diff --git a/sose2022/galois/vortrag_affin.pdf b/sose2022/galois/vortrag_affin.pdf index 3a5fc2b..7884350 100644 Binary files a/sose2022/galois/vortrag_affin.pdf and b/sose2022/galois/vortrag_affin.pdf differ diff --git a/sose2022/galois/vortrag_affin.tex b/sose2022/galois/vortrag_affin.tex index aba8081..1ed6376 100644 --- a/sose2022/galois/vortrag_affin.tex +++ b/sose2022/galois/vortrag_affin.tex @@ -161,43 +161,6 @@ Behauptung. \end{proof} -\begin{lemma} - Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente. - \label{lemma:local-idempotents} -\end{lemma} - -\begin{proof} - Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt - $1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen - $1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist - $1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$. -\end{proof} - -\begin{lemma} - Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann - ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$. - \label{lemma:no-idempotents} -\end{lemma} - -\begin{proof} - Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus. - Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und - $f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$. - - Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt - $\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$. - Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist - $0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also - genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$. - - Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann - gilt - $f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und - \[ - \psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)} - .\] -\end{proof} - \begin{lemma} Sei $M$ endlich präsentierter $A$-Modul, das heißt es existiere eine exakte Folge \[ @@ -312,10 +275,10 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang: Sei $f\colon A \to B$ ein Ringhomomorphismus. Dann sind äquivalent \begin{enumerate}[(i)] \item $f$ endlich étale, das heißt $f$ ist endlich, flach und unverzweigt. - \item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$. - %\item $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\Omega_{B / A} = 0$. \item Es existiert eine Zariskiüberdeckung $\{f_i\}_{i \in I}$ von $A$, sodass $B_{f_i}$ endliche, freie, separable $A_{f_i}$-Algebra ist. + \item $B$ ist endlich präsentiert und flach als $A$-Modul und $\Omega_{B / A} = 0$. + \item $B$ endliche projektive $A$-Algebra und $\Omega_{B / A} = 0$. \end{enumerate} \end{satz} @@ -398,14 +361,6 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang: \subsection{Grad} -\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$] - Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$ - von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere - existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass - $\{\mathfrak{p} \in \spec A \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$. - \label{bem:clopen-sets} -\end{bem} - \begin{definition}[Treuprojektive Algebren] Sei $B$ endliche projektive $A$-Algebra. Dann ist $B$ \emph{treuprojektiv}, wenn $[B : A] \ge 1$. \end{definition} @@ -508,46 +463,13 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang: die Behauptung aus \ref{satz:4.14}. \end{proof} -\begin{satz}[Aufgabe 5.3] - Sei $A$ ein Ring und $B_i$ $A$-Algebren für $1 \le i \le n$. Sei weiter - $B = \prod_{i=1}^{n} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn - jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt - $[B : A] = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A]$. - \label{ex:5.3} -\end{satz} - -\begin{proof} - Als $A$-Modul ist $B \simeq \bigoplus_{i = 1}^{n} B_i$. Also ist $B$ genau dann endlich erzeugt bzw. projektiv, wenn - $B_i$ endlich erzeugt bzw. projektiv ist für $1 \le i \le n$. Ebenso - existiert ein natürlicher $A$-Modulisomorphismus - \[ - \text{Hom}_A(B, A) = \text{Hom}_A\left( \bigoplus_{i=1}^{n} B_i, A \right) - = \prod_{i=1}^{n} \text{Hom}_A(B_i, A) - .