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@@ -14,7 +14,7 @@
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ws2019/ana/lectures/analysis10.tex

@@ -40,8 +40,8 @@ Dies führt zur weiteren Darstellung komplexer Zahlen mit Hilfe von $\sin$ und $
 \begin{satz}[Vorteil der Exponentialdarstellung]
     Für $z = r e^{i \varphi} = r (\cos \varphi + i \sin \varphi)$
     \[
-    z_k = r_k e^{i \varphi k} \qquad k = 1,2 \text{ gilt}
+    z_k = r_k e^{i \varphi_k} \qquad k = 1,2 \text{ gilt}
-    .\] 
+    \] 
     \begin{enumerate}[(a)]
         \item $\overline{z} = r \cdot e^{-i\varphi}$
         \item $z_1 \cdot z_2 = r_1\cdot r_2 \cdot e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}$
@@ -101,8 +101,8 @@ tolle Grafik von der Kostina, die gibt's nur in der Vollversion.
     \begin{align*}
         &z^{n} = \rho^{n} e^{i n \psi}
         \stackrel{!}{=} r e^{i \varphi} = w \\
-        \iff &\rho^{n} = r \text{ und } n \psi = \varphi + 2 \pi k, k \in \Z \\
+        \iff &\rho^{n} = r \text{ und } n \psi = \varphi + 2 \pi k \quad k \in \Z \\
-        \iff &\varrho = \sqrt[n]{r} \text{ und } \psi = \frac{1}{n}(\varphi + 2 \pi k) k \in \Z
+        \iff &\rho = \sqrt[n]{r} \text{ und } \psi = \frac{1}{n}(\varphi + 2 \pi k) \quad k \in \Z
     .\end{align*}
 
     Betrachte: $z_k = \sqrt[n]{r} e^{i\psi_k}, \psi_k = \frac{1}{n}\left( \varphi + 2 \pi k \right), k = 0, 1, \ldots, n-1$ 

ws2019/ana/lectures/analysis11.tex

@@ -4,17 +4,19 @@
 
 \section{Folgen und Reihen}
 \subsection{Folgen}
-Eine Zahlenfolge ist eine Abbildung von $\N$ nach $\R$, d.h. $n \mapsto a_n \in \R$.
+\begin{definition}[Folgen]
+    Eine Zahlenfolge ist eine Abbildung von $\N$ nach $\R$, d.h. $n \mapsto a_n \in \R$.
 
-Teilfolge: $(a_{n_k})_{k \in\N}$ von $(a_n)_{n\in\N}$ wobei $(n_k)_{k \in \N}$ eine Folge natürlicher
+    Die Folge $(a_{n_k})_{k \in\N}$ ist eine Teilfolge von $(a_n)_{n\in\N}$
-Zahlen, weile streng monoton wächst, d.h. $n_1 < n_2 < \ldots.$ bzw. $n_k < n_{k+1} \forall k \in \N$ 
+    wobei $(n_k)_{k \in \N}$ eine Folge natürlicher
+    Zahlen ist, die streng monoton wächst, d.h. $n_1 < n_2 < \ldots.$ bzw. $n_k < n_{k+1} \forall k \in \N$.
+\end{definition}
 
 \begin{bsp}
     $(-1)^{n}$ hat zwei Teilfolgen: $(-1)^{2n} = 1$ und $(-1)^{2n+1} = -1$.
 \end{bsp}
 
 \begin{definition}[Konvergenz, Beschränktheit, Monotonie von Folgen]
-
     \begin{enumerate}
         \item Eine Folge $(a_n)_{n\in\N} \in \R$ heißt \textit{beschränkt}, wenn es eine
             Konstante $c \in \R$ gibt mit $|a_n| \le C$.
@@ -50,10 +52,10 @@ Zahlen, weile streng monoton wächst, d.h. $n_1 < n_2 < \ldots.$ bzw. $n_k < n_{
 
 \begin{proof} Angenommen $a \neq a'$. Definiere $\epsilon := \frac{|a - a'|}{2} > 0$.
 
-    Dann $\exists n_1,n 2 \in \N$ mit $|a_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_1$
+    Dann $\exists n_1,n_2 \in \N$ mit $|a_n - a| < \epsilon \quad \forall n \ge n_1$
     und $|a_n - a'| < \epsilon \quad \forall n \ge n_2$.
 
-    Dann $\forall n \ge \text{max}\{n_1, n_2\}$ gilt:
+    Dann gilt $\forall n \ge \text{max}\{n_1, n_2\}$:
     \begin{align*}
         |a - a'| = |a - a_n + a_n -a'| \le |a-a_n| + |a_n - a'| < \epsilon + \epsilon = | a - a'|
     .\end{align*}

ws2019/ana/lectures/analysis13.tex

@@ -14,7 +14,7 @@ Aus Definitionen:
     |z| := \sqrt{(\text{Re}(z))^{2} + (\text{Im}(z))^{2}}
 .\] und der Ungleichung:
 \[
-    max(|x|, |y|) \le \sqrt{x^2 + y^2}  \le |x| + |y| \quad \forall x,y \in \R
+    \max(|x|, |y|) \le \sqrt{x^2 + y^2}  \le |x| + |y| \quad \forall x,y \in \R
 .\] folgt:
 
 \begin{enumerate}
@@ -73,7 +73,7 @@ Aus Definitionen:
     Folge der Partialsummen
     \[
     s_n = \sum_{k=0}^{n} q^{k} = \begin{cases}
-        \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad q \neq 1 & q \neq 1 \\
+        \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} & q \neq 1 \\
         n + 1 & q = 1
     \end{cases}
     .\]

ws2019/ana/lectures/analysis14.tex

@@ -163,7 +163,7 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
 \subsection{Umordnen von Reihen}
 
 \begin{definition}[Umordnung]
-    Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe und $\tau: N \to N$ eine
+    Sei $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ eine Reihe und $\tau: \N \to \N$ eine
     bijektive Abbildung.
 
