From ac1b85daafd9bbc02126ca2ea878a7cadd56ad19 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: flavis Date: Fri, 16 Apr 2021 17:34:23 +0200 Subject: [PATCH] add folien stuff --- sose2021/seminar/folien.tex | 1021 ++++++++++++++++++++++++++++++++++ sose2021/seminar/output.tex | 1044 +++++++++++++++++++++++++++++++++++ sose2021/seminar/skript.tex | 781 ++++++++++++++++++++++++++ 3 files changed, 2846 insertions(+) create mode 100644 sose2021/seminar/folien.tex create mode 100644 sose2021/seminar/output.tex create mode 100644 sose2021/seminar/skript.tex diff --git a/sose2021/seminar/folien.tex b/sose2021/seminar/folien.tex new file mode 100644 index 0000000..fdc3d68 --- /dev/null +++ b/sose2021/seminar/folien.tex @@ -0,0 +1,1021 @@ +\documentclass{../../presentation} + +\usepackage[]{tikz-cd} + +%\usetheme{CambridgeUS} +\usecolortheme[RGB={205,0,0}]{structure} +\setbeamertemplate{items}[default] +\setbeamertemplate{sections/subsections in toc}[square] +\setbeamertemplate{theorems}[numbered] + +\date[22. April 2021]{Seminar ,,Quadratische Formen'', 22. April 2021} +\author{Christian Merten} +\title{Vortrag 2: Die \texorpdfstring{$p$}{p}-adischen Zahlen} + +\begin{document} + +\stepcounter{section} +\section{Die $p$-adischen Zahlen} + +\titlepage + +\subsection{Der Ring \texorpdfstring{$\Z_p$}{bla} und sein Quotientenkörper \texorpdfstring{$\Q_p$}{bla}} + +\begin{frame} + +\subsection{Der Ring \texorpdfstring{$\Z_p$}{bla} und sein Quotientenkörper \texorpdfstring{$\Q_p$}{bla}} + +Sei $p \in \N$ eine im Folgenden fest gewählte Primzahl. + +Genauso wie eine natürliche Zahl $m \in \N$ bezüglich der Basis $10$ dargestellt werden kann, +ist das auch bezüglich der Basis $p$ möglich. Jede natürliche Zahl besitzt also eine +$p$-adische Entwicklung der Form +\[ +m = a_0 + a_1 p + \ldots + a_n p^{n} +\] wobei die Koeffizienten $a_i$ in $\{0, 1, \ldots, p-1\} $ liegen. Die Darstellung ist damit eindeutig. + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bsp}[] + Diese Darstellung finden wir durch sukzessives Dividieren mit Rest. Für $n = 216$ erhalten + wir für $p = 5$ + \begin{salign*} + 216 &= 1 + 5 \cdot 43 \\ + 43 &= 3 + 5 \cdot 8 \\ + 8 &= 3 + 5 \cdot 1 \\ + 1 &= 1 + \intertext{Also insgesamt} + 216 &= 1 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3 + .\end{salign*} +\end{bsp} + +Um nun auch negative und sogar gebrochene Zahlen darstellen zu können, gehen wir zu unendlichen +Reihen über: + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{definition}[Ganze $p$-adische Zahlen] + Eine ganze $p$-adische Zahl ist eine formale unendliche Reihe + \[ + \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + \] mit $0 \le a_i < p$ für $i \in \N_0$. Die Menge dieser formalen Reihen + wird mit $\Z_p$ bezeichnet. +\end{definition} +\begin{bem}[] + $\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}$ ist rein formal gemeint, d.h. bezeichnet einfach + die Folge der Partialsummen + \[ + s_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{i} \in \Z, \quad n \in \N + .\] +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +Womit können wir jetzt die ganzen Zahlen $\Z$ in den $p$-adischen Zahlen $\Z_p$ identifizieren? +Wie kann +also beispielsweise $-1$ in $\Z_p$ dargestellt werden? +Dazu stellen wir folgendes fest + +\begin{lemma} + Sei $a \in \Z$. + Die Restklasse $a \; \text{mod } p^{n} \in \Z / p^{n} \Z$ wird in eindeutiger + Darstellung durch + \[ + a \equiv a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) + \] gegeben, wobei $0 \le a_i < p$ für $i \in \{0, \ldots, n-1\} $. + \label{le-eind-rest} +\end{lemma} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proof} + Per Induktion. Für $n = 1$ ist offenbar $a \equiv a_0 \; (\text{mod } p) $ mit $0 \le a_0 < p$. + Sei nun die Behauptung für $n-1$ gezeigt. Dann ex. eine eindeutige Darstellung + \begin{salign*} + a &\equiv a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} \; (\text{mod } p^{n-1}) + \intertext{Also} + a &= a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} + g p^{n-1} + \intertext{ + für ein $g \in \Z$. Sei $0 \le a_{n-1} < p$, s.d. $g \equiv a_{n-1} \; (\text{mod } p) $, also + $g = a_{n-1} + h p$ für $h \in \Z$. $a_{n-1}$ ist also eindeutig durch $a$ bestimmt und es + folgt + } + a &= a_0 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} + a_{n-1} p^{n-1} + h p^{n} + \end{salign*} +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +Jede ganze Zahl $a$ definiert nun eine Folge von Restklassen $\overline{s_n} = \overline{a} \in \Z / p^{n} \Z$ +für $n \in \N$, die nach \ref{le-eind-rest} von der Gestalt +\begin{salign*} + s_1 &\equiv a_0 \; (\text{mod } p) \\ +s_2 &\equiv a_0 + a_1p \; (\text{mod } p^2) \\ +&\;\;\vdots +\end{salign*} +sind mit eindeutig bestimmten Koeffizienten $a_0, a_1, \ldots \in \{0, \ldots, p-1\} $. Die Zahlenfolge +\[ +s_n = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} +\] definiert nun eine ganze $p$-adische Zahl $\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} \in \Z_p$, die +wir die $p$-adische Entwicklung von $a$ nennen. + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bsp} + Was ist jetzt die $p$-adische Entwicklung von $-1$? Es ist + \begin{salign*} + -1 &= (p-1) + (p-1)p + \ldots + (p-1)p^{n-1} - p^{n} \\ + \text{also }-1 &\equiv (p-1) + (p-1)p + \ldots + (p-1)p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) + .\end{salign*} + Es ist also $-1 = (p-1) + (p-1)p + (p-1)p^2 + \ldots \in \Z_p$ die $p$-adische Entwicklung von $-1$. + \label{bsp-minus1} +\end{bsp} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +Um $\Z_p$ eine algebraische Struktur zu geben, könnten wir mit diesen Reihen mit Überträgen +rechnen, so wie wir es von der Basis $10$ gewohnt sind. Einfacher wird es jedoch, wenn wir +eine ganze $p$-adische Zahl $x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}$ mit +der Folge der Restklassen $\overline{s_n} \in \Z / p^{n} \Z$ der Partialsummen identifizieren. + +Dazu benötigen wir noch eine Vorüberlegung und einige Begriffe. + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{definition} + Ein projektives System ist + eine Folge von Mengen $(D_n)_{n \in \N}$ und eine Folge + von Abbildungen $(p_n)_{n \in \N}$ mit $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$ + \[ + D_1 \xleftarrow{p_1} D_2 \leftarrow \ldots \leftarrow D_{n} \xleftarrow{p_{n}} D_{n+1} \leftarrow \ldots + .\] + Die Teilmenge + \[ + D = \varprojlim \; (D_n, p_n) = + \left\{ (a_n)_{n \in \N} \in \prod_{n=1}^{\infty} D_n \mid p_n(a_{n+1}) = a_n \forall n \in \N \right\} + \] heißt projektiver Limes des Systems. +\end{definition} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bem}[] + Falls die $D_n$ Ringe und die $p_n$ Ringhomomorphismen sind, wird + $\varprojlim \; (D_n, p_n)$ zum Teilring des Produktrings $\prod_{n=1}^{\infty} D_n $ + (leicht nachzurechnen). +\end{bem} + +Setze im Folgenden $A_n \coloneqq \Z / p^{n} \Z$. Dann erhalten wir für $n \in \N$ einen +kanonischen Homomorphismus +\begin{salign*} + \phi_{n}\colon A_{n+1} &\to A_n \\ + \overline{a} &\mapsto \overline{a} +.\end{salign*} + +\end{frame} + +\begin{frame} + + +\begin{satz} + Ordnet man jeder ganzen $p$-adischen Zahl + \[ + x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} + \] die Folge $(\overline{s}_n)_{n \in \N}$ der Restklassen + \[ + \overline{s}_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{i} \; (\text{mod } p^{n}) \in A_n + \] zu, so erhält man eine Bijektion + \[ + \Z_p \xrightarrow{\sim} \varprojlim \; (A_n, \phi_n) + .\] +\end{satz} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proof} + Die Zuordnung ist wohldefiniert, da + \[ + s_{n+1} = a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n} p^{n} + \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) + = s_n + .\] Die Bijektivität folgt direkt aus \ref{le-eind-rest} +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bem}[] + Die Koeffizienten der $p$-adischen Entwicklung von $a \in \Z$ ergeben sich durch die Kongruenzen + \[ + a \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) + \] mit $0 \le a_i < p$. Bei der Identifizierung $\Z_p = \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$ geht + $a \in \Z$ daher über in + \[ + (a \; \text{mod } p, a \; \text{mod } p^2, a \; \text{mod } p^{3} , \ldots ) \in + \prod_{n=1}^{\infty} A_n + .\] + $\Z$ wird so zum Teilring von $\varprojlim \; (A_n, \phi_n)$. + \label{bem-z-ident} +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bsp}[$\ref{bsp-minus1}$ fortgesetzt] + Mit \ref{bem-z-ident} folgt also + \[ + -1 = (p-1, p^2-1, p^{3}-1, \ldots) \in \varprojlim \; (A_n, \phi_n) + .\] +\end{bsp} + +Wir identifizieren nun im Folgenden stets $\Z_p = \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$. $\pi_n$ bezeichne +den kanonischen Projektionshomomorphismus $\pi_n\colon \Z_p \to A_n$. + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bem} + \begin{enumerate} + \item Per Definition ist $x \in \Z_p$ also ein Element $x \in \prod_{n=1}^{\infty} \Z / p^{n}\Z $ + mit der ,,Kompatibilitätsbedingung'': + \[ + x_{n+1} \equiv x_n \text{ (mod } p^{n}) + .\] + \item $\Z_p$ erbt als Teilring nun also die komponentenweise Addition + und Multiplikation des Produktrings + $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $, d.h. für $(a_n)_{n \in \N}, (b_n)_{n \in \N} \in \Z_p$ gilt + \[ + (a_n)_{n \in \N} + (b_n)_{n \in \N} = (a_n + b_n)_{n \in \N} + \quad + (a_n)_{n \in \N} \cdot (b_n)_{n \in \N} = (a_n \cdot b_n)_{n \in \N} + .\] + \item Versieht man $A_n$ mit der diskreten Topologie (d.h. alle Teilmengen sind offen) + und $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $ mit der Produkttopologie (die von den Urbildern der + kanonischen Projektionen $\pi_n$ erzeugt wird), wird $\Z_p$ zu einem + topologischen Ring. + \end{enumerate} +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{satz}[von Tychonoff] + Ist $(X_i)_{i \in I}$ eine Familie kompakter topologischer Räume, dann ist + auch das kartesische Produkt $\prod_{i \in I}^{} X_i $ kompakt bezüglich der + Produkttopologie. + \label{satz-tycho} +\end{satz} + +\begin{proof} + Der Satz ist äquivalent zum Auswahlaxiom. Ein Beweis findet sich beispielsweise + in Klaus Jänich: \textit{Topologie}. +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{korollar}[] + $\Z_p$ ist kompakt. \label{kor-compact} +\end{korollar} + +\begin{proof} + Nach \ref{satz-tycho} ist $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $ kompakt. Außerdem ist + \[ + \Z_p = \bigcap_{n \in \N} + \left\{ x \in \prod_{n=1}^{\infty} A_n \mid \phi_{n}(\pi_{n+1}(x)) = \pi_n(x)\right\} + = \bigcap_{n \in \N} f_n^{-1}(\{0\}) + \] mit $f_n \colon \prod_{n=1}^{\infty} A_n \to A_n, x \mapsto \phi_{n}(\pi_{n+1}(x)) - \pi_n(x)$. + Es ist $f_n$ stetig, da $\pi_n$ per Definition der Produkttopologie und $\phi_n$ als + Abbildung zwischen diskreten Räumen stetig sind. Da $\{0\} \subseteq A_n$ abgeschlossen, folgt + die Behauptung. +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma} + Es ist $\pi_n$ surjektiv und $\text{ker } \pi_n = p^{n} \Z_p$ $\forall n \in \N$. + Insbesondere gilt + \[ + \Z_p / p^{n} \Z_p \stackrel{\sim }{=} \Z / p^{n} \Z = A_n + .\] + \label{le-kanproj} +\end{lemma} + +\begin{proofb} + Die Surjektivität ist klar. Z.z.: $\text{ker } \pi_n = p^{n} \Z_p$. Sei dazu $x \in \Z_p$. + Dann ist $p^{n} x_n \equiv 0 \; (\text{mod } p^n)$. Also $\pi_n(p^n x) = 0$. Damit + $p^{n} \Z_p \subseteq \text{ker } \pi_n$. + + Sei nun $x = (x_m)_{m \in \N} \in \text{ker } \pi_n$ + und $m \ge n$. + Wegen Kompatibilität folgt + \[ + x_m \equiv x_n \; (\text{mod } p^{n}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) + .\] Also folgt $x_m \in p^{n} A_m$. +\end{proofb} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofe} + Es ist (nachrechnen) + \begin{salign*} + A_{m-n} = \Z / p^{m-n} \Z \stackrel{\sim }{=} p^{n} \Z / p^{m} \Z = p^{n}A_m + .\end{salign*} + Das heißt es ex. ein eindeutiges $y_{m-n} \in A_{m-n}$, s.d. + $p^{n}y_{m-n} \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) $. + %Betrachte nun + %\begin{salign*} + % \psi_m \colon A_{m-n} &\to p^{n}A_m \\ + % \overline{a} &\mapsto \overline{p^{n}a} + %.\end{salign*} + %\begin{salign*} + % \Psi_m\colon \Z &\to p^{n} \Z / p^{m} \Z = p^{n}A_m\\ + % a &\mapsto \overline{p^{n} a} + %.\end{salign*} + %Es ist $\Psi_m$ Gruppenhomomorphismus, denn für $a, b \in \Z$ ist + %\[ + %\Psi_m(a + b) = \overline{p^{n}(a+b)} = \overline{p^{n}a + p^{n}b} = \Psi_m(a) + \Psi_m(b) + %.\] + %Außerdem ist $\Psi_m$ offensichtlich surjektiv. Weiter gilt für $a \in \Z$: + %\[ + %a \in \text{ker } \Psi_m \iff p^{n} a \equiv 0 \; (\text{mod } p^{m}) \iff p^{m} \mid p^{n} a + %\iff a = p^{m-n}b \text{ für ein } b \in \Z + %.\] Damit folgt $\text{ker } \Psi_m = p^{m-n} \Z$. + %Also liefert der Homomorphiesatz einen Gruppenisomorphismus + %\begin{salign*} + % \psi_m \colon A_{m-n} &\to p^{n}A_m \\ + % \overline{a} &\mapsto \overline{p^{n}a} + %.\end{salign*} + %Für $m > n$ setze nun $y_{m-n} \coloneqq \psi_m^{-1}(x_m)$ und $y \coloneqq (y_{i})_{i \in \N} + %\in \prod_{k=1}^{\infty} A_k $. Es + %gilt also + %\[ + % x_m = \psi_m(y_{m-n}) \equiv p^{n} y_{m-n} \; (\text{mod } p^{m}) + %.\] + Setze nun $y \coloneqq (y_{m-n})_{m > n}$. Es lässt sich nachrechnen, dass + $y \in \Z_p$. + Es bleibt zu zeigen, dass $p^{n}y = x$. + + Z.z.: $x = p^{n} y$. Für $m \le n$ ist $x_m = 0 = p^{n} y_m$. Für $m > n$ ist wegen Kompatibilität + \[ + p^{n} y_m = p^{n} y_{m+n-n} \equiv x_{m+n} \; (\text{mod } p^{m+1}) \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) + .