diff --git a/sose2020/la/uebungen/la4.pdf b/sose2020/la/uebungen/la4.pdf index a00a0aa..55df0e7 100644 Binary files a/sose2020/la/uebungen/la4.pdf and b/sose2020/la/uebungen/la4.pdf differ diff --git a/sose2020/la/uebungen/la4.tex b/sose2020/la/uebungen/la4.tex index 95eb2e0..e886e42 100644 --- a/sose2020/la/uebungen/la4.tex +++ b/sose2020/la/uebungen/la4.tex @@ -3,6 +3,8 @@ \title{Lineare Algebra 2: Übungsblatt 4} \author{Dominik Daniel, Christian Merten} +\usepackage[]{gauss} + \begin{document} \punkte[16] @@ -57,4 +59,155 @@ \end{enumerate} \end{aufgabe} +\begin{aufgabe} + \begin{enumerate}[(a)] + \item Kurze Rechung ergibt + \begin{align*} + P_A &= \begin{gmatrix}[p] t-10 & 11 & 11 & 32 \\ + 1 & t & 2 & - 4 \\ + -1 & 1 & t-1 & 4 \\ + -2 & 2 & 2 & t+6 + \rowops + \swap{0}{1} + \end{gmatrix} + \sim + \begin{gmatrix}[p] + 1 & t & 2 & - 4 \\ + t-10 & 11 & 11 & 32 \\ + -1 & 1 & t-1 & 4 \\ + -2 & 2 & 2 & t+6 + \rowops + \add[-(t-10)]{0}{1} + \add{0}{2} + \add[2]{0}{3} + \colops + \add[-t]{0}{1} + \add[-2]{0}{2} + \add[4]{0}{3} + \end{gmatrix} \\ + &\sim + \begin{gmatrix}[p] + 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 11-t^2 + 10t & -8 + 4t \\ + 0 & t+1 & t+1 & 0 \\ + 0 & 2+2t & 6 & t-2 + \rowops + \swap{1}{3} + \colops + \swap{1}{2} + \end{gmatrix} + \sim + \begin{gmatrix}[p] + 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 6 & 2+2t & t-2 \\ + 0 & t+1 & t+1 & 0 \\ + 0 & 31-2t & 11-t^2 + 10t & -8+4t + \rowops + \mult{1}{\cdot \frac{1}{6}} + \end{gmatrix} \\ + &\sim + \begin{gmatrix}[p] + 1 & 0 & 0 & 0 \\ + 0 & 1 & \frac{1}{3} + \frac{1}{3}t & \frac{1}{6}t - \frac{1}{3} \\ + 0 & t+1 & t+1 & 0 \\ + 0 & 31-2t & 11-t^2+10t & -8+4t + \rowops + \add[-(t+1)]{1}{2} + \add[-(31-2t)]{1}{3} + \colops + \add[-\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3}t \right)]{1}{2} + \add[-\left(\frac{1}{6}t - \frac{1}{3} \right)]{1}{3} + \end{gmatrix} + \sim + \begin{gmatrix}[p] + E_2 & 0 & 0 \\ + 0 & -\frac{1}{3} t^2+\frac{2}{3} + \frac{1}{3}t & -\frac{1}{6}t^2 + \frac{1}{6}t + \frac{1}{3} \\ + 0 & \frac{2}{3} + \frac{1}{3}t - \frac{1}{3}t^2 & \frac{1}{3}t^2 - \frac{11}{6}t + \frac{7}{3} + \rowops + \add[-1]{1}{2} + \colops + \add[-\frac{1}{2}]{1}{2} + \end{gmatrix} \\ + &\sim + \begin{gmatrix}[p] + E_2 & 0 & 0 \\ + 0 & -\frac{1}{3}t^2 + \frac{1}{3}t + \frac{2}{3} & 0 \\ + 0 & 0 & \frac{1}{2}t^2 - 2t + 2 + \rowops + \mult{1}{\cdot (-3)} + \mult{2}{\cdot 2} + \end{gmatrix} + \sim + \begin{gmatrix}[p] + E_2 & 0 & 0 \\ + 0 & (t+1)(t-2) & 0 \\ + 0 & 0 & (t-2)^2 + \rowops + \add{1}{2} + \colops + \add[-1]{1}{2} + \end{gmatrix} \\ + &\sim + \begin{gmatrix}[p] + E_2 & 0 & 0 \\ + 0 & (t+1)(t-2) & -(t+1)(t-2) \\ + 0 & (t+1)(t-2) & -3t + 6 + \rowops + \swap{1}{2} + \colops + \swap{1}{2} + \end{gmatrix} + \sim + \begin{gmatrix}[p] + E_2 & 