     Dann heißt $\sum_{n=1}^{\infty} a_{\tau(n)} =
@@ -214,10 +214,10 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
     absolut konvergente Reihen. Für $n \in \N_0$ sei $c_n$ definiert
     durch
     \[
-        c_n := \sum_{k=0}^{\infty} a_k b_{n-k} = a_0b_n + a_1b_{n-1}
+        c_n := \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k} = a_0b_n + a_1b_{n-1}
         + \ldots + a_nb_0
-    .\] Dann ist die Reihe $\sum_{n=0}^{\infty} c_n$ absolut konvergent
+    .\] Dann ist die Reihe $\sum_{k=0}^{\infty} c_k$ absolut konvergent
-    mit $\sum_{k=0}^{\infty} c_n = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \right)
+    mit $\sum_{k=0}^{\infty} c_k = \left( \sum_{n=0}^{\infty} a_n \right)
     \left( \sum_{n=0}^{\infty} b_n \right)$ 
 \end{satz}
 
@@ -317,7 +317,7 @@ Kostina glaubt, dass das so stimmt, aber offensichtlich ist sie sich nicht siche
     Zur Potenzreihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k(z-z_0)^{k}$ definiere
     den Konvergenzradius $\rho$ durch
     \[
-        \rho := \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \text{sup } \sqrt[n]{|a_n|} }
+        \rho := \frac{1}{\lim \sup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} }
     .\] 
 \end{definition}
 

ws2019/ana/lectures/analysis15.tex

@@ -15,7 +15,7 @@
         (f+g)(x) &:= f(x) + g(x) \\
         (f-g)(x) &:= f(x) - g(x) \\
         (f\cdot g)(x) &:= f(x) \cdot g(x) \\
-        \left(\frac{f}{g}\right)(x) &:= \frac{f(x)}{g(x)}\\
+        \left(\frac{f}{g}\right)(x) &:= \frac{f(x)}{g(x)}
     .\end{align*}
 \end{definition}
 
@@ -98,9 +98,10 @@
         H(x) := \begin{cases}
             1 & x > 0 \\
             \frac{1}{2} & x = 0 \\
-            0, x < 0
+            0 & x < 0
         \end{cases}
-    .\] Für $x_0 > 0$ gilt $\lim_{x \to x_0} H(x) = 1$.
+    .\]
+    Für $x_0 > 0$ gilt $\lim_{x \to x_0} H(x) = 1$.
     \begin{proof}
         Sei $\epsilon > 0$, wähle $\delta := \frac{x_0}{2} > 0$. Dann gilt
         \[
@@ -116,7 +117,7 @@
         Dann wählen wir $\epsilon = \frac{1}{4}$, dann ex. $\delta > 0$ mit
         \[
             |H(x) - y_0| < \frac{1}{4} \quad \forall x \text{ mit } x \in \;]-\delta, \delta[
-        .\] $\implies 1 = |H(-\delta)| - H(\delta)| \le |H(-\delta) - y_0| + |y_0 - H(\delta)| < \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ Widerspruch! \\
+        .\] $\implies 1 = |H(-\delta) - H(\delta)| \le |H(-\delta) - y_0| + |y_0 - H(\delta)| < \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ Widerspruch! \\
         $\implies \lim_{x \to 0} H(x) $ existiert nicht.
     \end{proof}
 

ws2019/ana/lectures/analysis16.tex

@@ -116,7 +116,7 @@ in dieser Umgebung.
                 0 \le x_n \le 1 \; \forall n \stackrel{\text{Sandwich}}{\implies} 0 \le x_0 \le 1 \implies x_0 \in [0,1] \quad \text{abgeschlossen}
             .\] 
 
-            $[0,1]$ ist nicht offen, da $0 \in [0,1]$, aber $\underbrace{]-r, r[}_{B_r(0) \subset [0,1]} \quad \forall r > 0$
+            $[0,1]$ ist nicht offen, da $0 \in [0,1]$, aber $\underbrace{]-r, r[}_{B_r(0) \not\subset [0,1]} \quad \forall r > 0$
         \item $\R$ ist offen, abgeschlossen aber nicht kompakt.
     \end{enumerate}
 \end{bsp}
@@ -167,15 +167,15 @@ in dieser Umgebung.
     Sei $f \colon D \to \R$, $D \subset \R$.
 
     \begin{align*}
-        \operatorname{sup}_{x \in D} f(x) \quad &\text{kleinste obere Grenze der Bildmenge } B_f := \{f(x)  \mid x \in D\}  \\
+        \sup_{x \in D} f(x) \quad &\text{kleinste obere Grenze der Bildmenge } B_f := \{f(x)  \mid x \in D\}  \\
-                                                & := \text{sup } B_f := \text{min}\{\beta \in \R  \mid  y \le \beta \; \forall y \in B_f \}
+                                                & := \sup B_f := \text{min}\{\beta \in \R  \mid  y \le \beta \; \forall y \in B_f \}
     .\end{align*}
     \begin{align*}
-        \operatorname{inf}_{x \in D} f(x) \; := \text{inf } B_f := \text{min}\{\beta \in \R  \mid  y \le \beta \; \forall y \in B_f\}
+        \inf_{x \in D} f(x) \; := \text{inf } B_f := \text{min}\{\beta \in \R  \mid  y \le \beta \; \forall y \in B_f\}
     .\end{align*}
     Falls $B_f := f(D)$ beschränkt ist, dann $\exists $ inf und sup.
 
