2 arquivos alterados com 273 adições e 0 exclusões
Visão dividida
Opções de diferenças
BIN
ws2019/la/uebungen/la10.pdf
Ver arquivo
+ 273
- 0
ws2019/la/uebungen/la10.tex
Ver arquivo
| @@ -0,0 +1,273 @@ | |||
| \documentclass[uebung]{../../../lecture} | |||
| \usepackage[]{gauss} | |||
| \title{Übungsblatt Nr. 10} | |||
| \author{Christian Merten} | |||
| \begin{document} | |||
| \punkte | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| \[ | |||
| \begin{gmatrix}[p] | |||
| 0 & 6 & -2 & -1 & 2 \\ | |||
| -1 & -1 & 0 & -1 & 11 \\ | |||
| -2 & 3 & -1 & -2 & 15 \\ | |||
| 1 & 0 & 0 & 1 & -10 | |||
| \end{gmatrix} | |||
| \to | |||
| \begin{gmatrix}[p] | |||
| 1 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ | |||
| 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ | |||
| 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ | |||
| 0 & 0 & 0 & 1 & -12 | |||
| \end{gmatrix} | |||
| .\] $\text{Rg}(A) = \text{Rg}(A|b) = 4$ | |||
| und | |||
| $L = \left\{\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2 \\ 12 \end{pmatrix} \right\} $ | |||
| \[ | |||
| \begin{gmatrix}[p] | |||
| 2 & 2 & 1 & 2 & 4 \\ | |||
| 1 & 0 & 1 & 1 & 4 \\ | |||
| 1 & 1 & 1 & 2 & 4 \\ | |||
| 2 & 1 & 1 & 1 & 4 | |||
| \end{gmatrix} | |||
| \to | |||
| \begin{gmatrix}[p] | |||
| 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ | |||
| 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ | |||
| 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ | |||
| 0 & 0 & 0 & 0 & 0 | |||
| \end{gmatrix} | |||
| .\] $\text{Rg}(A) = \text{Rg}(A|b) = 3$ spezielle Lösung $\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} $, | |||
| damit folgt | |||
| $L = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + \text{Lin}\left( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \right) $. | |||
| \[ | |||
| \begin{gmatrix}[p] | |||
| 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ | |||
| 2 & 2 & 1 & 2 & 2 \\ | |||
| 1 & 1 & 1 & 2 & 3 \\ | |||
| 2 & 1 & 1 & 1 & 4 | |||
| \end{gmatrix} | |||
| \to | |||
| \begin{gmatrix}[p] | |||
| 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ | |||
| 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ | |||
| 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ | |||
| 0 & 0 & 0 & 0 & 1 | |||
| \end{gmatrix} | |||
| .\] | |||
| $\text{Rg}(A) = 3 \neq 4 = \text{Rg}(A|b) \implies L = \{\} $ | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Beh.: $x^2 + 1$ und $x^2 + x + 1$ sind teilerfremd. | |||
| \begin{proof} | |||
| Führe den euklidischen Algorithmus mit $f_1 := x^2 + x + 1$ und | |||
| $f_2 := x^2 + 1$ | |||
| aus. So erhalten wir | |||
| \begin{align*} | |||
| f_1 &= 1 \cdot f_2 + \underbrace{x}_{ =: f_3} \\ | |||
| f_2 &= x \cdot f_3 + \underbrace{1}_{ =: f_4} \\ | |||
| f_3 &= x \cdot f_4 | |||
| .\end{align*} | |||
