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2019-12-11 16:33:38 +01:00
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@@ -325,7 +325,12 @@
Sei $U$ Komplement zu $\text{ker }\pi$ und $(u_i)_{i\in I}$ Basis von $U$. Sei $U$ Komplement zu $\text{ker }\pi$ und $(u_i)_{i\in I}$ Basis von $U$.
Wegen Homomorphiesatz gilt: $\text{Bild}(\pi) \stackrel{\sim }{=} V / \text{ker }(\pi)$. Wegen Homomorphiesatz gilt: $\text{Bild}(\pi) \stackrel{\sim }{=} V / \text{ker }(\pi)$.
Nach Blatt 6 gilt: $(u_i + \text{ker } \pi)_{i \in I}$ ist Basis von $V / \text{ker }(\pi)$. Nach Blatt 6 Aufg. 3c) gilt:
$(u_i + \text{ker } \pi)_{i \in I}$
ist Basis von $V / \text{ker }(\pi)$.
Wegen $(u_i)_{i \in I}$ Basis von $U$, folgt also
$V / \text{ker}(\pi) \stackrel{\sim }{=} U$.
Damit: Damit:
\[ \[
\text{Bild}(\pi) \stackrel{\sim }{=} V / \text{ker }(\pi) \stackrel{\sim }{=} U \text{Bild}(\pi) \stackrel{\sim }{=} V / \text{ker }(\pi) \stackrel{\sim }{=} U
@@ -346,24 +351,51 @@
A_3 := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} A_3 := \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
.\] .\]
\begin{proof} \begin{proof}
Sei $\underline{e}$ die kanonische Basis des $V := \Q^{2}$.
\begin{enumerate} \begin{enumerate}
\item $A_1$ ist die Einheitsmatrix $\implies A_1 \cdot A_1 = A_1$ und \item Wähle $U = V$ und
$A_1 \cdot (1,1)^{t} = (1,1)^{t}$. $W = \{0\} $ und wähle $\pi = id$ in der kanonischen Basis, damit
\item \[ gilt
A_2 \cdot A_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \[
\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix} A_1 := M(\pi) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = A_2 .\]
Die Eigenschaften sind für die Einheitsmatrix offensichtlich
erfüllt.
\item Wähle die Basis $\underline{v} =\{(1, 1), (1, 0)\}$ und damit
$U = \text{Lin}((1,1))$ und $W = \text{Lin}((1,0))$.
Nun definiere $\pi: V \to V$ mit $\pi((1,1)) = (1,1)$ und
$\pi((1,0)) = (0,0)$. Die Darstellungsmatrix von $\underline{v}$
nach $\underline{e}$ ergibt sich damit durch:
\[
A_2 := M_{\underline{e}}^{\underline{v}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
.\]
\[
A_2 \cdot A_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A_2
.\] \[ .\] \[
A_2 \cdot (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} A_2 \cdot (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = (1,1)^{t}
.\] .\]
\item \[ \item Wähle die Basis $\underline{v} =\{(0, 1), (1, 1)\}$ und damit
A_3 \cdot A_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $U = \text{Lin}((1,1))$ und $W = \text{Lin}((0,1))$.
\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = A_3 Nun definiere $\pi: V \to V$ mit $\pi((1,1)) = (1,1)$ und
.\] \[ $\pi((0,1)) = (0,0)$. Die Darstellungsmatrix von $\underline{v}$
A_3 \cdot (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} nach $\underline{e}$ ergibt sich damit durch:
\[
A_3 := M_{\underline{e}}^{\underline{v}} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\]
\[
A_3 \cdot A_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = A_3
.\]
\[
A_3 \cdot (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = (1,1)^{t} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = (1,1)^{t}
.\] .\]