-    $x_min \in D$ heißt Minimum, $x_max$ Maximum von $f$, falls
+    $x_{\text{min}} \in D$ heißt Minimum, $x_{\text{max}}$ Maximum von $f$, falls
     \[
     \begin{cases}
         \text{inf } f(x) = f(x_{min}) =: \text{min } f(x) \\

ws2019/ana/lectures/analysis18.tex

@@ -83,7 +83,7 @@
 
     $k \to \infty$. Dann konvergiert auch $(y_{n_k})_{k\in\N}$ gegen $p$,
     d.h. $y_{n_k} \to p, k \to \infty$ (weil $|x_{n_k} - y_{n_k}| < \frac{1}{n_k}$ \\
-    $\implies \epsilon_0 \le |f(x_{n_k} - f(y_{n_k})| \to |f(p) - f(p)| = 0$.
+    $\implies \epsilon_0 \le |f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \to |f(p) - f(p)| = 0$.
     Widerspruch
 \end{proof}
 
@@ -113,7 +113,7 @@
 \subsection{Trigonometrische Funktionen}
 
 \begin{satz}
-    Für $x \in \R$ definiere $\cos(x) := \text{Re}(e^{-x})$ und
+    Für $x \in \R$ definiere $\cos(x) := \text{Re}(e^{ix})$ und
     $\sin(x) := \text{Im}(e^{ix})$. Dann gilt
     $\forall x \in \R$.
     \begin{enumerate}

ws2019/ana/lectures/analysis19.tex

@@ -202,21 +202,21 @@ Ziel: Analytische Definition von $\pi \in \R$.
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item Die Tangensfunktion
             \begin{align*}
-                &\tan: \R \setminus \{x = (k + \frac{1}{2}) \pi | k \in \Z\} 
+                &\tan: \R \setminus \left\{x = \left(k + \frac{1}{2}\right) \pi  \mid  k \in \Z\right\} 
                 \to \R
             \intertext{ist definiert durch}
                 &\tan x := \frac{\sin x}{\cos x}
             .\end{align*}
         \item Die Cotangensfunktion
             \begin{align*}
-                &\cot: \R \setminus \{x = k \pi | k \in \Z\} \to \R
+                &\cot: \R \setminus \{x = k \pi  \mid  k \in \Z\} \to \R
             \intertext{ist definiert durch}
                 &\cot x := \frac{\cos(x)}{\sin(x)}
             .\end{align*}
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
-\begin{figure}[htpb]
+\begin{figure}[h!]
     \centering
     \begin{tikzpicture}
         \begin{axis}%
@@ -235,7 +235,7 @@ Ziel: Analytische Definition von $\pi \in \R$.
     \caption{$\tan(x)$}
 \end{figure}
 
-\begin{figure}[htpb]
+\begin{figure}[h!]
     \centering
     \begin{tikzpicture}
         \begin{axis}%
@@ -254,8 +254,7 @@ Ziel: Analytische Definition von $\pi \in \R$.
     \caption{$\cot(x)$}
 \end{figure}
 
-\begin{definition}[Arcusfunktionen (Umkehrfunktionen der Trigonometrischen
+\begin{definition}[Arcusfunktionen]
-    Funktionen)]
     \begin{enumerate}[(i)]
         \item $\cos\colon  [0, \pi] \to  [-1, 1]$ ist streng monoton fallend
             und bijektiv. Die Umkehrfunktion heißt

ws2019/ana/lectures/analysis20.tex

@@ -152,7 +152,7 @@
     \[
         f(x) - f(x_0) = f'(x_0)\underbrace{(x-x_0)}_{\to 0}
         + \underbrace{\frac{R(x)}{x -x_0}}_{\to 0}\underbrace{(x-x_0)}_{\to 0}
-    .\] d.h. $f(x) \to f(x_0) \stackrel{\text{Def. Stetigkeit}}{\implies} f$ stetig.
+    .\] d.h. $f(x) \to f(x_0) \qquad \stackrel{\text{Def. Stetigkeit}}{\implies} \qquad f$ stetig.
 \end{proof}
 