0 & 0 \\ + 0 & -3t + 6 & (t-2)(t+1) \\ + 0 & -(t-2)(t+1) & (t-2)(t+1) + \rowops + \mult{1}{\cdot \left( -\frac{1}{3} \right)} + \colops + \mult{2}{\cdot 3} + \end{gmatrix} \\ + &\sim + \begin{gmatrix}[p] + E_2 & 0 & 0 \\ + 0 & t - 2 & -(t-2)(t+1) \\ + 0 & -(t-2)(t+1) & 3(t-2)(t+1) + \rowops + \add[t+1]{1}{2} + \colops + \add[t+1]{1}{2} + \end{gmatrix} + \sim + \begin{gmatrix}[p] + E_2 & 0 & 0 \\ + 0 & t-2 & 0 \\ + 0 & 0 & (t-2)^2(t+1) + \end{gmatrix} + .\end{align*} + Damit folgen als Invariantenteiler: $c_1 = c_2 = 1$, $c_3 = t- 2$ und $c_4 = (t-2)^2(t+1)$. + Die Determinantenteiler sind damit $d_1 = 1$, $d_2 = 1$, $d_3 = t-2$ und $d_4 = (t-2)^{3}(t+1)$. + \item Hier ist sofort ersichtlich: + \begin{align*} + \text{det}(P_B) + = \begin{gmatrix}[v] + t+5 & 3 & -5 \\ + 0 & t-1 & 1 \\ + 8 & 4 & t-7 + \end{gmatrix} + = (t-1)^{3} + \neq + (t-2)(t-1)(t+1) + = + \begin{gmatrix}[v] + t+3 & -8 & -12 \\ + -1 & t+2 & 3 \\ + 2 & -4 & t-7 + \end{gmatrix} + = \text{det}(P_C) + .\end{align*} + Damit ist $d_3_{B} \neq d_3_{C}$, also sind nach Invariantenteilersatz + $B$ und $C$ nicht ähnlich. + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + \end{document} diff --git a/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf b/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf index 0bc7685..d9e28a1 100644 Binary files a/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf and b/sose2020/theo/uebungen/theo5.pdf differ diff --git a/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex b/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex index 25e1731..6ca5125 100644 --- a/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex +++ b/sose2020/theo/uebungen/theo5.tex @@ -36,7 +36,7 @@ H &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - L \\ &= \frac{p_{\vartheta}^2}{mR^2} - \frac{1}{2} mR^2 (\dot{\vartheta}^2 + \omega^2\sin^2\vartheta) + mg R \cos\vartheta \\ - &= \frac{p_{\vartheta}^2}{2mR^2} - \frac{1}{2} \omega^2 \sin^2\vartheta + mgR\cos\vartheta + &= \frac{p_{\vartheta}^2}{2mR^2} - \frac{1}{2} R^2 \omega^2 \sin^2\vartheta + mgR\cos\vartheta .\end{align*} \item Es liegt hier zwar ein Potential vor, allerdings ist die kinetische Energie des Systems gegeben als @@ -47,8 +47,9 @@ an der zeitabhängigen Zwangsbedingung. Wegen $\frac{\partial H}{\partial t} = 0$ ist die Hamilton Funktion zeitlich - erhalten. Außerdem ist $\dot{w} = 0$, also ist das System - invariant gegenüber Zeittranslation. Damit folgt Energieerhaltung. + erhalten. Da die Zwangskräfte von der Zeit abhängen, ist das + System nicht invariant gegenüber Zeittranslation, also ist die Energie nicht + erhalten. \item Für die kanonischen Gleichungen folgt \begin{align*} \frac{\partial H}{\partial p_{\vartheta}} &= \frac{2 p_{\vartheta}}{mR^2} - \frac{p_{\vartheta}}{mR^2}