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@@ -37,43 +37,65 @@ |
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\end{proof} |
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\item Sei $\alpha > 0$. Beh.: $\alpha A \in \mathscr{B}(\R)$ und $\lambda(\alpha A) = \alpha \lambda(A)$. |
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\begin{proof} |
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Zunächst ist $f_{\alpha}\colon \mathscr{P}(\R) \to \mathscr{P}(\R)$, $A \mapsto \alpha A$ |
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eine inklusionserhaltende Bijektion. |
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Sei $A \in \mathscr{B}(\R)$. |
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Es sei $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{P(\R)}$ die Menge der linksgeschlossenen Intervalle. |
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Da $\sigma(\mathscr{J}) = \mathscr{B}(\R)$ und für |
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$I \in \mathscr{J} \implies I^{c} \in \mathscr{J}$, existieren $I_k \in \mathscr{J}$, s.d. |
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\[ |
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A = \bigcup_{k \in \N} I_k \text{ oder } A = \bigcap_{k \in \N} I_k |
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.\] Sei o.E. $A = \bigcup_{k \in \N} I_k$. Für $I \in \mathscr{J}$ ex. $a, b \in \R$ |
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mit $a \le b$, s.d. $I = [a, b)$. Dann ist $\alpha I = [\alpha a, \alpha b) \in \mathscr{J}$ |
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und damit |
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\[ |
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\lambda(\alpha I) = \lambda([\alpha a, \alpha b)) = |\alpha a - \alpha b| = \alpha |a-b| = \alpha \lambda(I) |
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.\] |
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Damit folgt |
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Betrachte |
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\[ |
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\alpha A = \alpha \bigcup_{k \in \N} I_k = \bigcup_{k \in \N} \alpha I_k \in \mathscr{B}(\R) |
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\mathscr{D} = \{ A \in \mathscr{B}(\R) \mid \alpha A \in \mathscr{B}(\R) \} |
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.\] |
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Betrachte nun $\tilde{I}_k \coloneqq I_k \setminus \bigcup_{j=1}^{k-1} I_j$. |
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Dann sind die $\tilde{I}_k$ disjunkte Vereinigung von endlich vielen linksgeschlossenen |
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Intervallen. Durch |
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Umnummerierung und Aufteilung der Vereinigung auf mehrere Folgenelemente, sei o.E. |
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$\tilde{I}_k \in \mathscr{J}$ $\forall k \in \N$ und |
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Dann ist $\mathscr{D}$ Dynkinsystem, denn |
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\begin{enumerate}[(i)] |
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\item $\R \in \mathscr{D}$, denn $\alpha \R = \R$. |
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\item Sei $A \in \mathscr{D}$. Dann ist $\alpha A \in \mathscr{B}(\R)$, also |
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\[ |
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\alpha A^{c} = (\alpha A)^{c} \in \mathscr{B}(\R) |
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.\] Also $A^{c} \in \mathscr{D}$. |
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\item Sei $A_i \in \mathscr{D}$ $\forall i \in \N$ mit $A_i \cap A_j = \emptyset$. Dann |
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ist |
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\[ |
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\alpha \bigcupdot_{i \in \N} A_i = \bigcup_{i \in \N} \underbrace{\alpha A_i}_{\in \mathscr{B}(\R)} \in \mathscr{B}(\R) |
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.\] Also $\bigcupdot_{i \in \N} A_i \in \mathscr{D} $. |
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\end{enumerate} |
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Sei $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{P}(\R)$ die Menge der linksgeschlossenen Intervalle. |
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Es ist offensichtlich $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{D}$ und $\mathscr{J}$ |
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$\pi$-System. Da auch |
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$\sigma(\mathscr{J}) = \mathscr{B}(\R)$ folgt mit ÜB 1, dass |
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\[ |
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A = \bigcupdot_{k \in \N} \tilde{I}_k |
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\mathscr{B}(\R) = \sigma(\mathscr{J}) \subseteq \mathscr{D} |
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.\] |
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Damit folgt |
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\begin{salign*} |
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\lambda(\alpha A) &= \lambda \left( \alpha \bigcupdot_{k \in \N} \tilde{I}_k \right) \\ |
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&\stackrel{f_\alpha \text{ inklusionserhaltend}}{=} |
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\lambda \left( \bigcupdot_{k \in \N} \alpha \tilde{I}_k \right) \\ |
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&\stackrel{\lambda \; \sigma \text{-additiv}}{=} |
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\sum_{k \in \N} \lambda(\alpha \tilde{I}_k) \\ |
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&= \sum_{k \in \N} \alpha \lambda(\tilde{I}_k) \\ |
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&= \alpha \lambda(A) |
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.\end{salign*} |
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Es ist $f_{\alpha}\colon \mathscr{P}(\R) \to \mathscr{P}(\R)$, $A \mapsto \alpha A$ |
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eine inklusionserhaltende Bijektion. Das heißt, die Disjunktheit von Mengen bleibt erhalten |
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$(*)$. Damit ist |
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\[ |
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\mathscr{H} = \{ A \in \mathscr{B}(\R) \mid \lambda(\alpha A) = \alpha \lambda(A)\} |
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\] ein Dynkinsystem, denn |
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\begin{enumerate}[(i)] |
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\item $\R \in \mathscr{H}$, denn $\lambda(\R) = \lambda(\alpha \R) = \alpha \lambda(\R)$. |