 \begin{bem}
@@ -173,8 +173,8 @@
             stetig differenzierbar mit $f'(x) = n x^{n-1}$ $\forall x$, weil
             \begin{align*}
                 \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^{n} - x^{n}}{h}
-                &\stackrel{a^{n} - b^{n} = \ldots}{=}
+                &=
-                \lim_{h \to 0} \frac{(x+h-x)(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}\cdot x + \ldots + (x-h)x^{n-2} + x^{n-1}}{h} \\
+                \lim_{h \to 0} \frac{(x+h-x)(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}\cdot x + \ldots + (x+h)x^{n-2} + x^{n-1}}{h} \\
                 &= \underbrace{x^{n-1} + x^{n-2} \cdot x + \ldots + x^{n-1}}_{n\text{-mal}}  \\
                 &= n x^{n-1}
             .\end{align*}
@@ -222,7 +222,7 @@
             mit
             \begin{align*}
                 e^{h} &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{h^{k}}{k!} = 1 + h + \frac{h^2}{2} + \frac{h^{3}}{3!} + \ldots \\
-                \frac{e^{h} - 1}{h} &= 1 + \frac{h}{2} + \frac{h^2}{3!} + \ldots \xrightarrow{h \to 0} \to  1
+                \frac{e^{h} - 1}{h} &= 1 + \frac{h}{2} + \frac{h^2}{3!} + \ldots \xrightarrow{h \to 0} 1
             .\end{align*}
         \item Sinus / Cosinus.
              mit $\sin(x) - \sin(y) = 2 \cos \frac{1}{2} (x+y) \cdot \sin \frac{1}{2}(x-y)$ folgt
@@ -335,7 +335,7 @@
 
 \begin{satz}[Kettenregel]
     Seien $f\colon D_f \to \R$, $g\colon D_g \to \R$ stetige Funktionen.
-    $f \in x_0 \in D_f$ differenzierbar, $g \in y_0 = f(x_0) \in D_g$ 
+    $f$ in $x_0 \in D_f$ differenzierbar, $g$ in $y_0 = f(x_0) \in D_g$ 
     differenzierbar. Dann ist $(g \circ f): D_f \to \R$ differenzierbar
     in $x_0$ und es gilt die Kettenregel
     \[

ws2019/ana/lectures/analysis21.tex

@@ -7,7 +7,7 @@
 \begin{definition}[globales / lokales Extremum]
     Die Funktion $f\colon D \to \R$ hat in
     $x_0 \in D$ ein globales Extremum (Maximum oder Minimum), falls
-    gilt $f(x_0) \ge f(x)$ bzw. $f(x_0 \le f(x)$ $\forall x \in D$.
+    gilt $f(x_0) \ge f(x)$ bzw. $f(x_0) \le f(x)$ $\forall x \in D$.
 
     Die Funktion $f$ hat in $x_0 \in D$ ein
     lokales Extremum (Maximum oder Minimum), falls

ws2019/ana/lectures/analysis22.tex

@@ -26,18 +26,19 @@
     Für $x = x_0$: klar.
 
     Sei $x \neq x_0$. Betrachte $R = R(x, x_0)$ definiert durch
-    $f(x) = T_N(f, x, x_0) + \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot R$.
+    $f(x) = T_n(f, x, x_0) + \frac{(x-x_0)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot R$.
 
     Für $y \in D$ definiere
     \[
         \varphi(y) := f(x) - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(y)}{k!}(x-y)^{k} - \frac{(x-y)^{n+1}}{(n+1)!}R
     .\] 
     Dann folgt $\varphi(x_0) = 0 = \varphi(x)$, $\varphi \in C^{1}$.\\
-    $\stackrel{\text{Satz von Rolle}}{\implies}$ $\exists \xi$ zwischen $x$ und $x_0$ mit $\varphi'(\xi) = 0$.
+    $\stackrel{\text{Satz von Rolle}}{\implies} \qquad$
+    $\exists \xi$ zwischen $x$ und $x_0$ mit $\varphi'(\xi) = 0$.
     \begin{align*}
         0 = \varphi'(\xi) &= - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{k!} (x-\xi)^{k}
          - \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(\xi)}{k!}k(x-\xi)^{k-1}(-1)
-         - \frac{(n+1)(x-\xi)^{n}}{(n+1)!} R \\
+         + \frac{(n+1)(x-\xi)^{n}}{(n+1)!} R \\
                           &\stackrel{\mathclap{\text{Teleskop}}}{=} \quad - \frac{f^{n+1}(\xi)}{n!}(x-\xi)^{n} + \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} R \\
                           &= \frac{(x-\xi)^{n}}{n!} \left( - f^{(n+1)}(\xi) + R \right)
      .\end{align*} $\implies R = f^{(n+1)}(\xi)$, $\xi$ zwischen $x$ und $x_0$.
@@ -59,7 +60,7 @@
 \begin{proof}
     \[
         |f(x) - T_n(f, x, x_0)| \le \frac{\left| f^{(n+1)}(\xi)\right|}{(n+1)!}|x-x_0|^{n+1}
-        \le \frac{M}{(n+1)!(b-a)^{n+1}}
+        \le \frac{M}{(n+1)!}(b-a)^{n+1}
     .\] $\implies \forall \epsilon > 0$ $\exists n_{\epsilon}$, s.d. $\frac{M}{(n+1)!}(b-a)^{n+1} < \epsilon$
 \end{proof}
 
@@ -78,7 +79,7 @@
     Sei $f \in C^{n}(D, \R)$, $D = (a,b)$ und
     für $x_0 \in (a,b)$ gelte
     \[
-        f'(x_0) = f''(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) \quad \text{und} \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0
+        f'(x_0) = f''(x_0) = \ldots = f^{(n-1)}(x_0) = 0 \quad \text{und} \quad f^{(n)}(x_0) \neq 0
     .\] Dann gilt
     \begin{enumerate}
         \item Ist $n$ gerade und $f^{(n)}(x_0) < 0$ bzw. $f^{(n)}(x_0) > 0$, dann ist
@@ -88,7 +89,7 @@
     \end{enumerate}
 \end{korrolar}
 
