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\documentclass{../../../lecture}
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\usepackage{enumerate}
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\begin{document}
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\begin{lemma}
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$(a_n)_{n \in N}$, $(b_n)_{n \in \N}$ Cauchy Folgen.
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\end{lemma}
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\begin{proof}
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Sei $a_n \le b_n$ für fast alle $n \in \N$, aber $b < a$.
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Dann $\exists \delta > 0$ mit $b + \delta = a$.
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Wegen der Konvergenz:
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\[
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b_n \to b, a_n \to a, n \to \infty
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.\]
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\[
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\exists n_\epsilon \in \N \text{ sd. } |b - b_n| \le \frac{1}{2} \delta
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.\] und
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\[
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|a - a_n| \le \frac{1}{2} \delta \text{ } \forall n > n_\epsilon
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.\]
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Dann
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\[
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b_n = b_n - b + b - a + a - a_n + a_n \le |b_n - b| + b - a | a - a_n| + a_n
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\le \frac{1}{2} \delta - \delta + \frac{1}{2} \delta + a_n = a_n
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.\] $\implies$
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\[
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b_n \le a_n
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.\] Widerspruch zur Annahme, dass $a_n \le b_n$ für fast alle $n \in \N$.
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\end{proof}
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\begin{bem}[Folgerung aus 3]
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Sei Cauchy-Folge $(a_{n})_{n \in \N} $ keine Nullfolge und
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$a_n \to a$, $a > 0$ $n \to \infty$.
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Dann $a_n > 0$ für fast alle $n$.
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\end{bem}
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\begin{proof}
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Annahme: $a_n \le 0$ für fast alle $n \in N$, dann
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$a_n \to a \le 0$ $\leftarrow$ $\{0\}$ $n \in N$
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\end{proof}
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\textbf{Ziel}: Reelle Zahlen als Grenzwerte von rationalen Cauchy Folgen.
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Wichtig: Zwei Cauchy Folgen mit gleichem Limes definieren gleiche Zahl.
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Deshalb: \underline{Äquivalenzklassen}
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\begin{definition}[Äquivalenzrelation für Cauchy Folgen rationaler Zahlen]
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\begin{align*}
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(a_n)_{n\in\N} \thicksim (a'_n)_{n\in\N} :\iff |a_n - a'_n| \to 0, n \to \infty
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.\end{align*}
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\end{definition}
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\begin{proof}[Die Relation ist Äquivalenzrelation]
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\begin{enumerate}
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\item Reflexivität $(a \sim a)$ (trivial)
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\item Symmetrie $(a \sim b \implies b \sim a)$
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\[
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(a_n)_{n\in\N} \sim (b_n)_{n\in\N} \iff |a_n - b_n| \to 0
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\iff |b_n - a_n| \to 0
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\iff (b_n)_{n\in\N} \sim (a_n)_{n\in\N}
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.\]
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\item Transitivität $a \sim b, b \sim c \implies a \sim c$
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\begin{align*}
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(a_n)_{n\in\N} \sim (b_n)_{n\in\N}, (b_n)_{n\in\N} ~ (c_n)_{n\in\N}
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\iff |a_n - b_n| \to 0, |b_n - c_n| \to 0 \\
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\iff \forall \epsilon > 0 \exists n_\epsilon \text{ s.d. } \\
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\forall n \ge n_\epsilon
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.\end{align*}
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Dann
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\[
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|a_n - c_n| = |(a_n - b_n) + (b_n - c_n)| \\
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\le |a_n - b_n|
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.\]
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\begin{definition}[Äquivalenzklassen]
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\begin{align*}
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\overline{\R} :=& \{ [a_n]_{n \in \N}\} \\
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=& \{ (a'_n)_{n\in\N} | (a'_n)_{n\in\N} \sim (a_n)_{n\in\N}\} \\
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=& \{ (a'_n)_{n\in\N} | (a_n' - a_n)_{n \in \N} \to 0\}
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.\end{align*}
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$(a_n)_{n\in\N}$ Repräsentant von Klasse $[(a_n)]_{n \in \N}$
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\end{definition}
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\begin{bem}[]
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$a \in \Q \implies$
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\[
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[(a_n)_{n\in\N}, a_n := a ] \in \overline{\R}
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.\]
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Jede Teilfolge $(a_{n_k})_{{k}\in\N}$ einer Cauchy Folge
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\[
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(a_{n_k})_{{k}\in\N} \in [(a_n)_{n\in\N}]
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.\]
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Jede Äquivalenzklasse $[\left( (a_n)_{n\in\N} \right) ]$ von Cauchy
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Folge rationaler Zahlen definiert genau eine reelle Zahl
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\end{bem}
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\begin{satz}[]
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Jeder Äquivalenzklasse $[(a_n)_{n\in\N}]$ entspricht genau einem
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(möglicherweise unendlichen) Dezimalbruch.
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Die Menge aller dieser Dezimalbrüche wird bezeichnet als Menge
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$\R$ der ,,reellen Zahlen''.