\] Das heißt - $B \to \text{Hom}_A(B, A)$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $B_i \to \text{Hom}_A(B_i, A)$ ein Isomorphismus - ist für $1 \le i \le n$. - - Gradformel: Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist - \[ - [B : A](\mathfrak{p})% = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} - = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left(\bigoplus_{i = 1}^{n} B_i\right)_{\mathfrak{p}} - = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left( \bigoplus_{i = 1}^{n} (B_{i})_{\mathfrak{p}} \right) - = \sum_{i=1}^{n} \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} (B_{i})_{\mathfrak{p}} - = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A ](\mathfrak{p}) - .\] -\end{proof} - -\begin{lemma} - Seien $A_1, \ldots, A_n$ Ringe und $f \in \prod_{i=1}^{n} A_i$. Dann ist der natürliche Homomorphismus - \[ - \left(\prod_{i=1}^{n} A_i\right)_f \longrightarrow \prod_{i=1}^{n} (A_i)_{f_i} - \] ein Isomorphismus. - \label{lemma:localised-product-ring} -\end{lemma} - -\begin{proof} - Man bediene sich der Endlichkeit. -\end{proof} +\begin{bem}[Offene und abgeschlossene Mengen in $\spec A$] + Sei $A$ ein Ring. Dann sind die offenen und abgeschlossenen Mengen in $\spec A$ + von der Form $D(e)$, wobei $e$ idempotent und eindeutig bestimmt ist. Insbesondere + existiert für alle $n \ge 0$ genau ein Idempotent $e$, sodass + $\{\mathfrak{p} \in \spec A \mid [ B : A](\mathfrak{p}) = n\} = D(e)$. + \label{bem:clopen-sets} +\end{bem} \begin{lemma} Sei $A$ ein Ring und $\{f_i\}_{i \in I}$ Elemente von $A$, sodass @@ -594,68 +516,6 @@ Aus Vorträgen 7 und 8 kennen wir den folgenden Zusammenhang: = f^{-1}(\mathfrak{p}) \iff \mathfrak{p} \not\in D(f(a))$. \end{proof} -\begin{satz}[Aufgabe 5.4] - Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra - für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem - ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form. - Weiter ist - \[ - \left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j] - .\] - \label{satz:projective-prod} -\end{satz} - -\begin{proof} - Die Folge abelscher Gruppen - \[ - \begin{tikzcd} - \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{n} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq} - & \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{m} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq} - & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} \arrow{d}{=} & 0 \\ - \prod_{i \in I} A_i^{n} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_i^{m} \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} & 0 - \end{tikzcd} - \] ist genau dann exakt, wenn - \[ - \begin{tikzcd} - A_i^{n} \arrow{r} & A_i^{m} \arrow{r} & B_i \arrow{r} & 0 - \end{tikzcd} - \] exakt ist für alle $i \in I$. Also ist $\prod_{i \in I} B_i$ genau dann endlich präsentierter - $\prod_{i \in I} A_i$-Modul, wenn $B_i$ endlich präsentierter $A_i$-Modul ist für alle $i \in I$. - - Außerdem ist $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Also für $\mathfrak{p} \in \spec A$ - existiert genau ein $i \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und - $A_{\mathfrak{p}} = (A_{i})_{\mathfrak{p}}$ und $B_{\mathfrak{p}} = (B_{i})_{\mathfrak{p}}$. - Also ist $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ genau dann frei separabel für - alle $\mathfrak{p} \in \spec A$, wenn - $(A_i)_{\mathfrak{p}} \to (B_{i})_{\mathfrak{p}}$ frei separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und - alle $i \in I$. - - Insgesamt ist $A \to B$ genau dann endlich étale, wenn $A_i \to B_i$ endlich étale ist für alle $i \in I$. - - %Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $A$, genauer: Für alle $i \in I$ existieren - %$\{f_{ij}\}_{j \in J_i}$, sodass $A_i = \sum_{j \in J_i} (f_{ij})$ und - %$(B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $(A_{i})_{f_{ij}}$-Algebra für alle $j \in J_i$. Dann - %setze $\tilde{f}_{ij} = (0, \ldots, 0, f_{ij}, 0, \ldots, 0)$. Dann ist mit \ref{lemma:localised-product-ring} - %$B_{\tilde{f}_{ij}} = (B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $A_{\tilde{f}_{ij}} = (A_i)_{f_{ij}}$-Algebra - %und $A = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J_i} (\tilde{f}_{ij})$. Also ist $B$ endlich separable $A$-Algebra. - - Sei nun $f\colon \prod_{i \in I} A_i \to B$ endlich étale. Es ist - $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Nach \ref{bem:clopen-sets} existieren - also idempotente Elemente $e_i \in A$, sodass $\spec A = \coprod_{i \in I} D(e_i)$. Nach - \ref{lemma:preimage-of-d} ist $\spec B = \coprod_{i \in I} D(f(e_i))$. Wir haben das folgende kommutative - Diagramm - \[ - \begin{tikzcd} - B \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_{e_i} \\ - A \arrow{u} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_{e_i} \arrow{u} - \end{tikzcd} - .