\] + Insgesamt folgt also $x = p^{n}y$. +% +% \[\begin{tikzcd} +% A_{m+1-n}\arrow{r}{\psi_{m+1}} \arrow[swap]{d}{\phi_{m-n}} & p^{n}A_{m+1} \arrow{d}{\phi_{m}} \\ +% A_{m-n} \arrow{r}{\psi_{m}} & p^{n}A_m +% \end{tikzcd} +% \] +% Dieses Diagramm kommutiert, denn für $\overline{a} \in A_{m+1-n}$ gilt +% \[ +% \psi_m(\phi_{m-n}(\overline{a})) = \psi_m(\overline{a}) = \overline{p^{n}a} +% = \phi_{m}(\overline{p^{n}a}) = \phi_{m}(\psi_{m+1}(\overline{a})) +% .\] Also ist $\psi_m \circ \phi_{m-n} = \phi_{m} \circ \psi_{m+1}$. Und damit auch +% $\phi_{m-n} \circ \psi_{m+1}^{-1} = \psi_{m}^{-1} \circ \phi_{m}$ $(*)$. Also +% folgt damit +% \begin{salign*} +% \phi_{m-n}(y_{m+1-n}) &= \phi_{m-n}(\psi^{-1}_{m+1}(x_{m+1})) \\ +% &\stackrel{(*)}{=} \psi_{m}^{-1}(\phi_{m}(x_{m+1})) \\ +% &\stackrel{\text{Komp.}}{=} \psi_{m}^{-1}(x_m) \\ +% &= y_{m-n} +% .\end{salign*} + Insgesamt folgt also $\text{ker } \pi_n = p^{n}\Z_p$. Die behauptete Isomorphie folgt jetzt direkt aus + dem Homomorphiesatz. +\end{proofe} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma}[] + Für $u \in \Z_p$ sind äquivalent + \begin{enumerate}[(i)] + \item $u \in \Z_p^{\times }$ + \item $p \nmid u$ + \item $0 \neq u_1 \in \Z / p \Z$ + \end{enumerate} +\end{lemma} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proof} + (ii)$\iff$(iii) ist klar wegen Kompatibilität. b.z.z. (i) $\iff$ (ii). Sei dazu + $u = (\overline{u_n})_{n\in \N} \in \Z_p^{\times }$. + Dann $\exists v = (\overline{v_n})_{n \in \N} \in \Z_p$ + mit $uv = 1$ insb. $\overline{u_1 v_1} \equiv 1 \; (\text{mod } p) $ also + insbesondere $p \nmid u_1 \implies \overline{u_1} \neq 0$. + + Sei umgekehrt $\overline{u_1} \neq 0$. Wegen Kompatibilität folgt damit $p \nmid u_n$ $\forall n \in \N$, denn + ang. $p \mid u_n$ für ein $n \in \N$. Dann folgt + \[ + 0 \equiv u_n \; (\text{mod } p) \equiv u_1 \; (\text{mod } p) \quad \contr + .\] + Da $p$ prim folgt insbesondere $(p^{n}, u_n) = 1$. Also ex. nach euklid. Alg. $a, b \in \Z$, s.d. + $1 = a p^{n} + b u_n$, also $1 = \overline{bu_n}$ mit $\overline{b} \in A_n$. Also + $\overline{u_n} \in A_n^{\times }$ und damit + $v \coloneqq (\ldots \overline{u_n}^{-1}, \overline{u_{n-1}}^{-1}, \ldots, \overline{u_1}^{-1}) = u^{-1} + \in \Z_p$. +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma}[] + Für $x \in \Z_p \setminus \{0\} $ ex. $n \in \N_0$ und $u \in \Z_p^{\times }$, s.d. + \[ + x = p^{n} u + .\] Diese Darstellung ist eindeutig. + \label{le-decomp} +\end{lemma} + +\begin{proofb} + \begin{enumerate}[(i)] + \item Existenz: + Sei $x \in \Z_p \setminus \{0\} $. Da $x \neq 0$ ex. wegen Kompatibilität ein + $n \in \N_0$ maximal, s.d. + $x_n = \pi_n(x) = 0$. Also ist $x \in \text{ker } \pi_n$, insbesondere ex. nach + \ref{le-kanproj} ein $u \in \Z_p$ mit $x = p^{n}u$. Ang.: $p \mid u$, dann + ist $\pi_1(u) = 0$ also ex. wieder nach \ref{le-kanproj} ein $v \in \Z_p$ mit $u = pv$. Dann + ist aber + \[ + \pi_{n+1}(x) = \pi_{n+1}(p^{n}u) = \pi_{n+1}(p^{n+1}v) = 0 + .\] Widerspruch zur Maximalität von $n$. + \end{enumerate} +\end{proofb} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofe} + \begin{enumerate}[(i)] + \setcounter{enumi}{1} + \item Eindeutigkeit: Sei $x = p^{n} u = p^{m} v$ mit $u, v \in \Z_p^{\times }$ und $n, m \in \N_0$. + Sei o.E. $n \ge m$. Es ist $\pi_n(x) = \pi_n(p^{n}) \pi_n(u) = 0$ also + auch $0 = \pi_n(x) = \pi_n(p^{m}) \pi_{n}(v)$. Da $v \in \Z_p^{\times }$ ist + $\pi_n(v) \in A_n^{\times}$, also kein Nullteiler. Also folgt + $\pi_n(p^{m}) = 0$ und damit $p^{m} \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $, also + $m \ge n$. Insgesamt also $m = n$. + + Nun gilt weiter $x = p^{n} u = p^{n} v$, also $p^{n}(u-v) = 0$. Ang. $u-v \neq 0$. Dann + ist nach (i) $u - v = p^{k} w$ mit $k \in \N_0$ und $w \in \Z_p^{\times }$. Also + $0 = p^{n}(u-v) = p^{n+k} w$. Da $w \in \Z_p^{\times }$ also kein Nullteiler, folgt + $0 = p^{n+k} \in \Z$ $\contr$. + \end{enumerate} +\end{proofe} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{definition}[$p$-Bewertung] + Für $x \in \Z_p \setminus \{0\} $ sei $x = p^{n} u$ mit $u \in \Z_p^{\times }$. Dann setze + \[ + v_p(x) \coloneqq n + \] und setze $v_p(0) \coloneqq \infty$. $v_p(x)$ heißt die $p$-Bewertung von $x$. +\end{definition} + +\begin{bem}[] + Wegen \ref{le-decomp} ist die $p$-Bewertung wohldefiniert. + + Per Konvention setze $n + \infty = \infty$ und $\infty > n$ für $n \in \N_0$. +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma}[Eigenschaften der $p$-Bewertung] + Für $x, y \in \Z_p$ gilt + \[ + v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y), \quad v_p(x+y) \ge \min (v_p(x), v_p(y)) + .\] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Folgt direkt durch Nachrechnen. + %Falls $x = 0$ oder $y = 0$, dann trivial. Seien also $x, y \neq 0$ und + %sei $x = p^{n}u$, $y = p^{m}v$ mit $u, v \in \Z_p^{\times }$ und $n, m \in \N_0$. Dann folgt + %\[ + % xy = p^{n} u p^{n} v = p^{n+m} \underbrace{uv}_{\Z_p^{\times}} + %.\] Also $v_p(xy) = n + m = v_p(x) + v_p(y)$. Sei nun o.E. $n \ge m$. Dann folgt + %\[ + % x + y = p^{n} u + p^{m} v = p^{m} (p^{n-m} u + v) + %.\] Also folgt $v_p(x+y) \ge m = \min(v_p(x), v_p(y))$. +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{korollar}[] + $\Z_p$ ist nullteilerfrei. +\end{korollar} + +\begin{proof} + Seien $x, y \in \Z_p$ mit $xy = 0$. Dann folgt + \[ + \infty = v_p(0) = v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y) + .\] Also $v_p(x) = \infty$ oder $v_p(y) = \infty$, also $x = 0$ oder $y = 0$. +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma}[Topologie auf $\Z_p$] + Die Topologie auf $\Z_p$ wird induziert durch die Metrik + \[ + d(x, y) = \exp(-v_p(x-y)) + .\] $\Z_p$ ist vollständig und $\Z$ ist dicht in $\Z_p$. +\end{lemma} + +\begin{bem}[Bälle] + Es sei im Folgenden stets + \begin{salign*} + B(x, r) &= \{ y \in \Z_p \mid d(x,y) < r \} \text{ und }\\ + \overline{B(x,r)} &= \{y \in \Z_p \mid d(x,y) \le r\} + .\end{salign*} + Da $d(x,y) \in \{ \exp(n) \mid n \in \Z\}$ gilt + \begin{salign*} + \overline{B(x, e^{-n})} &= \{ y \in \Z_p \mid v_p(x-y) \ge n\} \\ + &= \{ y \in \Z_p \mid v_p(x-y) > n-1\} \\ + &= B(x, e^{-(n-1)}) + .\end{salign*} +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofb} + $d(\cdot , \cdot )$ ist eine Metrik (nachrechnen). + Sei nun + \[ + S \coloneqq \{ \pi_n^{-1}(B) \mid B \subseteq A_n, n \in \N\} + .\] + Die offenen Mengen von $\Z_p$ bezüglich der Produkttopologie sind dann per Definition + gegeben als $\langle S \rangle$, wobei mit $\langle \ldots \rangle$ die durch + endliche Schnitte und beliebige Vereinigungen erzeugten Mengen gemeint sind. + + Für $D \in S$ ist $D = \pi_n^{-1}(B) = (A_1, \ldots, A_{n-1}, B, A_{n+1}, \ldots) \subseteq \Z_p$ + wobei $B \subseteq A_n$ für ein $n \in \N$. Für $U \in \langle S \rangle$ ist dann + $U = (B_1, \ldots, B_n, A_{n+1}, \ldots)$ mit $B_n \subsetneq A_n$ für $n \in \N_0$. + Sei nun $0 \in U$. Dann ist $p^{n} \Z_p \subseteq U$. +\end{proofb} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofi} + Für beliebiges $V \subseteq \Z_p$ offen + ex. nun für $v \in V$ ein $n_v \in \N_0$, s.d. $v + p^{n_v} \Z_p \subseteq V$. Also folgt + \[ + V = \bigcup_{v \in V} (v + p^{n_v} \Z_p) + .\] + Nun ist aber + \[ + a \in v + p^{n} \Z_p \iff v_p(a - v) \ge n \iff a \in \overline{B(v, e^{-n})} + = B(v, e^{-(n-1)}) + .\] + Also folgt + \[ + V = \bigcup_{v \in V} B(v; e^{-(n-1)}) + \] also $V$ auch offen bezüglich $d(\cdot, \cdot )$. Umgekehrt + sei $U$ offen bezüglich $d(\cdot , \cdot )$. Dann ist + $U$ Vereinigung von offenen (bezüglich $d(\cdot , \cdot )$) Bällen. + Da $p^{n} \Z_p = \pi_n^{-1}(\{0\})$, sind diese auch offen bezüglich der Produkttopologie. +\end{proofi} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofe} + Z.z.: $\Z_p$ vollständig. Da $\Z_p$ nach \ref{kor-compact} + kompakt ist, hat jede Folge in $\Z_p$ eine konvergente Teilfolge. Insbesondere hat + also jede Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge und damit konvergiert jede Cauchy-Folge + in $\Z_p$. + + Z.z.: $\Z$ dicht in $\Z_p$. Sei $x = (x_n)_{n \in \N} \in \Z_p$. Setze $y_n \in \Z$, s.d. + $y_n \equiv x_n \; (\text{mod } p^{n}) $. Dann ist für $n \in \N$ fest, + $y_n \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) $ $\forall m \le n$, also + $v_p(y_n - x) \ge n$. Also + \[ + d(y_n, x) = \exp(-v_p(y_n - x)) \le \exp(-n) \xrightarrow{n \to \infty} 0 + .\] +\end{proofe} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{definition} + Der Quotientenkörper der ganzen $p$-adischen Zahlen $\Z_p$ + heißt Körper der $p$-adischen Zahlen + \[ + \Q_p \coloneqq Q(\Z_p) + .\] +\end{definition} + +\begin{bem} + \begin{enumerate} + \item Ein Element $x = \frac{a}{b} \in \Q_p^{\times}$ mit $a, b \in \Z_p$, $b \neq 0$ + kann eindeutig als $x = p^{r}w$ mit $r \in \Z$ und $w \in \Z_p^{\times }$ dargestellt werden, + denn nach \ref{le-decomp} ist + \[ + x = \frac{a}{b} = \frac{p^{n}u}{p^{m}v} = p^{n-m} \underbrace{u v^{-1}}_{\in \Z_p^{\times }} + .\] + Damit setzt sich die Definition von $v_p$ auf $\Q_p$ fort. Es gilt + $v_p(x) \ge 0 \iff x \in \Z_p$. + \item Nach (1) ist also $\Q_p = \Z_p[p^{-1}]$. + \end{enumerate} +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma}[Topologie auf $\Q_p$] + $\Q_p$ mit der von $\Z_p$ geerbten Metrik $d(x,y) = \exp(-v_p(x-y))$ ist + lokal kompakt und enthält $\Z_p$ als offenen Teilring. $\Q$ ist dicht in $\Q_p$. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Da $x \in \Z_p \iff v_p(x) \ge 0 \iff v_p(x) > -1$ folgt $\Z_p = \overline{B(0, 1)} = B(0, e)$, + also $\Z_p$ offen. + Da $\Z_p$ kompakt, folgt, dass + $B(x, e)$ kompakt $\forall x \in \Q_p$, also $\Q_p$ lokal kompakt. Außerdem ist + $\Z$ dicht in $\Z_p$, d.h. für $x \in \Q_p$ mit $x = p^{k} u$ und $k \in \Z$, $u \in \Z_p^{\times }$ ex. + eine Folge $(y_n)_{n \in \N} \subseteq \Z$ mit $y_n \xrightarrow{n \to \infty} u$. Dann + setze $z_n \coloneqq p^{k} y_n \in \Q$. Dann folgt direkt + $z_n = p^{k} y_n \xrightarrow{n \to \infty} p^{k} u = x$. +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bem} + \begin{enumerate} + \item $\Q_p$ kann auch als Vervollständigung von $\Q$ bezüglich der $p$-adischen + Metrik $d(\cdot , \cdot )$ definiert werden (analog zu $\R$ als + Vervollständigung von $\Q$ bezüglich $|\cdot |$). + \item Es ist leicht nachzurechnen, dass $d(\cdot , \cdot )$ die ultrametrische Ungleichung + (auch starke Dreiecksungleichung) erfüllt, d.h. + \[ + d(x, z) \le \max(d(x,y), d(y,z)) + \] für $x, y, z \in \Q_p$. Damit folgt das eine Folge + $(a_n)_{n \in \N} \subseteq \Q_p$ genau dann konvergiert, wenn + $\lim_{n \to \infty} (u_{n+1} - u_n) = 0$ (was in $\R$ bezüglich $|\cdot |$ falsch ist). + \end{enumerate} +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\subsection{$p$-adische Gleichungen} + +\begin{lemma}[] + Sei $D_1 \leftarrow D_2 \leftarrow \ldots$ ein projektives System und + $D = \varprojlim \; (D_n, p_n)$ sein inverser Limes. Falls $D_n \neq \emptyset$ und endlich + folgt $D \neq \emptyset$. + \label{le-projlim} +\end{lemma} + +\begin{proofb} + Sei zunächst $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$ surjektiv. Dann ex. für alle $x_{n} \in D_{n}$ + ein $x_{n+1} \in D_{n+1}$, s.d. $p_{n}(x_{n+1}) = x_n$. Da $D_1 \neq \emptyset$ folgt + $D \neq \emptyset$ induktiv. + + Im Allgemeinen bezeichne für $m,n \in \N$: + \[ + D_{n,m} \coloneqq (p_{n} \circ \ldots \circ p_{n+m-1})(D_{n+m}) + .\] Da $D_{n+m} \neq \emptyset$ folgt $D_{n,m} \neq \emptyset$ und da + $D_k$ endlich folgt $\# p_k(D_{k+1}) \le \# D_{k+1}$ $\forall k \in \N$. D.h. $\#D_{n,m}$ + ist monoton fallend in $m$ bei festem $n$. + Da $D_{n,m} \neq \emptyset$ wird die Folge stationär, d.h. + es ex. ein $m_0 \in \N$, s.d. $D_{n, m_0} = D_{n, m}$ $\forall m \ge m_0$. + Sei $E_n$ dieser Grenzwert. +\end{proofb} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofe} + Beh.: $p_{n}(E_{n+1}) = E_n$ $\forall n \in \N$. Sei dazu $n \in \N$. Nun ex. ein + $m_0 \in \N$, s.d. $E_{n+1} = D_{n+1, m_0}$ und + $E_n = D_{n, m_0} = D_{n, m_0+1}$. Damit folgt + \begin{salign*} + p_{n}(E_{n+1}) + &= p_{n}(D_{n+1, m_0}) \\ + &= p_{n}((p_{n+1} \circ \ldots \circ p_{n+m_0})(D_{n+1+m_0})) \\ + &= (p_{n} \circ p_{n+1} \circ \ldots \circ p_{n+m_0})(D_{n+m_0+1}) \\ + &= D_{n, m_0+1} \\ + &= E_n + .\end{salign*} + + Also sind die Einschränkungen $p_{n}|_{E_{n+1}}\colon E_{n+1} \to E_n$ surjektiv, + $E_n \neq \emptyset$ und endlich, also + folgt nach der Vorüberlegung $\varprojlim \; (E_n, p_n|_{E_n}) \neq \emptyset$, also + insbesondere $D \neq \emptyset$. +\end{proofe} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{satz}[] + Seien $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ Polynome in den ganzen $p$-adischen Zahlen. Dann + sind äquivalent: + \begin{enumerate}[(i)] + \item Die $f^{(i)}$ haben eine gemeinsame Nullstelle in $(\Z_p)^{m}$. + \item Für $n \in \N$ haben die Polynome $f^{(i)} \; (\text{mod } p^{n}) $ eine + gemeinsame Nullstelle in $(A_n)^{m}$. + \end{enumerate} + \label{satz-nsequiv} +\end{satz} + +\begin{proof} + Sei $D = \{ \text{gemeinsame NS von } f^{(i)} \text{ in } (\Z_p)^{m} \} \subseteq (\Z_p)^{m}$ + und\\ + $D_n \coloneqq \{ \text{ gemeinsame NS von } f^{(i)} \text{ in } (A_n)^{m} \; (\text{mod } p^{n}) \} $. + Es bezeichne $(\phi_{n})^m\colon (A_{n+1})^{m} \to (A_n)^{m}$ die Abbildung, die $\phi_{n}$ + komponentenweise anwendet. Dann ist $(D_n, (\phi_n)^m)$ ein projektives System + mit $D = \varprojlim \; (D_n, (\phi_n)^m)$. + + Sei nun $D \neq \emptyset$ und $x \in D$. Dann ist $\pi_n(x) \in D_n$ $\forall n \in \N$. Seien umgekehrt + $D_n \neq \emptyset$ $\forall n \in \N$. Da $D_n \subseteq A_n$ endlich folgt mit + \ref{le-projlim} $D \neq \emptyset$. +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{definition}[] + Ein Element $x = (x_1, \ldots, x_m) \in (\Z_p)^{m}$ (bzw. $(A_n)^{m}$) heißt primitiv, falls ein + $x_i \in \Z_p^{\times}$ (bzw. $\in A_n^{\times}$) ist. +\end{definition} + +\begin{definition}[] + Sei $R$ ein Ring. Ein Polynom $f \in R[X_1, \ldots, X_m]$ heißt + homogen vom Grad $2$, falls in $R[X_1, \ldots, X_m][T]$ gilt + \[ + f(TX_1, \ldots, TX_m) = T^{k} f(X_1, \ldots, X_m) + .