-\begin{figure}
+\begin{figure}[h!]
     \centering
     \begin{subfigure}{.4\textwidth}
     \caption{$f(x) = x^3$}
@@ -129,7 +130,7 @@
 \end{figure}
 
 \begin{proof}
-    Taylor Satz $\implies$ $f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} (x-x_0)^{n}$
+    Satz von Taylor $\implies$ $f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!} (x-x_0)^{n}$
     $f^{(n)}$ stetig in $x_0$, $f^{(n)} \neq 0$ in $x_0$ \\
     $\implies \exists \delta > 0$, s.d. $f^{(n)}(x) \neq 0$ für
     $x \in \; ]x_0 - \delta , x_0 + \delta [$ und hat das gleiche
@@ -139,9 +140,8 @@
             $x \neq x_0$.
             \[
                 f(x) = f(x_0) + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\underbrace{(x-x_0)^n}_{> 0}
-            .\] $\implies$ $f(x) > f(x_0)$, falls $f^{(n)}(\xi) > 0$, dann
+            .\] $\implies$ Wegen $f^{(n)}(x_0) = f^{(n)}(\xi)$ folgt $f(x) > f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) > 0$
-            $f^{(n)}(x_0) > 0$.
+            und $f(x) < f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) < 0$.
-            $f(x) < f(x_0)$, falls $f^{(n)}(x_0) < 0$.
         \item $n$ ungerade, wechselt $(x-x_0)^{n}$ das Vorzeichen.
     \end{enumerate}
 \end{proof}

ws2019/ana/lectures/analysis23.tex

@@ -16,7 +16,7 @@ berechnen.
 
 \subsection{Riemannintegral}
 
-\begin{definition}[Zerlegungen]
+\begin{definition}[Zerlegungen, Stützpunkte]
     Eine endliche Zerlegung $Z$ von einem (beschränkten) Intervall $[a,b]$ ist
     eine endliche Folge  $z = (x_0, x_1, \ldots, x_n)$ mit
     $x_0 = a < x_1 < \ldots < x_n = b$. $x_k$ heißen Teilungs- oder
@@ -45,7 +45,7 @@ berechnen.
 
 \begin{bem}
     Eine Verfeinerung der Zerlegung $Z$ ist eine
-    Zerlegung $Z'' = (x_0'', \ldots, x''_{n''}$
+    Zerlegung $Z'' = (x_0'', \ldots, x''_{n''})$
     s.d. $(x_0, \ldots, x_n) \subset (x_0'', \ldots, x''_{n''})$ und
     $h'' \le h$. Zu Zerlegungen $Z = (x_0, \ldots, x_n)$ und
     $Z' = (x_0', \ldots, x'_{n'})$ gibt es eine 
@@ -83,10 +83,10 @@ berechnen.
     Ober- und Unterintegral und für jede Folge von Zerlegungen
     $Z_n \in \mathcal{Z}(a,b)$, $n \in \N$ mit $h_n \xrightarrow{n \to \infty} 0$ gilt
     \[
-    \lim_{n \to \infty} \underline{S}_{Z_n} 
+        \lim_{n \to \infty} \underline{S}_{Z_n}(f)
     = \underline{\int_{a}^{b}  } f(x) dx
     \le \overline{\int_{a}^{b}} f(x) dx
-    = \lim_{n \to \infty} f(x) \overline{S}_{Z_n}
+    = \lim_{n \to \infty} \overline{S}_{Z_n}(f)
     .\] 
 \end{lemma}
 

ws2019/ana/lectures/analysis24.tex

@@ -57,7 +57,7 @@
         \lim_{h \to 0} (\beta \cdot RS_Z(g)) \\
                                   &= \lim_{h \to 0} RS_Z(\alpha f) + \lim_{h \to 0} RS_Z(\beta g) \\
                                   &= \lim_{h \to 0} RS_Z(\alpha f + \beta g) \\
-                                  &= \int_{a}^{b} (\alpha f + \beta g)(x)dx  \\
+                                  &= \int_{a}^{b} (\alpha f + \beta g)(x)dx
     .\end{align*}
 \end{proof}
 
@@ -91,7 +91,7 @@
     $g \equiv 1 \implies \int_{a}^{b} 1 dx = (b - a)$ Damit folgt
     \begin{align*}
         m (b-a) = \int_{a}^{b} m \cdot dx
-        \stackrel{\text{Satz \ref{satz:riemann-monoton}}}{\le}
+        \quad \stackrel{\text{Satz \ref{satz:riemann-monoton}}}{\le} \quad
         \int_{a}^{b} f(x) dx
         \le \int_{a}^{b} M dx
         = M (b-a)
@@ -296,17 +296,17 @@
     Für $h \neq 0$, $x \in [a,b]$
     \begin{align*}
         \frac{F_0(x+h) - F_0(x)}{h}
-        = \frac{1}{h} \left( \int_{a}^{x+h} f(t) dt
+        &= \frac{1}{h} \left( \int_{a}^{x+h} f(t) dt
         - \int_{a}^{x} f(t) dt \right)
         = \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f(t) dt 
         \quad \stackrel{\text{1. MWS}}{=}
         \quad \frac{1}{h} f(\xi_h) \cdot h
         \xrightarrow[h \to 0]{f\text{ stetig}} f(x) \\
-        \implies F_0'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{F_0(x+h) - F_0(x)}{h} = f(x)
+        \implies F_0'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{F_0(x+h) - F_0(x)}{h} = f(x)
     .\end{align*}
-        \item Sei $F$ eine Stammfunktion ovn $f$, dann gilt
+        \item Sei $F$ eine Stammfunktion von $f$, dann gilt
             $(F - F_0)' = f - f = 0
-            \stackrel{\text{MWS Diff.}}{\implies} F - F_0 \equiv
+            \quad \stackrel{\text{MWS Diff.}}{\implies} \quad F - F_0 \equiv
             \text{konstant} = C \implies F = F_0 + C$ für ein $C \in \R$.
         \item $F(b) - F(a) \stackrel{\text{(b)}}{=} F_0(b) - F_0(a)
             = \int_{a}^{b} f(t) dt $

