update theo and proseminar

sose2020/proseminar/skript.tex

@@ -2,7 +2,7 @@
 
 \begin{document}
 
-\setcounter{section}{2}
+\setcounter{section}{3}
 
 \section{Prime Restklassen und der Satz von Euler-Fermat}
 
@@ -140,8 +140,8 @@ im Ring $\Z / n \Z$ zu charakterisieren.}
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
-    (i) $\implies$ (ii): Sei $x \in \Z$ mit $ax \equiv b$ $(\text{mod }n)$. Dann existiert
+    (i) $\implies$ (ii): Sei $x \in \Z$ mit $ax \equiv b$ $(\text{mod }n)$. Dann gilt
-    ein $k \in \Z$ mit $ax = b + kn$, also mit $b = ax - kn$. Wegen
+    $n \mid (ax - b) \implies \exists k \in \Z$ mit $ax - b = kn$, also mit $b = ax - kn$. Wegen
     $\text{ggT}(a,n) \mid a$ und $\text{ggT}(a,n) \mid n$ folgt $\text{ggT}(a,n) \mid b$.
 
     (ii) $\implies$ (i): Es gelte $\text{ggT}(a,n)  \mid b$. Aus dem erweiterten Euklidischen Algorithmus
@@ -172,7 +172,8 @@ im Ring $\Z / n \Z$ zu charakterisieren.}
     $\overline{a} \cdot \overline{x} = \overline{1}$ in $\Z / n \Z$, welche
     genau dann lösbar ist, wenn $\overline{x}$ eine Einheit in $\Z / n \Z$ ist.
 
-    (i) $\iff$ (iii): Folgt mit $b = 1$ aus \ref{lemma:kongruenz}.
+    (i) $\iff$ (iii): $\text{ggT}(a,n) = 1 \iff \text{ggT}(a,n)  \mid 1$. Folgt mit $b = 1$ aus
+    \ref{lemma:kongruenz}.
 \end{proof}
 
 \begin{bsp}
@@ -217,6 +218,22 @@ $0$ und $n$.}
     \end{enumerate}
 \end{bsp}
 
+\begin{lemma}
+    Es sei $p$ eine Primzahl und $n \in \N$. Dann gilt
+    \[
+        \varphi(p^{n}) = p^{n-1}(p-1)
+    .\] 
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+    $\exists $ genau $p^{n-1}$ Zahlen $a$ mit $0 \le a < p^{n}$ und $\text{ggT}(a,n) > 1$, denn:
+    Primfaktorzerlegung von $p^{n} = \underbrace{p \cdot p \cdot \ldots \cdot p}_{n-\text{mal}}$
+    $\implies$ Zahlen $a$ sind die $p^{n-1}$ Vielfachen von $p$, also
+    $0 \cdot p, 1\cdot p, \ldots, (p^{n-1} - 1)\cdot p \implies \varphi(p^{n})=p^{n} - p^{n-1} = p^{n-1}(p-1)$.
+\end{proof}
+
+Notation für Gruppen: Verknüpfung multiplikativ und neutrales Element ist $1$.
+
 \begin{lemma}
     \label{lemma:endlichegruppe}
     Es sei $G$ eine endliche abelsche Gruppe und $g \in G$. Dann gilt
@@ -273,4 +290,5 @@ $0$ und $n$.}
             Falls $\overline{a} = \overline{0}$ ist $\overline{a}^{p} = \overline{0}^{p} = \overline{0} = \overline{a}$.
     \end{enumerate}
 \end{proof}
+
 \end{document}

sose2020/theo/uebungen/theo2.tex

@@ -107,9 +107,10 @@
                 \intertext{Zusammen folgt}
                 &\Delta t = \int_{x_0}^{x_E} \frac{\sqrt{1 + f'(x)^2}}{\sqrt{\frac{2}{m} (E - V(\vec{x}))}} \d x
             .\end{align*}
-        \item Mit $E = 0$, $x_0 = 0$, $x_E = 1$ und $f(x) = x$ folgt
+        \item Mit $V(z) = mgz$, $E = 0$, $x_0 = 0$, $x_E = 1$ und $f(x) = x$ folgt
             \[
-            \Delta t = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2 g} } \d x = \frac{2}{\sqrt{g} } \sqrt{x}
+            \Delta t = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{\frac{2}{m} mgx} } \d x
+            = \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2 g x} } \d x = \frac{2}{\sqrt{g} } \sqrt{x}
             \Big|_{0}^{1} = \frac{2}{\sqrt{g} }
             .\] 
     \end{enumerate}