\] Ein homogenes Polynom vom Grad $2$ heißt quadratische Form. +\end{definition} + +\begin{bsp}[] + Das Polynom $f = X^5 + X^3Y^2 + XY^4 \in \Z[X,Y]$ ist homogen, aber $g = X^2 + X + Y^2 \in \Z[X,Y]$ ist nicht + homogen. +\end{bsp} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{korollar}[] + Seien $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ homogene Polynome. Dann sind äquivalent + \begin{enumerate}[(i)] + \item Die $f^{(i)}$ haben eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle in $(\Q_p)^{m}$. + \item Die $f^{(i)}$ haben eine gemeinsame primitive Nullstelle in $(\Z_p)^{m}$. + \item Für $n \in \N$ haben die Polynome $f^{(i)} \; (\text{mod } p^{n}) $ eine gemeinsame + primitive Nullstelle. + \end{enumerate} +\end{korollar} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proof} + (i)$\implies$(ii): Sei $x = (x_1, \ldots, x_m)$ eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle + der $f^{(i)}$. Dann setze + \[ + k \coloneqq \min(v_p(x_1), \ldots, v_p(x_m)) \text{ und } y = p^{-k} x + .\] Sei $i \in \{1, \ldots, m\} $, s.d. $k = v_p(x_i)$. Dann ist + $v_p(y_i) = v_p(p^{-k}) + v_p(x_i) = -k + k = 0$. Also $y_i \in \Z_p^{\times }$ und damit $y$ primitiv. + Außerdem gilt für ein $n \in \N$ + \[ + f^{(i)}(y) = f^{(i)}(p^{-k} x) \quad \stackrel{\text{Homog.}}{=} \quad p^{-nk} f^{(i)}(x) = 0 + .\] + (ii)$\implies$(i) ist trivial und (ii) $\iff$ (iii) folgt aus \ref{satz-nsequiv}. +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bem}[] + Die Voraussetzung homogenes Polynom ist notwendig, wie am Beispiel: + \[ + f = pX - 1 \in \Z_p[X] + \] deutlich wird, denn $f(p^{-1}) = 0$, aber im Körper $\Q_p$ hat das lineare Polynom $f$ maximal + eine Nullstelle und $p^{-1} \not\in \Z_p$. +\end{bem} + +Wir möchten nun betrachten, unter welchen Umständen eine Lösung $\; (\text{mod } p^{n}) $ zu einer +echten Lösung in $\Z_p$ entwickelt werden kann. Dazu verwenden wir die $p$-adische Version +des Newton Verfahrens. + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma}[Henselsches Lemma] + Sei $f = a_mX^{m} + \ldots + a_0 \in \Z_p[X]$ und $f' = a_m m X^{m-1} + \ldots + a_1 \in \Z_p[X]$ seine + Ableitung. Weiter sei $x \in \Z_p$, s.d. $f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $ für ein $n \in \N$ + und $v_p(f'(x)) = k$ mit $0 \le 2k < n$. Dann existiert ein $y \in \Z_p$, s.d. + \[ + f(y) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1}), v_p(f'(y)) = k \text{ und } y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) + .\] + hi + \label{le-hensel} +\end{lemma} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofb} + Nach Voraussetzung ist $f(x) = p^{n}b$ und $f'(x) = p^{k}c$ mit + $b \in \Z_p$ und $c \in \Z_p^{\times }$. + Dann setze $z \coloneqq -b c^{-1}$ und $y \coloneqq x + p^{n-k}z$. Damit erfüllt + $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $. Der binomische Lehrsatz + liefert + \begin{salign*} + a_i y^{i} = a_i \sum_{j=0}^{i} \binom{i}{j} x^{i-j} (p^{n-k} z)^{j} + = a_i x^{i} + a_i i x^{i-1} p^{n-k} z + p^{2n-2k} z^2 R_i + \end{salign*} für $R_i \in \Z_p$. Aufsummieren und addieren von $a_0$ liefert mit $R \in \Z_p$ + eine ,,Taylorentwicklung'': + \begin{salign*} + f(y) &= f(x) + p^{n-k} z f'(x) + p^{2n-2k} z^2 R + .\end{salign*} +\end{proofb} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofe} + Da $2k < n$ folgt $2n - 2k \ge n+1$. Einsetzen liefert nun + \begin{salign*} + f(y) &= p^{n}b - p^{n-k} b c^{-1} p^{k} c + p^{2n-2k} z^2 R \\ + &= p^{2n-2k} z^2 R \\ + &\equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1}) + .\end{salign*} + Anwenden der ,,Taylorentwicklung'' auf $f'$ liefert + \begin{salign*} + f'(y) &= f'(x) + p^{n-k} z f''(x) + p^{2n-2k} z^2 R \\ + &= p^{k} c + p^{n-k} z f''(x) + p^{2n-2k}z^2R \\ + &= p^{k}(\underbrace{c + p^{n-2k} z f''(x) + p^{2n-3k} z^2 R}_{=: s}) + .\end{salign*} + Es ist $n-2k > 0$ und $2n - 3k > 0$, aber $c \in \Z_p^{\times }$, also $p \nmid s$ und damit + $s \in \Z_p^{\times }$ und $v_p(f'(y)) = k$. +\end{proofe} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +Zum Studium der quadratischen Formen benötigen wir noch die auf $m$ Variablen verallgemeinerte Version +des Henselschen Lemmas. + +\begin{satz} + Sei $f \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ und $x = (x_i) \in (\Z_p)^{m}$, s.d. + $f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $. Weiter existiere ein + $1 \le j \le m$, s.d. $v_p\left( \frac{\partial f}{\partial X_j}(x) \right) = k$ mit + $0 \le 2k < n$. Dann existiert eine Nullstelle $y \in (\Z_p)^{m}$ von $f$ mit + $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $. + \label{satz-hensel} +\end{satz} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofb} + Sei zunächst $m = 1$. Mit \ref{le-hensel} angewendet auf $x^{(0)} \coloneqq x$, erhält man + $x^{(1)} \in \Z_p$ mit + \[ + f(x^{(1)}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1})\text{, } + v_p(f'(x^{(1)})) = k \text{ und } + x^{(1)} \equiv x^{(0)} \; (\text{mod } p^{n-k}) + .\] Wende \ref{le-hensel} nun auf $x^{(1)}$ und $n+1$ an. Induktiv erhält man eine Folge + $(x^{(q)})_{q \in \N}$ mit den Eigenschaften + \[ + x^{(q+1)} \equiv x^{(q)} \; (\text{mod } p^{n+q-k}) \text{ und } f(x^{(q)}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+q}) + .\] Es gilt nun $v_p(x^{(q+1)} - x^{(q)}) \ge n+q-k$, also + $d(x^{(q+1)}, x^{(q)}) \xrightarrow{q\to \infty} 0$. Also ist $x^{(q)}$ eine Cauchy Folge + und konvergiert gegen ein $y \in \Z_p$. Dann gilt + \[ + 0 = \lim_{q \to \infty} f(x^{(q)}) = f(\lim_{q \to \infty} x^{(q)}) = f(y) + \] und $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $. +\end{proofb} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofe} + Sei nun $m > 1$. Ersetze in $f$ die Variablen $X_i$ durch $x_i$ für $i \neq j$. + Dann sei $g \in \Z_p[X_j]$ das entstandene Polynom in einer Variablen. Wende nun den Fall für $m = 1$ + auf $g$ an. Dann erhalten wir ein $y_j \in \Z_p$ mit $y_j \equiv x_j \; (\text{mod } p^{n-k}) $ + und $g(y_j) = 0$. Setze nun $y_i \coloneqq x_i$ für $i \neq j$. Dann ist + $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $ und + \[ + f(y) = f(y_1, \ldots, y_m) = f(x_1, \ldots, x_{j-1}, y_j, x_{j+1}, \ldots, x_m) = g(y_j) = 0 + .\] +\end{proofe} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +Aus dem letzten Satz können wir einfache Schlussfolgerungen für quadratische Formen ziehen. + +\begin{korollar}[] + Sei $f \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ und $x \in \Z_p$ mit + \[ + f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p) + \] und es sei mind. eine partielle Ableitung + $\frac{\partial f}{\partial X_j}(x) \not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $, dann hebt sich $x$ + zu einer echten Nullstelle. + \label{kor-1} +\end{korollar} + +\begin{proof} + Das ist der Fall $n = 1$ und $k = 0$ in \ref{satz-hensel}. +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{korollar}[] + Sei $p\neq 2$ und $f = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} X_i X_j \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ eine + quadratische Form mit $a_{ij} = a_{ji}$ und sei $ p \nmid \text{det}(a_{ij})$. Sei weiter $a \in \Z_p$. Dann + hebt sich jede primitive Lösung der Gleichung $f(x) \equiv a \; (\text{mod } p) $ zu einer + echten Lösung. +\end{korollar} +\begin{proof} + Mit \ref{kor-1} g.z.z., dass mind. eine partielle Ableitung $\; (\text{mod } p) $ nicht verschwindet. + Sei $A = (a_{ij}) \in \Z_p^{m \times m}$. Da $\text{det}(a_{ij}) \not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $ + folgt $\text{det}(a_{ij}) \in \mathbb{F}_p^{\times }$ und damit $\text{ker } A = \{0\} $. Es gilt weiter + \[ + \frac{\partial f}{\partial X_i} = 2 \sum_{j=1}^{m} a_{ij}X_j \text{ also } + \begin{pmatrix} \partial_{X_i} f(x) \\ \vdots \\ \partial_{X_m} f(x) \end{pmatrix} + = 2 A x + .\] Da $x$ primitiv ist $x \neq 0 \in \mathbb{F}_p^{m}$ und damit mind. eine partielle Ableitung + $\not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $. +\end{proof} + +%\begin{korollar}[] +% Sei $p=2$ und $f = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} X_i X_j \in \Z_2[X_1, \ldots, X_m]$ +% eine quadratische Form mit $a_{ij} = a_{ji}$. Weiter sei $a \in \Z_2$ und $x$ eine primitive Lösung +% der Gleichung $f(x) \equiv a \; (\text{mod } 8) $. Dann hebt sich $x$ zu einer echten Lösung, falls +% nicht alle partiellen Ableitungen $\; (\text{mod } 4) $ verschwinden. Dies ist erfüllt, wenn +% $\text{det}(a_{ij})$. +%\end{korollar} + +% ???? + +\end{frame} + +\end{document} diff --git a/sose2021/seminar/output.tex b/sose2021/seminar/output.tex new file mode 100644 index 0000000..bbc3b98 --- /dev/null +++ b/sose2021/seminar/output.tex @@ -0,0 +1,1044 @@ +\documentclass{../../presentation} + +\usepackage[]{tikz-cd} + +%\usetheme{CambridgeUS} +\usecolortheme[RGB={205,0,0}]{structure} +\setbeamertemplate{items}[default] +\setbeamertemplate{sections/subsections in toc}[square] +\setbeamertemplate{theorems}[numbered] + +\date[22.\pause{} April 2021]{Seminar ,,Quadratische Formen'', 22.\pause{} April 2021} +\author{Christian Merten} +\title{Vortrag 2: Die \texorpdfstring{$p$}{p}-adischen Zahlen} + +\begin{document} + +\stepcounter{section} +\section{Die $p$-adischen Zahlen} + +\titlepage + +\subsection{Der Ring \texorpdfstring{$\Z_p$}{bla} und sein Quotientenkörper \texorpdfstring{$\Q_p$}{bla}} + +\begin{frame} + +\subsection{Der Ring \texorpdfstring{$\Z_p$}{bla} und sein Quotientenkörper \texorpdfstring{$\Q_p$}{bla}} + +Sei $p \in \N$ eine im Folgenden fest gewählte Primzahl.\pause{} + +Genauso wie eine natürliche Zahl $m \in \N$ bezüglich der Basis $10$ dargestellt werden kann,\pause{} +ist das auch bezüglich der Basis $p$ möglich.\pause{} Jede natürliche Zahl besitzt also eine +$p$-adische Entwicklung der Form\pause{} +\[ +m = a_0 + a_1 p + \ldots + a_n p^{n} +\] wobei die Koeffizienten $a_i$ in $\{0, 1, \ldots, p-1\} $ liegen.\pause{} Die Darstellung ist damit eindeutig. +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bsp}[] + Für $n = 216$ erhalten wir für $p = 5$ + \begin{salign*} + 216 &= 1 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3. + \end{salign*} + \pause{} + %\begin{salign*} + % \uncover<+->{ + % 216 &= 1 + 5 \cdot 43 \\ + % 43 &= 3 + 5 \cdot 8 \\ + % 8 &= 3 + 5 \cdot 1 \\ + % 1 &= 1 + % } + % \intertext{\uncover<+->{Also insgesamt}} + % \uncover<+->{216 &= 1 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3.} + %\end{salign*} +\end{bsp} + +Um nun auch negative und sogar gebrochene Zahlen darstellen zu können, gehen wir zu unendlichen +Reihen über: + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{definition}[Ganze $p$-adische Zahlen] + Eine ganze $p$-adische Zahl ist eine formale unendliche Reihe + \[ + \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + \] mit $0 \le a_i < p$ für $i \in \N_0$.\pause{} Die Menge dieser formalen Reihen + wird mit $\Z_p$ bezeichnet.\pause{} +\end{definition} +\begin{bem}[] + $\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}$ ist rein formal gemeint,\pause{} d.h. bezeichnet einfach + die Folge der Partialsummen + \[ + s_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{i} \in \Z, \quad n \in \N + .\pause{}\] +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +Womit können wir jetzt die ganzen Zahlen $\Z$ in den $p$-adischen Zahlen $\Z_p$ identifizieren?\pause{} +Wie kann +also beispielsweise $-1$ in $\Z_p$ dargestellt werden?\pause{} +Dazu stellen wir folgendes fest + +\begin{lemma} + Sei $a \in \Z$.\pause{} + Die Restklasse $a \; \text{mod } p^{n} \in \Z / p^{n} \Z$ wird in eindeutiger + Darstellung durch + \[ + a \equiv a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) + \] gegeben, wobei $0 \le a_i < p$ für $i \in \{0, \ldots, n-1\} $. + \label{le-eind-rest} +\end{lemma} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proof} + Per Induktion.\pause{} Für $n = 1$ ist offenbar $a \equiv a_0 \; (\text{mod } p) $ mit $0 \le a_0 < p$.\pause{} + Sei nun die Behauptung für $n-1$ gezeigt.\pause{} Dann ex.\pause{} eine eindeutige Darstellung + \begin{salign*} + a &\equiv a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} \; (\text{mod } p^{n-1}) + .\end{salign*}\pause{} + Also + \begin{salign*} + a &= a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} + g p^{n-1} + \end{salign*} + für ein $g \in \Z$.\pause{} Sei $0 \le a_{n-1} < p$,\pause{} s.d. $g \equiv a_{n-1} \; (\text{mod } p) $, also + $g = a_{n-1} + h p$ für $h \in \Z$.