\] Nach \ref{lemma:disjoint-union-of-spec} sind die horizontalen Pfeile Isomorphismen - und wir sind in der obigen Situation. - - Die Gradformel folgt aus $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$ und durch Berechnung in der Überdeckung aus dem - ersten Absatz. -\end{proof} - \begin{definition}[Total zerlegbare Algebren] Eine $A$-Algebra $B$ ist \emph{total zerlegbar}, wenn $A$ ein endliches Produkt von Ringen $A_n$ ist mit $n \ge 0$ und @@ -736,6 +596,45 @@ einen Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$. und damit $A^{E} \to A^{D}$ nach \ref{ex:5.3}. \end{proof} +Wir benötigen noch zwei Lemmata aus der kommutativen Algebra: + +\begin{lemma} + Sei $(A, \mathfrak{m})$ ein lokaler Ring. Dann hat $A$ keine nicht-trivialen idempotenten Elemente. + \label{lemma:local-idempotents} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Sei $e \in A$ idempotent. Dann ist $e(1-e) = e^2 - e = e - e = 0$. Falls $e \in A^{\times }$, folgt + $1-e = 0$ also $e = 1$. Falls $e \not\in A^{\times}$: Dann ist $e \in \mathfrak{m}$. Angenommen + $1-e \in \mathfrak{m}$, dann ist auch $1 = 1-e +e \in \mathfrak{m}$. Widerspruch. Also ist + $1-e \not\in \mathfrak{m}$. Da $A$ lokal, ist also $1-e \in A^{\times}$ und damit $e = 0$. +\end{proof} + +\begin{lemma} + Sei $A$ ein Ring ohne nicht-triviale Idempotente und seien $E,D$ endliche Mengen. Dann + ist jeder $A$-Algebra Homomorphismus $A^{E} \to A^{D}$ induziert von einer Abbildung $D \to E$. + \label{lemma:no-idempotents} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Sei $\psi\colon A^{E} \to A^{D}$ ein $A$-Algebra Homomorphismus. + Setze $f_e \coloneqq (\delta_{\tilde{e}e})_{\tilde{e} \in E} \in A^{E}$. Dann ist $f_e^2 = 1$ und + $f_ef_{\tilde{e}} = 0$ falls $e \neq \tilde{e}$. + + Sei nun $d \in D$ beliebig. Dann gilt + $\psi(f_e)^2 = \psi(f_e^2) = \psi(f_e)$, also $\psi(f_e)_d$ idempotent, also $\psi(f_e)_d \in \{0, 1\}$. + Weiter ist $1 = \psi(1)_d = \psi(\sum_{e \in E} f_e)_d$ und für $e \neq \tilde{e} \in E$ ist + $0 = \psi(f_ef_{\tilde{e}})_d = \psi(f_e)_d \psi(f_{\tilde{e}})_d$. Es existiert also + genau ein $e(d) \in E$, sodass $\psi(f_e)_d = 1$. + + Setze nun $\phi\colon D \to E$, $d \mapsto e(d)$. Nun sei $f = (a_e)_{e \in E} \in A^{E}$ beliebig. Dann + gilt + $f = \sum_{e \in E} a_e f_e$ und + \[ + \psi(f)_d = \sum_{e \in E} a_e \psi(f_e)_d = a_{\phi(d)} + .\] +\end{proof} + \begin{lemma} Seien $A, B, C$ Ringe und $f\colon A \to B$, $g\colon A \to C$ total zerlegbar und $h\colon C \to B$ ein Ringhomomorphismus mit $f = hg$. Sei weiter $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann @@ -807,4 +706,98 @@ einen Ringhomomorphismus $A^{E} \to A^{D}$. $h\colon C \to B$ endlich étale. \end{proof} +\section{Aufgaben nach unserem Kapitel} + +\begin{satz}[Aufgabe 5.3] + Sei $A$ ein Ring und $B_i$ $A$-Algebren für $1 \le i \le n$. Sei weiter + $B = \prod_{i=1}^{n} B_i$. Dann ist $B$ genau dann endlich étale, wenn + jedes $B_i$ endlich étale ist. In diesem Fall gilt + $[B : A] = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A]$. + \label{ex:5.3} +\end{satz} + +\begin{proof} + Als $A$-Modul ist $B \simeq \bigoplus_{i = 1}^{n} B_i$. Also ist $B$ genau dann endlich erzeugt bzw. projektiv, wenn + $B_i$ endlich erzeugt bzw. projektiv ist für $1 \le i \le n$. Ebenso + existiert ein natürlicher $A$-Modulisomorphismus + \[ + \text{Hom}_A(B, A) = \text{Hom}_A\left( \bigoplus_{i=1}^{n} B_i, A \right) + = \prod_{i=1}^{n} \text{Hom}_A(B_i, A) + .