ws2019/ana/lectures/analysis3.tex

@@ -60,10 +60,11 @@
 
     \begin{proof}[Alternativbeweis mit Teleskop-Summe]
         \begin{align*}
-            1-x^{n+1} &= 1 - x + x - x^2 + x^2 - \ldots - x^n + x^n - x^n+1 \\
+            1-x^{n+1} &= 1 - x + x - x^2 + x^2 - \ldots - x^n + x^n - x^{n+1} \\
             &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=1}^{n+1} x^{k} \\
             &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - \sum_{k=0}^{n} x^{k+1} \\
-            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - x \\
+            &= \sum_{k=0}^{n} x^{k} - x \sum_{k=0}^{n} x^{k} \\
+            &= (1-x) \sum_{k=0}^{n} x^{k}
         .\end{align*}
     \end{proof}
 
@@ -79,13 +80,11 @@ $ \forall a, b \in \R$ und $n \in \N$ gilt:
 \begin{proof}
     Für $a=0$ und  $a = b$ stimmt die Formel offenbar.\\
     Betrachte geometrische Reihe mit $x := \frac{b}{a} \neq 1$
-    \[
+    \begin{align*}
-    1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n = 1 - x^n = (1 - x) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
+    &1 - \left(\frac{b}{a}\right)^n = 1 - x^n = (1 - x) \sum_{k=0}^{n-1} x^k
-    = (1 - \frac{b}{a}) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b}{a}\right)^k
+    = (1 - \frac{b}{a}) \sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{b}{a}\right)^k \quad \Big| \cdot a^{n}\\
-    \] 
+    \implies &a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} b^k a^{-k} a^{n-1} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k 
-    \[
+    .\end{align*}
-    a^n - b^n = (a-b) \sum_{k=0}^{n-1} b^k a^{-k} a^{n-1} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-1-k} b^k 
-    \] 
 \end{proof}
 
 \subsection{Elemente der Kombinatorik}
@@ -113,16 +112,16 @@ Für $n \in \N$ ist die Fakultät $n!$ rekursiv definiert durch:
 \end{proof}
 
 \begin{definition}[Binomialkoeffizient]
-    Für $n, k \in \N$ definieren wir:\\
+    Für $n, k \in \N_0$ definieren wir:\\
     \begin{align*}
-        n \ge  k \ge  1:& \binom{n}{k} := \frac{n(n-1) \ldots (n -k + 1)}{k!} \\
+        n \ge  k \ge  1\colon & \binom{n}{k} := \frac{n(n-1) \ldots (n -k + 1)}{k!} \\
-        k = 0:& \binom{n}{0} := 1
+        k = 0\colon & \binom{n}{0} := 1
     \end{align*}
     $\binom{n}{k}$ ist die Anzahl der k-Elementigen Teilmengen einer n-Elementigen Menge, z.B.: Lotto $\binom{49}{6} = 13.983.816$.
     \begin{align*}
         \binom{n}{k} &= \frac{n(n-1) \ldots (n - k +1)}{k!}\\
                      &= \frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)(n-k)!}{k!(n-k)!}\\
-                     &= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{n-k}\\
+                     &= \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{n-k}
     .\end{align*}
     Es folgt $\binom{n}{0} = 1$, $\binom{n}{n} = 1$,
     $\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n, \forall n \in \N.$

