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     \begin{align*}
         \vec{\nabla} (E + \lambda f) \cdot \delta \vec{x} = 0
     .\end{align*}
+    Mit
+    \begin{align*}
+        E(a,b,c) &= \frac{h^2}{8m}\left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) 
+        \intertext{folgt}
+        \vec{\nabla} E &= -\frac{h^2}{4m} \begin{pmatrix} \frac{1}{a^{3}} \\ \frac{1}{b^{3}} \\ \frac{1}{c^{3}} \end{pmatrix} \\
+        \vec{\nabla} f &= \begin{pmatrix} bc \\ ac \\ ab \end{pmatrix}
+    .\end{align*}
+    Damit folgt mit $V = abc$
+    \begin{align*}
+        -\frac{h^2}{4m} \begin{pmatrix} \frac{1}{a^{3}} \\ \frac{1}{b^{3}} \\ \frac{1}{c^{3}} \end{pmatrix}
+        + \lambda \begin{pmatrix} bc \\ ac \\ ab \end{pmatrix} = 0
+        \implies -\frac{h^2}{4ma^{3}} + \lambda \frac{V}{a} = 0 \implies \lambda = \frac{h^2}{4Vma^{2}}
+        \implies \begin{cases}
+            b^2 = a^2 \\
+            c^2 = a^2
+        \end{cases}
+    .\end{align*}
+    Mit $a, b, c > 0$ und $V = abc$ folgt $a = b = c = \sqrt[3]{V}$.
+
+    Überprüfung ob ein Minimum vorliegt:
+    \begin{align*}
+        H E(a,b,c) = \frac{h^2}{4m} \begin{pmatrix} \frac{3}{a^{4}} & 0 & 0 \\
+        0 & \frac{3}{b^{4}} & 0 \\
+        0 & 0 & \frac{3}{c^{4}}
+    \end{pmatrix} 
+    .\end{align*}
+    $H E(a,b,c)$ nach Hauptminorenkriterium positiv definit, damit liegt bei $a = b = c = \sqrt[3]{V}$
+    ein Minimum vor.
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Für die Zwangsbedingung gilt
+            \[
+                \tan \alpha = \frac{z}{x - \xi(t)} \implies x \sin \alpha - \xi(t) \sin \alpha - z \cos \alpha = 0. \qquad (*)
+            \] 
+        \item Damit folgen die Langrange-Gleichungen 1. Art:
+            \[
+                \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -mg \end{pmatrix} - m\ddot{\vec{x}} + \lambda \begin{pmatrix} \sin \alpha \\ 0 \\ -\cos\alpha \end{pmatrix} = 0 \implies
+                \begin{cases}
+                    -m\ddot{x} + \lambda \sin \alpha = 0 \implies \lambda = \frac{m}{\sin\alpha} \ddot{x} \\
+                    m\ddot{y} = 0 \qquad \stackrel{\vec{x}(0) = \dot{\vec{x}}(0) = 0} \implies \qquad y = 0\\
+                    mg + m\ddot{z} + \lamdba \cos\alpha = 0
+                \end{cases}
+            .\] Mit $(*)$ folgt
+            \[
+                x = \xi + z \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \implies \ddot{x}
+                = \ddot{\xi} + \ddot{z} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}
+            .\] Damit folgt für $z$:
+            \begin{align*}
+                &g + \ddot{z} +
+                \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\left( \ddot{\xi} + \ddot{z} \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right)
+                = 0 \\
+                \implies
+                &\ddot{z} = - g \sin^2\alpha - \sin\alpha \cos\alpha \ddot{\xi}
+                \intertext{Mit $\vec{x}(0) = 0$, $\dot{\vec{x}}(0) = 0$, $\xi(0) = 0$ und $\dot{\xi}(0) = 0$
+                folgt}
+                &z = -\frac{1}{2}g\sin^2\alpha \cdot t^2 - \frac{1}{2}\sin(2\alpha)\xi
+                \intertext{Eingesetzt in $(*)$ folgt für $x$}
+                &x = \sin^2\alpha \cdot \xi - \frac{1}{4} g \sin(2 \alpha) t^2
+                \intertext{Damit folgt insgesamt}
+                &\vec{x} = \begin{pmatrix} \sin^2\alpha \cdot \xi - \frac{1}{4} g \sin(2 \alpha) t^2 \\
+                0 \\
+                -\frac{1}{2}g\sin^2\alpha \cdot t^2 - \frac{1}{2}\sin(2\alpha)\xi
+            \end{pmatrix} 
+            .\end{align*}
+        \item Die Zwangskraft ist gegeben durch
+            \begin{align*}
+                \vec{Z} &= \lambda \vec{\nabla} f = \lambda \begin{pmatrix} \sin\alpha \\ 0 \\ -\cos\alpha \end{pmatrix} 
+                \intertext{Mit $\lambda = \frac{m}{\sin\alpha}\ddot{x}$ folgt direkt}
+                \vec{Z} &= \begin{pmatrix} m \ddot{\xi} \sin^2\alpha - \frac{1}{2} mg \sin(2\alpha) \\
+                0 \\
+                - \frac{m}{2} \ddot{\xi} \sin(2\alpha) + mg \cos^2\alpha
+            \end{pmatrix}
+            .\end{align*}
+    \end{enumerate}
+\end{aufgabe}
+
+\begin{aufgabe}
+    \begin{enumerate}[(a)]
+        \item Es liege ein Potential mit $\vec{F} = - \vec{\nabla} V(\vec{x})$ vor. Damit gilt
+            Energieerhaltung und es folgt
+            \begin{align*}
+                &\frac{m}{2} \dot{\vec{x}}^2 + V(\vec{x}) = E \\
+                \implies & \left|\frac{\text{d}\vec{x}}{\d t}\right| = \sqrt{\frac{2}{m}(E - V(\vec{x}))}
+                \intertext{Durch Trennung der Variablen folgt}
+                &\d t = \frac{|\text{d}\vec{x}|}{\sqrt{\frac{2}{m} (E - V(\vec{x}))}}
+                \implies \Delta t = \int_{\vec{x}_0}^{\vec{x}_E}
+                \frac{|\text{d}\vec{x}|}{\sqrt{\frac{2}{m} (E - V(\vec{x}))}}
+                \intertext{Mit $\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ -f(x) \end{pmatrix} $ folgt}
+                & \frac{\text{d}\vec{x}}{\d x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -f'(x) \end{pmatrix}
+                \implies \left| \frac{\text{d}\vec{x}}{\d x}\right| = \sqrt{1 + f'(x)^2} 
+                \intertext{Zusammen folgt}
+                &\Delta t = \int_{x_0}^{x_E} \frac{\sqrt{1 + f'(x)^2}}{\sqrt{\frac{2}{m} (E - V(\vec{x}))}} \d x
+            .\end{align*}
+        \item Mit $E = 0$, $x_0 = 0$, $x_E = 1$ und $f(x) = x$ folgt
+            \[
+            \Delta t = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2 g} } \d x = \frac{2}{\sqrt{g} } \sqrt{x}
+            \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{\sqrt{g} }
+            .\] 
+    \end{enumerate}
 \end{aufgabe}
 
 \end{document}