\pause{} $a_{n-1}$ ist also eindeutig durch $a$ bestimmt und es + folgt + \begin{salign*} + a &= a_0 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} + a_{n-1} p^{n-1} + h p^{n} + \end{salign*} +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +Jede ganze Zahl $a$ definiert eine Folge von Restklassen $\overline{s_n} = \overline{a} \in \Z / p^{n} \Z$ +für $n \in \N$, \pause{} die nach \ref{le-eind-rest} von der Gestalt +\begin{salign*} + s_1 &\equiv a_0 \; (\text{mod } p) \\ +s_2 &\equiv a_0 + a_1p \; (\text{mod } p^2) \\ +&\;\;\vdots +\end{salign*} +sind mit eindeutig bestimmten Koeffizienten $a_0, a_1, \ldots \in \{0, \ldots, p-1\} $.\pause{} Die Zahlenfolge +\[ +s_n = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} +\]\pause{} definiert nun eine ganze $p$-adische Zahl $\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} \in \Z_p$, die +wir die $p$-adische Entwicklung von $a$ nennen. + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bsp} + \uncover<+->{Was ist jetzt die $p$-adische Entwicklung von $-1$?} \uncover<+->{Es ist} + \begin{salign*} + \uncover<+->{ + -1 &= (p-1) + (p-1)p + \ldots + (p-1)p^{n-1} - p^{n} \\} + \uncover<+->{\text{also }-1 &\equiv (p-1) + (p-1)p + \ldots + (p-1)p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) .} + \end{salign*} + \uncover<+->{Es ist also $-1 = (p-1) + (p-1)p + (p-1)p^2 + \ldots \in \Z_p$ + die $p$-adische Entwicklung von $-1$.} + \label{bsp-minus1} +\end{bsp} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +Um $\Z_p$ eine algebraische Struktur zu geben, könnten wir mit diesen Reihen mit Überträgen +rechnen, so wie wir es von der Basis $10$ gewohnt sind.\pause{} + +Einfacher wird es jedoch, wenn wir +eine ganze $p$-adische Zahl $x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}$ mit +der Folge der Restklassen $\overline{s_n} \in \Z / p^{n} \Z$ der Partialsummen identifizieren.\pause{} + +Dazu benötigen wir noch einige Begriffe.\pause{} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{definition} + Ein projektives System ist + eine Folge von Mengen $(D_n)_{n \in \N}$ und eine Folge + von Abbildungen $(p_n)_{n \in \N}$ mit $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$ + \[ + D_1 \xleftarrow{p_1} D_2 \leftarrow \ldots \leftarrow D_{n} \xleftarrow{p_{n}} D_{n+1} \leftarrow \ldots + .\pause{}\] + Die Teilmenge + \[ + D = \varprojlim \; (D_n, p_n) = + \left\{ (a_n)_{n \in \N} \in \prod_{n=1}^{\infty} D_n \mid p_n(a_{n+1}) = a_n \forall n \in \N \right\} + \] heißt projektiver Limes des Systems.\pause{} +\end{definition} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bem}[] + Falls die $D_n$ Ringe und die $p_n$ Ringhomomorphismen sind, wird + $\varprojlim \; (D_n, p_n)$ zum Teilring des Produktrings $\prod_{n=1}^{\infty} D_n $ + (leicht nachzurechnen).\pause{} +\end{bem} + +Setze im Folgenden $A_n \coloneqq \Z / p^{n} \Z$.\pause{} Dann erhalten wir für $n \in \N$ einen +kanonischen Homomorphismus +\begin{salign*} + \phi_{n}\colon A_{n+1} &\to A_n \\ + \overline{a} &\mapsto a \; \text{mod } p^{n} +.\end{salign*}\pause +Es ist also für $a \in A_{n+1}$, $b \in A_n$: +$\phi_n(a) = b \iff a \equiv b \; (\text{mod } p^{n}) $. + +\end{frame} + +\begin{frame} + + +\begin{satz} + Ordnet man jeder ganzen $p$-adischen Zahl + \[ + x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} + \] die Folge $(\overline{s}_n)_{n \in \N}$ der Restklassen + \[ + \overline{s}_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{i} \; (\text{mod } p^{n}) \in A_n + \] zu,\pause{} so erhält man eine Bijektion + \[ + \Z_p \xrightarrow{\sim} \varprojlim \; (A_n, \phi_n) + .\] +\end{satz} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proof} + Die Zuordnung ist wohldefiniert, da + \[ + s_{n+1} = a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n} p^{n} + \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) + = s_n + .\]\pause + Bijektivitität: Sei $(x_n)_{n \in \N} \in \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$.\pause{} Dann + ist $\phi_n(x_{n+1}) = x_n$,\pause{} also + $x_{n+1} \equiv x_n \; (\text{mod } p^{n}) $ für $n \in \N$.\pause{} Insbesondere + ex. nach \ref{le-eind-rest} eindeutige Koeffizienten $0 \le a_i < p$,\pause{} s.d. + \[ + x_n \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) + \] für alle $n \in \N$.\pause{} Also ist $x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} \in \Z_p$ das + eindeutige Urbild von $(x_n)_{n \in \N}$. +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bem}[] + Die Koeffizienten der $p$-adischen Entwicklung von $a \in \Z$ ergeben sich durch die Kongruenzen + \[ + a \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) + \] mit $0 \le a_i < p$.\pause{} Bei der Identifizierung $\Z_p = \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$ geht + $a \in \Z$ daher über in + \[ + (a \; \text{mod } p, a \; \text{mod } p^2, a \; \text{mod } p^{3} , \ldots ) \in + \prod_{n=1}^{\infty} A_n + .\pause{}\] + $\Z$ wird so zum Teilring von $\varprojlim \; (A_n, \phi_n)$.\pause{} + \label{bem-z-ident} +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bsp}[$\ref{bsp-minus1}$ fortgesetzt] + Mit \ref{bem-z-ident} folgt also + \[ + -1 = (p-1, p^2-1, p^{3}-1, \ldots) \in \varprojlim \; (A_n, \phi_n) + .\pause{}\] +\end{bsp} + +Wir identifizieren nun im Folgenden stets $\Z_p = \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$.\pause{} $\pi_n$ bezeichne +den kanonischen Projektionshomomorphismus $\pi_n\colon \Z_p \to A_n$.\pause{} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bem} + \begin{enumerate} + \item Per Definition ist $x \in \Z_p$ also ein Element $x \in \prod_{n=1}^{\infty} \Z / p^{n}\Z $ + mit der ,,Kompatibilitätsbedingung'': + \[ + x_{n+1} \equiv x_n \text{ (mod } p^{n}) + .\pause{}\] + \item $\Z_p$ erbt als Teilring nun also die komponentenweise Addition + und Multiplikation des Produktrings + $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $,\pause{} d.h. für $(a_n)_{n \in \N}, (b_n)_{n \in \N} \in \Z_p$ gilt + \[ + (a_n)_{n \in \N} + (b_n)_{n \in \N} = (a_n + b_n)_{n \in \N} + \quad + (a_n)_{n \in \N} \cdot (b_n)_{n \in \N} = (a_n \cdot b_n)_{n \in \N} + .\] + \end{enumerate} +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bem} + \begin{enumerate} + \item Erinnerung:\pause{} $(X, \mathcal{T})$ mit $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{P}(X)$ heißt + topologischer Raum und $\mathcal{T}$ das System der offenen Teilmengen,\pause{} + falls endl. Schnitte und beliebige Vereinigungen offener Mengen + wieder offen sind.\pause{} + \item Versieht man $A_n$ mit der diskreten Topologie (d.h. alle Teilmengen sind offen)\pause{} + und $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $ mit der Produkttopologie (die von den Urbildern der + kanonischen Projektionen $\pi_n$ erzeugt wird),\pause{} wird $\Z_p$ zu einem + topologischen Ring.\pause{} + \end{enumerate} +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{satz}[von Tychonoff] + Ist $(X_i)_{i \in I}$ eine Familie kompakter topologischer Räume, dann ist + auch das kartesische Produkt $\prod_{i \in I}^{} X_i $ kompakt bezüglich der + Produkttopologie.\pause{} + \label{satz-tycho} +\end{satz} + +\begin{proof} + Der Satz ist äquivalent zum Auswahlaxiom.\pause{} Ein Beweis findet sich beispielsweise + in Klaus Jänich: \textit{Topologie}.\pause{} +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{korollar}[] + $\Z_p$ ist kompakt.\pause{} \label{kor-compact} +\end{korollar} + +\begin{proof} + \uncover<+->{Nach \ref{satz-tycho} ist $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $ kompakt.} \uncover<+->{Außerdem ist} + \[ + \uncover<+->{\Z_p = \bigcap_{n \in \N} + \left\{ x \in \prod_{m=1}^{\infty} A_m \mid \phi_{n}(\pi_{n+1}(x)) = \pi_n(x)\right\}} + \uncover<+->{= \bigcap_{n \in \N} f_n^{-1}(\{0\})} + \] \uncover<+->{mit $f_n \colon \prod_{n=1}^{\infty} A_n \to A_n, x \mapsto \phi_{n}(\pi_{n+1}(x)) - \pi_n(x)$.} + \uncover<+->{Es ist $f_n$ stetig, da $\pi_n$ per Definition der Produkttopologie und $\phi_n$ als + Abbildung zwischen diskreten Räumen stetig sind.} \uncover<+->{Da $\{0\} \subseteq A_n$ abgeschlossen, folgt + die Behauptung.\qedhere} +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma} + Es ist $\pi_n$ surjektiv und $\text{ker } \pi_n = p^{n} \Z_p$ $\forall n \in \N$.\pause{} + Insbesondere gilt + \[ + \Z_p / p^{n} \Z_p \stackrel{\sim }{=} \Z / p^{n} \Z = A_n + .\pause{}\] + \label{le-kanproj} +\end{lemma} + +\begin{proofb} + Die Surjektivität ist klar.\pause{} Z.z.$\text{ker } \pi_n = p^{n} \Z_p$.\pause{} Sei dazu $x \in \Z_p$.\pause{} + Dann ist $p^{n} x_n \equiv 0 \; (\text{mod } p^n)$.\pause{} Also $\pi_n(p^n x) = 0$.\pause{} Damit + $p^{n} \Z_p \subseteq \text{ker } \pi_n$.\pause{} + + Sei nun $x = (x_m)_{m \in \N} \in \text{ker } \pi_n$ + und $m \ge n$.\pause{} + Wegen Kompatibilität folgt + \[ + x_m \equiv x_n \; (\text{mod } p^{n}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) + .\pause{}\] Also folgt $x_m \in p^{n} A_m$. +\end{proofb} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofe} + Es ist (nachrechnen) + \begin{salign*} + A_{m-n} = \Z / p^{m-n} \Z \stackrel{\sim }{=} p^{n} \Z / p^{m} \Z = p^{n}A_m + .\end{salign*}\pause{} + Das heißt es ex.\pause{} ein eindeutiges $y_{m-n} \in A_{m-n}$, \pause{} s.d. + $p^{n}y_{m-n} \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) $.\pause{} + Es bleibt zu zeigen, dass $p^{n}y = x$.\pause{} + + Z.z.: $x = p^{n} y$.\pause{} Für $m \le n$ ist $x_m = 0 = p^{n} y_m$.\pause{} Für $m > n$ ist wegen Kompatibilität + \[ + p^{n} y_m = p^{n} y_{m+n-n} \equiv x_{m+n} \; (\text{mod } p^{m+1}) \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) + .\pause{}\] + Insgesamt folgt also $x = p^{n}y$.\pause{} + Insgesamt folgt also $\text{ker } \pi_n = p^{n}\Z_p$.\pause{} Die behauptete Isomorphie folgt jetzt direkt aus + dem Homomorphiesatz.\pause{} +\end{proofe} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma}[] + Für $u \in \Z_p$ sind äquivalent + \begin{enumerate}[(i)] + \item $u \in \Z_p^{\times }$ + \item $p \nmid u$ + \item $0 \neq u_1 \in \Z / p \Z$ + \end{enumerate} +\end{lemma} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proof} + (ii)$\iff$(iii) ist klar wegen Kompatibilität.\pause{} b.z.z.\pause{} (i) $\iff$ (iii).\pause{} Sei dazu + $u = (\overline{u_n})_{n\in \N} \in \Z_p^{\times }$.\pause{} + Dann $\exists v = (\overline{v_n})_{n \in \N} \in \Z_p$ + mit $uv = 1$ insb.\pause{} $\overline{u_1 v_1} \equiv 1 \; (\text{mod } p) $ also + insbesondere $p \nmid u_1 \implies \overline{u_1} \neq 0$.\pause{} + + Sei umgekehrt $\overline{u_1} \neq 0$.\pause{} Wegen Kompatibilität folgt damit $p \nmid u_n$ $\forall n \in \N$, denn + ang.\pause{} $p \mid u_n$ für ein $n \in \N$.\pause{} Dann folgt + \[ + 0 \equiv u_n \; (\text{mod } p) \equiv u_1 \; (\text{mod } p) \quad \contr + .\pause{}\] + Da $p$ prim folgt insbesondere $(p^{n}, u_n) = 1$.\pause{} Also ex.\pause{} nach euklid.\pause{} Alg.\pause{} $a, b \in \Z$, \pause{} s.d. + $1 = a p^{n} + b u_n$, also $1 = \overline{bu_n}$ mit $\overline{b} \in A_n$.\pause{} Also + $\overline{u_n} \in A_n^{\times }$ und damit + $v \coloneqq (\ldots \overline{u_n}^{-1}, \overline{u_{n-1}}^{-1}, \ldots, \overline{u_1}^{-1}) = u^{-1} + \in \Z_p$.\pause{} +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma}[] + Für $x \in \Z_p \setminus \{0\} $ ex.\pause{} $n \in \N_0$ und $u \in \Z_p^{\times }$, \pause{} s.d. + \[ + x = p^{n} u + .\pause{}\] Diese Darstellung ist eindeutig.\pause{} + \label{le-decomp} +\end{lemma} + +\begin{proofb} + \begin{enumerate}[(i)] + \item Existenz: + Sei $x \in \Z_p \setminus \{0\} $.\pause{} Da $x \neq 0$ ex.\pause{} wegen Kompatibilität ein + $n \in \N_0$ maximal, \pause{} s.d. + $x_n = \pi_n(x) = 0$.\pause{} Also ist $x \in \text{ker } \pi_n$, insbesondere ex.\pause{} nach + \ref{le-kanproj} ein $u \in \Z_p$ mit $x = p^{n}u$.\pause{} Ang.\pause{}: $p \mid u$, dann + ist $\pi_1(u) = 0$ also ex.\pause{} wieder nach \ref{le-kanproj} ein $v \in \Z_p$ mit $u = pv$.\pause{} Dann + ist aber + \[ + \pi_{n+1}(x) = \pi_{n+1}(p^{n}u) = \pi_{n+1}(p^{n+1}v) = 0 + .\pause{}\] Widerspruch zur Maximalität von $n$.\pause{} + \end{enumerate} +\end{proofb} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofe} + \begin{enumerate}[(i)] + \setcounter{enumi}{1} + \item Eindeutigkeit: Sei $x = p^{n} u = p^{m} v$ mit $u, v \in \Z_p^{\times }$ und $n, m \in \N_0$.\pause{} + Sei o.E. $n \ge m$.\pause{} Es ist $\pi_n(x) = \pi_n(p^{n}) \pi_n(u) = 0$ also + auch $0 = \pi_n(x) = \pi_n(p^{m}) \pi_{n}(v)$.\pause{} Da $v \in \Z_p^{\times }$ ist + $\pi_n(v) \in A_n^{\times}$, also kein Nullteiler.\pause{} Also folgt + $\pi_n(p^{m}) = 0$ und damit $p^{m} \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $, also + $m \ge n$.\pause{} Insgesamt also $m = n$.\pause{} + + Nun gilt weiter $x = p^{n} u = p^{n} v$, also $p^{n}(u-v) = 0$.\pause{} Ang.\pause{} $u-v \neq 0$.\pause{} Dann + ist nach (i) $u - v = p^{k} w$ mit $k \in \N_0$ und $w \in \Z_p^{\times }$.\pause{} Also + $0 = p^{n}(u-v) = p^{n+k} w$.\pause{} Da $w \in \Z_p^{\times }$ also kein Nullteiler, folgt + $0 = p^{n+k} \in \Z$ $\contr$.\pause{} + \end{enumerate} +\end{proofe} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{definition}[$p$-Bewertung] + Für $x \in \Z_p \setminus \{0\} $ sei $x = p^{n} u$ mit $u \in \Z_p^{\times }$.\pause{} Dann setze + \[ + v_p(x) \coloneqq n + \] und setze $v_p(0) \coloneqq \infty$.