ws2019/ana/lectures/analysis4.tex

@@ -56,7 +56,7 @@
 \binom{n}{n-1}a b^{n-1} + \binom{n}{n}b^{n}\right) \\
         &= \binom{n}{0}a^{n+1}+\binom{n}{1}a^{n}b + \ldots +
         \binom{n}{n-1} a^{2} b^{n-1} + \binom{n}{n} a b^{n} \\
-        &+ \binom{n}{0} a^{n}b + \binom{n}{1} a^{n-1}b^{2} + \ldots +
+        & \quad \; + \binom{n}{0} a^{n}b + \binom{n}{1} a^{n-1}b^{2} + \ldots +
         \binom{n}{n-1}a b^{n}+\binom{n}{n}b^{n+1} \\
         &= \binom{n+1}{0}a^{n+1}+\binom{n+1}{1}a^{n}b+\ldots+
         \binom{n+1}{n}ab^{n} + \binom{n+1}{n+1}b^{n+1}
@@ -66,13 +66,13 @@
 \subsection{Grundlegendes über Zahlenmengen}
 \[
     \N = \{1, 2, 3, \ldots\} \text{ natürliche Zahlen}
-.\] auf $\N$ sind die arithmetischen Operationen ,,$+$'' (Addition) und ,,$\cdot$''
+.\] Auf $\N$ sind die arithmetischen Operationen ,,$+$'' (Addition) und ,,$\cdot$''
 (Multiplikation) definiert. Für diese gelten u.a. die Regeln:
-\begin{align*}
+\begin{flalign*}
-    n + m = m + n &\text{ bzw. } n \cdot m = m \cdot n \text{ Kommutativität} \\
+    &n + m = m + n \text{ bzw. } n \cdot m = m \cdot n &\text{ Kommutativität} \\
-    (n + m) + k = n + (m + k) &\text{ bzw. } (n \cdot m) \cdot k = n \cdot (m \cdot k) \text{ Assoziativität}\\
+    &(n + m) + k = n + (m + k) \text{ bzw. } (n \cdot m) \cdot k = n \cdot (m \cdot k) &\text{ Assoziativität}\\
-    (n + m) \cdot k &= n \cdot k + m \cdot k \text{ Distributivität}
+    &(n + m) \cdot k = n \cdot k + m \cdot k &\text{ Distributivität}
-\end{align*}
+\end{flalign*}
 
 Subtraktion und Division sind nicht für alle Paare der natürlichen Zahlen definiert
 ($1 - 2 \not\in \N, \frac{1}{2} \not\in \N$), d.h. die natürlichen Zahlen
@@ -89,8 +89,8 @@ Deshalb werden die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert.
 $x = m - n \in \Z$.
 
 $\Z$ ist vollständig bezüglich der Subtraktion aber unvollständig bezüglich
-der Division, d.h. für beliebige $b, y \in \Z$, $b \neq 0$, die ,,lineare''
+der Division, d.h. für beliebige $b, y \in \Z$, $b \neq 0$, ist die ,,lineare''
-Gleichung $b \cdot x = y$ nicht immer durch ein $x \in \Z$ lösbar ist.
+Gleichung $b \cdot x = y$ nicht immer durch ein $x \in \Z$ lösbar.
 
 Diese Beschränkung wird durch die Einführung der rationalen Zahlen behoben:
 \[
@@ -105,29 +105,29 @@ a = \frac{r}{s}, b = \frac{u}{v} \in \Q = \begin{cases}
     a \cdot b &:= \frac{r \cdot u}{s \cdot v} \\
     \frac{a}{b} &:= \frac{r \cdot v}{s \cdot u} \\
 \end{cases}
-.\] $\Q$ bildet mit der Operation ,,+'' und ,,-'' einen ,,Körper'' bildet.
+.\] $\Q$ bildet mit der Operation ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' einen ,,Körper''.
 
 \subsection{Was ist ein Körper?}
 
 Sei $K$ eine Menge mit Operationen ,,$+$'' und ,,$\cdot$''.
 
 Operation ,,$+$'' erfüllt die Axiome der Addition
-\begin{enumerate}
+\begin{enumerate}[label=(A\arabic*)]
-    \item Kommutativität $\forall a,b \in K: a + b = b + a$
+    \item Kommutativität $\forall a,b \in K\colon a + b = b + a$
-    \item Assoziativität $\forall a, b, c \in K: (a+b)+c = a+(b+c)$
+    \item Assoziativität $\forall a, b, c \in K\colon (a+b)+c = a+(b+c)$
-    \item Neutrales Element $\exists 0 \in K: \forall a \in K: a + 0 = a$
+    \item Neutrales Element $\exists 0 \in K\colon \forall a \in K\colon a + 0 = a$
-    \item Additives Inverses $\forall a \in K: \exists -a \in K: a + (-a) = 0$
+    \item Additives Inverses $\forall a \in K\colon \exists -a \in K\colon a + (-a) = 0$
 \end{enumerate}
 
-Operation ,,$\cdot$'' erfüllt Axiome der Multiplikation
+Operation ,,$\cdot$'' erfüllt die Axiome der Multiplikation
-\begin{enumerate}
+\begin{enumerate}[label=(M\arabic*)]
-    \item Kommutativität $\forall a,b \in K: a \cdot b = b \cdot a$
+    \item Kommutativität $\forall a,b \in K\colon a \cdot b = b \cdot a$
-    \item Assoziativität $\forall a, b, c \in K: (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$
+    \item Assoziativität $\forall a, b, c \in K\colon (a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$
-    \item Neutrales Element $\exists 1 \in K \setminus\{0\} =: K^{*}: \forall a \in K: a \cdot 1 = a$
+    \item Neutrales Element $\exists 1 \in K \setminus\{0\} =\colon K^{*}\colon \forall a \in K\colon a \cdot 1 = a$
-    \item Additives Inverses $\forall a \in K: \exists a^{-1} \in K: a \cdot a^{-1} = 1$
+    \item Additives Inverses $\forall a \in K\colon \exists a^{-1} \in K\colon a \cdot a^{-1} = 1$
 \end{enumerate}
 
