diff --git a/.gitignore b/.gitignore index 7be40d8..c578418 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -8,3 +8,4 @@ *.log *.synctex.gz *.fdb_latexmk +*.toc diff --git a/lecture.cls b/lecture.cls index 0acca0b..9544db7 100644 --- a/lecture.cls +++ b/lecture.cls @@ -41,14 +41,14 @@ \setlength{\parindent}{0mm} \theoremstyle{definition} -\newmdtheoremenv{satz}{Satz} -\newmdtheoremenv{lemma}{Lemma} -\newmdtheoremenv{korrolar}{Korrolar} -\newmdtheoremenv{definition}{Definition} +\newmdtheoremenv{satz}{Satz}[section] +\newmdtheoremenv{lemma}[satz]{Lemma} +\newmdtheoremenv{korrolar}[satz]{Korrolar} +\newmdtheoremenv{definition}[satz]{Definition} -\newtheorem{bsp}{Beispiel} -\newtheorem{bem}{Bemerkung} -\newtheorem{aufgabe}{Aufgabe} +\newtheorem{bsp}[satz]{Beispiel} +\newtheorem{bem}[satz]{Bemerkung} +\newtheorem{aufgabe}[satz]{Aufgabe} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis.pdf b/ws2019/ana/lectures/analysis.pdf index 3e54bca..46d8cb1 100644 Binary files a/ws2019/ana/lectures/analysis.pdf and b/ws2019/ana/lectures/analysis.pdf differ diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis.tex b/ws2019/ana/lectures/analysis.tex index 30f64bd..cf894f3 100644 --- a/ws2019/ana/lectures/analysis.tex +++ b/ws2019/ana/lectures/analysis.tex @@ -3,8 +3,13 @@ \usepackage{standalone} \usepackage{tikz} +\title{Analysis I} +\author{Prof. Dr. Ekaterina Kostina} +\date{WS 2019/20} + \begin{document} +\input{analysis1-2.tex} \input{analysis3.tex} \input{analysis4.tex} \input{analysis5.tex} @@ -15,5 +20,6 @@ \input{analysis10.tex} \input{analysis11.tex} \input{analysis12.tex} +\input{analysis13.tex} \end{document} diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis1-2.pdf b/ws2019/ana/lectures/analysis1-2.pdf new file mode 100644 index 0000000..6b37450 Binary files /dev/null and b/ws2019/ana/lectures/analysis1-2.pdf differ diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis1-2.tex b/ws2019/ana/lectures/analysis1-2.tex new file mode 100644 index 0000000..7c34a55 --- /dev/null +++ b/ws2019/ana/lectures/analysis1-2.tex @@ -0,0 +1,261 @@ +\documentclass{../../../lecture} + +\begin{document} + +\maketitle + +\newpage +\tableofcontents +\newpage + +\section{Grundlagen} + +\subsection{Mengen und Aussagen} + +\begin{definition} + Seien $A$ und $B$ Mengen. + \begin{itemize} + %Venn Diagramme wären schön + \item \textbf{Teilmenge} $B \subset A$ bedeutet: jedes Element von $B$ ist auch Element von $A$ \\ + $B$ ist eine Teilmenge von $A$; bsp.: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ + \item \textbf{Mengengleichheit} Zwei Mengen $A$ und $B$ sind gleich, wenn $A \subset B$ und $B \subset A$. + \item \textbf{Strikte Teilmenge} $B$ ist eine strikte Teilmenge von $A$, wenn es ein Elemnt $a \in A$ gibt, mit $a \notin B$. + \item \textbf{Leere Menge} oder "Nullmenge" $\emptyset$ enthält keine Elemente. \\ + Es gilt konventionsgemäß $\emptyset \in A$ für alle Mengen $A$ + \item \textbf{Vereinigung} von $A$ und $B$: $A \cup B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{oder} \ a \in B \ \}$ + \item \textbf{Durchschnitt} von $A$ und $B$: $A \cap B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{und} \ a \in B \ \}$ + \item \textbf{Differenz} von $A$ und $B$: $A \setminus B := \{ \ a \ | \ a \in A \ \text{und} \ a \notin B \ \}$ + \item \textbf{Produktmenge}: $A \times B := \{ \ (a, b) \ | \ a \in A \ \text{und} \ b \in B \ \}$ + \item \textbf{Disjunkte Mengen} $A$ und $B$ sind disjunkt, falls gilt: $A \cap B = \emptyset$ + \end{itemize} + +\end{definition} + +\begin{bem} + Das ODER im mathematischen Sinne bedeutet das einschließliche oder und nicht das entweder oder. + +\end{bem} + + +\subsection{Wahrheitstabellen} +\label{sec:wahrheitstafeln} + +\begin{definition} + Seien $V$ und $E$ Aussagen. \\ + Eine Aussage ist ein Satz, von dem eindeutig feststeht, ob er wahr oder falsch ist.\\ + \begin{itemize} + \item \textbf{UND und ODER} \ Man definiere die Verknüpfungen UND $\land$ und ODER $\lor$ wie folgt: + + \begin{tabular}{l|c|c|c} + $V$ & $E$ & $V \ \text{und} \ E$ & $V \ \text{oder} \ E$ \\ + \hline + w & w & w & w \\ + w & f & f & w \\ + f & w & f & w \\ + f & f & f & f \\ + \end{tabular} + \\ + + \item \textbf{Negation} \ Man definiere die NICHT-Verknüpfung wie folgt: + + \begin{tabular}{l|c} + $V$ & $\neg V$ \\ + \hline + w & f \\ + f & w \\ + \end{tabular} + \\ + + \item \textbf{Implikation} \ Wenn $V$ gilt, gilt auch $E$. Man sagt: $V$ ist hinreichende Bedingung für $E$, oder die Voraussetzungen von $V$ sind hinreichend für die Gültigkeit von $E$. Die Gültigkeit von $E$ ist notwendig für die Gültigkeit von $V$, oder die Ungültigkeit von $E$ impliziert die Ungültigkeit von $V$. Es gilt: $V \implies E$ ist wahr, falls $\neg V$ oder $E$ wahr ist. + + \begin{tabular}{l|c|c} + $V$ & $E$ & $V \implies E$ \\ + \hline + w & w & w \\ + w & f & f \\ + f & w & w \\ + f & f & w \\ + \end{tabular} + \\ + + \item \textbf{Äquivalenz} \ Man definiere die Äquivalenzrelation $V \Leftrightarrow E$ als:\\ + $V \Leftrightarrow E$ steht für $V \implies E$ und $E \implies V$. + + \begin{tabular}{l|c|c} + $V$ & $E$ & $V \Leftrightarrow E$ \\ + \hline + w & w & w \\ + w & f & f \\ + f & w & f \\ + f & f & w \\ + \end{tabular} + \\ + \end{itemize} +\end{definition} + + +\begin{definition}[Quantoren] + Man definiere folgende Quantoren: + \begin{itemize} + \item $\forall$ Allquantor, also als: für alle. + \item $\exists$ Existenzquantor, also als: es existiert ein. + \item $\exists !$ als: es existiert genau ein a. + \end{itemize} +\end{definition} + + +\begin{bem} + Häufig hilft es Aussagen zu negieren. Hierbei gelten folgende Regeln (können mithilfe von WT gezeigt werden): + \begin{itemize} + \item $ \neg (\forall a \in A: V(a)) \Leftrightarrow (\exists a \in A: \neg V(a))$ + \item $ \neg (\exists a \in A: V(a)) \Leftrightarrow (\forall a \in A: \neg V(a))$ + \end{itemize} +\end{bem} + + +\begin{bem}[Kontraposition] + Zwei weitere Hilfsmittel: + \begin{itemize} + \item $( V \implies E) \Leftrightarrow (\neg E \implies \neg V)$ + \item $(V \Leftarrow E) \Leftrightarrow (\neg E \Leftarrow \neg V)$ + \end{itemize} +\end{bem} + + +\begin{bem} + Zu Quantoren: + \begin{itemize} + \item Quantoren müssen immer angegeben werden. + \item Die Reihenfolge der Quantoren ist essentiell. \\ + Bsp.: $T:=$ Menge aller Töpfe, $D:=$ Menge aller Deckel, $V(a,b)=$ Deckel $b$ passt auf Topf $a$. \\ + $\forall a \in T: \exists b \in D: V(a,b)$ ist vermutlich wahr, \\ + $\exists b \in D: \forall a \in T: V(a,b)$ ist vermutlich