diff --git a/sose2020/ana/lectures/ana1.tex b/sose2020/ana/lectures/ana1.tex index 4995832..2644a41 100644 --- a/sose2020/ana/lectures/ana1.tex +++ b/sose2020/ana/lectures/ana1.tex @@ -226,10 +226,11 @@ $\forall n \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$. Damit gilt $\forall n, m \ge N_0$ und $\forall x \in [a,b]$: + \begin{align*} &|f_n(x) - f_m(x)| \le |f_n(x) - f(x)| + |f(x) - f_m(x)| \le \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{4} = \frac{\epsilon}{2} \\ - \implies &\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| = \Vert f_n - f_m \Vert_\infty + \implies &\max_{x \in [a,b]} |f_n(x) - f_m(x)| = \Vert f_n - f_m \Vert_{\infty} \le \frac{\epsilon}{2} < \epsilon \quad \forall n, m \ge N_0 .\end{align*} @@ -262,7 +263,7 @@ Der Funktionenraum $C[a,b]$ definiert durch \[ C[a,b] := \{ f \colon [a,b] \to \R \mid f \text{ stetig }\} - .\] mit $\Vert f \Vert_\infty$ einen normierten Vektorraum. + ,\] ist mit $\Vert f \Vert_\infty$ ein normierter Vektorraum. \end{definition} \begin{satz}[Vollständigkeit] diff --git a/sose2020/ana/lectures/analysisII.pdf b/sose2020/ana/lectures/analysisII.pdf index a8a0ef3..f6002c0 100644 Binary files a/sose2020/ana/lectures/analysisII.pdf and b/sose2020/ana/lectures/analysisII.pdf differ diff --git a/sose2020/ana/uebungen/ana1.pdf b/sose2020/ana/uebungen/ana1.pdf new file mode 100644 index 0000000..abd5ced Binary files /dev/null and b/sose2020/ana/uebungen/ana1.pdf differ diff --git a/sose2020/ana/uebungen/ana1.tex b/sose2020/ana/uebungen/ana1.tex new file mode 100644 index 0000000..6daf431 --- /dev/null +++ b/sose2020/ana/uebungen/ana1.tex @@ -0,0 +1,165 @@ +\documentclass[uebung]{../../../lecture} + +\begin{document} + +% punkte tabelle +\begin{tabular}{|c|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|m{1cm}|@{}m{0cm}@{}} + \hline + Aufgabe & \centering A1 & \centering A2 & \centering A3 & \centering A4 & \centering A5 & \centering $\sum$ & \\[5mm] \hline + Punkte & & & & & & & \\[5mm] \hline +\end{tabular} + +\title{Analysis II: Übungsblatt 1} +\author{Leon Burgard, Christian Merten} + +\begin{aufgabe} + Integralberechnung + \begin{enumerate}[(a)] + \item Integration von Monom + \[ + \int_{0}^{1} \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x} } } \d x = \int_{0}^{1} \sqrt{\sqrt{\sqrt{x^{7}} } } \d x + = \int_{0}^{1} x^{\frac{7}{8}} \d x = \frac{8}{15} x^{\frac{15}{8}} \Big|_{0}^{1} = \frac{8}{15} + .\] + \item Produktintegration + \begin{align*} + \int_{0}^{1} e^{x}(1 - x + x^2) \d x + &= e^{x}(1 - x + x^2) \Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x}(2x-1) \d x \\ + &= e^{x}(1 - x + x^2) \Big|_{0}^{1} - \left( e^{x}(2x-1) - \int_{0}^{1} 2e^{x} \d x \right) \\ + &= e^{x}(1 - x + x^2) \Big|_{0}^{1} - e^{x}(2x-1) \Big|_{0}^{1} + 2e^{x} \Big|_{0}^{1} \\ + &= e^{x}(x^2 - 3x+4) \Big|_{0}^{1} \\ + &= 2e - 4 + .\end{align*} + \item Mit Substitution $t = x^2$ folgt + \begin{align*} + \int_{0}^{1} e^{x^2} x^{3} \d x + = \int_{0}^{1} e^{t} tx \frac{\d t}{2x} + = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t}\cdot t \d t + = \frac{1}{2} \left( e^{t}\cdot t \Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{t} \d t\right) + = \frac{1}{2} + .\end{align*} + \item Mit $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2(x)}$ folgt + \begin{align*} + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2(x)} \d x + &= \tan(x) \cdot x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \d x + \intertext{Mit Substitution $t = \cos x$ folgt} + \int \tan x \d x + &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \d x + = - \int \frac{\sin x}{t} \frac{\d x}{\sin x} + = - \int \frac{1}{t} \d t + = - \ln t + = - \ln(\cos x) + \intertext{Damit folgt} + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos^2(x)} \d x + &= \frac{\pi}{4} + \ln(\cos x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} + = \frac{\pi}{4} + \ln\frac{\sqrt{2} }{2} + = \frac{1}{4} (\pi - \ln 4) + .