| Damit erhalten wir direkt | |||
| $\text{ggT}(f_1, f_2) = f_4 = 1 \implies f_1, f_2$ teilerfremd. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: Für $p := 1 + x$ und $q := -x$ gilt $p \cdot (x^2 + 1) + q \cdot (x^2 + x + 1) = 1$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Steige den euklidischen Algorithmus aus (a) auf. | |||
| \begin{align*} | |||
| 1 = f_4 = f_2 - x \cdot f_3 &= f_2 - x (f_1 - f_2) \\ | |||
| &= f_2 - x \cdot f_1 + x \cdot f_2 \\ | |||
| &= (\underbrace{-x}_{=q}) | |||
| \cdot f_1 + (\underbrace{1 + x}_{=p}) \cdot f_2 | |||
| .\end{align*} | |||
| \end{proof} | |||
| \item Sei $f \in K[x]$ ein Polynom. | |||
| Beh.: $f K[x] := \{f g \mid g \in K[x]\} $ ist Untervektorraum von $K[x]$ | |||
| \begin{proof} | |||
| Seien $g_1, g_2 \in f K[x]$ und $\lambda \in K$ bel. Dann ex. | |||
| Polynome $h_1, h_2 \in K[x]$ mit $g_1 = h_1 \cdot f$ und | |||
| $g_2 = h_2 \cdot f$. Damit folgt | |||
| \[ | |||
| \lambda g_1 + g_2 = \lambda f h_1 + f h_2 = f (\underbrace{\lambda h_1 + h_2}_{ \in K[x]}) | |||
| .\] $\implies \lambda g_1 + g_2 \in f K[x]$. | |||
| Außerdem $0 \cdot f = 0 \in f K[x]$. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $\text{dim } K[x] / f K[x] = |\text{deg}(f)|$. | |||
| \begin{proof} | |||
| Für $f = 0$ folgt $f K[x] = \{0\} $ und wegen $K[x] \stackrel{\sim }{=} K[x] / \{0\}$, folgt | |||
| direkt $\text{dim } K[x] = \infty = |-\infty| = \text{deg}(f)$. | |||
| Für $f \neq 0$ definiere $n := \text{deg}(f) \ge 0$. | |||
| Zz.: Die auf $K[x]_{< n}$ eingeschränkte kanonische Projektion | |||
| $\left.p\right|_{K[x]_{<n}} \longrightarrow K[x] / f K[x]$ ist Isomorphismus. | |||
| $p\colon K[x] \to K[x] / f K[x]$ ist linear nach VL, damit auch | |||
| $\left.p\right|_{K[x]_{< n}}$. | |||
| Sei nun $h \in K[x]_{< n}$ mit $p(h) = 0 = f K[x]$. Dann ex. $g \in K[x]$, s.d. | |||
| $h = f g$. Angenommen: $h \neq 0 \implies g \neq 0 \land f \neq 0$. Damit folgt | |||
| \[ | |||
| \text{deg}(h) = \text{deg}(f) + \text{deg}(g) = n + \text{deg}(g) | |||
| .\] | |||
| Wegen $\text{deg}(g) \ge 0$ folgt damit $\text{deg}(h) \ge n$. | |||
| $\implies h \not\in K[x]_{<n}$. Widerspruch.\\ | |||
| $\implies \text{ker } \left.p\right|_{K[x]_{< n}} = \{0\} $. | |||
| Sei nun $A \in K[x] / f K[x]$. Dann ex. ein $g \in K[x]$ mit $A = g + f K[x]$. | |||
| Definiere nun rekursiv durch Polynomdivision: | |||
| \[ | |||
| g_k := q_{k+1} \cdot f + g_{k+1} | |||
| .\] | |||
| mit $g_1 := g$. Dabei gilt nach VL $\text{deg}(g_{k+1}) < \text{deg}(g_k)$. Wähle | |||
| das erste $g_k$, sodass gilt $\text{deg}(g_k) < n$. Damit folgt | |||
| \begin{align*} | |||
| &g = g_1 = q_1 \cdot f + \ldots + q_{k} \cdot f + g_k = (q_1 + \ldots + q_k) \cdot f + g_k \\ | |||
| \implies &g - g_k = \underbrace{(q_1 + \ldots + q_k) \cdot f}_{\in f K[x]} | |||
| .\end{align*} | |||