\pause{} $v_p(x)$ heißt die $p$-Bewertung von $x$.\pause{} +\end{definition} + +\begin{bem}[] + Wegen \ref{le-decomp} ist die $p$-Bewertung wohldefiniert.\pause{} + + Per Konvention setze $n + \infty = \infty$ und $\infty > n$ für $n \in \N_0$.\pause{} +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma}[Eigenschaften der $p$-Bewertung] + Für $x, y \in \Z_p$ gilt + \[ + v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y), \quad v_p(x+y) \ge \min (v_p(x), v_p(y)) + .\pause{}\] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Folgt direkt durch Nachrechnen.\pause{} + %Falls $x = 0$ oder $y = 0$, dann trivial.\pause{} Seien also $x, y \neq 0$ und + %sei $x = p^{n}u$, $y = p^{m}v$ mit $u, v \in \Z_p^{\times }$ und $n, m \in \N_0$.\pause{} Dann folgt + %\[ + % xy = p^{n} u p^{n} v = p^{n+m} \underbrace{uv}_{\Z_p^{\times}} + %.\pause{}\] Also $v_p(xy) = n + m = v_p(x) + v_p(y)$.\pause{} Sei nun o.\pause{}E.\pause{} $n \ge m$.\pause{} Dann folgt + %\[ + % x + y = p^{n} u + p^{m} v = p^{m} (p^{n-m} u + v) + %.\pause{}\] Also folgt $v_p(x+y) \ge m = \min(v_p(x), v_p(y))$.\pause{} +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{korollar}[] + $\Z_p$ ist nullteilerfrei.\pause{} +\end{korollar} + +\begin{proof} + Seien $x, y \in \Z_p$ mit $xy = 0$.\pause{} Dann folgt + \[ + \infty = v_p(0) = v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y) + .\pause{}\] Also $v_p(x) = \infty$ oder $v_p(y) = \infty$, also $x = 0$ oder $y = 0$.\pause{} +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma}[Topologie auf $\Z_p$] + Die Topologie auf $\Z_p$ wird induziert durch die Metrik + \[ + d(x, y) = \exp(-v_p(x-y)) + .\pause{}\] $\Z_p$ ist vollständig.\pause% und $\Z$ ist dicht in $\Z_p$.\pause{} +\end{lemma} + +\begin{bem}[Bälle] + Es sei im Folgenden stets + \begin{salign*} + B(x, r) &= \{ y \in \Z_p \mid d(x,y) < r \} \text{ und }\\ + \overline{B(x,r)} &= \{y \in \Z_p \mid d(x,y) \le r\} + .\end{salign*}\pause{} + Da $d(x,y) \in \{ \exp(n) \mid n \in \Z\}$ gilt + \begin{salign*} + \overline{B(x, e^{-n})} &= \{ y \in \Z_p \mid v_p(x-y) \ge n\} \\ + &= \{ y \in \Z_p \mid v_p(x-y) > n-1\} \\ + &= B(x, e^{-(n-1)}) + .\end{salign*} +\end{bem} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proof}[Beweisskizze] + Grobe Beweisschritte + \begin{itemize}[<+->] + \item $d(\cdot , \cdot )$ ist eine Metrik. + \item Die offenen Mengen $V \subseteq \Z_p$ bezüglich der Produkttopologie sind von der Form + \[ + V = \bigcup_{v \in V} (v + p^{n_v} \Z_p) + .\] + \item Es ist $v + p^{n} \Z_p = B(v, e^{(-(n-1))})$. + \item $v + p^{n} \Z_p$ offen bezüglich der Produkttopologie, da $p^{n} \Z_p = \text{ker } \pi_n + = \pi_n^{-1}(\{0\})$. + \end{itemize} +\end{proof} + +%\begin{proofb} +% (Skizze). Zu zeigen ist hier +% \begin{itemize} +% \item +% \end{itemize} +% $d(\cdot , \cdot )$ ist eine Metrik (nachrechnen).\pause{} +% Sei nun +% \[ +% S \coloneqq \{ \pi_n^{-1}(B) \mid B \subseteq A_n, n \in \N\} +% .\pause{}\] +% Die offenen Mengen von $\Z_p$ bezüglich der Produkttopologie sind dann per Definition +% gegeben als $\langle S \rangle$, wobei mit $\langle \ldots \rangle$ die durch +% endliche Schnitte und beliebige Vereinigungen erzeugten Mengen gemeint sind.\pause{} +% +% Für $D \in S$ ist $D = \pi_n^{-1}(B) = (A_1, \ldots, A_{n-1}, B, A_{n+1}, \ldots) \subseteq \Z_p$ +% wobei $B \subseteq A_n$ für ein $n \in \N$.\pause{} Für $U \in \langle S \rangle$ ist dann +% $U = (B_1, \ldots, B_n, A_{n+1}, \ldots)$ mit $B_n \subsetneq A_n$ für $n \in \N_0$.\pause{} +% Sei nun $0 \in U$.\pause{} Dann ist $p^{n} \Z_p \subseteq U$.\pause{} +%\end{proofb} +% +%\end{frame} +% +%\begin{frame} +% +%\begin{proofi} +% Für beliebiges $V \subseteq \Z_p$ offen +% ex.\pause{} nun für $v \in V$ ein $n_v \in \N_0$, \pause{} s.d. $v + p^{n_v} \Z_p \subseteq V$.\pause{} Also folgt +% \[ +% V = \bigcup_{v \in V} (v + p^{n_v} \Z_p) +% .\pause{}\] +% Nun ist aber +% \[ +% a \in v + p^{n} \Z_p \iff v_p(a - v) \ge n \iff a \in \overline{B(v, e^{-n})} +% = B(v, e^{-(n-1)}) +% .\pause{}\] +% Also folgt +% \[ +% V = \bigcup_{v \in V} B(v; e^{-(n-1)}) +% \] also $V$ auch offen bezüglich $d(\cdot, \cdot )$.\pause{} Umgekehrt +% sei $U$ offen bezüglich $d(\cdot , \cdot )$.\pause{} Dann ist +% $U$ Vereinigung von offenen (bezüglich $d(\cdot , \cdot )$) Bällen.\pause{} +% Da $p^{n} \Z_p = \pi_n^{-1}(\{0\})$, sind diese auch offen bezüglich der Produkttopologie.\pause{} +%\end{proofi} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofe} + Z.z.: $\Z_p$ vollständig.\pause{} Da $\Z_p$ nach \ref{kor-compact} + kompakt ist, hat jede Folge in $\Z_p$ eine konvergente Teilfolge.\pause{} Insbesondere hat + also jede Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge und damit konvergiert jede Cauchy-Folge + in $\Z_p$.%\pause{} + +% Z.z.\pause{}: $\Z$ dicht in $\Z_p$.\pause{} Sei $x = (x_n)_{n \in \N} \in \Z_p$.\pause{} Setze $y_n \in \Z$, \pause{} s.d. +% $y_n \equiv x_n \; (\text{mod } p^{n}) $.\pause{} Dann ist für $n \in \N$ fest, +% $y_n \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) $ $\forall m \le n$, also +% $v_p(y_n - x) \ge n$.\pause{} Also +% \[ +% d(y_n, x) = \exp(-v_p(y_n - x)) \le \exp(-n) \xrightarrow{n \to \infty} 0 +% .\pause{}\] +\end{proofe} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{definition} + Der Quotientenkörper der ganzen $p$-adischen Zahlen $\Z_p$ + heißt Körper der $p$-adischen Zahlen + \[ + \Q_p \coloneqq Q(\Z_p) + .\pause{}\] +\end{definition} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bem} + \begin{enumerate} + \item Ein Element $x = \frac{a}{b} \in \Q_p^{\times}$ mit $a, b \in \Z_p$, $b \neq 0$ + kann eindeutig als $x = p^{r}w$ mit $r \in \Z$ und $w \in \Z_p^{\times }$ dargestellt werden,\pause{} + denn nach \ref{le-decomp} ist + \[ + x = \frac{a}{b} = \frac{p^{n}u}{p^{m}v} = p^{n-m} \underbrace{u v^{-1}}_{\in \Z_p^{\times }} + .\pause{}\] + Damit setzt sich die Definition von $v_p$ und $d(\cdot , \cdot )$ + auf $\Q_p$ fort.\pause{} Es gilt + \[ + x \in \Z_p \iff v_p(x) \ge 0 \iff v_p(x) > -1 \iff x \in B(0, e) + .\]\pause{} + \item Nach (1) ist also $\Q_p = \Z_p[p^{-1}]$.\pause{} + \end{enumerate} +\end{bem} + +\end{frame} + +%\begin{frame} +% +%\begin{lemma}[Topologie auf $\Q_p$] +% $\Q_p$ mit der von $\Z_p$ geerbten Metrik $d(x,y) = \exp(-v_p(x-y))$ ist +% lokal kompakt, \pause{} d.h. jedes Element $x \in \Q_p$ besitzt eine kompakte Umgebung. +% $\Q_p$ enthält $\Z_p$ als offenen Teilring.\pause{} %$\Q$ ist dicht in $\Q_p$.\pause{} +%\end{lemma} +% +%\begin{proof} +% Da $x \in \Z_p \iff v_p(x) \ge 0 \iff v_p(x) > -1$ folgt $\Z_p = \overline{B(0, 1)} = B(0, e)$, +% also $\Z_p$ offen.\pause{} +% Da $\Z_p$ kompakt, folgt, dass +% $B(x, e)$ kompakt $\forall x \in \Q_p$, also $\Q_p$ lokal kompakt.\pause{} +% %Außerdem ist +% %$\Z$ dicht in $\Z_p$, \pause{} d.h. für $x \in \Q_p$ mit $x = p^{k} u$ und $k \in \Z$, $u \in \Z_p^{\times }$ ex.\pause{} +% %eine Folge $(y_n)_{n \in \N} \subseteq \Z$ mit $y_n \xrightarrow{n \to \infty} u$.\pause{} Dann +% %setze $z_n \coloneqq p^{k} y_n \in \Q$.\pause{} Dann folgt direkt +% %$z_n = p^{k} y_n \xrightarrow{n \to \infty} p^{k} u = x$.\pause{} +%\end{proof} +% +%\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bem} + \begin{enumerate} + \item $\Q_p$ kann auch als Vervollständigung von $\Q$ bezüglich der $p$-adischen + Metrik $d(\cdot , \cdot )$ definiert werden (analog zu $\R$ als + Vervollständigung von $\Q$ bezüglich $|\cdot |$).\pause{} + Somit ist auch $\Q$ dicht in $\Q_p$.\pause{} + \item Es ist leicht nachzurechnen, dass $d(\cdot , \cdot )$ die ultrametrische Ungleichung + (auch starke Dreiecksungleichung) erfüllt, \pause{} d.h. + \[ + d(x, z) \le \max(d(x,y), d(y,z)) + \] für $x, y, z \in \Q_p$.\pause{} Damit folgt das eine Folge + $(a_n)_{n \in \N} \subseteq \Q_p$ genau dann konvergiert, \pause{} wenn + $\lim_{n \to \infty} (u_{n+1} - u_n) = 0$ \pause{}. + \end{enumerate} +\end{bem} + +\end{frame} + +\subsection{$p$-adische Gleichungen} + +\begin{frame} + \frametitle{$p$-adische Gleichungen} + Wir wollen nun Gleichungen in den ganzen $p$-adischen Zahlen untersuchen.\pause{} Also + Gleichungssysteme der folgenden Art\pause{} + \begin{salign*} + f^{(1)}(X_1, \ldots, X_m) &= 0 \\ + \vdots \\ + f^{(r)}(X_1, \ldots, X_m) &= 0 + \end{salign*} mit Polynomen $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$. +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma}[] + Sei $D_1 \leftarrow D_2 \leftarrow \ldots$ ein projektives System und + $D = \varprojlim \; (D_n, p_n)$ sein projektiver Limes.\pause{} Falls $D_n \neq \emptyset$ und endlich + folgt $D \neq \emptyset$.\pause{} + \label{le-projlim} +\end{lemma} + +\begin{proofb} + Sei zunächst $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$ surjektiv.\pause{} Dann ex.\pause{} für alle $x_{n} \in D_{n}$ + ein $x_{n+1} \in D_{n+1}$, \pause{} s.d. $p_{n}(x_{n+1}) = x_n$.\pause{} Da $D_1 \neq \emptyset$ folgt + $D \neq \emptyset$ induktiv.\pause{} + + Im Allgemeinen bezeichne für $m,n \in \N$: + \[ + D_{n,m} \coloneqq (p_{n} \circ \ldots \circ p_{n+m-1})(D_{n+m}) + .\pause{}\] Da $D_{n+m} \neq \emptyset$ folgt $D_{n,m} \neq \emptyset$ und da + $D_k$ endlich folgt $\# p_k(D_{k+1}) \le \# D_{k+1}$ $\forall k \in \N$.\pause{} D.h. $\#D_{n,m}$ + ist monoton fallend in $m$ bei festem $n$.\pause{} + Da $D_{n,m} \neq \emptyset$ wird die Folge stationär, \pause{} d.h. + es ex.\pause{} ein $m_0 \in \N$, \pause{} s.d. $D_{n, m_0} = D_{n, m}$ $\forall m \ge m_0$.\pause{} + Sei $E_n$ dieser Grenzwert.\pause{} +\end{proofb} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofe} + Nun ist $p_{n}(E_{n+1}) = E_n$ (nachrechnen).\pause{} + %Beh.\pause{}: $p_{n}(E_{n+1}) = E_n$ $\forall n \in \N$.\pause{} Sei dazu $n \in \N$.\pause{} Nun ex.\pause{} ein + %$m_0 \in \N$,\pause{} s.d. $E_{n+1} = D_{n+1, m_0}$ und + %$E_n = D_{n, m_0} = D_{n, m_0+1}$.\pause{} Damit folgt + %\begin{salign*} + % p_{n}(E_{n+1}) + % &= p_{n}(D_{n+1, m_0}) \\ + % &= p_{n}((p_{n+1} \circ \ldots \circ p_{n+m_0})(D_{n+1+m_0})) \\ + % &= (p_{n} \circ p_{n+1} \circ \ldots \circ p_{n+m_0})(D_{n+m_0+1}) \\ + % &= D_{n, m_0+1} \\ + % &= E_n + %.\pause{}\end{salign*} + + Also sind die Einschränkungen $p_{n}|_{E_{n+1}}\colon E_{n+1} \to E_n$ surjektiv,\pause{} + $E_n \neq \emptyset$ und endlich, \pause{} also + folgt nach der Vorüberlegung $\varprojlim \; (E_n, p_n|_{E_n}) \neq \emptyset$, \pause{} also + insbesondere $D \neq \emptyset$.\pause{} +\end{proofe} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{satz}[] + Seien $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ Polynome in den ganzen $p$-adischen Zahlen.\pause{} Dann + sind äquivalent: + \begin{enumerate}[(i)] + \item Die $f^{(i)}$ haben eine gemeinsame Nullstelle in $(\Z_p)^{m}$.\pause{} + \item Für $n \in \N$ haben die Polynome $f^{(i)} \; (\text{mod } p^{n}) $ eine + gemeinsame Nullstelle in $(A_n)^{m}$.\pause{} + \end{enumerate} + \label{satz-nsequiv} +\end{satz} + +\begin{proof} + Sei $D = \{ \text{gemeinsame NS von } f^{(i)} \text{ in } (\Z_p)^{m} \} \subseteq (\Z_p)^{m}$ + und\\ + $D_n \coloneqq \{ \text{ gemeinsame NS von } f^{(i)} \text{ in } (A_n)^{m} \; (\text{mod } p^{n}) \} $.\pause{} + Es bezeichne $(\phi_{n})^m\colon (A_{n+1})^{m} \to (A_n)^{m}$ die Abbildung, die $\phi_{n}$ + komponentenweise anwendet.\pause{} Dann ist $(D_n, (\phi_n)^m)$ ein projektives System + mit $D = \varprojlim \; (D_n, (\phi_n)^m)$.\pause{} + + Sei nun $D \neq \emptyset$ und $x \in D$.\pause{} Dann ist $\pi_n(x) \in D_n$ $\forall n \in \N$.\pause{} Seien umgekehrt + $D_n \neq \emptyset$ $\forall n \in \N$.\pause{} Da $D_n \subseteq A_n$ endlich folgt mit + \ref{le-projlim} $D \neq \emptyset$.\pause{} +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{definition}[] + Ein Element $x = (x_1, \ldots, x_m) \in (\Z_p)^{m}$ (bzw.\pause{} $\in (A_n)^{m}$) heißt primitiv, falls ein + $x_i \in \Z_p^{\times}$ (bzw.\pause{} $\in A_n^{\times}$) ist.\pause{} +\end{definition} + +\begin{definition}[] + Sei $R$ ein Ring.\pause{} Ein Polynom $f \in R[X_1, \ldots, X_m]$ heißt + homogen vom Grad $k$, falls in $R[X_1, \ldots, X_m][T]$ gilt + \[ + f(TX_1, \ldots, TX_m) = T^{k} f(X_1, \ldots, X_m) + .\pause{}\] Ein homogenes Polynom vom Grad $2$ heißt quadratische Form.\pause{} +\end{definition} + +\begin{bsp}[] + Das Polynom $f = X^5 + X^3Y^2 + XY^4 \in \Z[X,Y]$ ist homogen, aber $g = X^2 + X + Y^2 \in \Z[X,Y]$ ist nicht + homogen.\pause{} +\end{bsp} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{korollar}[] + Seien $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ homogene Polynome.\pause{} Dann sind äquivalent + \begin{enumerate}[(i)] + \item Die $f^{(i)}$ haben eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle in $(\Q_p)^{m}$.\pause{} + \item Die $f^{(i)}$ haben eine gemeinsame primitive Nullstelle in $(\Z_p)^{m}$.\pause{} + \item Für $n \in \N$ haben die Polynome $f^{(i)} \; (\text{mod } p^{n}) $ eine gemeinsame + primitive Nullstelle.\pause{} + \end{enumerate} +\end{korollar} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proof} + (i)$\implies$(ii): Sei $x = (x_1, \ldots, x_m)$ eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle + der $f^{(i)}$.\pause{} Dann setze + \[ + k \coloneqq \min(v_p(x_1), \ldots, v_p(x_m)) \text{ und } y = p^{-k} x + .\] \pause{}Sei $i \in \{1, \ldots, m\} $, \pause{} s.d. $k = v_p(x_i)$.\pause{} Dann ist + $v_p(y_i) = v_p(p^{-k}) + v_p(x_i) = -k + k = 0$.