\end{align*} + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe} + Weitere Eigenschaften von Integralen + \begin{enumerate}[(a)] + \item Sei $f\colon [a,b] \to \R$ stetig und $\varphi, \psi\colon [c,d] \to [a,b]$ differenziebar. + + Beh.: + \[ + \frac{d}{\d x} \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t) \d t = + f(\psi(x)) \psi'(x) - f(\varphi(x)) \varphi'(x), \quad x \in [c, d] + .\] + \begin{proof} + $f$ stetig auf $[a,b]$, d.h. es ex. eine Stammfunktion $F$ von $f$ mit $F'(x) = f(x)$. Nach + dem HDI gilt dann + \[ + \int_{\varphi(x)}^{\psi(x)} f(t) \d t = F(\psi(x)) - F(\varphi(x)) + .\] Damit folgt mit Kettenregel + \begin{align*} + \frac{d}{\d x} \left( F(\psi(x)) - F(\varphi(x)) \right) + = \frac{d}{\d x} F(\psi(x)) - \frac{d}{\d x} F(\varphi(x)) + = f(\psi(x)) \psi'(x) - f(\varphi(x)) \varphi'(x) + .\end{align*} + \end{proof} + \item + \end{enumerate} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe}[Funktionenfolgen und Integration] + Für $n \in \N$ sei $f_n\colon [0, \infty) \to \R$ definiert durch + \[ + f_n(x) := \frac{n^2 x}{(1+n^2x^2)^2} + .\] Beh.: + \[ + \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_n(x) \d x \neq \int_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \d x + .\] + \begin{proof} + Zunächst linke Seite mit Substitution $t = 1+n^2x^2$: + \[ + \int_{0}^{1} \frac{n^2x}{(1+n^2x^2)^2} \d x + = \frac{1}{2} \int_{1}^{1+n^2} \frac{\d t}{t^2} + = - \frac{1}{2} \frac{1}{t} \Big|_{1}^{1+n^2} + = - \frac{1}{2 + 2n^2} + \frac{1}{2} + \xrightarrow{n \to \infty} \frac{1}{2} + .\] Zu zeigen: $f_n \xrightarrow[\text{punktweise}]{n \to \infty} f(x) := 0$. Sei $x \in \R$ beliebig. + \[ + |f_n(x) - f(x)| + = \left| \frac{x}{\frac{1}{n^2} + 2x^2 + n^2x^{4}} \right| \xrightarrow{n \to \infty} 0 + .\] Damit folgt + \[ + \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} f_n(x) \d x = \frac{1}{2} \neq 0 = \int_{0}^{1} 0 \d x + = \int_{0}^{1} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \d x + .\] + \end{proof} + Da $f_n$ nicht gleichmäßig konvergent ist, ist Satz 1.3.1 nicht anwendbar. + \begin{proof} + Zu zeigen: $f_n$ nicht gleichmäßig konvergent. + + Sei $\epsilon > 0$ und $n \in \N$ mit $n > \frac{\epsilon \cdot 16}{\sqrt{27} }$. Dann wähle + $x_0 = \frac{1}{\sqrt{3} n}$. Damit folgt + \[ + |f_n(x_0) - f(x_0)| = |f_n(x_0)| + = \left| \frac{\sqrt{27} n}{16} \right| + > \left| \frac{\sqrt{27} \epsilon 16}{16\sqrt{27}} \right| + = \epsilon + .\] + \end{proof} +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe}[Uneigentliche Integrale und Funktionenfolgen] + Für $n \in \N$ sei $f_n \colon [0, \infty) \to \R$ definiert durch + \[ + f_n(x) := \frac{1}{n} e^{-\frac{x}{n}}, \quad x \ge 0 + .\] Beh.: $(f_n)_{n\in\N}$ konvergiert gleichmäßig, aber + \[ + \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{\infty} f_n(x) \d x \neq \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \d x + .\] + \begin{proof} + Zu zeigen: $f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f(x) := 0$. + + Sei $\epsilon > 0$ und $x \in [0, \infty)$ beliebig. Wähle $n_0 > \frac{1}{\epsilon}$. Wegen + $x \ge 0$ und $n \ge 1$, folgt $\frac{x}{n} \ge 0 \implies e^{-\frac{x}{n}} \le 1$. + Damit folgt direkt $\forall n \in \N$, $n \ge n_0$: + \[ + \left| \frac{1}{n} e^{-\frac{x}{n}} - 0 \right| \le \frac{1}{n} \cdot 1 \le \frac{1}{n_0} + < \frac{1}{\frac{1}{\epsilon}} = \epsilon + .\] $\implies f_n \xrightarrow[\text{gleichmäßig}]{n \to \infty} f(x)$. + + Damit folgt + \[ + \int_{0}^{1} \frac{1}{n} e^{-\frac{x}{n}} \d x + = - e^{-\frac{x}{n}} \Big|_{0}^{\infty} = - \left( \lim_{x \to \infty} e^{-\frac{x}{n}} - 1 \right) + = 1 \neq 0 = \int_{0}^{\infty} f(x) \d x = \int_{0}^{\infty} \lim_{n \to \infty} f_n(x) \d x + .\] + \end{proof} + $[0, \infty)$ ist kein kompaktes Intervall, weshalb Satz 1.3.1 nicht anwendbar ist. +\end{aufgabe} + +\begin{aufgabe}[Stammfunktionen] + Mit Produktintegration folgt sofort + \begin{align*} + &\int \cos(x) \sin(x) \d x = - \cos^2(x) - \int \cos(x) \sin(x) \d x \\ + \implies & 2 \int \cos(x) \sin(x) \d x = - \cos^2(x) \\ + \implies & \int \cos(x) \sin(x) \d x = - \frac{1}{2} \cos^2(x) + .\end{align*} +\end{aufgabe} + +\end{document}