-Zusätzlich gilt ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' erfüllen die Distributivität (D):
+Zusätzlich erfüllen ,,$+$'' und ,,$\cdot$'' die Distributivität (D):
 \[
     \forall a,b,c \in K: a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c
 .\] 

ws2019/ana/lectures/analysis5.tex

@@ -26,7 +26,7 @@
     $a<b, a = b, a >b$.
 \end{definition}
 
-Es gelten Regeln:
+Es gelten folgende Regeln:
 \begin{itemize}
     \item $a < b, b < c \implies a < c$ Transitivität
     \item $a < b \implies a + c < b +c, c \in K$
@@ -43,7 +43,7 @@ Es gelten Regeln:
 
 \begin{definition}[Absolutbetrag]
     Sei $(K, +, \cdot, >$ ein angeordneter Körper
-    Dann
+    Dann ist
     \[
     |a| := \begin{cases}
         a & \text{für } a > 0 \\
@@ -52,9 +52,9 @@ Es gelten Regeln:
     \end{cases}
     .\] 
 
-    Abbildung $|\cdot|$: $K \to K$ mit Eigenschaften:
+    eine Abbildung $|\cdot|$: $K \to K$ mit den Eigenschaften:
     \begin{itemize}
-        \item $|a| = 0 \iff a = 0$ (Definiertheit) 
+        \item $|a| = 0 \iff a = 0$ (Definitheit) 
         \item $|ab| = |a| |b|$ (Multiplikativität)
         \item $|a+b| \le |a| + |b|$ (Dreiecksungleichung)
     \end{itemize}
@@ -80,7 +80,7 @@ Es folgt aus den Eigenschaften:
     oder periodische Dezimalbruchdarstellung der Form:
     \[
         a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s): \iff
-        a = \pm \left(a_0 + \sum_{k=1}^{s} ds \cdot 10^{-k}\right)
+        a = \pm \left(a_0 + \sum_{k=1}^{s} d_k \cdot 10^{-k}\right)
     .\] bzw. 
     \[
         a = \pm (a_0 + 0,d_1\ldots d_s \overline{d_{s+1} \ldots d_{s+t}})
@@ -142,7 +142,7 @@ ein $x \in \Q$ lösbar.
     E \implies E_1 \implies E_2 \implies \ldots \implies E_k \implies V
     .\] Indirekter Beweis: Zeigen $E$ und $\neg V$ immer
     falsch. Da $E$ immer wahr ist, muss $\neg V$ falsch sein.
-    Da $\neg V$ falsch ist, dann ist $V$ wahr.
+    Da $\neg V$ falsch ist, ist $V$ wahr.
 \end{bem}
 
 \textbf{Ziel}: Konstruiere rationale Zahlen, welche die
@@ -162,22 +162,22 @@ $a_1 < b_1, a_1^2 = 1,96 < 2 < 2,25 = b_1^2$
 
 Fall a) Es liege für ein $n \in \N$ eine Einschließung vor:
 \[
-    a_n = 1,d_1d_2, \ldots d_{n-1}d_n < b_n = 1,d_1d_2\ldots d_{n-1}(d_{n+1})
+    a_n = 1,d_1d_2, \ldots d_{n-1}d_n < b_n = 1,d_1d_2\ldots d_{n-1}(d_n + 1)
 .\] 
 \[
     a_n^2 < 2 < b_n^2
-.\] $d_k \in \{0,1, \ldots, 9\}, k=1 \ldots n-1, dn \le 8 $
+.\] $d_k \in \{0,1, \ldots, 9\}, k=1 \ldots n-1, d_n \le 8 $
 
 Die nächste Einschließung ist
 \[
-    a_{n+1} := 1,d_1\ldots d_n, d_{n+1},   d_{n+1} \in \{0,1,\ldots_,9\} 
+    a_{n+1} := 1,d_1\ldots d_n, d_{n+1}   \qquad d_{n+1} \in \{0,1,\ldots_,9\} 
 .\] $a_{n+1}$ möglichst groß aber $a_{n+1}^2 < 2$.
 
 und
 \[
 b_{n+1} := \begin{cases}
     1,d_1, \ldots d_n (d_{n+1} + 1) & \text{für } d_{n+1} \le 8 \\
-    1,d_1, \ldots (d_n + 1) 0 & für d_{n+1} = 9 \\
+    1,d_1, \ldots (d_n + 1) 0 & \text{für } d_{n+1} = 9 \\
 \end{cases}
 .\] Nach Konstruktion:
 \[
@@ -192,7 +192,7 @@ Fall b) Für ein $n \in \N$ liegt eine Einschließung vor
     a_1 = 1, d_1\ldots d_{n-1} d_{n} < b_{n} = 1, d_1 d_2 \ldots d_{n-1} (d_n + 1) 0 \ldots 0
 .\] 
 \[
-    a_n^2 < 2 < b_n^2 \text{ mit } d_k \in \{0, 1, \ldots ,9\}, k=1, n = 1
+    a_n^2 < 2 < b_n^2 \text{ mit } d_k \in \{0, 1, \ldots ,9\}, k=1 \ldots n-1
 .\] 
 \[
 d_n \le 8, d_{n+1} = \ldots = d_n = 9
@@ -241,7 +241,7 @@ $\implies$ wir sollen die Zahl $\sqrt{2}$ eventuell erfassen!
 Offenbar, $1 + \frac{1}{n} \to 1, n \to \infty$
 bzw.
 \[
-    \lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n}) = 1
+    \lim_{n \to \infty} \left(1+ \frac{1}{n}\right) = 1
 .\] d.h. Folge konvergiert gegen 1
 
 \begin{definition}[Konvergenz]