\pause{} Also $y_i \in \Z_p^{\times }$ und damit $y$ primitiv.\pause{} + Außerdem gilt für ein $n \in \N$ + \[ + f^{(i)}(y) = f^{(i)}(p^{-k} x) \quad \stackrel{\text{Homog.}}{=} \quad p^{-nk} f^{(i)}(x) = 0 + .\]\pause{} + (ii)$\implies$(i) ist trivial und (ii) $\iff$ (iii) folgt aus \ref{satz-nsequiv}. +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{bem}[] + Die Voraussetzung homogenes Polynom ist notwendig,\pause{} wie am Beispiel: + \[ + f = pX - 1 \in \Z_p[X] + \] deutlich wird,\pause{} denn $f(p^{-1}) = 0$,\pause{} + aber im Körper $\Q_p$ hat das lineare Polynom $f$ maximal + eine Nullstelle und $p^{-1} \not\in \Z_p$.\pause{} +\end{bem} + +Wir möchten nun betrachten, unter welchen Umständen eine Lösung $\; (\text{mod } p^{n}) $ zu einer +echten Lösung in $\Z_p$ entwickelt werden kann.\pause{} Dazu verwenden wir die $p$-adische Version +des Newton Verfahrens.\pause{} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{lemma}[Henselsches Lemma] + Sei $f = a_mX^{m} + \ldots + a_0 \in \Z_p[X]$ und $f' = a_m m X^{m-1} + \ldots + a_1 \in \Z_p[X]$ seine + Ableitung.\pause{} Weiter sei $x \in \Z_p$, \pause{} s.d. $f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $ für ein $n \in \N$ + und $v_p(f'(x)) = k$ mit $0 \le 2k < n$.\pause{} Dann existiert ein $y \in \Z_p$,\pause{} s.d. + \[ + f(y) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1}), v_p(f'(y)) = k \text{ und } y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) + .\] + \label{le-hensel} +\end{lemma} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofb} + Nach Voraussetzung ist $f(x) = p^{n}b$ und $f'(x) = p^{k}c$ mit + $b \in \Z_p$ und $c \in \Z_p^{\times }$.\pause{} + Dann setze $z \coloneqq -b c^{-1}$ und $y \coloneqq x + p^{n-k}z$.\pause{} Damit erfüllt + $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $.\pause{} Der binomische Lehrsatz + liefert + \begin{salign*} + a_i y^{i} = a_i \sum_{j=0}^{i} \binom{i}{j} x^{i-j} (p^{n-k} z)^{j} + = a_i x^{i} + a_i i x^{i-1} p^{n-k} z + p^{2n-2k} z^2 R_i + \end{salign*} für $R_i \in \Z_p$.\pause{} Aufsummieren und addieren von $a_0$ liefert mit $R \in \Z_p$ + eine ,,Taylorentwicklung'': + \begin{salign*} + f(y) &= f(x) + p^{n-k} z f'(x) + p^{2n-2k} z^2 R + .\end{salign*} +\end{proofb} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofe} + Da $2k < n$ folgt $2n - 2k \ge n+1$.\pause{} Einsetzen liefert nun + \begin{salign*} + f(y) &= p^{n}b - p^{n-k} b c^{-1} p^{k} c + p^{2n-2k} z^2 R \\ + &= p^{2n-2k} z^2 R \\ + &\equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1}) + .\end{salign*}\pause{} + Anwenden der ,,Taylorentwicklung'' auf $f'$ liefert\pause{} + \begin{salign*} + f'(y) &= f'(x) + p^{n-k} z f''(x) + p^{2n-2k} z^2 R \\ + &= p^{k} c + p^{n-k} z f''(x) + p^{2n-2k}z^2R \\ + &= p^{k}(\underbrace{c + p^{n-2k} z f''(x) + p^{2n-3k} z^2 R}_{=: s}) + .\end{salign*}\pause{} + Es ist $n-2k > 0$ und $2n - 3k > 0$, aber $c \in \Z_p^{\times }$,\pause{} also $p \nmid s$ und damit + $s \in \Z_p^{\times }$ und $v_p(f'(y)) = k$. +\end{proofe} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +Zum Studium der quadratischen Formen benötigen wir noch die auf $m$ Variablen verallgemeinerte Version +des Henselschen Lemmas.\pause{} + +\begin{satz} + Sei $f \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ und $x = (x_i) \in (\Z_p)^{m}$, \pause{} s.d. + $f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $.\pause{} Weiter existiere ein + $1 \le j \le m$, \pause{} s.d. $v_p\left( \frac{\partial f}{\partial X_j}(x) \right) = k$ mit + $0 \le 2k < n$.\pause{} Dann existiert eine Nullstelle $y \in (\Z_p)^{m}$ von $f$ mit + $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $.\pause{} + \label{satz-hensel} +\end{satz} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofb} + Sei zunächst $m = 1$.\pause{} Mit \ref{le-hensel} angewendet auf $x^{(0)} \coloneqq x$, erhält man + $x^{(1)} \in \Z_p$ mit + \[ + f(x^{(1)}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1})\text{, } + v_p(f'(x^{(1)})) = k \text{ und } + x^{(1)} \equiv x^{(0)} \; (\text{mod } p^{n-k}) + .\pause{}\] Wende \ref{le-hensel} nun auf $x^{(1)}$ und $n+1$ an.\pause{} Induktiv erhält man eine Folge + $(x^{(q)})_{q \in \N}$ mit den Eigenschaften + \[ + x^{(q+1)} \equiv x^{(q)} \; (\text{mod } p^{n+q-k}) \text{ und } f(x^{(q)}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+q}) + .\pause{}\] Es gilt nun $v_p(x^{(q+1)} - x^{(q)}) \ge n+q-k$, also + $d(x^{(q+1)}, x^{(q)}) \xrightarrow{q\to \infty} 0$.\pause{} Also ist $x^{(q)}$ eine Cauchy Folge + und konvergiert gegen ein $y \in \Z_p$.\pause{} Dann gilt + \[ + 0 = \lim_{q \to \infty} f(x^{(q)}) = f(\lim_{q \to \infty} x^{(q)}) = f(y) + \] und $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $.\pause{} +\end{proofb} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{proofe} + Sei nun $m > 1$.\pause{} Ersetze in $f$ die Variablen $X_i$ durch $x_i$ für $i \neq j$.\pause{} + Dann sei $g \in \Z_p[X_j]$ das entstandene Polynom in einer Variablen.\pause{} Wende nun den Fall für $m = 1$ + auf $g$ an.\pause{} Dann erhalten wir ein $y_j \in \Z_p$ mit $y_j \equiv x_j \; (\text{mod } p^{n-k}) $ + und $g(y_j) = 0$.\pause{} Setze nun $y_i \coloneqq x_i$ für $i \neq j$.\pause{} Dann ist + $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $ und + \[ + f(y) = f(y_1, \ldots, y_m) = f(x_1, \ldots, x_{j-1}, y_j, x_{j+1}, \ldots, x_m) = g(y_j) = 0 + .\pause{}\] +\end{proofe} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +Aus dem letzten Satz können wir einfache Schlussfolgerungen für quadratische Formen ziehen.\pause{} + +\begin{korollar}[] + Sei $f \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ und $x \in \Z_p$ mit + \[ + f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p) + \] und es sei mind.\pause{} eine partielle Ableitung + $\frac{\partial f}{\partial X_j}(x) \not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $, dann hebt sich $x$ + zu einer echten Nullstelle.\pause{} + \label{kor-1} +\end{korollar} + +\begin{proof} + Das ist der Fall $n = 1$ und $k = 0$ in \ref{satz-hensel}.\pause{} +\end{proof} + +\end{frame} + +\begin{frame} + +\begin{korollar}[] + Sei $p\neq 2$ und $f = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} X_i X_j \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ eine + quadratische Form mit $a_{ij} = a_{ji}$ und sei $ p \nmid \text{det}(a_{ij})$.\pause{} Sei weiter $a \in \Z_p$.\pause{} Dann + hebt sich jede primitive Lösung der Gleichung $f(x) \equiv a \; (\text{mod } p) $ zu einer + echten Lösung.\pause{} +\end{korollar} +\begin{proof} + Mit \ref{kor-1} g.z.z., dass mind.\pause{} eine partielle Ableitung $\; (\text{mod } p) $ nicht verschwindet.\pause{} + Sei $A = (a_{ij}) \in \Z_p^{m \times m}$.\pause{} Da $\text{det}(a_{ij}) \not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $ + folgt $\text{det}(a_{ij}) \in \mathbb{F}_p^{\times }$ und damit $\text{ker } A = \{0\} $.\pause{} Es gilt weiter + \[ + \frac{\partial f}{\partial X_i} = 2 \sum_{j=1}^{m} a_{ij}X_j \text{ also } + \begin{pmatrix} \partial_{X_i} f(x) \\ \vdots \\ \partial_{X_m} f(x) \end{pmatrix} + = 2 A x + .\pause{}\] Da $x$ primitiv ist $x \neq 0 \in \mathbb{F}_p^{m}$ und damit mind.\pause{} eine partielle Ableitung + $\not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $.\pause{} +\end{proof} + +%\begin{korollar}[] +% Sei $p=2$ und $f = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} X_i X_j \in \Z_2[X_1, \ldots, X_m]$ +% eine quadratische Form mit $a_{ij} = a_{ji}$.\pause{} Weiter sei $a \in \Z_2$ und $x$ eine primitive Lösung +% der Gleichung $f(x) \equiv a \; (\text{mod } 8) $.\pause{} Dann hebt sich $x$ zu einer echten Lösung, falls +% nicht alle partiellen Ableitungen $\; (\text{mod } 4) $ verschwinden.\pause{} Dies ist erfüllt, wenn +% $\text{det}(a_{ij})$.\pause{} +%\end{korollar} + +% ???? + +\end{frame} + +\end{document} diff --git a/sose2021/seminar/skript.tex b/sose2021/seminar/skript.tex new file mode 100644 index 0000000..d9bb828 --- /dev/null +++ b/sose2021/seminar/skript.tex @@ -0,0 +1,781 @@ +\documentclass{../../lecture} + +\usepackage[]{tikz-cd} + +\begin{document} + +\stepcounter{section} +\section{p-adische Zahlen} + +\subsection{Der Ring $\Z_p$ und sein Quotientenkörper $\Q_p$} + +Sei $p \in \N$ eine im Folgenden fest gewählte Primzahl. + +Genauso wie eine natürliche Zahl $m \in \N$ bezüglich der Basis $10$ dargestellt werden kann, +ist das auch bezüglich der Basis $p$ möglich. Jede natürliche Zahl besitzt also eine +$p$-adische Entwicklung der Form +\[ +m = a_0 + a_1 p + \ldots + a_n p^{n} +\] wobei die Koeffizienten $a_i$ in $\{0, 1, \ldots, p-1\} $ liegen. Die Darstellung ist damit eindeutig. + +\begin{bsp}[] + Diese Darstellung finden wir durch sukzessives Dividieren mit Rest. Für $n = 216$ erhalten + wir für $p = 5$ + \begin{salign*} + 216 &= 1 + 5 \cdot 43 \\ + 43 &= 3 + 5 \cdot 8 \\ + 8 &= 3 + 5 \cdot 1 \\ + 1 &= 1 + \intertext{Also insgesamt} + 216 &= 1 + 3 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^3 + .\end{salign*} +\end{bsp} + +Um nun auch negative und sogar gebrochene Zahlen darstellen zu können, gehen wir zu unendlichen +Reihen über: + +\begin{definition}[Ganze $p$-adische Zahlen] + Eine ganze $p$-adische Zahl ist eine formale unendliche Reihe + \[ + \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + \] mit $0 \le a_i < p$ für $i \in \N_0$. Die Menge dieser formalen Reihen + wird mit $\Z_p$ bezeichnet. +\end{definition} +\begin{bem}[] + $\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}$ ist rein formal gemeint, d.h. bezeichnet einfach + die Folge der Partialsummen + \[ + s_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{i} \in \Z, \quad n \in \N + .\] +\end{bem} + +Womit können wir jetzt die ganzen Zahlen $\Z$ in den $p$-adischen Zahlen $\Z_p$ identifizieren? +Wie kann +also beispielsweise $-1$ in $\Z_p$ dargestellt werden? +Dazu stellen wir folgendes fest + +\begin{lemma} + Sei $a \in \Z$. + Die Restklasse $a \; \text{mod } p^{n} \in \Z / p^{n} \Z$ wird in eindeutiger + Darstellung durch + \[ + a \equiv a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) + \] gegeben, wobei $0 \le a_i < p$ für $i \in \{0, \ldots, n-1\} $. + \label{le-eind-rest} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Per Induktion. Für $n = 1$ ist offenbar $a \equiv a_0 \; (\text{mod } p) $ mit $0 \le a_0 < p$. + Sei nun die Behauptung für $n-1$ gezeigt. Dann ex. eine eindeutige Darstellung + \begin{salign*} + a &\equiv a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} \; (\text{mod } p^{n-1}) + \intertext{Also} + a &= a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} + g p^{n-1} + \intertext{ + für ein $g \in \Z$. Sei $0 \le a_{n-1} < p$, s.d. $g \equiv a_{n-1} \; (\text{mod } p) $, also + $g = a_{n-1} + h p$ für $h \in \Z$. $a_{n-1}$ ist also eindeutig durch $a$ bestimmt und es + folgt + } + a &= a_0 + \ldots + a_{n-2} p^{n-2} + a_{n-1} p^{n-1} + h p^{n} + \end{salign*} +\end{proof} + +Jede ganze Zahl $a$ definiert nun eine Folge von Restklassen $\overline{s_n} = \overline{a} \in \Z / p^{n} \Z$ +für $n \in \N$, die nach \ref{le-eind-rest} von der Gestalt +\begin{salign*} + s_1 &\equiv a_0 \; (\text{mod } p) \\ +s_2 &\equiv a_0 + a_1p \; (\text{mod } p^2) \\ +&\;\;\vdots +\end{salign*} +sind mit eindeutig bestimmten Koeffizienten $a_0, a_1, \ldots \in \{0, \ldots, p-1\} $. Die Zahlenfolge +\[ +s_n = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} +\] definiert nun eine ganze $p$-adische Zahl $\sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} \in \Z_p$, die +wir die $p$-adische Entwicklung von $a$ nennen. + +\begin{bsp} + Was ist jetzt die $p$-adische Entwicklung von $-1$? Es ist + \begin{salign*} + -1 &= (p-1) + (p-1)p + \ldots + (p-1)p^{n-1} - p^{n} \\ + \text{also }-1 &\equiv (p-1) + (p-1)p + \ldots + (p-1)p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) + .\end{salign*} + Es ist also $-1 = (p-1) + (p-1)p + (p-1)p^2 + \ldots \in \Z_p$ die $p$-adische Entwicklung von $-1$. + \label{bsp-minus1} +\end{bsp} + +Um $\Z_p$ eine algebraische Struktur zu geben, könnten wir mit diesen Reihen mit Überträgen +rechnen, so wie wir es von der Basis $10$ gewohnt sind. Einfacher wird es jedoch, wenn wir +eine ganze $p$-adische Zahl $x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i}$ mit +der Folge der Restklassen $\overline{s_n} \in \Z / p^{n} \Z$ der Partialsummen identifizieren. + +Dazu benötigen wir noch eine Vorüberlegung und einige Begriffe. + +\begin{definition} + Ein projektives System ist + eine Folge von Mengen $(D_n)_{n \in \N}$ und eine Folge + von Abbildungen $(p_n)_{n \in \N}$ mit $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$ + \[ + D_1 \xleftarrow{p_1} D_2 \leftarrow \ldots \leftarrow D_{n} \xleftarrow{p_{n}} D_{n+1} \leftarrow \ldots + .\] + Die Teilmenge + \[ + D = \varprojlim \; (D_n, p_n) = + \left\{ (a_n)_{n \in \N} \in \prod_{n=1}^{\infty} D_n \mid p_n(a_{n+1}) = a_n \forall n \in \N \right\} + \] heißt projektiver Limes des Systems. +\end{definition} + +\begin{bem}[] + Falls die $D_n$ Ringe und die $p_n$ Ringhomomorphismen sind, wird + $\varprojlim \; (D_n, p_n)$ zum Teilring des Produktrings $\prod_{n=1}^{\infty} D_n $ + (leicht nachzurechnen). +\end{bem} + +Setze im Folgenden $A_n \coloneqq \Z / p^{n} \Z$. Dann erhalten wir für $n \in \N$ einen +kanonischen Homomorphismus +\begin{salign*} + \phi_{n}\colon A_{n+1} &\to A_n \\ + \overline{a} &\mapsto \overline{a} +.