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\item Sei $A \in \mathscr{H}$. Dann ist |
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\begin{salign*} |
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\alpha \lambda(A^{c}) &= \alpha \left[ \lambda(\R) - \lambda(A) \right] \\ |
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&= \lambda(\alpha \R) - \lambda (\alpha A) \\ |
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&= \lambda((\alpha A)^{c} \\ |
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&= \lambda(\alpha A^{c}) |
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.\end{salign*} |
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Also $A^{c} \in \mathscr{H}$. |
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\item Seien $A_i \in \mathscr{H}$ $\forall i \in \N$, $A_i \cap A_j = \emptyset$ für |
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$i \neq j$. Dann ist |
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\begin{salign*} |
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\lambda\left(\alpha\bigcupdot_{i \in \N} A_i\right) &\stackrel{(*)}{=} |
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\lambda\left( \bigcupdot_{i \in \N} \alpha A_i \right) \\ |
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&\stackrel{\lambda \text{ Maß}}{=} |
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\sum_{i \in \N} \lambda(\alpha A_i) \\ |
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&\stackrel{A_i \in \mathscr{H}}{=} |
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\alpha \sum_{i \in \N} \lambda(A_i) \\ |
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&= \alpha \bigcupdot_{i \in \N} A_i |
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.\end{salign*} |
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\end{enumerate} |
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Für $I \in \mathscr{J}$ gilt offensichtlich für $a, b \in \R$ mit $b \ge a$: |
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\[ |
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\lambda(\alpha I) = \lambda(\alpha [a, b)) = \lambda([\alpha a, \alpha b)) |
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= |\alpha a - \alpha b| = \alpha |a - b| = \alpha \lambda([a, b)) = \alpha \lambda(I) |
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.\] Also $\mathscr{J} \subseteq \mathscr{H}$. Dann folgt analog zu oben |
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$\mathscr{B}(\R) \subseteq \mathscr{H}$. |
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\end{proof} |
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\item Beh.: Für alle $\alpha > 0$ existiert eine Menge $A \in \mathscr{B}(\R)$, s.d. |
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$A$ dicht in $\R$ und $\lambda(A) = \alpha$. |
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@@ -145,7 +167,7 @@ |
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\item Beh.: $\mathscr{H}^{s}(\alpha A) = \alpha ^{s} \mathscr{H}^{s}(A)$. |
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\begin{proof} |
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Sei $A \subseteq \R$ und $\alpha > 0$. |
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Wie bereits in A1 ist $f_{\alpha}$ eine inklusionserhaltende Bijektion. Damit ist |
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$f_{\alpha}$ ist eine inklusionserhaltende Bijektion. Damit ist |
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für $B_j \subseteq \R$: |
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\[ |
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A \subseteq \bigcup_{j \in \N} B_j \iff \alpha A \subseteq \bigcup_{j \in \N} \alpha B_j |
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@@ -250,21 +272,20 @@ |
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\end{aufgabe} |
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\begin{aufgabe} |
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Beh.: $\mu$ ist ein Maß. |
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Beh.: $\mu$ ist weder Maß noch äußeres Maß. |
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\begin{proof} |
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\begin{enumerate}[(i)] |
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\item $\mu(\emptyset) = 0$, denn $\#(\emptyset \cap \{1, \ldots, n\}) = 0$ $\forall n \in \N$. |
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\item Sei $A_i \in \mathscr{P}(\N)$ für $i \in \N$ und $A_i \cap A_j = \emptyset$ für $i\neq j$. |
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Dann gilt |
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\begin{salign*} |
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\mu\left( \bigcupdot_{i \in \N} A_i \right) |
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&= \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# \left( \bigcupdot_{i \in \N} A_i \cap \{1, \ldots, n\} \right) \\ |
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&= \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# \left( \bigcupdot_{i \in \N} (A_i \cap \{1, \ldots, n\} ) \right) \\ |
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&\stackrel{\text{disj. Ver.}}{=} \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i \in \N} \#(A_i \cap \{1, \ldots, n\}) \\ |
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&= \sum_{i \in \N} \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \#(A_i \cap \{1, \ldots, n\}) \\ |
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&= \sum_{i \in \N} \mu(A_i) |
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.\end{salign*} |
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\end{enumerate} |
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Betrachte $A_n \coloneqq \{n\}$ für $n \in \N$. Dann ist |
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\[ |
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\bigcup_{n \in \N} A_n = \bigcup_{n \in \N} \{n\} = \N |
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.\] |
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Dann ist für $k \in \N$: |
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\[ |
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\mu(A_k) = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# ( \{k\} \cap \{1, \ldots, n\}) = 0 |
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,\] aber |
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\[ |
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\mu(\N) = \limsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} \# (\N \cap \{1, \ldots, n\}) = \limsup_{n \to \infty} \frac{n}{n} = 1 |
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> \sum_{n \in \N} A_n |
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.\] Also ist $\mu$ nicht subadditiv, also weder Maß noch äußeres Maß. |
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\end{proof} |
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\end{aufgabe} |
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