 0 \lor x_2 \neq 0\} + .\] + Durch Rechnung folgt + \[ + D \Phi = \begin{pmatrix} t \cos(s) & - rt \sin(s) & r \cos(s) \\ + t \sin(s) & rt \cos(s) & r \sin(s) \\ + \frac{r}{\sqrt{r^2 - 1} } & 0 & 0 + \end{pmatrix} + \quad \text{det}(D \Phi) = -\frac{r^{3}t}{\sqrt{r^2 - 1} } + .\] + \item Es ist $D \Phi$ auf ganz $U$ definiert und stetig, also $\Phi \in C^{1}(U)$. + Betrachte $\Psi \colon \Phi(U) \to U$ mit + \[ + \Psi(u, v, w) = \begin{pmatrix} \sqrt{w^2 + 1} \\ + \arccos\left( \frac{u}{\sqrt{ u^2 + v^2}} \right)\\ + \sqrt{\frac{u^2 + v^2}{w^2 + 1}} + \end{pmatrix} + .\] Kurze Rechnung ergibt $\Psi \circ \Phi = \text{id}$ und $\Phi \circ \Psi = \text{id}$. + Also folgt $\Phi$ bijektiv und $\Phi^{-1} = \Psi$. + Es ist außerdem $\Phi^{-1}$ stetig partiell differenzierbar, als Verkettung + stetig partiell differenzierbarer Funktionen. Also $\Phi^{-1} \in C^{1}(\Phi(U))$. + Insgesamt folgt, dass $\Phi$ ein $C^{1}$-Diffeomorphismus ist. + \item Es ist + \begin{salign*} + H &= \left\{ x \in \R^{3} \colon x_3 \in [0,2], \frac{1}{2} (1 + x_{3}^2) \le x_1^2 + x_2^2 \le 2(1 + x_3^2)\right\} \\ + &= \left\{ x \in \R^{3} \colon (r, t, s) \coloneqq \Phi^{-1}(x), \sqrt{r^2 - 1} \in [0,1], + \frac{1}{2} r^2 \le r^2t^2 \le 2 r^2\right\} \\ + &= \left\{ x \in \R^{3} \colon (r, t, s) \coloneqq \Phi^{-1}(x), r \in [1, \sqrt{5}], \frac{1}{2} \le t^2 \le 2\right\} \\ + &= \left\{ x \in \R^{3} \colon (r,t,s) \coloneqq \Phi^{-1}(x), r \in [1, \sqrt{5}], + t \in \left[ \frac{\sqrt{2} }{2}, \sqrt{2} \right] \right\} + \intertext{Damit folgt jetzt direkt} + \Phi^{-1}(H) &= + \left\{ (r, t, s) \in U \colon r \in [1, \sqrt{5}], t \in + \left[ \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2} \right]\right\} + .\end{salign*} + \item Zunächst gilt + \[ + \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(s) \d{s} = + \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2(s) \d{s} + .\] + Damit folgt + \begin{salign*} + \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2(s) \d{s} + = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} (\cos^2(s) + \sin^2(s)) \d{s} = + \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \d{s} = \pi \qquad (*) + .\end{salign*} + + Es ist $H$ beschränkt, also $\mathscr{L}^{3}(H) < \infty$ + und mit $F(x) \coloneqq x_1^2 x_3$ ist $|F|$ beschränkt auf $H$, also + $F \in L^{1}(H)$. Also folgt mit den Ergebnissen aus a) bis c) und + dem Transformationssatz + \begin{salign*} + \int_{H}^{} x_1^2 x_3 \d{x} &= \int_{\Phi(\Phi^{-1}(H))}^{} F \d{x} \\ + &\stackrel{\text{Trafo}}{=} \int_{\Phi^{-1}(H)}^{} (F \circ \Phi) | \text{det}(D \Phi)| \d{x} \\ + &\stackrel{\text{Fubini}}{=} + \int_{1}^{\sqrt{5} } \d{r} \int_{-\pi}^{\pi} \d{s} \int_{\frac{\sqrt{2} }{2}}^{\sqrt{2} } + \d{t} \frac{r^{5} t ^{3} \cos^2(s) \sqrt{r^2 - 1} }{\sqrt{r^2 - 1} } \\ + &\stackrel{(*)}{=} \frac{155}{8} \pi + .\end{salign*} + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe}[] + Definiere $h(x,y) \coloneqq f(x) g(y)$ für $x, y \in \R^{n}$. Es ist $h$ messbar, da $f$ und $g$ messbar. + Also gilt + \begin{salign*} + \int_{\R^{2n}}^{} |h(x,y)| \d{(x,y)} &\stackrel{\text{Fubini}}{=} + \int_{\R^{n}}^{} \int_{\R^{n}}^{} |h(x,y)| \d{x} \d{y} \\ + &= \int_{\R^{n}}^{} \int_{\R^{n}}^{} |f(x)| |g(x)| \d{x} \d{y} \\ + &= \int_{\R^{n}}^{} |f(x)| \d{x} \int_{\R^{n}}^{} |g(y)| \d{y} \\ + &\stackrel{f,g \in L^{1}(\R^{n})}{<} \infty + .\end{salign*} + Also folgt $h \in L^{1}(\R^{2n})$. Außerdem gilt für $x \in \R^{n}$ + \begin{salign*} + \int_{\R^{n}}^{} |h(x,y)| \d{y} = \int_{\R^{n}}^{} |f(x)| |g(y)| \d{y} = |f(x)| \int_{\R^{n}}^{} |g(y)| \d{y} < \infty + .\end{salign*} + Also mit $g_x \colon \R^{n} \to \R$, $y \mapsto h(x,y)$ ist auch $g_x \in L^{1}(\R^{n})$. + Damit folgt nun + \begin{salign*} + \left( \int_{\R^{n}}^{} f(x) \d{x} \right) + \left( \int_{\R^{n}}^{} g(x) \d{x} \right) + &= \int_{\R^{n}}^{} f(x) \int_{\R^{n}}^{} g(y) \d{y} \d{x} \\ + &= \int_{\R^{n}}^{} \int_{\R^{n}}^{} f(x) g(y) \d{y} \d{x} \\ + &= \int_{\R^{n}}^{} \left( \int_{\R^{n}}^{} h(x,y) \d{y} \right) \d{x} \\ + &\stackrel{\text{Trafo}}{=} \int_{\R^{n}}^{} \left( \int_{\R^{n}}^{} h(x, y - x) \d{y} \right) \d{x} \\ + &\stackrel{\text{Fubini}}{=} \int_{\R^{n}}^{} \left( \int_{\R^{n}}^{} h(x, y-x) \d{x} \right) \d{y} \\ + &= \int_{\R^{n}}^{} \int_{\R^{n}}^{} f(x)g(y-x) \d{x} \d{y} \\ + &= \int_{\R^{n}}^{} (f * g)(y) \d{y} + .\end{salign*} +\end{aufgabe} + +\end{document} diff --git a/ws2020/tut-ana/praesenz8.xopp b/ws2020/tut-ana/praesenz8.xopp new file mode 100644 index 0000000..ff64bbb Binary files /dev/null and b/ws2020/tut-ana/praesenz8.xopp differ diff --git a/ws2020/wtheo/uebungen b/ws2020/wtheo/uebungen index 4d3d46f..431a07a 160000 --- a/ws2020/wtheo/uebungen +++ b/ws2020/wtheo/uebungen @@ -1 +1 @@ -Subproject commit 4d3d46fe7fafe4bc5c46f8d4ad037c26dd9eb4f2 +Subproject commit 431a07adfcfa912a64004f1fd599456012adc560