falsch. + + \end{itemize} +\end{bem} + + +\subsection{Abbildungen} + +\begin{definition}[Abbildungen] + Seien $A, B$ Mengen. Eine Abbildung $f$ zwischen $A$ und $B$ $f: A \rightarrow B$ ist eine Vorschrift, die jedem Element $a \in A$ genau ein Element $b \in B$ zugeordnet. \\ + Hierbei nenne man $A$ Definitionsmenge von $f$ und $B$ Wertemenge von $f$. +\end{definition} + + +\begin{definition}[Folgen] + Zahlenfolgen sind Abbildungen $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$. Schreibweise: statt $a(n)$ wird $a_{n}$ und statt $a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ wird $(a_{n})_{n \in \mathbb{N}}$ geschrieben. +\end{definition} + + +\begin{definition}[injektiv, surjektiv, bijektiv] + Es sei $f: A \rightarrow B$ eine Abbildung. + \begin{itemize} + \item Abbildung $f$ heißt injektiv, wenn gilt: + \begin{equation*} + \forall a_{1}, a_{2} \in A: f(a_{1}) = f(a_{2}) \implies a_{1} = a_{2}. + \end{equation*} + \item Abbildung $f$ heißt surjektiv wenn gilt: + \begin{equation*} + \forall b \in B: \exists a \in A: b = f(a). + \end{equation*} + \item Abbildung $f$ heißt bijektiv, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist. + \end{itemize} +\end{definition} + + +\begin{bsp} + Es sei $f$ eine Abbildung: $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$. Dann ist $f$ weder injektiv, noch surjektiv. \\ + Jedoch ist $f: \mathbb{R} \rightarrow [-1, 1], \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$ surjektiv, aber nicht injektiv. \\ + Und $f: [-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} ] \rightarrow [-1, 1], \ x \mapsto \operatorname{sin} (x)$ ist injektiv und surjektiv, also bijektiv. +\end{bsp} + + +\begin{definition}[Bild] + Das Bild von $A_{1}$ (unter $f$): + \begin{equation*} + f(A_{1}) := \{ f(a) \ | \ a \in A_{1} \ \} = \{ b \in B \ | \ \exists a \in A_{1}: b = f(a) \ \} + \end{equation*} +\end{definition} + +\begin{definition}[Urbild] + Das Urbild von $B_{1}$ (unter $f$): + \begin{equation*} + f^{-1}(B_{1}) := \{ a \ | \ f(a) \in B_{1} \ \} \subset A + \end{equation*} +\end{definition} + + +\begin{definition}[Inverse] + Zu einer bijektiven Abbildung existiert eine sogenannte Umkehrabbildung, auch Inverse, die ebenfalls bijektiv ist: + \begin{equation*} + f^{-1}: B \rightarrow A \ \text{mit} \ a = f^{-1}(b) \ :\Leftrightarrow \ b = f(a) + \end{equation*} +\end{definition} + +\begin{bem} + Nur bijektive Abbildung besitzen Inverse. \\ + Die Notation $f^{-1}(B)$ hat zwei Bedeutungen: + \begin{itemize} + \item Urbild von $B$ unter $f$ + \item Bild von $B$ unter $f^{-1}$ + \end{itemize} + Das Urbild ist also für beliebige Abbildungen definiert +\end{bem} + + +\begin{definition}[Komposition von Abbildungen] + Es sein $f: A \rightarrow B$ und $g: B \rightarrow C$ Abbildungen. + Dann sei: + \begin{equation*} + g \circ f : A \rightarrow C, \ (g\circ f)(a) := g(f(a)) + \end{equation*} + Man sagt: $g \circ f$ heißt $g$ komponiert $f$. +\end{definition} + + +\begin{definition}[Morphismen] + Seien $A$ und $B$ Mengen mit einer gewissen Operation $\oplus_{A}$ bzw. $\oplus_{B}$, z.B. Addition, Multiplikation. \\ + Die Abbildung $f: A \rightarrow B$ heißt homomorph (strukturerhaltend ), wenn gilt: + \begin{equation*} + \forall a_{1}, a_{2} \in A: f(a_{1} \oplus_{A} a_{2}) =f(a_{1}) \oplus_{A} f(a_{2}) + \end{equation*} + Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus. +\end{definition} + + +\begin{definition}[Äquivalenzrelation] + Äquivalenzrelation auf eine Menge $A$ ist eine Beziehung $a \sim b$ zwischen Elementen von $A$ mit Eigenschaften + \begin{itemize} + \item $R_{1}$ (Relation)für $\forall a, b \in A$ gilt entweder $a \sim b$ oder $a \nsim b$ + \item $R_{2}$(Reflexivität) $a \sim a$ + \item $R_{3}$(Symmetrie) $a \sim b \implies b \sim a$ + \item $R_{4}$(Transitivität) $a \sim b$ und $b \sim c \implies a \sim c$ + \end{itemize} +\end{definition} + + +\begin{definition}[Äquivalenzklasse] + $[a] := \{ b \in A \ | \ b \sim a \ \}$ \\ + $a$ heißt Repräsentant der Äquivalenzklasse $[a]$. +\end{definition} + +\begin{bsp} + $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ \\ + Man definiere folgende Äquivalenzrelation: \\ + \begin{equation*} + (n, m) \sim (n', m') :\Leftrightarrow n + m' = n' + m \Leftrightarrow n - m = n' - m' + \end{equation*} + $R_{1}$ und $R_{2}$ sind offenbar erfüllt. \\ + $R_{3}$ $n + m' = n' + m \implies (n', m') \sim (n, m)$ \\ + $R_{4}$ $(n, m) \sim (n', m')$ und $(n', m') \sim (n'', m'')$ gilt: \\ + $(n' + m') + m'' = (n' + m) + m'' = (n' + m'') + m = (m' + n'') + m$ \\ + $\implies n + m'' = n'' + m \implies (n, m) \sim (n'', m'')$ \\ + + Die zugehörigen Äquivalenzklassen bestehen aus allen Paaren natürlicher Zahlen mit gleicher Differenz. +\end{bsp} + + + + +\end{document} diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis13.pdf b/ws2019/ana/lectures/analysis13.pdf new file mode 100644 index 0000000..db285a1 Binary files /dev/null and b/ws2019/ana/lectures/analysis13.pdf differ diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis13.tex b/ws2019/ana/lectures/analysis13.tex new file mode 100644 index 0000000..3cd406e --- /dev/null +++ b/ws2019/ana/lectures/analysis13.tex @@ -0,0 +1,261 @@ +\documentclass{../../../lecture} + +\begin{document} + +\subsection{Konvergenz in $\mathbb{C}$} + +Eine Folge $(z_n)_{n\in\N}$ komplexer Zahlen $(z_n \in \mathbb{C} \quad \forall n \in \N)$ konvergiert +gegen $z \in \mathbb{C}$, falls $\forall \epsilon > 0$ $\exists n_\epsilon \in \N$, s.d. $|z_n - z| < \epsilon$ $\forall n \ge n_\epsilon$ + +Genauso wird die Beschränktheit und Begriff der C.F. übertragen. + +Aus Definitionen: +\[ + |z| := \sqrt{(\text{Re}(z))^{2} + (\text{Im}(z))^{2}} +.\] und der Ungleichung: +\[ + max(|x|, |y|) \le \sqrt{x^2 + y^2} \le |x| + |y| \quad \forall x,y \in \R +.\] folgt: + +\begin{enumerate} + \item $z_n \to z, n \to \infty$ in $\mathbb{C}$ $\iff \text{Re}(z_n) \to \text{Re}(z) $ und $\text{Im}(z_n) \to \text{Im}(z)$ + \item $(z_n)_{n\in\N}$ ist eine C.F. in $\mathbb{C} \iff$ \\ + $(\text{Re}(z_n))_n$ und $\left( \text{Im}(z_n) \right)_n $ sind + C.F. in $\R$ + \item $\mathbb{C}$ ist vollständig, d.h. jede C.F. in $\mathbb{C}$ + ist konvergent. + \item Jede beschränkte Folge in $\mathbb{C}$ besitzt eine + konvergente Teilfolge. +\end{enumerate} + +\begin{bsp} + \begin{enumerate} + \item + $\frac{1+i(n+1)}{n} = \frac{1}{n} + i\left(1 + \frac{1}{n}\right) \to i$, $n \to \infty$ +\item $z_n = \left( \frac{i}{2} \right) ^{n} = \left( \frac{i}{2}, -\frac{1}{4}, -\frac{i}{8}, \frac{1}{16}, \ldots \right) $ \\ + $|z_n| = \left( \frac{1}{2} \right)^{n} \to 0$, $n \to \infty$ +\item $q^{n} \to 0$, $n \to \infty$ $\forall q \in \mathbb{C}$ mit $|q| < 1$. + \end{enumerate} +\end{bsp} + +\subsection{Unendliche Summe (,,Reihen'')} + +\begin{definition} + Sei $(a_n)_{n\in\N}$ eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir + betrachten die Folge der $n$-ten Partialsumme $(s_n)_{n \in \N}$ + definiert durch: + \[ + s_n := \sum_{k=1}^{\infty} a_k + .\] Die Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k $ konvergiert (divergiert), + wenn die Folge der Partialsummen $(s_n)_{n\in\N}$ konvergiert (divergiert). + + Im Fall von Konvergenz bezeichnet: + \[ + s_\infty := \lim_{n \to \infty} s_n = \sum_{k=1}^{n} a_k + .\] die Summe oder den Wert der Reihe. +\end{definition} + +\begin{bem} + Man kann auch Reihen $\sum_{k=l}^{\infty} a_k$ mit + $l \in \Z$ betrachten. +\end{bem} + +\begin{bsp}[Geometrische Reihe] + \[ + \sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = 1 + q + q^2 + q^{3} + \ldots + .\] $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k}$ konvergiert genau + für alle $ q \in \mathbb{C}$ mit $|q| < 1$ und + es gilt $\sum_{0=1}^{\infty} q^{k} = \frac{1}{1-q}$. + \label{geometrischereihe} +\end{bsp} + +\begin{proof} + Folge der Partialsummen + \[ + s_n = \sum_{k=0}^{\infty} q^{k} = \begin{cases} + \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \quad q \neq 1 & q \neq 1 \\ + n + 1 & q = 1 + \end{cases} + .\] + Für $|q| < 1$ gilt $|q|^{n+1} \to 0$, $n \to \infty$ + \[ + \implies s_n = \frac{1-q^{n+1}}{1 - q} \to \frac{1}{1-q} \quad \text{für } |q| < 1 + .\] + + Bleibt zu zeigen: $\sum_{k=0}^{\infty} q^{k} $ divergent für $|q| \ge 1$. + + Angenommen $\exists q \in \mathbb{C}$ mit $|q| \ge 1$ und + $(s_n)_{n \in \N}$ konvergiert. + + Dann + \[ + |q|^{n+1} = |\underbrace{s_{n+1}}_{\to s_*} - \underbrace{s_n}_{\to s_*}| + .\] + Widerspruch, da $|q|^{n+1} \ge 1$ für $|q| \ge 1$ +\end{proof} + +\begin{lemma} + Ist $\sum_{k}^{\infty} a_k$ konvergent, dann ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine + Nullfolge. +\end{lemma} + +\begin{proof} + $a_{n+1} = s_{n+1} - s_n \to s_{\infty} - s_{\infty} = 0$, $n \to \infty$ +\end{proof} + +\begin{bem} + Die Eigenschaft von $(a_k)_{k\in\N}$ eine Nullfolge zu sein, + reicht nicht für die Konvergenz von $\sum_{k=1}^{\infty} a_k $ aus! +\end{bem} + +\begin{bsp}[Harmonische Reihe] + \[ + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \qquad \text{ist strikt divergent} + .\] + \begin{proof} + Folge der Partialsummen ist unbeschränkt: + \begin{align*} + S_{2^{m}} &= \sum_{k=1}^{2^{m}} \frac{1}{k}\\ + &= + \underbrace{1}_{\ge \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{2}}_{\ge \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{\ge 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}}_{\ge 4\cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}} + \ldots + + \underbrace{\frac{1}{2^{n-1}+1} + \ldots + \frac{1}{2^{m}}}_{\ge 2^{m-1} \cdot \frac{1}{2^{m}} = \frac{1}{2}} \ge \frac{m}{2} + .\end{align*} + \end{proof} +\end{bsp} + +\begin{bsp} + \[ + \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} + .\] + \begin{enumerate}[a)] + \item \[ + \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} = (1-1) + (1-1) + \ldots = + 0 + 0 + \ldots = 0 + .\] + \item + \[ + \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} = 1 + (-1+1) + (-1+1) + \ldots + = 1 + 0 + 0 = 1 + \] + \item + \[ + \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} = \frac{1}{1 -(-1)} = \frac{1}{2} + .\] + \end{enumerate} + Alles Falsch (Kostina: ,,Alles Schrot!''), weil $\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} $ divergent. +\end{bsp} + +\subsubsection{Konvergenzkriterien} +Die Konvergenz einer Reihe ist nichts anderes als die Konvergenz der +Folge der Partialsummen. + +\begin{satz} + \begin{enumerate} + \item + \[ + \sum_{k=1}^{\infty} a_k = a_{\infty} \quad \text{und} \quad \sum_{k=1}^{\infty} b_k = b_{\infty} + .\] $\implies$ + \[ + \sum_{k=1}^{\infty} (\lambda a_k + \mu b_k) = \lambda a_{\infty} + \mu b_{\infty} \quad \forall \lambda, \mu \in \mathbb{C} + .\] +\item Ist $a_k \in \R$ mit $a_k \ge 0$ $\forall k \in \N$ + dann gilt: $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ konvergent $\iff$ $\left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)_{n \in \N}$ nach oben beschränkt. + \end{enumerate} +\end{satz} + +\begin{proof} + (1) folgt aus der linearen Kombination von Folgen. \\ + (2) Falls $a_k \ge 0 \implies$ Folge $\left( \sum_{k=1}^{n} a_k \right)_{n \in \N}$ ist monoton wachsend. + + Für solche Folgen gilt: Konvergenz $\iff$ Beschränktheit +\end{proof} + +\begin{satz}[Leibniz-Kriterium] + Ist $(a_k)_{k \in \N}$ eine monoton fallende reelle Nullfolge, so + ist die alternierende Reihe: + \[ + \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k} a_k = -a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - \ldots + .\] konvergent mit folgender Abschätzung: + \[ + \left| \sum_{k=n+1}^{\infty} (-1)^{k} a_k \right| \le |a_n| \quad \forall n \in \N + .\] +\end{satz} + +\begin{proof} + Aus Voraussetzungen: $a_k \ge 0$, $s_n := \sum_{k=1}^{n} a_k$. + \[ + s_{2n+1} = s_{2n-1} + a_{2n} - a_{2n+1} \stackrel{a_{2n} \ge a_{2n+1}}{\ge } s_{2n-1} + .\] Folge mit ungeraden Indizes: $s_1 \le s_3 \le s_5 \le \ldots$. + \[ + s_{2n} = s_{2n-2} - a_{2n-1} + a_{2n} \le s_{2n-2} + .\] Folge mit geraden Indizes: $ \ldots \le s_4 \le s_2 \le s_0$ + + $s_{2n} > s_{2n+1}$ ($s_{2n+1} = s_{2n} - a_{2n+1})$ \\ + $s_{2n} - s_{2n+1} = a_{2n+1} \to 0$, $n \to \infty$ + + $s_1 \ge s_3 \le s_5 \le \ldots \le s_4 \le s_2 \le s_0$ + + $\implies [s_{2n+1}, s_{2n}]$ bilden eine Intervallschachtelung, d.h. + \[ + \exists s_{\infty} = \bigcap_{k = 1}^{\infty} [s_{2k +1}, s_{2k}] + .\] $s_{\infty} = \lim_{n \to \infty} s_{2n+1} = \lim_{n \to \infty} s_{2n}$ + \[ + s_{2n+1} \le s_{\infty} \le s_{2n} + .\] Damit gilt $\forall k \in \N$ : + \[ + 0 \le s_{\infty} - s_{2n+1} \le s_{2n} - s_{2n+1} = a_{2n+1} + .\] und + \[ + 0 \ge s_{\infty} - s_{2n} \ge s_{2n+1} - s_{2n} = - a_{2n+1} \ge - a_{2n} + .\] $\implies$ + \[ + 0 \le |s_{\infty} - s_n| \le a_n \to 0 \quad n \to \infty + .\] und + \[ + \left|\underbrace{\sum_{k=1}^{\infty} a_k}_{s_{\infty}} - \sum_{k=1}^{n} a_k \right| + = \left| \sum_{k=n+1}^{\infty} a_k\right| \le a_n + .\] +\end{proof} + +\begin{bsp}[,,Alternierende harmonische Reihe''] + \[ + \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \ldots + .\] ist konvergent +\end{bsp} + +\begin{definition} + Eine Reihe $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ heißt absolut konvergent falls + $\sum_{k=1}^{\infty} |a_k| $ konvergiert. +\end{definition} + +\begin{bsp} + Die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ist + konvergent nach Leibniz Kriterium, aber nicht absolut konvergent, weil + $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ divergiert. +\end{bsp} + +\begin{satz} + Aus absoluter Konvergenz einer Reihe folgt deren Konvergenz. +\end{satz} + +\begin{proof} + Sei $\sum_{k}^{} a_k $ absolut konvergent, d.h. + $\sum_{k}^{} |a_k|$ konvergiert. + \[ + s_n := \sum_{k=1}^{n} a_k, t_n := \sum_{k=1}^{n} |a_k| + .\] Dann gilt für $m, n \in \N$ mit $m \ge n$. + \[ + |s_m - s_n| = \left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| + \le \sum_{k=n+1}^{m} |a_k| = t_m - t_n = |t_m - t_n| + .\] + Da $(t_n)_{n \in \N}$ konvergiert $\implies (t_n)_{n \in \N}$ ist C.F. + + Aus $|s_m - s_n| \le |t_m - t_n| < \epsilon$ + + \begin{align*} + &\implies (s_n)_{n \in \N} \text{ ist auch C.F. in } \R \text{ bzw. } \mathbb{C} \\ + &\implies \sum_{k} a_k \quad \text{konvergiert} + .\end{align*} +\end{proof} + +\end{document} diff --git a/ws2019/ana/lectures/analysis3.tex b/ws2019/ana/lectures/analysis3.tex index 4243e31..092842f 100644 --- a/ws2019/ana/lectures/analysis3.tex +++ b/ws2019/ana/lectures/analysis3.tex @@ -1,8 +1,6 @@ \documentclass{lecture} \begin{document} -\section{Grundlagen} - \subsection{Vollständige Induktion} \begin{bsp} diff --git a/ws2019/ipi/uebungen/ipi6.pdf b/ws2019/ipi/uebungen/ipi6.pdf index cb0c65a..36a980d 100644 Binary files a/ws2019/ipi/uebungen/ipi6.pdf and b/ws2019/ipi/uebungen/ipi6.pdf differ diff --git a/ws2019/ipi/uebungen/ipi6.tex b/ws2019/ipi/uebungen/ipi6.tex index 25693c6..43ee6bc 100644 --- a/ws2019/ipi/uebungen/ipi6.tex +++ b/ws2019/ipi/uebungen/ipi6.tex @@ -1,6 +1,7 @@ \documentclass[uebung]{../../../lecture} \usepackage{listings} +\usetikzlibrary{positioning} \title{Übungsblatt 6} \author{Samuel Weidemaier, Christian Merten} @@ -27,14 +28,190 @@ \lstset{style=mystyle} +\usepackage{tikz, wasysym} +\usetikzlibrary{automata, positioning, arrows,shapes,shadows} + +\tikzstyle{abstract}=[rectangle, draw=black, + %text centered, + anchor=north, text=black, text width=15cm, rounded corners] + +\tikzstyle{subgroup}=[rectangle, draw=blue, + %text centered, + anchor=north, text=black, text width=3.5cm, rounded corners] + +\tikzstyle{myarrow}=[->, >=stealth, thick] +\tikzstyle{gestrichen}=[->, >=stealth, dashed] + \begin{document} \punkte \begin{aufgabe} - siehe Blatt. + + \vspace{5mm} +Marker 1: + \vspace{-3mm} +\begin{center} + \begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance=2.5cm, on grid, auto] + + + \node[abstract, rectangle split, rectangle split parts=2] (global) { + Globale Umgebung + \nodepart{second}$g$ int $1$ + }; + + + + \node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below left of=global, xshift=-3.3cm, yshift=-0.3cm] (main) { + main() \\ + \nodepart{second} + $a$ int $2$ \\ + $b$ int $14$ + }; + + \node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below right of=main, yshift=-0.4cm] (block1) { + Block $1$ in main() \\ + \nodepart{second} + $a$ int $7$ \\ + $g$ int $?$ + }; + + \node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, right of=block1, , xshift=2.1cm, yshift=-0.32cm] (ggTab) { + ggT(b, a) \\ + \nodepart{second} + $a$ int $14$ \\ + $b$ int $7$ \\ + Null int $0$ + }; + + + + \node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below right of=ggTab, yshift=-0.7cm] (amodb) { + $a \text{ mod } b(a,b)$ \\ + \nodepart{second} + $a$ int $14$ \\ + $b$ int $7$ \\ + $m$ int $0$ + }; + + + \draw[myarrow] (main.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-7.2cm] global.south); + + \draw[myarrow] (block1.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1cm] main.south); + + \draw[gestrichen] ([xshift=-1.4cm] ggTab.south) -- ++(0,-0.4) -| (block1.south); + + \draw[myarrow] (ggTab.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1cm] global.south); + + + \draw[gestrichen] (amodb.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1.7cm] ggTab); + + \draw[myarrow] ([xshift=1cm] amodb.north) -- ++(0,0) -| ([xshift=4.1cm] global.south); + + + + \end{tikzpicture} + + \vspace{-10mm} + +\end{center} + + \nopagebreak + + Marker 2: + \vspace{-2mm} + \begin{center} + \begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance=2.5cm, on grid, auto] + + + \node[abstract, rectangle split, rectangle split parts=2] (global) { + Globale Umgebung + \nodepart{second}$g$ int $2$ + }; + + + + \node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below left of=global, xshift=-3.3cm, yshift=-0.3cm] (main) { + main() \\ + \nodepart{second} + $a$ int $2$ \\ + $b$ int $14$ + }; + + \node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below right of=main, yshift=-0.4cm] (block1) { + Block $1$ in main() \\ + \nodepart{second} + $a$ int $7$ \\ + $g$ int $?$ + }; + + \node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, right of=block1, , xshift=2.1cm, yshift=-0.32cm] (ggTab) { + ggT(b, a) \\ + \nodepart{second} + $a$ int $14$ \\ + $b$ int $7$ \\ + Null int $0$ + }; + + \node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below right of=ggTab, , xshift=1cm, yshift=-0.7cm] (ggTmod) { + $ggT(b, a \text{ mod }b(a,b))$ \\ + \nodepart{second} + $a$ int $7$ \\ + $b$ int $0$ \\ + Null int $0$ + }; + + + + \draw[myarrow] (main.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-7.2cm] global.south); + + \draw[myarrow] (block1.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1cm] main.south); + + \draw[gestrichen] ([xshift=-1.4cm] ggTab.south) -- ++(0,-0.4) -| (block1.south); + + \draw[myarrow] (ggTab.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-1cm] global.south); + + \draw[gestrichen] (ggTmod.west) -- ++(0,0) -| (ggTab.south); + + \draw[myarrow] (ggTmod.north) -- ++(0,0) -| ([xshift=4.1cm] global.south); + + + + \end{tikzpicture} + + \end{center} + Marker 3: + \begin{center} + + \begin{tikzpicture}[shorten >= 1pt, node distance=2.5cm, on grid, auto] + + + \node[abstract, rectangle split, rectangle split parts=2] (global) { + Globale Umgebung + \nodepart{second}$g$ int $2$ + }; + + + + \node[subgroup, rectangle split, rectangle split parts=2, below left of=global, xshift=-3.3cm, yshift=-0.3cm] (main) { + main() \\ + \nodepart{second} + $a$ int $2$ \\ + $b$ int $7$ + }; + + + \draw[myarrow] (main.west) -- ++(0,0) -| ([xshift=-7.2cm] global.south); + + + + \end{tikzpicture} +\end{center} + \end{aufgabe} +\newpage + \begin{aufgabe} Primfaktorzerlegung \begin{lstlisting}[language=C++, title=Primfaktorzerlegung, captionpos=b] #include "cpp_headers/fcpp.hh"