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2020-04-22 12:45:39 +02:00
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commit 8fe976ff88
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ws2019/ana/lectures/analysis16.tex
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@@ -116,7 +116,7 @@ in dieser Umgebung.
0 \le x_n \le 1 \; \forall n \stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} 0 \le x_0 \le 1 \implies x_0 \in [0,1] \quad \text{abgeschlossen}
.\]
$[0,1]$ ist nicht offen, da $0 \in [0,1]$, aber $\underbrace{]-r, r[}_{B_r(0) \subset [0,1]} \quad \forall r > 0$
$[0,1]$ ist nicht offen, da $0 \in [0,1]$, aber $\underbrace{]-r, r[}_{B_r(0) \not\subset [0,1]} \quad \forall r > 0$
\item $\R$ ist offen, abgeschlossen aber nicht kompakt.
\end{enumerate}
\end{bsp}
@@ -167,15 +167,15 @@ in dieser Umgebung.
Sei $f \colon D \to \R$, $D \subset \R$.
\begin{align*}
\operatorname{sup}_{x \in D} f(x) \quad &\text{kleinste obere Grenze der Bildmenge } B_f := \{f(x) \mid x \in D\} \\
& := \text{sup } B_f := \text{min}\{\beta \in \R \mid y \le \beta \; \forall y \in B_f \}
\sup_{x \in D} f(x) \quad &\text{kleinste obere Grenze der Bildmenge } B_f := \{f(x) \mid x \in D\} \\
& := \sup B_f := \text{min}\{\beta \in \R \mid y \le \beta \; \forall y \in B_f \}
.\end{align*}
\begin{align*}
\operatorname{inf}_{x \in D} f(x) \; := \text{inf } B_f := \text{min}\{\beta \in \R \mid y \le \beta \; \forall y \in B_f\}
\inf_{x \in D} f(x) \; := \text{inf } B_f := \text{min}\{\beta \in \R \mid y \le \beta \; \forall y \in B_f\}
.\end{align*}
Falls $B_f := f(D)$ beschränkt ist, dann $\exists $ inf und sup.
$x_min \in D$ heißt Minimum, $x_max$ Maximum von $f$, falls
$x_{\text{min}} \in D$ heißt Minimum, $x_{\text{max}}$ Maximum von $f$, falls
\[
\begin{cases}
\text{inf } f(x) = f(x_{min}) =: \text{min } f(x) \\