update la7

lecture.cls

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 \newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel}
 \newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung}
-\newtheorem{aufgabe}[satz]{Aufgabe}
+\newtheorem{aufgabe}{Aufgabe}
 
 \newcommand{\N}{\mathbb{N}}
 \newcommand{\R}{\mathbb{R}}

ws2019/la/uebungen/la7.tex

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                 Definiere:
                 \begin{align*}
                     &w_1 := \begin{cases}
-                        1 & \exists k \in \N\colon n = 3k+1 \\
-                        0 & \exists k \in \N\colon n = 3k+2 \\
-                        -1 & \exists k \in \N\colon n = 3k
+                        1 & \exists k \in \N_0\colon n = 3k+1 \\
+                        0 & \exists k \in \N_0\colon n = 3k+2 \\
+                        -1 & \exists k \in \N_0\colon n = 3k
                     \end{cases}, \qquad
                     w_2 \colon= \begin{cases}
-                        0 & \exists k \in \N\colon n = 3k+1 \\
-                        1 & \exists k \in \N\colon n = 3k+2 \\
-                        -1 & \exists k \in \N\colon n = 3k
+                        0 & \exists k \in \N_0\colon n = 3k+1 \\
+                        1 & \exists k \in \N_0\colon n = 3k+2 \\
+                        -1 & \exists k \in \N_0\colon n = 3k
                     \end{cases}
                 .\end{align*}
 
                 Zz.: $w_1, w_2 \in W$. Sei $n \in \N$ beliebig.
 
-                Falls $\exists k \in \N\colon n = 3k+1$, dann $n + 1 = 3k+2$ und $n + 2 = 3(k+1)$.
+                Falls $\exists k \in \N_0\colon n = 3k+1$, dann $n + 1 = 3k+2$ und $n + 2 = 3(k+1)$.
                 \begin{align*}
                     w_1(n) + w_1(n+1) + w_1(n+2) &= 1 + 0 - 1 = 0
                     \intertext{und}
                     w_2(n) + w_2(n+1) + w_2(n+2) &= 0 + 1 - 1 = 0
                 .\end{align*}
 
-                Fälle $\exists k \in \N\colon n = 3k+2$ bzw. $n = 3k$ folgen analog.
+                Fälle $\exists k \in \N_0\colon n = 3k+2$ bzw. $n = 3k$ folgen analog.
 
                 Zz.: $\{w_1, w_2\} $ ist Erzeugendensystem. Sei $f \in W$ beliebig.
                 Wähle $a_1 := f(1)$ und $a_2 := f(2)$. Damit gilt: