update la8

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@@ -325,7 +325,12 @@
                 Sei $U$ Komplement zu $\text{ker }\pi$ und $(u_i)_{i\in I}$ Basis von $U$.
 
                 Wegen Homomorphiesatz gilt: $\text{Bild}(\pi) \stackrel{\sim }{=} V / \text{ker }(\pi)$.
-                Nach Blatt 6 gilt: $(u_i + \text{ker } \pi)_{i \in I}$ ist Basis von $V / \text{ker }(\pi)$.
+                Nach Blatt 6 Aufg. 3c) gilt:
+                $(u_i + \text{ker } \pi)_{i \in I}$
+                ist Basis von $V / \text{ker }(\pi)$.
+
+                Wegen $(u_i)_{i \in I}$ Basis von $U$, folgt also
+                $V / \text{ker}(\pi) \stackrel{\sim }{=} U$.
                 Damit:
                 \[
                     \text{Bild}(\pi) \stackrel{\sim }{=} V / \text{ker }(\pi) \stackrel{\sim }{=} U
@@ -346,24 +351,51 @@
         A_3 := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 
 .\] 
 \begin{proof}
+    Sei $\underline{e}$ die kanonische Basis des $V := \Q^{2}$.
     \begin{enumerate}
-        \item $A_1$ ist die Einheitsmatrix $\implies A_1 \cdot A_1 = A_1$ und
-            $A_1 \cdot (1,1)^{t} = (1,1)^{t}$.
-        \item \[
-                A_2 \cdot A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 
-                \cdot \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} 
-                = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  = A_2
-            .\] \[
-            A_2 \cdot (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 
-            \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} 
-            = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}  = (1,1)^{t}
+        \item Wähle $U = V$ und
+            $W = \{0\} $ und wähle $\pi = id$ in der kanonischen Basis, damit
+            gilt
+            \[
+            A_1 := M(\pi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 
             .\] 
-        \item \[
-                A_3 \cdot A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 
+
+            Die Eigenschaften sind für die Einheitsmatrix offensichtlich
+            erfüllt.
+        \item Wähle die Basis  $\underline{v} =\{(1, 1), (1, 0)\}$ und damit
+            $U = \text{Lin}((1,1))$ und $W = \text{Lin}((1,0))$.
+
+            Nun definiere $\pi: V \to V$ mit $\pi((1,1)) = (1,1)$ und
+            $\pi((1,0)) = (0,0)$. Die Darstellungsmatrix von $\underline{v}$
+            nach  $\underline{e}$ ergibt sich damit durch:
+             \[
+                 A_2 := M_{\underline{e}}^{\underline{v}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
+            .\]
+            \[
+                A_2 \cdot A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 
                 \cdot \begin{pmatrix}  1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} 
-                = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}  = A_3
+                = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}  = A_2
             .\] \[
-            A_3 \cdot (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 
+            A_2 \cdot (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} 
+            \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} 
+            = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}  = (1,1)^{t}
+            .\]  
+        \item Wähle die Basis  $\underline{v} =\{(0, 1), (1, 1)\}$ und damit
+            $U = \text{Lin}((1,1))$ und $W = \text{Lin}((0,1))$.
+
+            Nun definiere $\pi: V \to V$ mit $\pi((1,1)) = (1,1)$ und
+            $\pi((0,1)) = (0,0)$. Die Darstellungsmatrix von $\underline{v}$
+            nach  $\underline{e}$ ergibt sich damit durch:
+             \[
+                 A_3 := M_{\underline{e}}^{\underline{v}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
+            \]
+            \[
+                A_3 \cdot A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 
+                \cdot \begin{pmatrix}  0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} 
+                = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}  = A_3
+            .\]
+            \[
+            A_3 \cdot (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 
             \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} 
             = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}  = (1,1)^{t}
             .\]