\end{salign*} + + +\begin{satz} + Ordnet man jeder ganzen $p$-adischen Zahl + \[ + x = \sum_{i=0}^{\infty} a_i p^{i} + \] die Folge $(\overline{s}_n)_{n \in \N}$ der Restklassen + \[ + \overline{s}_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^{i} \; (\text{mod } p^{n}) \in A_n + \] zu, so erhält man eine Bijektion + \[ + \Z_p \xrightarrow{\sim} \varprojlim \; (A_n, \phi_n) + .\] +\end{satz} + +\begin{proof} + Die Zuordnung ist wohldefiniert, da + \[ + s_{n+1} = a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n} p^{n} + \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) + = s_n + .\] Die Bijektivität folgt direkt aus \ref{le-eind-rest} +\end{proof} + +\begin{bem}[] + Die Koeffizienten der $p$-adischen Entwicklung von $a \in \Z$ ergeben sich durch die Kongruenzen + \[ + a \equiv a_0 + a_1 p + \ldots + a_{n-1} p^{n-1} \; (\text{mod } p^{n}) + \] mit $0 \le a_i < p$. Bei der Identifizierung $\Z_p = \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$ geht + $a \in \Z$ daher über in + \[ + (a \; \text{mod } p, a \; \text{mod } p^2, a \; \text{mod } p^{3} , \ldots ) \in + \prod_{n=1}^{\infty} A_n + .\] + $\Z$ wird so zum Teilring von $\varprojlim \; (A_n, \phi_n)$. + \label{bem-z-ident} +\end{bem} + +\begin{bsp}[$\ref{bsp-minus1}$ fortgesetzt] + Mit \ref{bem-z-ident} folgt also + \[ + -1 = (p-1, p^2-1, p^{3}-1, \ldots) \in \varprojlim \; (A_n, \phi_n) + .\] +\end{bsp} + +Wir identifizieren nun im Folgenden stets $\Z_p = \varprojlim \; (A_n, \phi_n)$. $\pi_n$ bezeichne +den kanonischen Projektionshomomorphismus $\pi_n\colon \Z_p \to A_n$. + +\begin{bem} + \begin{enumerate} + \item Per Definition ist $x \in \Z_p$ also ein Element $x \in \prod_{n=1}^{\infty} \Z / p^{n}\Z $ + mit der ,,Kompatibilitätsbedingung'': + \[ + x_{n+1} \equiv x_n \text{ (mod } p^{n}) + .\] + \item $\Z_p$ erbt als Teilring nun also die komponentenweise Addition + und Multiplikation des Produktrings + $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $, d.h. für $(a_n)_{n \in \N}, (b_n)_{n \in \N} \in \Z_p$ gilt + \[ + (a_n)_{n \in \N} + (b_n)_{n \in \N} = (a_n + b_n)_{n \in \N} + \quad + (a_n)_{n \in \N} \cdot (b_n)_{n \in \N} = (a_n \cdot b_n)_{n \in \N} + .\] + \item Versieht man $A_n$ mit der diskreten Topologie (d.h. alle Teilmengen sind offen) + und $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $ mit der Produkttopologie (die von den Urbildern der + kanonischen Projektionen $\pi_n$ erzeugt wird), wird $\Z_p$ zu einem + topologischen Ring. + \end{enumerate} +\end{bem} + +\begin{satz}[von Tychonoff] + Ist $(X_i)_{i \in I}$ eine Familie kompakter topologischer Räume, dann ist + auch das kartesische Produkt $\prod_{i \in I}^{} X_i $ kompakt bezüglich der + Produkttopologie. + \label{satz-tycho} +\end{satz} + +\begin{proof} + Der Satz ist äquivalent zum Auswahlaxiom. Ein Beweis findet sich beispielsweise + in Klaus Jänich: \textit{Topologie}. +\end{proof} + +\begin{korollar}[] + $\Z_p$ ist kompakt. \label{kor-compact} +\end{korollar} + +\begin{proof} + Nach \ref{satz-tycho} ist $\prod_{n=1}^{\infty} A_n $ kompakt. Außerdem ist + \[ + \Z_p = \bigcap_{n \in \N} + \left\{ x \in \prod_{n=1}^{\infty} A_n \mid \phi_{n}(\pi_{n+1}(x)) = \pi_n(x)\right\} + = \bigcap_{n \in \N} f_n^{-1}(\{0\}) + \] mit $f_n \colon \prod_{n=1}^{\infty} A_n \to A_n, x \mapsto \phi_{n}(\pi_{n+1}(x)) - \pi_n(x)$. + Es ist $f_n$ stetig, da $\pi_n$ per Definition der Produkttopologie und $\phi_n$ als + Abbildung zwischen diskreten Räumen stetig sind. Da $\{0\} \subseteq A_n$ abgeschlossen, folgt + die Behauptung. +\end{proof} + +\begin{lemma} + Es ist $\pi_n$ surjektiv und $\text{ker } \pi_n = p^{n} \Z_p$ $\forall n \in \N$. + Insbesondere gilt + \[ + \Z_p / p^{n} \Z_p \stackrel{\sim }{=} \Z / p^{n} \Z = A_n + .\] + \label{le-kanproj} +\end{lemma} +\begin{proof} + Die Surjektivität ist klar. Z.z.: $\text{ker } \pi_n = p^{n} \Z_p$. Sei dazu $x \in \Z_p$. + Dann ist $p^{n} x_n \equiv 0 \; (\text{mod } p^n)$. Also $\pi_n(p^n x) = 0$. Damit + $p^{n} \Z_p \subseteq \text{ker } \pi_n$. + + Sei nun $x = (x_m)_{m \in \N} \in \text{ker } \pi_n$ + und $m \ge n$. + Wegen Kompatibilität folgt + \[ + x_m \equiv x_n \; (\text{mod } p^{n}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) + .\] Also folgt $x_m \in p^{n} A_m$. Betrachte nun + \begin{salign*} + \Psi_m\colon \Z &\to p^{n} \Z / p^{m} \Z = p^{n}A_m\\ + a &\mapsto \overline{p^{n} a} + .\end{salign*} + Es ist $\Psi_m$ Gruppenhomomorphismus, denn für $a, b \in \Z$ ist + \[ + \Psi_m(a + b) = \overline{p^{n}(a+b)} = \overline{p^{n}a + p^{n}b} = \Psi_m(a) + \Psi_m(b) + .\] + Außerdem ist $\Psi_m$ offensichtlich surjektiv. Weiter gilt für $a \in \Z$: + \[ + a \in \text{ker } \Psi_m \iff p^{n} a \equiv 0 \; (\text{mod } p^{m}) \iff p^{m} \mid p^{n} a + \iff a = p^{m-n}b \text{ für ein } b \in \Z + .\] Damit folgt $\text{ker } \Psi_m = p^{m-n} \Z$. + Also liefert der Homomorphiesatz einen Gruppenisomorphismus + \begin{salign*} + \psi_m \colon A_{m-n} &\to p^{n}A_m \\ + \overline{a} &\mapsto \overline{p^{n}a} + .\end{salign*} + Für $m > n$ setze nun $y_{m-n} \coloneqq \psi_m^{-1}(x_m)$ und $y \coloneqq (y_{i})_{i \in \N} + \in \prod_{k=1}^{\infty} A_k $. Es + gilt also + \[ + x_m = \psi_m(y_{m-n}) \equiv p^{n} y_{m-n} \; (\text{mod } p^{m}) + .\] + + Es bleibt zu zeigen, dass $p^{n}y = x$ und $y \in \Z_p$. + + + \begin{itemize} + \item Z.z.: $x = p^{n} y$. Für $m \le n$ ist $x_m = 0 = p^{n} y_m$. Für $m > n$ ist wegen Kompatibilität + \[ + p^{n} y_m = p^{n} y_{m+n-n} \equiv x_{m+n} \; (\text{mod } p^{m+1}) \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) + .\] + Insgesamt folgt also $x = p^{n}y$. + \item Z.z.: $y \in \Z_p$. Dazu betrachte + + \[\begin{tikzcd} + A_{m+1-n}\arrow{r}{\psi_{m+1}} \arrow[swap]{d}{\phi_{m-n}} & p^{n}A_{m+1} \arrow{d}{\phi_{m}} \\ + A_{m-n} \arrow{r}{\psi_{m}} & p^{n}A_m + \end{tikzcd} + \] + Dieses Diagramm kommutiert, denn für $\overline{a} \in A_{m+1-n}$ gilt + \[ + \psi_m(\phi_{m-n}(\overline{a})) = \psi_m(\overline{a}) = \overline{p^{n}a} + = \phi_{m}(\overline{p^{n}a}) = \phi_{m}(\psi_{m+1}(\overline{a})) + .\] Also ist $\psi_m \circ \phi_{m-n} = \phi_{m} \circ \psi_{m+1}$. Und damit auch + $\phi_{m-n} \circ \psi_{m+1}^{-1} = \psi_{m}^{-1} \circ \phi_{m}$ $(*)$. Also + folgt damit + \begin{salign*} + \phi_{m-n}(y_{m+1-n}) &= \phi_{m-n}(\psi^{-1}_{m+1}(x_{m+1})) \\ + &\stackrel{(*)}{=} \psi_{m}^{-1}(\phi_{m}(x_{m+1})) \\ + &\stackrel{\text{Komp.}}{=} \psi_{m}^{-1}(x_m) \\ + &= y_{m-n} + .\end{salign*} + Und damit $y \in \Z_p$. + \end{itemize} + Insgesamt folgt also $\text{ker } \pi_n = p^{n}\Z_p$. Die Isomorphie folgt jetzt direkt aus + dem Homomorphiesatz. +\end{proof} + +\begin{lemma}[] + Für $u \in \Z_p$ sind äquivalent + \begin{enumerate}[(i)] + \item $u \in \Z_p^{\times }$ + \item $p \nmid u$ + \item $0 \neq u_1 \in \Z / p \Z$ + \end{enumerate} +\end{lemma} +\begin{proof} + (ii)$\iff$(iii) ist klar wegen Kompatibilität. b.z.z. (i) $\iff$ (ii). Sei dazu + $u = (\overline{u_n})_{n\in \N} \in \Z_p^{\times }$. + Dann $\exists v = (\overline{v_n})_{n \in \N} \in \Z_p$ + mit $uv = 1$ insb. $\overline{u_1 v_1} \equiv 1 \; (\text{mod } p) $ also + insbesondere $p \nmid u_1 \implies \overline{u_1} \neq 0$. + + Sei umgekehrt $\overline{u_1} \neq 0$. Wegen Kompatibilität folgt damit $p \nmid u_n$ $\forall n \in \N$, denn + ang. $p \mid u_n$ für ein $n \in \N$. Dann folgt + \[ + 0 \equiv u_n \; (\text{mod } p) \equiv u_1 \; (\text{mod } p) \quad \contr + .\] + Da $p$ prim folgt insbesondere $(p^{n}, u_n) = 1$. Also ex. nach euklid. Alg. $a, b \in \Z$, s.d. + $1 = a p^{n} + b u_n$, also $1 = \overline{bu_n}$ mit $\overline{b} \in A_n$. Also + $\overline{u_n} \in A_n^{\times }$ und damit + $v \coloneqq (\ldots \overline{u_n}^{-1}, \overline{u_{n-1}}^{-1}, \ldots, \overline{u_1}^{-1}) = u^{-1} + \in \Z_p$. +\end{proof} + +\begin{lemma}[] + Für $x \in \Z_p \setminus \{0\} $ ex. $n \in \N_0$ und $u \in \Z_p^{\times }$, s.d. + \[ + x = p^{n} u + .\] Diese Darstellung ist eindeutig. + \label{le-decomp} +\end{lemma} +\begin{proof} + \begin{enumerate}[(i)] + \item Existenz: + Sei $x \in \Z_p \setminus \{0\} $. Da $x \neq 0$ ex. wegen Kompatibilität ein + $n \in \N_0$ maximal, s.d. + $x_n = \pi_n(x) = 0$. Also ist $x \in \text{ker } \pi_n$, insbesondere ex. nach + \ref{le-kanproj} ein $u \in \Z_p$ mit $x = p^{n}u$. Ang.: $p \mid u$, dann + ist $\pi_1(u) = 0$ also ex. wieder nach \ref{le-kanproj} ein $v \in \Z_p$ mit $u = pv$. Dann + ist aber + \[ + \pi_{n+1}(x) = \pi_{n+1}(p^{n}u) = \pi_{n+1}(p^{n+1}v) = 0 + .\] Widerspruch zur Maximalität von $n$. + \item Eindeutigkeit: Sei $x = p^{n} u = p^{m} v$ mit $u, v \in \Z_p^{\times }$ und $n, m \in \N_0$. + Sei o.E. $n \ge m$. Es ist $\pi_n(x) = \pi_n(p^{n}) \pi_n(u) = 0$ also + auch $0 = \pi_n(x) = \pi_n(p^{m}) \pi_{n}(v)$. Da $v \in \Z_p^{\times }$ ist + $\pi_n(v) \in A_n^{\times}$, also kein Nullteiler. Also folgt + $\pi_n(p^{m}) = 0$ und damit $p^{m} \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $, also + $m \ge n$. Insgesamt also $m = n$. + + Nun gilt weiter $x = p^{n} u = p^{n} v$, also $p^{n}(u-v) = 0$. Ang. $u-v \neq 0$. Dann + ist nach (i) $u - v = p^{k} w$ mit $k \in \N_0$ und $w \in \Z_p^{\times }$. Also + $0 = p^{n}(u-v) = p^{n+k} w$. Da $w \in \Z_p^{\times }$ also kein Nullteiler, folgt + $0 = p^{n+k} \in \Z$ $\contr$. + \end{enumerate} +\end{proof} + +\begin{definition}[$p$-Bewertung] + Für $x \in \Z_p \setminus \{0\} $ sei $x = p^{n} u$ mit $u \in \Z_p^{\times }$. Dann setze + \[ + v_p(x) \coloneqq n + \] und setze $v_p(0) \coloneqq \infty$. $v_p(x)$ heißt die $p$-Bewertung von $x$. +\end{definition} + +\begin{bem}[] + Wegen \ref{le-decomp} ist die $p$-Bewertung wohldefiniert. + + Per Konvention setze $n + \infty = \infty$ und $\infty > n$ für $n \in \N_0$. +\end{bem} + +\begin{lemma}[Eigenschaften der $p$-Bewertung] + Für $x, y \in \Z_p$ gilt + \[ + v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y), \quad v_p(x+y) \ge \min (v_p(x), v_p(y)) + .\] +\end{lemma} + +\begin{proof} + Falls $x = 0$ oder $y = 0$, dann trivial. Seien also $x, y \neq 0$ und + sei $x = p^{n}u$, $y = p^{m}v$ mit $u, v \in \Z_p^{\times }$ und $n, m \in \N_0$. Dann folgt + \[ + xy = p^{n} u p^{n} v = p^{n+m} \underbrace{uv}_{\Z_p^{\times}} + .\] Also $v_p(xy) = n + m = v_p(x) + v_p(y)$. Sei nun o.E. $n \ge m$. Dann folgt + \[ + x + y = p^{n} u + p^{m} v = p^{m} (p^{n-m} u + v) + .\] Also folgt $v_p(x+y) \ge m = \min(v_p(x), v_p(y))$. +\end{proof} + +\begin{korollar}[] + $\Z_p$ ist nullteilerfrei. +\end{korollar} + +\begin{proof} + Seien $x, y \in \Z_p$ mit $xy = 0$. Dann folgt + \[ + \infty = v_p(0) = v_p(xy) = v_p(x) + v_p(y) + .\] Also $v_p(x) = \infty$ oder $v_p(y) = \infty$, also $x = 0$ oder $y = 0$. +\end{proof} + +\begin{lemma}[Topologie auf $\Z_p$] + Die Topologie auf $\Z_p$ wird induziert durch die Metrik + \[ + d(x, y) = \exp(-v_p(x-y)) + .\] $\Z_p$ ist vollständig und $\Z$ ist dicht in $\Z_p$. +\end{lemma} + +\begin{bem}[Bälle] + Es sei im Folgenden stets + \[ + B(x, r) = \{ y \in \Z_p \mid d(x,y) < r \} \text{ und } + \overline{B(x,r)} = \{y \in \Z_p \mid d(x,y) \le r\} + .\] Da $d(x,y) \in \{ \exp(n) \mid n \in \Z\}$ gilt + \[ + \overline{B(x, e^{-n})} = \{ y \in \Z_p \mid v_p(x-y) \ge n\} + = \{ y \in \Z_p \mid v_p(x-y) > n-1\} = B(x, e^{-(n-1)}) + .\] +\end{bem} + +\begin{proof}[Beweis des Lemmas (Skizze)] + $d(\cdot , \cdot )$ ist eine Metrik (nachrechnen). + Sei nun + \[ + S \coloneqq \{ \pi_n^{-1}(B) \mid B \subseteq A_n, n \in \N\} + .\] + Die offenen Mengen von $\Z_p$ bezüglich der Produkttopologie sind dann per Definition + gegeben als $\langle S \rangle$, wobei mit $\langle \ldots \rangle$ die durch + endliche Schnitte und beliebige Vereinigungen erzeugten Mengen gemeint sind. + + Für $D \in S$ ist $D = \pi_n^{-1}(B) = (A_1, \ldots, A_{n-1}, B, A_{n+1}, \ldots) \subseteq \Z_p$ + wobei $B \subseteq A_n$ für ein $n \in \N$. Für $U \in \langle S \rangle$ ist dann + $U = (B_1, \ldots, B_n, A_{n+1}, \ldots)$ mit $B_n \subsetneq A_n$ für $n \in \N_0$. + Sei nun $0 \in U$. Dann ist $p^{n} \Z_p \subseteq U$. + + Für beliebiges $V \subseteq \Z_p$ offen + ex. nun für $v \in V$ ein $n_v \in \N_0$, s.d. $v + p^{n_v} \Z_p \subseteq V$. Also folgt + \[ + V = \bigcup_{v \in V} (v + p^{n_v} \Z_p) + .\] + Nun ist aber + \begin{salign*} + v + p^{n} \Z_p &= \{ v + a \mid a \in p^{n} \Z_p\} \\ + &= \{ x \in \Z_p \mid v_p(v - x) \ge n \} \\ + &= \{ x \in \Z_p \mid \exp(-v_p(v-x)) \le \exp(-n) \} \\ + &= \{ x \in \Z_p \mid d(v, x) < e^{-(n-1)}\} \\ + &= B(v; e^{-(n-1)}) + .\end{salign*} + Also folgt + \[ + V = \bigcup_{v \in V} B(v; e^{-(n-1)}) + \] also $V$ auch offen bezüglich $d(\cdot, \cdot )$. Umgekehrt + sei $U$ offen bezüglich $d(\cdot , \cdot )$. Dann ist + $U$ Vereinigung von offenen (bezüglich $d(\cdot , \cdot )$) Bällen. + Da $p^{n} \Z_p = \pi_n^{-1}(\{0\})$, sind diese auch offen bezüglich der Produkttopologie. + + Z.z.: $\Z_p$ vollständig. Da $\Z_p$ nach \ref{kor-compact} + kompakt ist, hat jede Folge in $\Z_p$ eine konvergente Teilfolge. Insbesondere hat + also jede Cauchy-Folge eine konvergente Teilfolge und damit konvergiert jede Cauchy-Folge + in $\Z_p$. + + Z.z.: $\Z$ dicht in $\Z_p$. Sei $x = (x_n)_{n \in \N} \in \Z_p$. Setze $y_n \in \Z$, s.d. + $y_n \equiv x_n \; (\text{mod } p^{n}) $. Dann ist für $n \in \N$ fest, + $y_n \equiv x_m \; (\text{mod } p^{m}) $ $\forall m \le n$, also + $v_p(y_n - x) \ge n$. Also + \[ + d(y_n, x) = \exp(-v_p(y_n - x)) \le \exp(-n) \xrightarrow{n \to \infty} 0 + .