| $\implies$ $g \sim g_k$ und wegen $\text{deg}(g_k) < n$ folgt $g_k \in K[x]_{< n}$.\\ | |||
| $\implies \left.p\right|_{K[x]_{<n}}(g_k) = A$. | |||
| Damit ist $\left.p\right|_{K[x]_{<n}}$ bijektiv und damit Isomorphismus, da | |||
| $K[x]_{<n}$ endlich dimensional folgt direkt | |||
| \[ | |||
| \text{dim } K[x] / f K[x] = \text{dim } K[x]_{<n} = n = |\text{deg}(f)| | |||
| .\] | |||
| \end{proof} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| Sei $A \in M_{n, n}(K)$ und $\lambda \in K$. | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Beh.: $\text{det}(\lambda A) = \lambda^{n} \text{det}(A)$ | |||
| \begin{proof} | |||
| \begin{align*} | |||
| \text{det}(\lambda A) &= \text{det}(E_1(\lambda) \cdot \ldots \cdot E_n(\lambda)\cdot A) \\ | |||
| &= \text{det}(E_1(\lambda)) \cdot \ldots \cdot \text{det}(E_n(\lambda)) \cdot \text{det}(A) \\ | |||
| &= \lambda^{n} \text{det}(A) | |||
| .\end{align*} | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: Ist $K = \R$, $n = 3$ und $A = - A^{t}$, dann ist $A$ nicht invertierbar. | |||
| \begin{proof} | |||
| Mit $A = (a_{ij})$ und $A = - A^{t}$ folgt für $i = j$ : $a_{ii} = -a_{ii}$. Mit | |||
| $\text{char}(\R) = 0$ folgt $a_{ii} = 0$. Für $i \neq j$: folgt | |||
| $a := a_{12} = - a_{21}$, $b := a_{23} = - a_{32}$ und $c := a_{13} = -a_{31}$. | |||
| Damit folgt direkt | |||
| \[ | |||
| \text{det}(A) = \begin{gmatrix}[v] 0 & a & c \\ -a & 0 & b \\ -c & -b & 0 \end{gmatrix} | |||
| = 0 | |||
| .\] $\implies A$ nicht invertierbar. | |||
| \end{proof} | |||
| \item Ja. $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$ ist antisymmetrisch, aber | |||
| wegen $\begin{gmatrix}[v] 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{gmatrix} = 1$ invertierbar. | |||
| \item Ja. mit $K = \Z / 2\Z$ gilt für $A := \begin{gmatrix}[p] \overline{1} & 0 & 0 \\ | |||
| 0 & \overline{1} & 0 \\ 0 & 0 & \overline{1} \end{gmatrix}$ | |||
| \[ | |||
| A + A^{t} = A + A \stackrel{\overline{1} + \overline{1} = 0}{=} 0 | |||
| .\] Aber $\text{det}(A) = \overline{1} \cdot \overline{1} \cdot \overline{1} = \overline{1} \neq 0$. | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \begin{aufgabe} | |||
| \begin{enumerate}[(a)] | |||
| \item Beh.: $\text{det}(A) = (x + (n-1)y)(x-y)^{n-1}$. | |||
| \begin{proof} | |||
| \begin{align*} | |||
| &\begin{gmatrix}[v] | |||
| x & y & y & \ldots & y \\ | |||
| y & x & y & \ldots & y \\ | |||
| y & y & x & \ldots & y \\ | |||
| \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ | |||
| y & y & y & \ldots & x | |||
| \rowops | |||
| \add[-1]{0}{1} | |||
| \add[-1]{0}{2} | |||
| \add[-1]{0}{3} | |||
| \end{gmatrix} | |||
| \to | |||
| \begin{gmatrix}[v] | |||
| x & y & y & \ldots & y \\ | |||
| y-x & x-y & 0 & \ldots & 0 \\ | |||
| y-x & 0 & x - y & \ldots & 0 \\ | |||
| \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ | |||