\] Das heißt + $B \to \text{Hom}_A(B, A)$ ist genau dann ein Isomorphismus, wenn $B_i \to \text{Hom}_A(B_i, A)$ ein Isomorphismus + ist für $1 \le i \le n$. + + Gradformel: Sei $\mathfrak{p} \in \spec A$. Dann ist + \[ + [B : A](\mathfrak{p})% = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} B_{\mathfrak{p}} + = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left(\bigoplus_{i = 1}^{n} B_i\right)_{\mathfrak{p}} + = \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} \left( \bigoplus_{i = 1}^{n} (B_{i})_{\mathfrak{p}} \right) + = \sum_{i=1}^{n} \text{rank}_{A_{\mathfrak{p}}} (B_{i})_{\mathfrak{p}} + = \sum_{i=1}^{n} [B_i : A ](\mathfrak{p}) + .\] +\end{proof} + +\begin{satz}[Aufgabe 5.4] + Seien $(A_i)_{i \in I}, (B_i)_{i \in I}$ Ringe mit $I$ endlich und sei $B_i$ endlich étale $A_i$-Algebra + für alle $i \in I$. Dann ist $\prod_{i \in I} B_i$ endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$-Algebra. Außerdem + ist jede endlich étale $\prod_{i \in I} A_i$ Algebra von dieser Form. + Weiter ist + \[ + \left[ \prod_{i \in I} B_i : \prod_{i \in I} A_i \right]\Big|_{\spec A_j} = [ B_j : A_j] + .\] + \label{satz:projective-prod} +\end{satz} + +\begin{proof} + Die Folge abelscher Gruppen + \[ + \begin{tikzcd} + \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{n} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq} + & \left( \prod_{i \in I} A_i \right)^{m} \arrow{r}\arrow{d}{\simeq} + & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} \arrow{d}{=} & 0 \\ + \prod_{i \in I} A_i^{n} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_i^{m} \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_i \arrow{r} & 0 + \end{tikzcd} + \] ist genau dann exakt, wenn + \[ + \begin{tikzcd} + A_i^{n} \arrow{r} & A_i^{m} \arrow{r} & B_i \arrow{r} & 0 + \end{tikzcd} + \] exakt ist für alle $i \in I$. Also ist $\prod_{i \in I} B_i$ genau dann endlich präsentierter + $\prod_{i \in I} A_i$-Modul, wenn $B_i$ endlich präsentierter $A_i$-Modul ist für alle $i \in I$. + + Außerdem ist $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Also für $\mathfrak{p} \in \spec A$ + existiert genau ein $i \in I$, sodass $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und + $A_{\mathfrak{p}} = (A_{i})_{\mathfrak{p}}$ und $B_{\mathfrak{p}} = (B_{i})_{\mathfrak{p}}$. + Also ist $A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{p}}$ genau dann frei separabel für + alle $\mathfrak{p} \in \spec A$, wenn + $(A_i)_{\mathfrak{p}} \to (B_{i})_{\mathfrak{p}}$ frei separabel ist für alle $\mathfrak{p} \in \spec A_i$ und + alle $i \in I$. + + Insgesamt ist $A \to B$ genau dann endlich étale, wenn $A_i \to B_i$ endlich étale ist für alle $i \in I$. + + %Endlich étale ist eine lokale Eigenschaft auf $A$, genauer: Für alle $i \in I$ existieren + %$\{f_{ij}\}_{j \in J_i}$, sodass $A_i = \sum_{j \in J_i} (f_{ij})$ und + %$(B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $(A_{i})_{f_{ij}}$-Algebra für alle $j \in J_i$. Dann + %setze $\tilde{f}_{ij} = (0, \ldots, 0, f_{ij}, 0, \ldots, 0)$. Dann ist mit \ref{lemma:localised-product-ring} + %$B_{\tilde{f}_{ij}} = (B_i)_{f_{ij}}$ separable, freie $A_{\tilde{f}_{ij}} = (A_i)_{f_{ij}}$-Algebra + %und $A = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J_i} (\tilde{f}_{ij})$. Also ist $B$ endlich separable $A$-Algebra. + + Sei nun $f\colon \prod_{i \in I} A_i \to B$ endlich étale. Es ist + $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$. Nach \ref{bem:clopen-sets} existieren + also idempotente Elemente $e_i \in A$, sodass $\spec A = \coprod_{i \in I} D(e_i)$. Nach + \ref{lemma:preimage-of-d} ist $\spec B = \coprod_{i \in I} D(f(e_i))$. Wir haben das folgende kommutative + Diagramm + \[ + \begin{tikzcd} + B \arrow{r} & \prod_{i \in I} B_{e_i} \\ + A \arrow{u} \arrow{r} & \prod_{i \in I} A_{e_i} \arrow{u} + \end{tikzcd} + .\] Nach \ref{lemma:disjoint-union-of-spec} sind die horizontalen Pfeile Isomorphismen + und wir sind in der obigen Situation. + + Die Gradformel folgt aus $\spec A = \coprod_{i \in I} \spec A_i$ und durch Berechnung in der Überdeckung aus dem + ersten Absatz. +\end{proof} + + \end{document}