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     Für $x = x_0$: klar.
 
     Sei $x \neq x_0$. Betrachte $R = R(x, x_0)$ definiert durch
-    $f(x) = T_N(f, x, x_0) + \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot R$.
+    $f(x) = T_n(f, x, x_0) + \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot R$.
 
     Für $y \in D$ definiere
     \[
         \varphi(y) := f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(y)}{k!}(x-y)^{k} - \frac{(x-y)^{n+1}}{(n+1)!}R
     .\] 
     Dann folgt $\varphi(x_0) = 0 = \varphi(x)$, $\varphi \in C^{1}$.\\
-    $\stackrel{\text{Satz von Rolle}}{\implies}$ $\exists \xi$ zwischen $x$ und $x_0$ mit $\varphi'(\xi) = 0$.
+    $\stackrel{\text{Satz von Rolle}}{\implies} \qquad$
+    $\exists \xi$ zwischen $x$ und $x_0$ mit $\varphi'(\xi) = 0$.
     \begin{align*}
         0 = \varphi'(\xi) &= - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!} (x-\xi)^{k}
          - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\xi)}{k!}k(x-\xi)^{k-1}(-1)
-         - \frac{(n+1)(x-\xi)^{n}}{(n+1)!} R \\
+         + \frac{(n+1)(x-\xi)^{n}}{(n+1)!} R \\
                           &\stackrel{\mathclap{\text{Teleskop}}}{=} \quad - \frac{f^{n+1}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n} + \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} R \\
                           &= \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} \left( - f^{(n+1)}(\xi) + R \right)
      .\end{align*} $\implies R = f^{(n+1)}(\xi)$, $\xi$ zwischen $x$ und $x_0$.
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 \begin{proof}
     \[
         |f(x) - T_n(f, x, x_0)| \le \frac{\left| f^{(n+1)}(\xi)\right|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}
-        \le \frac{M}{(n+1)!(b-a)^{n+1}}
+        \le \frac{M}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}
     .\] $\implies \forall \epsilon > 0$ $\exists n_{\epsilon}$, s.d. $\frac{M}{(n+1)!}(b-a)^{n+1} < \epsilon$
 \end{proof}
 
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     Sei $f \in C^{n}(D, \R)$, $D = (a,b)$ und
     für $x_0 \in (a,b)$ gelte
     \[
-        f'(x_0) = f''(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) \quad \text{und} \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0
+        f'(x_0) = f''(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) = 0 \quad \text{und} \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0
     .\] Dann gilt
     \begin{enumerate}
         \item Ist $n$ gerade und $f^{(n)}(x_0) < 0$ bzw. $f^{(n)}(x_0) > 0$, dann ist
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     \end{enumerate}
 \end{korrolar}
 
-\begin{figure}
+\begin{figure}[h!]
     \centering
     \begin{subfigure}{.4\textwidth}
     \caption{$f(x) = x^3$}
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 \end{figure}
 
 \begin{proof}
-    Taylor Satz $\implies$ $f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} (x-x_0)^{n}$
+    Satz von Taylor $\implies$ $f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} (x-x_0)^{n}$
     $f^{(n)}$ stetig in $x_0$, $f^{(n)} \neq 0$ in $x_0$ \\
     $\implies \exists \delta > 0$, s.d. $f^{(n)}(x) \neq 0$ für
     $x \in \; ]x_0 - \delta , x_0 + \delta [$ und hat das gleiche
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             $x \neq x_0$.
             \[
                 f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\underbrace{(x-x_0)^n}_{> 0}
-            .\] $\implies$ $f(x) > f(x_0)$, falls $f^{(n)}(\xi) > 0$, dann
-            $f^{(n)}(x_0) > 0$.
-            $f(x) < f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) < 0$.
+            .\] $\implies$ Wegen $f^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(\xi)$ folgt $f(x) > f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) > 0$
+            und $f(x) < f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) < 0$.
         \item $n$ ungerade, wechselt $(x-x_0)^{n}$ das Vorzeichen.
     \end{enumerate}
 \end{proof}