| y-x & 0 & 0 & \ldots & x-y | |||
| \colops | |||
| \add[1]{1}{0} | |||
| \add[1]{2}{0} | |||
| \add[1]{3}{0} | |||
| \add[1]{4}{0} | |||
| \end{gmatrix} \\[2mm] | |||
| \to & | |||
| \begin{gmatrix}[v] | |||
| x + (n-1)y & y & \ldots & y \\ | |||
| 0 & x-y & 0 & \ldots & y \\ | |||
| 0 & 0 & x-y & \ldots & y \\ | |||
| \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ | |||
| 0 & 0 & 0 & \ldots & x-y \\ | |||
| \end{gmatrix} | |||
| = (x+(n-1)y)(x-y)^{n-1} | |||
| .\end{align*} | |||
| \end{proof} | |||
| \item Beh.: $\text{det}(B) = (x^2 - y^2)^{n}$ | |||
| \begin{proof} | |||
| durch vollständige Induktion | |||
| I.A.: $n = 1$ : $B_2 = \begin{gmatrix}[v] x & y \\ y & x \end{gmatrix} = x^2 - y^2 = (x^2 - y^2)^{1} $ | |||
| I.S.: $n - 1 \to n$. Die Beh. gelte bereits für bel. $n - 1 \in \N$. | |||
| Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte. Im folgenden | |||
| bezeichnen $b_{ij}$ Komponenten der Matrix $B_n$. | |||
| $B_{n}$ ist von der Form: | |||
| \begin{align*} | |||
| \begin{gmatrix}[p] | |||
| x & 0 & 0 & 0 & \ldots & y \\ | |||
| 0 & x & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ | |||
| 0 & 0 & x & y & \ldots & 0 \\ | |||
| 0 & 0 & y & x & \ldots & 0 \\ | |||
| \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ | |||
| y & 0 & 0 & 0 & \ldots & x | |||
| \end{gmatrix} | |||
| .\end{align*} | |||
| Das heißt $b_{11} = x$, $b_{(2n) 1} = y$ und sonst $b_{i1} = 0$. | |||
| Damit folgt (hier ist $B = B_{n}$): | |||
| \begin{align*} | |||
| |B_{n}| &= \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}a_{ij}\text{det}(B_{ij}) \\ | |||
| &= x \cdot \text{det}(B_{11}) - y \cdot \text{det}(B_{(2n)1}) | |||
| .\end{align*} | |||
| Für $B_{11} \in M_{(2n-1)\times (2n-1)}(K)$ | |||
| bzw. $B_{(2n)1} \in M_{(2n-1)\times (2n-1)}(K)$ | |||
| entwickle nach der letzten Spalte $j = 2n-1$. Hier ist | |||
| jeweils nur in einer Zeile ein Eintrag ungleich Null: $b_{(2n)(2n)} = x$ bzw. | |||
| $b_{1(2n)} = y$. | |||
| Die Matrizen $B_{11_{(2n-1)(2n-1)}}, B_{(2n)1_{1(2n-1)}} \in M_{2(n-1) \times 2(n-1)}(K)$ | |||
| sind identisch und gleich $B_{n-1}$. Damit folgt: | |||
| \begin{align*} | |||
| |B_{11}| &= (-1)^{2n-1 + 2n-1} x \cdot \text{det}(B_{11_{(2n-1)(2n-1)}}) \\ | |||
| &= x \cdot \text{det}(B_{n-1}) \\ | |||
| &\stackrel{I.V.}{=} x (x^2 - y^2)^{n-1}\\ | |||
| |B_{(2n)1}| &= (-1)^{2n-1 + 1} y \cdot \text{det}(B_{(2n)1_{1(2n-1)}}) \\ | |||
| &= y \cdot \text{det}(B_{n-1}) \\ | |||
| &\stackrel{I.V.}{=} y (x^2 - y^2)^{n-1} | |||
| .\end{align*} | |||
| Damit folgt direkt: | |||
| \[ | |||
| |B_n| = x \cdot x (x^2 - y^2)^{n-1} - y \cdot y (x^2 - y^2)^{n-1} = (x^2 - y^2)(x^2-y^2)^{n-1} | |||
| = (x^2 - y^2)^{n} | |||
| .\] | |||
| \end{proof} | |||
| \end{enumerate} | |||
| \end{aufgabe} | |||
| \end{document} | |||