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@@ -60,10 +60,11 @@

    \begin{proof}[Alternativbeweis mit Teleskop-Summe]
        \begin{align*}
-            1-x^{n+1} &= 1 - x + x - x^2 + x^2 - \ldots - x^n + x^n - x^n+1 \\
+            1-x^{n+1} &= 1 - x + x - x^2 + x^2 - \ldots - x^n + x^n - x^{n+1} \\
            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=1}^{n+1} x^{k} \\
            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=0}^{n} x^{k+1} \\
-            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - x \\
+            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - x \sum_{k=0}^{n} x^{k} \\
+            &= (1-x) \sum_{k=0}^{n} x^{k}
        .\end{align*}
    \end{proof}

@@ -79,13 +80,11 @@ $ \forall a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
 \begin{proof}
    Für $a=0$ und  $a = b$ stimmt die Formel offenbar.\\
    Betrachte geometrische Reihe mit $x := \frac{b}{a} \neq 1$
-    \[
-    1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n = 1 - x^n = (1 - x) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
-    = (1 - \frac{b}{a}) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b}{a}\right)^k
-    \] 
-    \[
-    a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} b^k a^{-k} a^{n-1} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k 
-    \] 
+    \begin{align*}
+    &1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n = 1 - x^n = (1 - x) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
+    = (1 - \frac{b}{a}) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b}{a}\right)^k \quad \Big| \cdot a^{n}\\
+    \implies &a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} b^k a^{-k} a^{n-1} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k 
+    .\end{align*}
 \end{proof}

 \subsection{Elemente der Kombinatorik}
@@ -113,16 +112,16 @@ Für $n \in \N$ ist die Fakultät $n!$ rekursiv definiert durch:
 \end{proof}

 \begin{definition}[Binomialkoeffizient]
-    Für $n, k \in \N$ definieren wir:\\
+    Für $n, k \in \N_0$ definieren wir:\\
    \begin{align*}
-        n \ge  k \ge  1:& \binom{n}{k} := \frac{n(n-1) \ldots (n -k + 1)}{k!} \\
-        k = 0:& \binom{n}{0} := 1
+        n \ge  k \ge  1\colon & \binom{n}{k} := \frac{n(n-1) \ldots (n -k + 1)}{k!} \\
+        k = 0\colon & \binom{n}{0} := 1
    \end{align*}
    $\binom{n}{k}$ ist die Anzahl der k-Elementigen Teilmengen einer n-Elementigen Menge, z.B.: Lotto $\binom{49}{6} = 13.983.816$.
    \begin{align*}
        \binom{n}{k} &= \frac{n(n-1) \ldots (n - k +1)}{k!}\\
                     &= \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}\\
-                     &= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{n-k}\\
+                     &= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{n-k}
    .\end{align*}
    Es folgt $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$,
    $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n, \forall n \in \N.$