\] +\end{proof} + +\begin{definition} + Der Quotientenkörper der ganzen $p$-adischen Zahlen $\Z_p$ + heißt Körper der $p$-adischen Zahlen + \[ + \Q_p \coloneqq Q(\Z_p) + .\] +\end{definition} + +\begin{bem} + \begin{enumerate}[] + \item Ein Element $x = \frac{a}{b} \in \Q_p^{\times}$ mit $a, b \in \Z_p$, $b \neq 0$ + kann eindeutig als $x = p^{r}w$ mit $r \in \Z$ und $w \in \Z_p^{\times }$ dargestellt werden, + denn nach \ref{le-decomp} ist + \[ + x = \frac{a}{b} = \frac{p^{n}u}{p^{m}v} = p^{n-m} \underbrace{u v^{-1}}_{\in \Z_p^{\times }} + .\] + Damit setzt sich die Definition von $v_p$ auf $\Q_p$ fort. Es gilt + $v_p(x) \ge 0 \iff x \in \Z_p$. + \item Nach (1) ist also $\Q_p = \Z_p[p^{-1}]$. + \end{enumerate} +\end{bem} + +\begin{lemma}[Topologie auf $\Q_p$] + $\Q_p$ mit der von $\Z_p$ geerbten Metrik $d(x,y) = \exp(-v_p(x-y))$ ist + lokal kompakt und enthält $\Z_p$ als offenen Teilring. $\Q$ ist dicht in $\Q_p$. +\end{lemma} + +\begin{proof} + Da $x \in \Z_p \iff v_p(x) \ge 0 \iff v_p(x) > -1$ folgt $\Z_p = \overline{B(0, 1)} = B(0, e)$, + also $\Z_p$ offen. + Da $\Z_p$ kompakt, folgt, dass + $B(x, e)$ kompakt $\forall x \in \Q_p$, also $\Q_p$ lokal kompakt. Außerdem ist + $\Z$ dicht in $\Z_p$, d.h. für $x \in \Q_p$ mit $x = p^{k} u$ und $k \in \Z$, $u \in \Z_p^{\times }$ ex. + eine Folge $(y_n)_{n \in \N} \subseteq \Z$ mit $y_n \xrightarrow{n \to \infty} u$. Dann + setze $z_n \coloneqq p^{k} y_n \in \Q$. Dann folgt direkt + $z_n = p^{k} y_n \xrightarrow{n \to \infty} p^{k} u = x$. +\end{proof} + +\begin{bem}[] + \begin{enumerate}[] + \item $\Q_p$ kann auch als Vervollständigung von $\Q$ bezüglich der $p$-adischen + Metrik $d(\cdot , \cdot )$ definiert werden (analog zu $\R$ als + Vervollständigung von $\Q$ bezüglich $|\cdot |$). + \item Es ist leicht nachzurechnen, dass $d(\cdot , \cdot )$ die ultrametrische Ungleichung + (auch starke Dreiecksungleichung) erfüllt, d.h. + \[ + d(x, z) \le \max(d(x,y), d(y,z)) + \] für $x, y, z \in \Q_p$. Damit folgt das eine Folge + $(a_n)_{n \in \N} \subseteq \Q_p$ genau dann konvergiert, wenn + $\lim_{n \to \infty} (u_{n+1} - u_n) = 0$ (was in $\R$ bezüglich $|\cdot |$ falsch ist). + \end{enumerate} +\end{bem} + +\subsection{$p$-adische Gleichungen} + +\begin{lemma}[] + Sei $D_1 \leftarrow D_2 \leftarrow \ldots$ ein projektives System und + $D = \varprojlim \; (D_n, p_n)$ sein inverser Limes. Falls $D_n \neq \emptyset$ und endlich + folgt $D \neq \emptyset$. + \label{le-projlim} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Sei zunächst $p_{n}\colon D_{n+1} \to D_n$ surjektiv. Dann ex. für alle $x_{n} \in D_{n}$ + ein $x_{n+1} \in D_{n+1}$, s.d. $p_{n}(x_{n+1}) = x_n$. Da $D_1 \neq \emptyset$ folgt + $D \neq \emptyset$ induktiv. + + Im Allgemeinen bezeichne für $m,n \in \N$: + \[ + D_{n,m} \coloneqq (p_{n} \circ \ldots \circ p_{n+m-1})(D_{n+m}) + .\] Da $D_{n+m} \neq \emptyset$ folgt $D_{n,m} \neq \emptyset$ und da + $D_k$ endlich folgt $\# p_k(D_{k+1}) \le \# D_{k+1}$ $\forall k \in \N$. D.h. $\#D_{n,m}$ + ist monoton fallend in $m$ bei festem $n$. + Da $D_{n,m} \neq \emptyset$ wird die Folge stationär, d.h. + es ex. ein $m_0 \in \N$, s.d. $D_{n, m_0} = D_{n, m}$ $\forall m \ge m_0$. + Sei $E_n$ dieser Grenzwert. + + Beh.: $p_{n}(E_{n+1}) = E_n$ $\forall n \in \N$. Sei dazu $n \in \N$. Nun ex. ein + $m_0 \in \N$, s.d. $E_{n+1} = D_{n+1, m_0}$ und + $E_n = D_{n, m_0} = D_{n, m_0+1}$. Damit folgt + \begin{salign*} + p_{n}(E_{n+1}) + &= p_{n}(D_{n+1, m_0}) \\ + &= p_{n}((p_{n+1} \circ \ldots \circ p_{n+m_0})(D_{n+1+m_0})) \\ + &= (p_{n} \circ p_{n+1} \circ \ldots \circ p_{n+m_0})(D_{n+m_0+1}) \\ + &= D_{n, m_0+1} \\ + &= E_n + .\end{salign*} + + Also sind die Einschränkungen $p_{n}|_{E_{n+1}}\colon E_{n+1} \to E_n$ surjektiv, + $E_n \neq \emptyset$ und endlich, also + folgt nach der Vorüberlegung $\varprojlim \; (E_n, p_n|_{E_n}) \neq \emptyset$, also + insbesondere $D \neq \emptyset$. +\end{proof} + +\begin{satz}[] + Seien $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ Polynome in den ganzen $p$-adischen Zahlen. Dann + sind äquivalent: + \begin{enumerate}[(i)] + \item Die $f^{(i)}$ haben eine gemeinsame Nullstelle in $(\Z_p)^{m}$. + \item Für $n \in \N$ haben die Polynome $f^{(i)} \; (\text{mod } p^{n}) $ eine + gemeinsame Nullstelle in $(A_n)^{m}$. + \end{enumerate} + \label{satz-nsequiv} +\end{satz} + +\begin{proof} + Sei $D = \{ \text{gemeinsame NS von } f^{(i)} \text{ in } (\Z_p)^{m} \} \subseteq (\Z_p)^{m}$ + und\\ + $D_n \coloneqq \{ \text{ gemeinsame NS von } f^{(i)} \text{ in } (A_n)^{m} \; (\text{mod } p^{n}) \} $. + Es bezeichne $(\phi_{n})^m\colon (A_{n+1})^{m} \to (A_n)^{m}$ die Abbildung, die $\phi_{n}$ + komponentenweise anwendet. Dann ist $(D_n, (\phi_n)^m)$ ein projektives System + mit $D = \varprojlim \; (D_n, (\phi_n)^m)$. + + Sei nun $D \neq \emptyset$ und $x \in D$. Dann ist $\pi_n(x) \in D_n$ $\forall n \in \N$. Seien umgekehrt + $D_n \neq \emptyset$ $\forall n \in \N$. Da $D_n \subseteq A_n$ endlich folgt mit + \ref{le-projlim} $D \neq \emptyset$. +\end{proof} + +\begin{definition}[] + Ein Element $x = (x_1, \ldots, x_m) \in (\Z_p)^{m}$ (bzw. $(A_n)^{m}$) heißt primitiv, falls ein + $x_i \in \Z_p^{\times}$ (bzw. $\in A_n^{\times}$) ist. +\end{definition} + +\begin{definition}[] + Sei $R$ ein Ring. Ein Polynom $f \in R[X_1, \ldots, X_m]$ heißt + homogen vom Grad $2$, falls in $R[X_1, \ldots, X_m][T]$ gilt + \[ + f(TX_1, \ldots, TX_m) = T^{k} f(X_1, \ldots, X_m) + .\] Ein homogenes Polynom vom Grad $2$ heißt quadratische Form. +\end{definition} + +\begin{bsp}[] + Das Polynom $f = X^5 + X^3Y^2 + XY^4 \in \Z[X,Y]$ ist homogen, aber $g = X^2 + X + Y^2 \in \Z[X,Y]$ ist nicht + homogen. +\end{bsp} + +\begin{korollar}[] + Seien $f^{(i)} \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ homogene Polynome. Dann sind äquivalent + \begin{enumerate}[(i)] + \item Die $f^{(i)}$ haben eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle in $(\Q_p)^{m}$. + \item Die $f^{(i)}$ haben eine gemeinsame primitive Nullstelle in $(\Z_p)^{m}$. + \item Für $n \in \N$ haben die Polynome $f^{(i)} \; (\text{mod } p^{n}) $ eine gemeinsame + primitive Nullstelle. + \end{enumerate} +\end{korollar} + +\begin{proof} + (i)$\implies$(ii): Sei $x = (x_1, \ldots, x_m)$ eine nichttriviale gemeinsame Nullstelle + der $f^{(i)}$. Dann setze + \[ + k \coloneqq \min(v_p(x_1), \ldots, v_p(x_m)) \text{ und } y = p^{-k} x + .\] Sei $i \in \{1, \ldots, m\} $, s.d. $k = v_p(x_i)$. Dann ist + $v_p(y_i) = v_p(p^{-k}) + v_p(x_i) = -k + k = 0$. Also $y_i \in \Z_p^{\times }$ und damit $y$ primitiv. + Außerdem gilt für ein $n \in \N$ + \[ + f^{(i)}(y) = f^{(i)}(p^{-k} x) \quad \stackrel{\text{Homog.}}{=} \quad p^{-nk} f^{(i)}(x) = 0 + .\] + (ii)$\implies$(i) ist trivial und (ii) $\iff$ (iii) folgt aus \ref{satz-nsequiv}. +\end{proof} + +\begin{bem}[] + Die Voraussetzung homogenes Polynom ist notwendig, wie am Beispiel: + \[ + f = pX - 1 \in \Z_p[X] + \] deutlich wird, denn $f(p^{-1}) = 0$, aber im Körper $\Q_p$ hat das lineare Polynom $f$ maximal + eine Nullstelle und $p^{-1} \not\in \Z_p$. +\end{bem} + +Wir möchten nun betrachten, unter welchen Umständen eine Lösung $\; (\text{mod } p^{n}) $ zu einer +echten Lösung in $\Z_p$ entwickelt werden kann. Dazu verwenden wir die $p$-adische Version +des Newton Verfahrens. + +\begin{lemma}[Henselsches Lemma] + Sei $f = a_mX^{m} + \ldots + a_0 \in \Z_p[X]$ und $f' = a_m m X^{m-1} + \ldots + a_1 \in \Z_p[X]$ seine + Ableitung. Weiter sei $x \in \Z_p$, s.d. $f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $ für ein $n \in \N$ + und $v_p(f'(x)) = k$ mit $0 \le 2k < n$. Dann existiert ein $y \in \Z_p$, s.d. + \[ + f(y) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1}), v_p(f'(y)) = k \text{ und } y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) + .\] + \label{le-hensel} +\end{lemma} + +\begin{proof} + Nach Voraussetzung ist $f(x) = p^{n}b$ und $f'(x) = p^{k}c$ mit $b \in \Z_p$ und $c \in \Z_p^{\times }$. + Dann setze $z \coloneqq -b c^{-1}$ und $y \coloneqq x + p^{n-k}z$. Damit erfüllt + $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $. Der binomische Lehrsatz + liefert + \begin{salign*} + a_i y^{i} = a_i \sum_{j=0}^{i} \binom{i}{j} x^{i-j} (p^{n-k} z)^{j} + = a_i x^{i} + a_i i x^{i-1} p^{n-k} z + p^{2n-2k} z^2 R_i + \end{salign*} für $R_i \in \Z_p$. Aufsummieren und addieren von $a_0$ liefert mit $R \in \Z_p$ + eine ,,Taylorentwicklung'': + \begin{salign*} + f(y) &= f(x) + p^{n-k} z f'(x) + p^{2n-2k} z^2 R + \intertext{Einsetzen liefert} + f(y) &= p^{n}b - p^{n-k} b c^{-1} p^{k} c + p^{2n-2k} z^2 R \\ + &= p^{2n-2k} z^2 R \\ + &\equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1}) + ,\end{salign*} da $2k < n \implies 2n - 2k \ge n+1$. + Anwenden der ,,Taylorentwicklung'' auf $f'$ liefert + \begin{salign*} + f'(y) &= f'(x) + p^{n-k} z f''(x) + p^{2n-2k} z^2 R \\ + &= p^{k} c + p^{n-k} z f''(x) + p^{2n-2k}z^2R \\ + &= p^{k}(\underbrace{c + p^{n-2k} z f''(x) + p^{2n-3k} z^2 R}_{=: s}) + .\end{salign*} + Es ist $n-2k > 0$ und $2n - 3k > 0$, aber $c \in \Z_p^{\times }$, also $p \nmid s$ und damit + $s \in \Z_p^{\times }$ und $v_p(f'(y)) = k$. +\end{proof} + +Zum Studium der quadratischen Formen benötigen wir noch die auf $m$ Variablen verallgemeinerte Version +des Henselschen Lemmas. + +\begin{satz} + Sei $f \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ und $x = (x_i) \in (\Z_p)^{m}$, s.d. + $f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n}) $. Weiter existiere ein + $1 \le j \le m$, s.d. $v_p\left( \frac{\partial f}{\partial X_j}(x) \right) = k$ mit + $0 \le 2k < n$. Dann existiert eine Nullstelle $y \in (\Z_p)^{m}$ von $f$ mit + $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $. + \label{satz-hensel} +\end{satz} + +\begin{proof} + Sei zunächst $m = 1$. Mit \ref{le-hensel} angewendet auf $x^{(0)} \coloneqq x$, erhält man + $x^{(1)} \in \Z_p$ mit + \[ + f(x^{(1)}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+1})\text{, } + v_p(f'(x^{(1)})) = k \text{ und } + x^{(1)} \equiv x^{(0)} \; (\text{mod } p^{n-k}) + .\] Wende \ref{le-hensel} nun auf $x^{(1)}$ und $n+1$ an. Induktiv erhält man eine Folge + $(x^{(q)})_{q \in \N}$ mit den Eigenschaften + \[ + x^{(q+1)} \equiv x^{(q)} \; (\text{mod } p^{n+q-k}) \text{ und } f(x^{(q)}) \equiv 0 \; (\text{mod } p^{n+q}) + .\] Es gilt nun $v_p(x^{(q+1)} - x^{(q)}) \ge n+q-k$, also + $d(x^{(q+1)}, x^{(q)}) \xrightarrow{q\to \infty} 0$. Also ist $x^{(q)}$ eine Cauchy Folge + und konvergiert gegen ein $y \in \Z_p$. Dann gilt + \[ + 0 = \lim_{q \to \infty} f(x^{(q)}) = f(\lim_{q \to \infty} x^{(q)}) = f(y) + \] und $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $. + + Sei nun $m > 1$. Ersetze in $f$ die Variablen $X_i$ durch $x_i$ für $i \neq j$. + Dann sei $g \in \Z_p[X_j]$ das entstandene Polynom in einer Variablen. Wende nun den Fall für $m = 1$ + auf $g$ an. Dann erhalten wir ein $y_j \in \Z_p$ mit $y_j \equiv x_j \; (\text{mod } p^{n-k}) $ + und $g(y_j) = 0$. Setze nun $y_i \coloneqq x_i$ für $i \neq j$. Dann ist + $y \equiv x \; (\text{mod } p^{n-k}) $ und + \[ + f(y) = f(y_1, \ldots, y_m) = f(x_1, \ldots, x_{j-1}, y_j, x_{j+1}, \ldots, x_m) = g(y_j) = 0 + .\] +\end{proof} + +Aus dem letzten Satz können wir einfache Schlussfolgerungen für quadratische Formen ziehen. + +\begin{korollar}[] + Sei $f \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ und $x \in \Z_p$ mit + \[ + f(x) \equiv 0 \; (\text{mod } p) + \] und es sei mind. eine partielle Ableitung + $\frac{\partial f}{\partial X_j}(x) \not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $, dann hebt sich $x$ + zu einer echten Nullstelle. + \label{kor-1} +\end{korollar} + +\begin{proof} + Das ist der Fall $n = 1$ und $k = 0$ in \ref{satz-hensel}. +\end{proof} + +\begin{korollar}[] + Sei $p\neq 2$ und $f = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} X_i X_j \in \Z_p[X_1, \ldots, X_m]$ eine + quadratische Form mit $a_{ij} = a_{ji}$ und sei $ p \nmid \text{det}(a_{ij})$. Sei weiter $a \in \Z_p$. Dann + hebt sich jede primitive Lösung der Gleichung $f(x) \equiv a \; (\text{mod } p) $ zu einer + echten Lösung. +\end{korollar} +\begin{proof} + Mit \ref{kor-1} g.z.z., dass mind. eine partielle Ableitung $\; (\text{mod } p) $ nicht verschwindet. + Sei $A = (a_{ij}) \in \Z_p^{m \times m}$. Da $\text{det}(a_{ij}) \not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $ + folgt $\text{det}(a_{ij}) \in \mathbb{F}_p^{\times }$ und damit $\text{ker } A = \{0\} $. Es gilt weiter + \[ + \frac{\partial f}{\partial X_i} = 2 \sum_{j=1}^{m} a_{ij}X_j \text{ also } + \begin{pmatrix} \partial_{X_i} f(x) \\ \vdots \\ \partial_{X_m} f(x) \end{pmatrix} + = 2 A x + .\] Da $x$ primitiv ist $x \neq 0 \in \mathbb{F}_p^{m}$ und damit mind. eine partielle Ableitung + $\not\equiv 0 \; (\text{mod } p) $. +\end{proof} + +%\begin{korollar}[] +% Sei $p=2$ und $f = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{m} a_{ij} X_i X_j \in \Z_2[X_1, \ldots, X_m]$ +% eine quadratische Form mit $a_{ij} = a_{ji}$. Weiter sei $a \in \Z_2$ und $x$ eine primitive Lösung +% der Gleichung $f(x) \equiv a \; (\text{mod } 8) $. Dann hebt sich $x$ zu einer echten Lösung, falls +% nicht alle partiellen Ableitungen $\; (\text{mod } 4) $ verschwinden. Dies ist erfüllt, wenn +% $\text{det}(a_{ij})$. +%\end{korollar} + +% ???? + +\end{document}