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ws2019/ana/lectures/analysis5.tex

@@ -26,7 +26,7 @@
     $a<b, a = b, a >b$.
 \end{definition}
 
-Es gelten Regeln:
+Es gelten folgende Regeln:
 \begin{itemize}
     \item $a < b, b < c \implies a < c$ Transitivität
     \item $a < b \implies a + c < b +c, c \in K$
@@ -43,7 +43,7 @@ Es gelten Regeln:
 
 \begin{definition}[Absolutbetrag]
     Sei $(K, +, \cdot, >$ ein angeordneter Körper
-    Dann
+    Dann ist
     \[
     |a| := \begin{cases}
         a & \text{für } a > 0 \\
@@ -52,9 +52,9 @@ Es gelten Regeln:
     \end{cases}
     .\] 
 
-    Abbildung $|\cdot|$: $K \to K$ mit Eigenschaften:
+    eine Abbildung $|\cdot|$: $K \to K$ mit den Eigenschaften:
     \begin{itemize}
-        \item $|a| = 0 \iff a = 0$ (Definiertheit) 
+        \item $|a| = 0 \iff a = 0$ (Definitheit) 
         \item $|ab| = |a| |b|$ (Multiplikativität)
         \item $|a+b| \le |a| + |b|$ (Dreiecksungleichung)
     \end{itemize}
@@ -80,7 +80,7 @@ Es folgt aus den Eigenschaften:
     oder periodische Dezimalbruchdarstellung der Form:
     \[
         a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s): \iff
-        a = \pm \left(a_0 + \sum_{k=1}^{s} ds \cdot 10^{-k}\right)
+        a = \pm \left(a_0 + \sum_{k=1}^{s} d_k \cdot 10^{-k}\right)
     .\] bzw. 
     \[
         a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s \overline{d_{s+1} \ldots d_{s+t}})
@@ -142,7 +142,7 @@ ein $x \in \Q$ lösbar.
     E \implies E_1 \implies E_2 \implies \ldots \implies E_k \implies V
     .\] Indirekter Beweis: Zeigen $E$ und $\neg V$ immer
     falsch. Da $E$ immer wahr ist, muss $\neg V$ falsch sein.
-    Da $\neg V$ falsch ist, dann ist $V$ wahr.
+    Da $\neg V$ falsch ist, ist $V$ wahr.
 \end{bem}
 
 \textbf{Ziel}: Konstruiere rationale Zahlen, welche die
@@ -162,22 +162,22 @@ $a_1 < b_1, a_1^2 = 1,96 < 2 < 2,25 = b_1^2$
 
 Fall a) Es liege für ein $n \in \N$ eine Einschließung vor:
 \[
-    a_n = 1,d_1d_2, \ldots d_{n-1}d_n < b_n = 1,d_1d_2\ldots d_{n-1}(d_{n+1})
+    a_n = 1,d_1d_2, \ldots d_{n-1}d_n < b_n = 1,d_1d_2\ldots d_{n-1}(d_n + 1)
 .\] 
 \[
     a_n^2 < 2 < b_n^2
-.\] $d_k \in \{0,1, \ldots, 9\}, k=1 \ldots n-1, dn \le 8 $
+.\] $d_k \in \{0,1, \ldots, 9\}, k=1 \ldots n-1, d_n \le 8 $
 
 Die nächste Einschließung ist
 \[
-    a_{n+1} := 1,d_1\ldots d_n, d_{n+1},   d_{n+1} \in \{0,1,\ldots_,9\} 
+    a_{n+1} := 1,d_1\ldots d_n, d_{n+1}   \qquad d_{n+1} \in \{0,1,\ldots_,9\} 
 .\] $a_{n+1}$ möglichst groß aber $a_{n+1}^2 < 2$.
 
 und
 \[
 b_{n+1} := \begin{cases}
     1,d_1, \ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le 8 \\
-    1,d_1, \ldots (d_n + 1) 0 & für d_{n+1} = 9 \\
+    1,d_1, \ldots (d_n + 1) 0 & \text{für } d_{n+1} = 9 \\
 \end{cases}
 .\] Nach Konstruktion:
 \[
@@ -192,7 +192,7 @@ Fall b) Für ein $n \in \N$ liegt eine Einschließung vor
     a_1 = 1, d_1\ldots d_{n-1} d_{n} < b_{n} = 1, d_1 d_2 \ldots d_{n-1} (d_n + 1) 0 \ldots 0
 .\] 
 \[
-    a_n^2 < 2 < b_n^2 \text{ mit } d_k \in \{0, 1, \ldots ,9\}, k=1, n = 1
+    a_n^2 < 2 < b_n^2 \text{ mit } d_k \in \{0, 1, \ldots ,9\}, k=1 \ldots n-1
 .\] 
 \[
 d_n \le 8, d_{n+1} = \ldots = d_n = 9
@@ -241,7 +241,7 @@ $\implies$ wir sollen die Zahl $\sqrt{2}$ eventuell erfassen!
 Offenbar, $1 + \frac{1}{n} \to 1, n \to \infty$
 bzw.
 \[
-    \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n}) = 1
+    \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac{1}{n}\right) = 1
 .\] d.h. Folge konvergiert gegen 1
 
 \begin{definition}[Konvergenz]