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\[
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\R = \left\{a := \pm (a_0 + 0,d_1d_2d_3\ldots d_k\ \mid
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a_0 \in \N_0, d_k \in \{0, \ldots, 9\} \right\}
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.\]
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Für eine CF rationaler Zahlen $(a_n)_{n\in\N}$ wird $a \in \R$
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als Grenzwert bezeichnet:
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\[
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a = \lim_{n \to \infty} a_n
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.\]
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$(a_n)_{n\in\N}$ heißt eine ,,approximierende'' Folge von $a \in \R$.
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In diesem Sinne hat jede CF rationaler Zahlen nach Konstruktion
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einen Grenzwert in $\R$.
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\end{satz}
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\begin{bem}[Erinnerung Geometrische Reihe]
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\[
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1 + x + x^2 + \ldots + x^{n} = \frac{1-x^{n+1}}{1 - x}, x + 1
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.\]
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\end{bem}
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\begin{proof}
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\begin{enumerate}
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\item $\forall a \in \R$ $\exists [(a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R}$
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\[
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a = \pm (a_0 + 0,d_1d_2d_3 \ldots )
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.\]
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definieren wir eine Folge $(a_n)_{n\in\N}$ (rationaler) endlicher
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Teilbrüche:
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\[
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a_n = \pm (a_0, d_1\ldots d_n), a_0 \in \N_0, d_k \in \{0, \ldots, 9\}
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||||
.\] zu zeigen: $(a_n)_{n\in\N}$ ist eine Cauchy Folge.
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Sei $m > n + 1$, dann
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\begin{align*}
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|a_n - a_m| &= |a_0 + 0,d_1d_2\ldots d_n -
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(a_0 + 0, d_1d_2 \ldots d_n d_{n+1} \ldots d_m )| \\
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||||
&= | 0,00\ldots 0 d_{n + 1} \ldots d_m| \\
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&= d_{n+1} 10^{-(n+1)} + \ldots + d_m 10^{-m} \\
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&\le 10^{-n} (d_{n+1} 10^{-1} + \ldots + d_m 10^{-m+n}) \\
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&\le 10^{-n} (10^{0} + \ldots + 10^{-m+n+1}) \\
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&= 10^{-n} \left( \left( \frac{1}{10}^{0} \right) +
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\ldots + \frac{1}{10}^{m-n-1} \right) \\
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&= 10^{-n} \frac{1 - \frac{1}{10}^{m-n}}{1 - \frac{1}{10}} \\
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&\le 10^{-n} \frac{1}{\frac{9}{10}} \\
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&= 10^{-n} \frac{10}{9} \to 0, n \to \infty
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.\end{align*}
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$\implies (a_n)_{n\in\N}$ ist Cauchy Folge und repräsentiert
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eine Klasse $[(a_n)_{n\in\N}] \in \overline{\R}$
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,,Einbettung'' $a \mapsto [(a_n)_{n\in\N}]$
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\item Wir zeigen, dass diese ,,Einbettung'' bijektiv ist.
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\textbf{a)} $a \mapsto [(a_n)_{n\in\N}]$ ist injektiv
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($\forall a, a' \in \overline{R}$ gilt:
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aus $(a_n)_{n\in\N} \sim (a'_n)_{n\in\N}$ folgt $a = a'$)
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Für
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\begin{align*}
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&a = a_0 + 0,d_1d_2 \ldots \\
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&a' = a'_{0} + 0,d'_1d'_2 \ldots
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\end{align*}
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gilt:
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\begin{align*}
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|a_n - a'_n| &= |a_0 + 0,d_1\ldots d_n - (a'_0 + 0, d'_1 \ldots d'_n)| \\
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||||
&\le \epsilon, \forall n \ge n_\epsilon, \forall \epsilon > 0
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||||
.\end{align*}
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$\implies a = a'$
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\textbf{b)} ,,Einbettung'' $a \mapsto [(a_n)_{n\in\N}]$ ist
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surjektiv
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\begin{enumerate}[(i)]
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\item Sei $(a_n)_{n\in\N}$ Nullfolge
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\[
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\implies z = 0 = 0,00 \ldots
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.\]
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\item Sei $(a_n)_{n\in\N}$ keine Nullfolge
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Dann fast alle $a_n > 0$ oder fast alle
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$a_n < 0 $
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O.B.d.A. $a_n > 0$, $n \in \N$
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Ziel: $z \ge 0$ zu konstruieren.
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Falls $a_n < 0$ (bzw. $-a_n > 0$ konstruiert $-z$)
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\[
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(a_n)_{n\in\N} \implies \text{beschränkt} \\
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\implies \exists N \in \N (N \ge 2) \text{ s.d. }
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0 < a_n < N, n \in \N
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.\]
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Dann $\exists z_0 \in \N_0$, s.d. im Interval:
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\[
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I_0 := \{x \in \Q \mid 0 \le z_0 \le x < z_0 + 1 < n\}
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.\] unendlich viele Elemente von $(a_n)_{n\in\N}$ liegen.
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\end{proof}
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\end{document}
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Reference in New Issue
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